Bài tập tích phân đường và mặt có lời giải

Chuyên đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & MẶT

02.03.1.001.A1072 : Tính tích phân đường

 y ds
3

Với C: x = t3 , y = t, 0 ≤ t ≤2

C

Lời giải:
2

2

 y ds   t
3

C

3

0

2

 dx   dy 
3
     dt   t
 dt   dt 

0
2

2

 3t   1 dt   t
2 2

2

3

9t 4  1dt

0

2

3
3


1 2 4
1 
2
 .  9t  1   . 145 2  1
36 3
 0 54 


02.03.1.002.A1072 : Tính tích phân đường

 xyds

Với C: x = t2, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1

C

Lời giải:
1

2

 xyds   t  . 2t   2t    2 dt   t
2

2

C

Đặt

2

0

2

3

4t  4dt   4t 3 t 2  1dt
2

0

t 2  u  1

u  t 2  1  du  2tdt
1  u  2


thay vào biểu thức trên ta có

2
1
 32

2
2.
u

1
udu

2
u

u



du
1
1 

2

2

 2 52 2 32 
4
2 2
8
 2  .u  .u   2. 
2
2  
3 1
3
5 3
5
5


8
15



0



2 1

02.03.1.003.A1072 : Tính tích phân đường


 xy ds
4

Với C là cung bên phải của đường tròn x2 + y2 = 16

C

Lời giải:
 x  4 cos t


với
t 
2
2
 y  4sin t

Đặt 

 /2

 xy ds  

(4 cos t )(4sin t ) 4 ( 4sin t ) 2  (4 cos t ) 2 dt

4

 /2

C

 /2






45 cos t sin 4 t 16(sin 2 t  cos 2 t ) dt

 /2

 /2

 /2

46.2
1

 4  4sin t cos tdt  4  sin 5 t 

5
5
  /2

 /2
5

4

6

02.03.1.004.A1072 : Tính tích phân đường

 x sin yds

Với C là đoạn thẳng từ điểm (0,3) đến điểm (4,6)

C

Lời giải:
 x  4t
 y  3  3t

Đặt 

1

với 0 ≤ t ≤1

 x sin yds   (4t )(3  3t )
C

Đặt

0

1

4  3 dt  20 t sin(3  3t )dt
2

2

0

du  dt
u  t


1

dv  sin(3  3t )dt
v  3 cos(3  3t )

Có
1
 1

C x sin yds  20  3 t cos(3  3t )  9 sin(3  3t )  0
1

1
1
 1

 20
 20  cos 6  sin 6  0  sin 3   sin 6  3cos 6  sin 3 
9
9
3
 9

02.03.1.005.A1072 : Tính tích phân đường


 (x

2

Với C là cung thuộc đường cong y  x từ (1,1) đến

y 3  x )dy

C

(4,2)
Lời giải:
Thay y  x , lấy tích phân theo cận x với 1≤x≤4
4

2 3
 2
C ( x y  x )dy  1  x .

 

3

x

4

1
1
 x
dx   ( x 3  1)dx
 2 x
21

4

1 1
1
1  243

  x 4  x   64  4   1 
2 4
4 
8
1 2 

02.03.1.006.A1072 : Tính tích phân đường

 e dx

Với C là cung thuộc đường cong x  y 3 từ (-1,-1) đến (1,1)

x

C

Lời giải:
Thay x  y 3 , lấy tích phân theo cận y với -1≤y≤1
1

1

 e dx   e
x

y3

1

C

1
.3 y dy  e   e1  e 1  e 
 
e
y3

2

1

02.03.1.007.A1072 : Tính tích phân đường

 ( x  2 y)dx  x dy

Với C là đường gấp khúc từ (0,0) đến (2,1) và từ (2,1)

