Bộ đề thi thử vào lớp 10 môn toán năm 2019 2020 phòng GDĐT Long Biên, Hà Nội

1/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

QUẬN LONG BIÊN

MÔN: TOÁN 9
Ngày kiểm tra: 9/5/2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức: A =

a −4
a +2 a

và B =

5 a
a −2

+

a −1
a +2

−

5a + 2
a −4

(ĐKXĐ: a > 0, a ≠ 4 )
1) Tính giá trị của biểu thức A khi a = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các số hữu tỉ a để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên.
Bài 2. (2,0 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm. Nhờ
tăng năng suất lao động tổ 1 đã làm vượt mức 10% và tổ 2 làm vượt mức
20% so với kế hoạch của mỗi tổ nên cả hai tổ làm được 910 sản phẩm.
Tính số sản phẩm thực tế của mỗi tổ đã làm được.
Bài 3. (2,0 điểm)

 7
4
−1
−
=

4
 x +7
y −6
1) Giải hệ phương trình sau: 

3
11
 5
+
=
 x +7
4
y −6

2) Cho parabol (P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2x − 3 + m 2 ( x là ẩn,
m là tham số)

a) Xác định m để đường thẳng d cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt

A và B .


/>

2/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

b) Gọi y1 và y2 lần lượt là tung độ của hai điểm A và B trên mặt phẳng
tọa độ Oxy . Tìm m sao cho y1 − y2 = 8 .
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) , tia phân
giác của BAC cắt BC tại D , cắt (O ) tại E , vẽ DK vuông góc với AB
tại K và DM vuông góc với AC tại M .

a) Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp.
b) Chứng minh: AD.AE = AB.AC .
c) Chứng minh: MK = AD.sin BAC .
d) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AKEM .
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn điều kiện a + b ≥ 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a + b +



1 2
+
2a b

/>

3/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức: A =

a −4
a +2 a

và B =

5 a
a −2

+

a −1
a +2

−

5a + 2
a −4

(ĐKXĐ: a > 0, a ≠ 4 )
1) Tính giá trị của biểu thức A khi a = 16 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm các số hữu tỉ a để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên.
Lời giải
1) Tính giá trị của biểu thức A khi a = 16 .
Thay a = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức A , ta được:
A=

a −4
a +2 a

A=

12
16 + 2.4

A=

12
16 + 8

A=

12 1
=
24 2

=

16 − 4
16 + 2 16



/>

4/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

2) Rút gọn biểu thức B .

B=

B=

5 a
a −2

5 a

(

+

a −1
a +2

a +2

a −4

)+(

−

5a + 2
a −4

a −1

)(

a −2

a −4

) − 5a + 2
a −4

B=

5a + 10 a a − 2 a − a + 2 5a + 2
+
−
a −4
a −4
a −4

B=

5a + 10 a a − 3 a + 2 5a + 2
+
−
a −4
a −4
a −4

B=

5a + 10 a + a − 3 a + 2 − 5a − 2
a −4

B=

a +7 a
a −4



/>

5/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

3) Tìm các số hữu tỉ a để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên.

(

)

a + 7 a (a − 4) a + 7 a
a +7 a
P = A.B =
⋅
=
=
a −4
a +2 a
a + 2 a (a − 4) a + 2 a
a −4

P =

(

a +2 a +5 a

=

a +2 a
5 a

P =1+
a

(

a +2

)

a +2 a
a +2 a

=1+

+

5 a
a +2 a

5

a +2

Vì a > 0 nên a > 0 ⇒ a + 2 > 2 ⇒
⇒1<1+

5
a +2

<1+

)