2

C

đến (3,0)
Lời giải:
C  C1  C2
1
Với C1 : x  x, y  x



Với

x  x, y  3  x

2

C2

:

dy 

1
dx, 0  x  2
2

 dy  dx, 2  x  3


 ( x  2 y)dx  x dy   ( x  2 y)dx  x dy   ( x  2 y)dx  x dy
2

2

C

2

C1

C2


1 
 1 
   x  2  x   x 2   dx    x  2  3  x   x 2  1 dx
2 
 2 
0 
2
2

3

1 

   2 x  x 2 dx    6  x  x 2 dx
2 
0
2
2

3

2

3

1  
1
1 

  x 2  x3   6 x  x 2  x3 
6 0 
2
3 2

16
9 22 5
 0 


3
2 3 2

02.03.1.008.A1072 : Tính tích phân đường

 x dx  y dy Với C là cung tròn thuộc đường tròn
2

2

x 2  y 2  4 từ (2,0) đến

C

(0,2) nối với đoạn (0,2) đến (4,3)
Lời giải:
C  C1  C2

 x  2 cos t  dx  2sin tdt
 x  4t  dx  4dt


Với C1 :  y  2sin t  dy  2 cos tdt , C2 :  y  2  t  dy  dt
0  t  1



0  t 

2

 x dx  y dy   x dx  y dy   x dx  y dy
2

2

2

C

C1

 /2



2



2

2

C2
1

 2 cos t   2sin tdt    2sin t   2 cos tdt     4t   4dt    2  t  dt
2

2

2

0

2

0

 /2

1

 8    cos 2 t sin t  sin 2 t cos t  dt    65t 2  4t  4  dt
0

0

 /2

1

1
83
1

 65

 1 1  65

 8  cos3 t  sin 3 t    t 3  2t 2  4t   8      2  4 
3
3
3
0
3
0
3 3 3


02.03.1.009.A1072 : Tính tích phân đường

 xyzds

Với C: x  2sin t , y  t , z  2cos t , 0  t  

C

Lời giải:


2

 xyzds    2sin t  t  2cos t 
C

0



  4t sin t cos t

 2cos t 

2

2

2

 dx   dy   dz 
        dt
 dt   dt   dt 

 1   2sin t  dt
2

2

0



  2t sin 2t 4  cos 2 t  sin 2 t   1dt
0





1
 1

 2 5  t sin 2tdt  2 5  t cos 2t  sin 2t 
4
2
0
0
 

 2 5    0    5
 2


02.03.1.010.A1072 : Tính tích phân đường

 xyz ds
2

Với C là đoạn thẳng từ (-1,5,0) đến (1,6,4)

C

Lời giải:
 x  1  2t
y  5  t
Đặt 
 z  4t
0  t  1
1

2
 xyz ds    1  2t  5  t  4t 
C

1

2

22  12  42 dt  21   32t 4  144t 3  80t 2  dt

0

0
1

 t5
t4
t3 
80  236
 32
 21 32  144  80   21   36   
21
4
3 0
3  15
 5
 5

02.03.1.011.A1072 : Tính tích phân đường

 xe
C

Lời giải:

yz

ds

Với C là đoạn thẳng từ (0,0,0) đến (1,2,3)


x  t
 y  2t
Đặt 
 z  3t
0  t  1

 xe

1

yz

ds   te

C

1

14 6
1 2
1  2  3 dt  14  te dt  14  e6t  
 e  1
2
12
0
0
1

 2t  3t 

2

0

2

6t 2

2

02.03.1.012.A1072 : Tính tích phân đường

x

2

 y 2  z 2  ds

C: x  t , y cos 2t , z  sin 2t ,0  t  2

C

Lời giải:
2

Có

x

2

2

2
2
 dx   dy   dz 
2
         1   2sin 2t    2cos 2t   5
 dt   dt   dt 

2

 y  z  ds 
2

2

 t

2

C

2

2

 cos 2t  sin 2t  5dt  5   t 2  1 dt
2

2

0

0

2

 8

1

1

 5  t 3  t   5   8 3   2   5 
 2 
3

0
3

 3

3

02.03.1.013.A1072 : Tính tích phân đường

 xye

yz

C: x  t , y  t 2 , z  t 3 ,0  t  1

dy

C

Lời giải:
1

yz
2
 xye dy    t   t  e
C

1

1

t t  .2tdt  2t 4et dt   2 et   2 e1  1
 



2

3

0

5

0

5

5

0

5

02.03.1.014.A1072 : Tính tích phân đường

 ydx  zdy  xdz

C: x  t , y  t, z  t 2 ,1  t  4

C

Lời giải:
1 1/ 2
 1 1/ 2 2
2
3/ 2 
C ydx  zdy  xdz  1 t. 2t dt  t dt  t .2tdt  1  2 t  t  2t dt
4

4

4

1
4
1
 8 64 128 1 1 4 722
  t 3/ 2  t 3  t 5/ 2   

   
3
5
5
3 3 5 15
3
1 3 3


02.03.1.015.A1072 : Tính tích phân đường

 z dx  x dy  y dz
2

2

Với C là đoạn thẳng nối (1,0,0) đến (4,1,2)

2

C

Lời giải:
 x  1  3t
y  t
Đặt 
 z  2t
0  t  1
1

1

2
2
2
2
2
 z dx  x dy  y dz    2t  .3dt  1  3t  dt  t .2dt    23t  6t  1 dt
2

C

2

0

0

1

23
35
 23

  t 3  3t 2  t  
 3 1 
3
3
0 3

02.03.1.016.A1072 : Tính tích phân đường

  y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz

Với C là đoạn gãy khúc từ (0,0,0) đến

C

(1,0,1) và từ (1,0,1) đến (0,1,2)
Lời giải:
C  C1  C2

 x  t  dx  dt
 x  1  t  dx   dt
 y  0  dy  0dt
y  t
 dy  dt
Với C1 : 
, C2 : 
 z  t  dz  dt
 z  1  t  dz  dt
0  t  1
0  t  1

  y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz

C



  y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz    y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz

C1

C2

1

1

   0  t  dt   t  t  .0dt   t  0  dt    t  1  t  dt   1  t  1  t  dt  1  t  t  dt
0

0

1

1

0

0

  2tdt    2t  2  dt  t 2    t 2  2t   1  1  2
0
0
1

1

02.03.1.017.A1073 : Cho trường vecto F trong hình:


a) Nếu C1 là đoạn thẳng từ (-3,-3) đến (-3,3), xác định xem

 F .dr

dương,

C1

âm hay bằng 0.

b) Nếu C2 là vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ tâm tại gốc tọa độ với bán
kính bằng, xác định xem

 F .dr

dương, âm hay bằng 0.

C2

Lời giải:
a)Dọc đường thẳng x=-3, vecto của F có thành
phần y dương,
kể từ phần phía trên, tích phân F.T luôn dương.
Vì vậy  F .dr   F .Tds dương.
C1

C1

b)Tất cả các vecto (trừ vecto 0) dọc theo vòng tròn
bán kính
bằng 3theo chiều kim đồng hồ, được xác định là ngược chiều F,
nên F.T âm. Vì thế

 F .dr   F .T ds
C2

âm.

C2

02.03.1.018.A1073 : Cho trường vecto F và 2 cung C1 và C2 trong hình,
tích phân đường của F theo C1 và C2 là âm, dương hay bằng 0.
Lời giải:
Các vecto bắt đầu từ điểm C1 trong hốc cùng chiều với C1, nên các thành
phần tiếp tuyến F.T dương. Do đó

 F .dr   F .Tds
C1

C1

dương. Mặt khác, không có vecto nào bắt đầu từ C2
cùng chiều C2, trong khi một số vecto còn có chiều
ngược lại nên

 F .dr   F .T ds
C2

C2

âm.