5
a +2

<

5
2

5
7
⇒1

2
2

Suy ra P có giá trị nguyên khi P = 2 hoặc P = 3 .
Với P = 2 ⇒ 1 +

5

a +2

=2⇒

5
a +2

=1⇒ a +2 = 5

⇒ a = 3 ⇒a = 9
Với P = 3 ⇒ 1 +
⇒ a=

5
a +2

=3⇒

5
a +2

=2⇒ a +2=

5
2

1
1
⇒a =
2

4

1 
Vậy a ∈  ;9  thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.
4 



/>

6/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài 2. (2,0 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm. Nhờ
tăng năng suất lao động tổ 1 đã làm vượt mức 10% và tổ 2 làm vượt mức
20% so với kế hoạch của mỗi tổ nên cả hai tổ làm được 910 sản phẩm.
Tính số sản phẩm thực tế của mỗi tổ đã làm được.
Lời giải
Gọi số sản phẩm tổ 1 làm theo kế hoạch là x ( x ∈ ℕ* , x < 800 )
Gọi số sản phẩm tổ 2 làm theo kế hoạch là y ( y ∈ ℕ * ,y < 800 )
Vì hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm nên ta có: x + y = 800 (1)
Khi đó: Số sản phẩm vượt mức của tổ 1 là: 10%x
Số sản phẩm vượt mức của tổ 2 là: 20%y
Theo đề bài, ta có phương trình: 110%x + 120%y = 910 (2)

x + y = 800

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 
110%x + 120%y = 910
x + y = 800
x + y = 800
11x + 11y = 8800
⇔
⇔
⇔
1,1x + 1,2y = 910
11x + 12y = 9100
11x + 12y = 9100
y = 300
y = 300
x = 500
⇔
⇔
⇔
x + y = 800
x + 300 = 800
y = 300
Trong thực tế, tổ 1 làm được số sản phẩm là:

110%.500 = 550 (sản phẩm)
Trong thực tế, tổ 2 làm được số sản phẩm là:

120%.300 = 360 (sản phẩm)



/>

7/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài 3. (2,0 điểm)

 7
4
−1
−
=

4
 x +7
y −6
1) Giải hệ phương trình sau: 
3
11
 5
+
=
 x +7
4
y −6

Lời giải
Điều kiện: x > −7;y > 6

 1
= a (a > 0)

 x +7
Đặt 
. Khi đó, ta có hệ phương trình:
1

= b (b > 0)
 y −6



1
a
−
b
=
−
7
4

4

5a + 3b = 11

4




41
1

3
41
a
=
a
=


21a − 12b = −
4
4
⇔
⇔
⇔
4


20a + 12b = 11
5a + 3b = 11
5a + 3b = 11


4

4





1
1
1
1
a
=
a
=
a
=
a
=




4
4
4
4 (thỏa điều kiện)
⇔
⇔
⇔
⇔
5 ⋅ 1 + 3b = 11
 5 + 3b = 11
3b = 3
b = 1

 4
 4

 2
4
4
2
Với a =

1
ta có:
4

Với b =

1
ta có:
2

1
x +7

1
y −6

=

1
⇒ x + 7 = 4 ⇒ x + 7 = 16 ⇔ x = 9
4

=

1
⇒ y − 6 = 2 ⇒ y − 6 = 4 ⇔ y = 10
2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x ;y ) = (9;10)



/>

8/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

2) Cho parabol (P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2x − 3 + m 2 ( x là ẩn,

m là tham số)
a) Xác định m để đường thẳng d cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt
A và B .

b) Gọi y1 và y2 lần lượt là tung độ của hai điểm A và B trên mặt phẳng
tọa độ Oxy . Tìm m sao cho y1 − y2 = 8 .
Lời giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P ) và d : 2x − 3 + m 2 = x 2

⇔ x 2 − 2x + 3 − m 2 = 0 (1)

∆ ' = (−1)2 − 1.(3 − m 2 ) = 1 − 3 + m 2 = m 2 − 2
d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt khi
m > 2
∆' > 0 ⇔ m2 − 2 > 0 ⇔ m2 > 2 ⇔ 
m < − 2

A(x 1 ;y1 ) ∈ d
y1 = 2x 1 − 3 + m 2
⇔
b) 
2
B(x 2 ;y 2 ) ∈ d
y 2 = 2x 2 − 3 + m
⇒ y1 − y 2 = 2x 1 − 2x 2 = 2(x 1 − x 2 ) = 8 ⇒ x 1 − x 2 = 4
x + x 2 = 2
Áp dụng hệ thức Viet-te với phương trình (1), ta có:  1
2
x 1x 2 = −m + 3
x 1 + x 2 = 2
2x 1 = 6
x 1 = 3
⇔
⇔



x 1 − x 2 = 4
x 1 + x 2 = 2
x 2 = −1
Với x 1 = 3; x 2 = −1 và x 1x 2 = −m 2 + 3 , ta có: 3.(−1) = −m 2 + 3