02.03.1.019.A1073 : Tính tích phân đường  F .dr theo C là hàm của r(t):
C

F  x, y   xyi  3 y 2 j , r  t   11t 4i  t 3 j ,0  t  1

Lời giải:
F  r  t    11t 4  t 3  i  3  t 3  j  11t 7i  3t 6 j ,

2

r '  t   44t 3i  3t 2 j ,
1

1

 F .dr   F  r  t  r '  t  dt   11t .44t
7

C

0

1

1

3

 3t .3t  dt    484t  9t  dt   44t  t   45
6

2

10

0

8

11

0

9

0

02.03.1.020.A1073 : Tính tích phân đường  F .dr theo C là hàm của r(t):
C

F  x, y, z    x  y  i   y  z  j  z 2k , r  t   t 3i  t 2 j  tk ,0  t  1

Lời giải:
F  r t    t 2  t 3  i  t 3  t 2  j  t 2  k ,
2

r '  t   2ti  3t 2 j  2tk ,
1

1

 F .dr   F  r  t  r '  t  dt    2t

C

0

0

1

3

 2t  3t  3t  2t  dt    5t 5  t 4  2t 3  dt
4

5

4

5

0

1

1
1  17
5
  t5  t5  t4  
5
2  0 15
6

02.03.1.021.A1073 : Tính tích phân đường  F .dr theo C là hàm của r(t):
C

F  x, y, z   sin xi  cos yj  xzk .r  t   t 3  t 2 j  tk ,0  t  1

Lời giải:
1

 F .dr  
C

1

sin t ,cos  t  , t . 3t , 2t ,1 dt    3t 2 sin t 3  2t cos t 2  t 4  dt
3

2

4

2

0

0
1

1 
6

   cos t 3  sin t 2  t 5    cos1  sin1
5 0 5


02.03.1.022.A1073 : Tính tích phân đường  F .dr theo C là hàm của r(t):
C


F  x, y, z   xi  yj  xyk , r  t   cos ti  sin tj  tk ,0  t  

Lời giai:






1 2 
C F .dr 0 cos t ,sin t ,cos t sin t .  sin t ,cos t ,1  0 sin t cos tdt   2 sin t   0
0

02.03.1.023.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân



C

 F  x, y   xy i  sin y j

t 2
Với r  t   e ' i  e j
1  t  2


Fdr

Lời giải:

 

  j e

F  r  t     et  et i  sin et
2

2

t t 2

 j

i  sin e t

2

r '  t   et i  2tet j
2

Khi đó ta được
2

2

 



t t 2 t
t 2
t 2
C Fdr  1 F  r  t   .r '  t  dt  1 e .e  sin e . 2te  dt,
2

 e
1

2 t t 2



  

2
2
 2te  t .sin e  t dt  1,9633


02.03.1.024.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân



C

Fdr

 F  x, y, z   y sin z i  z sinx j  x sin y k

Với r  t   cos t i  sin t j  sin 5t k
0  t  


Lời giải:
F  r  t     sin t  sin  sin 5t  i   sin 5t  sin  cos t  j   cos t  sin  sin t  k
r '  t    sin t i  cos t j  5cos 5t k

Khi đó ta được




C



Fdr   F  r  t   .r '  t  dt
0



    sin 2 t.sin sin 5t   cos t.sin 5t sin cos t   5cos t.cos5 t.sin si n t dt  0,1363
0

02.03.1.025.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân



C

x sin  y  z  ds

C   x, y, z    t 2 , t 3 , t 4 
Với 
0  t  5

Lời giải:
Với (x,y,z) = (t2, t3, t4) ta có tích phân sau



C

5

x sin  y  z  ds    t 2  sin  t 3  t 4 

 2t 

2

  3t 2    4t 3  dt
2

2

0
5

   t 2  sin  t 3  t 4  4t 2  9t 4  16t 6 dt  15,0074
0

02.03.1.026.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân



C

C   x, y, z    t , t 2 , e  t 
Với 
0  t  1

ze xy ds

Lời giải:
Với (x,y,z) = (t2, t3, t4) ta có tích phân sau



C

1

ze xy ds    et  et .t

2

1   2t 
2

2

  et  dt
2

0

1

  e  t t

3

1  4t 2  e2t dt  0,8208

0

02.03.1.027.A1073 : Sử dụng một đồ thị của trường vecto F và cung tròn C để
đoán tích phân đường của F và C là tích cực, tiêu cực hoặc bằng không. Sau đó
tính tích phân đường

F(x, y) = (x – y) i + xy j
Với C là cung của đường tròn x2 + y2 = 4 theo chiều kim đồng hồ từ (2, 0)
đến (0, -2)
Lời giải:
Ta có đồ thị F  x, y    x  y  i  xyj và đường cong C. Chúng ta thấy rằng hầu hết
các vecto bắt đầu ở điểm C trong khoảng cùng hướng với C, vì vậy trong nhưng
phần đó của C các thành phần tiếp tuyến F.T là tích cực. Mặc dù một số vecto
trong góc phần tư thứ ba bắt đầu ở điểm trên C nhưng có chiều ngược lại với C
và do đó các thành phần tiếp tuyến F.T là tiêu cực. Ở đây, có vẻ như các thành
phần của C chịu nhiều ảnh hưởng hơn bởi các thành phần tích cực. Vì vây có
thể đoán



C

F .dr   F .Tds là tích cực
C

Kiểm tra lại ta tính tích phân



C

Fdr

đường cong C có thể được biểu diễn bởi r(t)

= 2cost i + 2sint j, 0≤ t ≤ 3π/2 . Vì vậy


 F  r  t     2cos t  2sin t  i  4cos t sin tj


r '  t   2sin ti  2cos tj
  F .dr 
C

3
2

 F  r t   .r ' t  dt
0



3
2

 2sin t  2cos t  2sin t   2cos t  4cos t sin t  dt
0
3
2

 4   sin 2 t  sin t cos t  2sin t cos 2 t  dt
0

 3 

2

3


02.03.1.028.A1073 : Sử dụng một đồ thị của trường vecto F và cung tròn C để
đoán tích phân đường của F và C là âm, dương hay bằng 0. Sau đó tính tích
phân đường
F  x, y  

x
x2  y 2

i

y
x2  y 2

j

Với C là parabol y = 1+ x2 từ (-1, 2) đến (1, 2)
Lời giải
Ta có đồ thị F  x, y  

x
x2  y 2

i

y
x2  y 2

j và đường cong C. Trong góc phần tư

thứ nhất, mỗi vecto bắt đầu từ điểm trên C trong khoảng cung một hướng với C,
vì vậy các thành phần tiếp tuyến F.T là dương. Trong góc phần tư thứ hai, mỗi
vecto bắt đầu từ điểm trên C trong khoảng ngược hướng với C vì vậy F.T là âm.
Ở đây, có vẻ như các thành phần tiếp tuyến trong góc phần tư thứ nhất và góc
phần tư thứ hai chống lại nhau. Vì vây có thể đoán



C

F .dr   F .Tds là bằng
C

không
Kiểm tra lại ta tính tích phân



C

F .dr   F .Tds và đường cong C có thể được biểu
C

r  t   ti  1  t 2  j
diễn bởi 
Vì vậy
1  t  1


t
1 t2
F
r
t

i

j





2
2 2
2
2 2
t  1  t 
t  1  t 


r '  t   i  2tj
1

  F .dr   F  r  t   .r '  t  dt
C

1


2t 1  t 2 
t

 

2
2
1  t 2  1  t 2
t 2  1  t 2 



1

 t  3  2t 2  
dt  0
 
2
 4

1  t  3t  1 
1



dt



02.03.1.030.A1073 :
a)Tính

tích

phân

 F.dr

đường

theo

C

là

hàm

của

r(t):

C

F  x, y, z   xi  zj+yk, r  t   2ti  3tj  t 2k

b)Minh họa phần a bằng cách sử dụng máy tính vẽ đồ thị C và các vecto

của trường vecto tương ứng với t  1; 

1
(như hình 13)
2

Lời giải:
1

1

a)  F .dr   2t , t ,3t . 2,3, 3t dt    4t  3t 2  6t  dt  2t 2  t 3  1  2
1

2

C

b)Với

1

1

F  r  t    2t , t 2 ,3t

thì

  1 
1 3

  1 
1 3
F  r  1   2,1, 3 , F  r      1, ,  , F  r     1, , , F  r 1   2,1,3
4 2
4 2
  2 
  2 

02.03.1.031.A1073 : Tính tích phân

 x y zds
3

2

với C là đường cong có

C

phương trình tham số x  et cos 4t , y  et sin 4t , z  et ,0  t  2
Lời giải:


dx
 e t   sin 4t  4   e t cos 4t  e t  4sin 4t  cos 4t  ,
dt
dy
 e t  cos 4t  4   e t sin 4t  e t  sin 4t  4cos 4t 
dt
2