⇔ −3 = −m 2 + 3 ⇔ m 2 = 6

⇔ m = 6 hoặc m = − 6



/>

9/1
5 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) , tia phân
giác của BAC cắt BC tại D , cắt (O ) tại E , vẽ DK vuông góc với AB
tại K và DM vuông góc với AC tại M .
a) Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp.
b) Chứng minh: AD.AE = AB.AC .
c) Chứng minh: MK = AD.sin BAC .
d) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AKEM .
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp.
A

O

M

K

B

C

D

E

Xét tứ giác AKDM có:

AKD = 900 (vì DK ⊥ AB tại K )
AMD = 900 (vì DM ⊥ AC tại M )
⇒ AKD + AMD = 900 + 900 = 1800
Mà AKD;AMD là hai góc đối nhau.
Do đó: Tứ giác AKDM nội tiếp.



/>

10/
15 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

b) Chứng minh: AD.AE = AB.AC .
A

O

M

K
B

C

D

E

Xét ∆ABD và ∆AEC có:
BAD = EAC (gt )

ABD = AEC (Hai góc nội tiếp cùng chắn AC )
Do đó: ∆ABD ∆AEC (g .g )
⇒

AB AD
=
AE AC

⇒ AD.AE = AB.AC



/>

11/
15 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

c) Chứng minh: MK = AD.sin BAC .
A

F

O

M

K
B

C

D

E

Kẻ KF ⊥ AC tại F .
Xét ∆AKD và ∆KFM có:

AKD = KFM = 900
ADK = FMK (Hai góc nội tiếp cùng chắn AK )
Do đó: ∆AKD ∆KFM (g .g )
⇒

AK AD

=
KF KM

⇒ KM =

KF .AD
= AD .sin BAC
AK



/>

12/
15 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

d) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AKEM .
A

F
H
O

M

K
B

C

D

E

Kẻ BH ⊥ AC tại H .
Ta có: S ABC =

AC .BH
⇒ 2S ABC = AC .BH
2

Mà BH = AB.sin BAC ⇒ 2S ABC = AC .AB .sin BAC (1)
Xét ∆AKD và ∆AMD có:

AKD = AMD = 900
KAD = MAD (gt )

AD là cạnh chung
Do đó: ∆AKD = ∆AMD (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AK = AM (Hai cạnh tương ứng)
⇒ ∆AKM cân tại A
Mà AD là đường phân giác của ∆AKM

⇒ AD cũng là đường cao của ∆AKM
⇒ AD ⊥ KM hay AE ⊥ KM

/>

13/
15 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

A

F
H
O

M

K
B

C

D

E

S AKEM =

AE .KM
⇒ 2S AKEM = AE .KM
2

⇒ 2S AKEM = AE .AD.sin BAC (vì MK = AD.sin BAC )
⇒ 2S AKEM = AB .AC .sin BAC (vì AD.AE = AB.AC ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác
AKEM là 1.



/>

14/
15 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài 5. (0,5 điểm)
Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn điều kiện a + b ≥ 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a + b +

1 2
+
2a b

Lời giải
M = a +b +

1 2 a a b b
1 2
+ = + + + +
+

2a b 2 2 2 2 2a b

a
1  b 2  a b
M = +
+ + + +
 2 2a   2 b  2 2
a
1  b 2  a +b
M = + + + +
2
 2 2a   2 b 
a 1 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương  ;  ,
 2 2a 

b 2 
 ; 
2 b 

a
1
a 1
1
+
≥2
⋅
=2
= 1;
2 2a

2 2a
4
b 2
b 2
+ ≥2
⋅ =2
2 b
2 b

Và a + b ≥ 3 ⇒

a +b 3
≥
2
2

a
1  b 2  a +b
3
⇒M = + + + +
≥ 1+2+
2
2
 2 2a   2 b 
a
1  b 2  a +b 9
Suy ra: M =  +  +  +  +
≥ với mọi a,b thỏa điều kiện
2
2

a
2
b
2
2

 

đề bài.
Vậy MinM =

9
khi a = 1;b = 2
2



/>

15/
15 GV: Nguyễn Hữu Phúc



0888.014.879

/>