2

2

 dx   dy   dz 
       
 dt   dt   dt 

 e   4sin 4t  cos 4t    4cos 4t  sin 4t 
t 2

2

2

 1


 et 16  sin 2 4t  cos 2 4t   sin 2 4t  cos 2 4t  1  3 2e t

 x y zds 
3

Vì thế

2

C

 e

t





cos 4t   e  t sin 4t   e  t  3 2e  t dt
3

2

0
2



2

3

2e 7 t cos3 4t sin 2 4tdt 

0

172704
2 1  e 14 
5632705

02.03.1.032.A1073 :
a)Tính công thực hiện của trường lực F  x, y   x 2i  xyj làm 1 hạt chuyển
động quanh 1 vòng tròn x 2  y 2  4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
b)Sử dụng máy tính vẽ đồ thị trường lực và đường tròn trên cùng 1 đồ thị.
sử dụng đồ thị để giải thích kết quả câu a.
Lời giải:
a)Giả

đường

sử

tròn

C

phụ

thuộc

r  t   2cos ti  2sin tj,0  t  2 

Có F  r  t    4cos 2 t ,4cos t sin t , r  t   2sin t ,2cos t
Và W   F .dr 
C

2

  8cos

2

t sin t  8cos 2 t sin t  dt  0

0

b) Từ đồ thị, chúng ta thấy mọi vecto trong trường là
vuông góc với đường tròn. Điều đó cho thấy trường
không sinh công trên hạt, nghĩa là bất kì điểm nào trên
C đều có F.T=0 hay tích phân  F .dr  0
C

02.03.1.033.A1073 :


Một sợi dây mảnh được uốn cong thành hình bán nguyệt x 2  y 2  4, x  0
Nếu tỉ trọng là hằng số k, tìm khối lượng và trọng tâm của dây.
Lời giải:

 x  2cos t

Chúng ta sử dụng phương trình tham số  y  2sin t
 

  t 
 2
2
2

2

 dx   dy 
ds       dt 
 dt   dt 

 m   kds  2k
C

x

 /2



 2sin t 

2

  2cos t  dt  2dt
2

dt  2k

 / 2

1
1
xkds 

2 k C

2

1
1
y
ykds 

2 k C
2

 /2

1

  2cos t  2dt  2  4sin t  

/2

 /2

 /2



4



,

 /2

  2sin t  2dt  0

 / 2

Vì thế  x, y    ,0 
4





02.03.1.034.A1073 :
Một sợi dây mảnh có hình dạng là góc phần tư thứ nhất của đường tròn có
tâm trùng gốc tọa độ và bán kính a. Nếu hàm ty trọng là   x, y   kxy tìm
khối lượng và trọng tâm sợi dây.
Lời giải:

 x  a cos t

Chúng ta sử dụng phương trình tham số  y  a sin t


0  t 

2
2

2

 dx   dy 
ds       dt 
 dt   dt 

 a sin t 

2

  a cos t  dt  adt
2


 m     x, y  ds   kxyds 
C

 /2

C



k  a cos t  a sin t  adt  ka 3

 /2

0

 cos t sin tdt
0

 /2

1
1

 ka 3  sin 2 t   ka 3
2
2
0
x

1
ka

3

 /2

x  kxy  ds  
/2
C

0

2
k  a cos t   a sin t  adt  3 .ka 4
ka
2

 /2

 cos

2

t sin tdt

0

 /2

1  2a
 1


 2a   cos3 t   2a  0   
,
3 3
 3
0

y

1

 y  kxy  ds 

ka 3 / 2 C

2
ka 3

 /2



k  a cos t  a sin t  adt 
2

0

2
.ka 4
ka 3

 /2

 sin

2

t cos tdt

0

 /2

1


1
 2a
 2a  sin 3 t   2a   0  
3
0
3
 3

Vậy khối lượng là

 

1 3
 2a 2a 
ka và trọng tâm là x, y   , 
2
 3 3 

02.03.1.040.A1074 :
Tính công thực hiện bởi trường lực F  x, y   x 2i  ye x j làm 1 hạt di chuyển dọc
theo đường parabol x = x2 + 1 từ (1, 0) đến (2, 1)
Lời giải
x  y2 1

Chọn y như một tham số, đường cong C được xác định bởi  y  y
0  y  1


Sau đó W  C F .dr
1



y

2

 1 , ye y
2

2

1

. 2 y,1 dy

0

1

2
2
   2 y  y 2  1  ye y 1  dy


0
1

3
1 2 

1
   y 2  1  e y 1 
2
3
0


8 1
1 1
  e2   e
3 2
3 2
1
1
7
 e2  e 
2
2
3

02.03.1.041.A1074 :
Tính công thực hiện bởi trường lực F  x, y, z   x  y 2 , y  z 2 , z  x 2
làm một hạt di chuyển dọc theo đoạn thẳng từ (0, 0, 1) đến (2, 1, 0)
Lời giải
r  t   2t , t ,1  t
0  t  1

Ta có 

Sau đó W  C F .dr

1

  2t  t 2 , t  1  t  ,1  t   2t  dt
2

2

0
1

   4t  2t 2  t  1  2t  t 2  1  t  4t 2  dt
0

1

   t 2  8t  2  dt
0
1

1

  t 3  4t 2  2t 
3
0
7

3

02.03.1.042.A1074 :
Lực tác dụng do 1 hạt điện tích tác dụng lên 1 hạt mang điện tại điểm  x, y, z 

với vecto r  x, y, z là F  r  

Kr
với K là hằng số. Tính công làm hạt di
| r |3

chuyển theo 1 đường thẳng từ (2,0,0) đến (2,1,5).
Lời giải
r  t   2i  tj  5tk
Vì thế
0  t  1

Ta có 


W   F .dr
C

1


0

K 2, t ,5t
3
2 2

 4  26t 
1

 K
0

. 0,1,5 dt

26t
3
2 2

 4  26t 

dt
1

1

2 2 
 K    4  26t  

0

1 
1
K 

30 
2

02.03.1.043.A1074 :
Tọa độ của 1 vật khối lượng m tại thời điểm t là

r  t   at 2i  bt 3 j ,0  t  1

a)Lực tác dụng lên vật ở thời điểm t là?
b)Công thực hiện của lực trong suốt khoảng thời gian

0  t 1

Lời giải
2
3
a) r  t   at i  bt j



v  t   r '  t   2ati  3bt 2 j

a  t   v '  t   2ai  6btj



Và lực tác dụng lên đối tượng với thời gian là
F  t   ma  t   2mai  6mbtj

b) W  C F .dr
1

   2mai  6mbtj  .  2ati  3bt 2 j  dt
0

1

   4ma 2t  18mb 2t 3  dt
0

1

9


  2ma 2t 2  mb 2t 4 
2

0
9
 2ma 2  mb 2
2


02.03.1.044.A1074 :
Một vật khối lượng m di chuyển với hàm tọa độ
r  t   a sin ti  b cos tj  ctk



0  t 

2

Lời giải

a) r  t   a sin ti  b cos tj  ctk 

v  t   r '  t   a cos ti  b sin tj  ck

a  t   v '  t   a sin ti  b cos tj



Và F  t   ma  t   amsin ti  bm cos tj
W   F .dr
C


2

    ma sin ti  mb cos tj  .  a cos ti  b sin tj  ck  dt
0



   ma 2 sin t cos t  mb 2 sin t cos t  dt
2

0



1
2 1
 m  b  a   sin 2 t   m  b 2  a 2 

2
0 2
2

2

02.03.1.051.A1089 : Tính tích phân đường bằng hai phương pháp
a) trực tiếp
b) sử dụng công thức Green

  x  y  dx   x  y  dy
C

Với C là đường trong có tâm tại gốc tọa độ và có bán kính bằng 2
Lời giải
 x  2 cos t

a) Đặt phương trình tham số của C  y  2sin t
0  t  2



2

  x  y  dx   x  y  dy    2cos t  2sin t  2sin t    2cos t  2sin t  2cos t  dt
C

0

2



  2cos

2

t  2sin 2 t  dt

0
2



 4dt  4t 

2

0

 8

0

b) C là một đường cong khép kín, nên theo công thức Green ta có

 x

C  x  y  dx   x  y  dy  D   x  y  



 x  y  dA
y


  1   1 dA  2 dA
D
D

 2 A( D)  2  2   8
2

02.03.1.052.A1089 : Tính tích phân đường bằng hai phương pháp
a) trực tiếp
b) sử dụng công thức Green



C

xydx  x 2 dy

Với C là hình chữ nhật với các đỉnh (0, 0), (3, 0), (3, 1), (0, 1)
Lời giải
a)

C1 : x  t



 dx  dt

y  0



dy  0dt

0  t  3




C

C2 : x  3



dx  0dt

y  t



dy  dt

0  t  1

C3 : x  3  t



 dx   dt

y 1



dy  0dt

0  t  3

C4 : x  0



dx  0dt

 y  1 t



 dy   dt

0  t  1



xydx  x 2 dy 

xydx  x 2 dy

C1  C2  C3  C4

3

1

3

1

0

0

0

0

  0dt   9dt    3  t  1 dt   0dt
3

1
1

 9t 0   t 2  3t 
2

0
9
9
 9 9 
2
2

b)






xydx  x 2 dy     x 2    xy  dA
C
D x
y



3 1

3

1

0 0

0

0

   2 x  x  dydx   xdx dy
3

9
1 
  x 2  .1 
2
 2 0

02.03.1.053.A1089 : Tính tích phân đường bằng hai phương pháp
a) trực tiếp
b) sử dụng công thức Green



C

xydx  x 2 y 3dy

Với C là tam giác với các đỉnh (0, 0), (1, 0), (1, 2)
Lời giải:
a)






C

C1 : x  t



 dx  dt

y  0



dy  0dt

0  t  1

C2 : x  1



dx  0dt

y  t



dy  dt

0  t  2

C3 : x  1  t



dx  dt

 y  2  2t



dy  2dt

0  t  1



xydx  x 2 y 3dy 

xydx  x 2 y 3dy

C1  C2  C3

1

2

1

2

3
  0dt   t dt     1  t  2  2t   2 1  t   2  2t   dt


3

0

0

0

2

1

8
3
6
1  2
 0   t 4    1  t   1  t  
3
 4 0  3
0
10 2
 4 
3 3

 2 3



x y    xy   dA

y
 x


2 3
b)   C xydx  x y dy  D 

1 2x

    2 xy 3  x  dydx
0 0
y 2 x

1

   xy 4  xy  dx
2
 y 0
0 
1

1

   8 x 5  2 x 2 dx
0



4 2 2
 
3 3 3


02.03.1.054.A1089 : Tính tích phân đường bằng hai phương pháp
a) trực tiếp
b) sử dụng công thức Green



C

x 2 y 2 dx  xydy

Với C được giới hạn bởi parabol y = x2 từ (0, 0) đến (1, 1) và đoạn thẳng từ (1,
1) đến (0, 1) và từ (0, 1) đến (0, 0)
Lời giải:
a)


02.03.1.011.A1122 : Sử dụng công thức Green tính  F .dr
C

F  x, y   y cos x  xy sin x, xy x cos x

Với C là tam giác từ (0,0) đến (0,4) đến

(2,0) đến (0,0).

Lời giải:
F  x, y   y cos x  xy sinx, xy xcosx và miền D được bao bởi C là

 x, y  | 0  x  2,0  y  4  2 x C theo chiều kim đồng hồ, nên –C cho chiều
dương.



C


 x

 y cos x  xysinx  dx   xy  x cos x  dy    D   xy  x cos x  
C

F .dr  

 



D

 y  x sin x  cos x  cos x  x sin x  dA   

2

0



42 x

0



 y cos x  xy sin x  dA
y


y 42 x

2 1

ydydx     y 2 
0 2

 y 0

dx   

2

0

1
2
 4  2 x  dx

2

2
2 
16

    8  8 x  2 x 2 dx   8 x  4 x 2  x 3  
0
3 0
3

2

02.03.1.012.A1122 : Sử dụng công thức Green tính  F .dr
C

F  x, y   e  x  y 2 , e  y  x 2





 







Với C gồm cung y  cos x từ   ,0  đến  ,0  và
2 
 2 
 



đoạn thẳng từ  ,0  đến   ,0  .
2 
 2 
Lời giải:
F  x, y   e x  y 2 , e  y  x 2 và miền D bao bởi C là





 x  ,0  y  cos x  C theo chiều kim đồng hồ nên –C cho chiều
 x, y  |
2
2



dương.



C

F .dr   

C

 

 /2



cos x

 /2 0

e

x




 y 2  dx   e y  x 2  dy      e  y  x 2    e  x  y 2  dA
D x
y


 /2

y  cos x

 2 x  2 y  dydx    /2 2 xy  y 2  y 0

dx