Đại số Lie nửa đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ HIỀN

ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN
KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn
là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng
và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu
nào khác.
Trần Thị Hiền


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn PGS. TS Trần Đạo Dõng đã tận tình hướng dẫn tôi trong
suốt quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
giáo đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập của khóa học.
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp ĐSK31 đã
nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn
ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi suốt thời gian học tập vừa
qua.
Trần Thị Hiền


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Nghiên cứu cấu trúc và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn là một
trong các bài toán quan trọng và mang tính thời sự trong lý thuyết Lie
và lý thuyết biểu diễn. Nhiều nhà toán học đã quan tâm lĩnh vực này
và tập trung giải quyết trọn vẹn cho nhiều lớp đại số Lie cụ thể. Với
mong muốn tìm hiểu thêm về đại số Lie nửa đơn cùng với sự gợi ý của
PGS.TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài "Đại số Lie nửa đơn và biểu
diễn khả quy đầy đủ" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình.
Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu và trình bày lại một cách hệ
thống, chứng minh chi tiết các kết quả về biểu diễn của đại số Lie nửa
đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1 dành để trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về đại số
Lie, đại số Lie lũy linh, định lý Engle, đại số Lie giải được và định lý Lie
sẽ sử dụng trong chương sau. Trong chương 2 chúng tôi trình bày về đại
số Lie nửa đơn, đại số Lie nửa đơn cổ điển, tiêu chuẩn Cartan, đại số Lie
quy, từ đó xét tính khả quy đầy đủ của đại số Lie nửa đơn thông qua
định lý Weyl và ứng dụng để khảo sát phân tích Levi của đại số Lie.
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các đại số Lie nửa đơn trong mối liên hệ với đại số Lie
quy và cấu trúc của đại số Lie. Đồng thời khảo sát tính khả quy đầy đủ
của biểu diễn và thể hiện cho các lớp đại số Lie nửa đơn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là:
- Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie quy.
- Biểu diễn khả quy đầy đủ của đại số Lie.
4. Phạm vi nghiên cứu

1


Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm,
định nghĩa, định lý liên quan đến cấu trúc của đại số Lie nửa đơn và
biểu diễn khả quy đầy đủ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu
kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.
Tham khảo và trao đổi với giáo viên hướng dẫn. Tham khảo một số bài
báo đã đăng trên các tạp chí khoa học.
6. Đóng góp của đề tài
Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về đại
số Lie nửa đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ. Góp phần làm rõ vai trò
của đại số Lie nửa đơn và mối liên hệ với tính khả quy đầy đủ của biểu
diễn.

2


Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất
cơ bản về đại số Lie và biểu diễn, các khái niệm liên quan như đại số Lie
lũy linh, đại số Lie giải được, và định lý Lie. Các nội dung của chương
được tham khảo từ tài liệu [2] và [3].

1.1

Đại số Lie
Cố định một trường F.

Định nghĩa 1.1.1.
Cho L là không gian véctơ trên trường F và xét
[, ] : L × L −→ L
(x, y) −→ [x, y]
là một phép toán trên L.
Khi đó, (L, [, ]) được gọi là một đại số Lie trên trường F nếu phép
toán [, ] thỏa mãn
a) [, ] là song tuyến tính; tức là, ∀x, y, z ∈ L, ∀λ, β ∈ F ta có:
[λx + βy, z] = λ[x, y] + β[y, z] và
[x, λy + βz] = λ[x, y] + β[x, z].
b) [, ] là phản xạ; tức là [x, x] = 0, ∀x ∈ L.
c) [, ] thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi;
tức là [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[x, z], y] = 0, ∀x, y, z ∈ L.
Số chiều dimF (L) của không gian véctơ L được định nghĩa là số
chiều của đại số Lie L và [, ] được gọi là tích Lie. Đại số Lie L được gọi
là đại số Lie giao hoán nếu [x, y] = 0, với mọi x, y ∈ L.
3

Nhận xét 1.1.1. Từ điều kiện (b) ta suy ra điều kiện
(b’) : [x, y] = −[y, x]. Và khi CharF = 2 thì (b) và (b’) tương đương.
Với K là không gian véctơ con của L, khi đó, K được gọi là đại số Lie
con của L nếu K đóng với tích Lie, tức là : ∀x, y ∈ L : [x, y] ∈ K. Với
mọi phần tử x ∈ L, x = 0, ta luôn có K = Fx là đại số Lie con một
chiều của L với tích Lie tầm thường : [y, y ] = 0, ∀y, y ∈ K. Từ lúc này,
nếu ta nói K là một đại số con của đại số Lie L thì hiểu K là một đại
số Lie con của đại số Lie L.
Nhận xét 1.1.2. dimsl(n) = n2 − 1.
Một cơ sở của sl(n) là {eij }i=j ∪ {hj }n−1
i=1 với hi = eii − ei+1,i+1 .
a b
Với n = 2 ta có sl(n) =
c −a |a, b, c ∈ F có cơ sở là :
0 1
0 0
1 0
x = 0 0 , y = 1 0 , z = 0 −1 .
Với các tích Lie : [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian véctơ con I của đại số Lie L được gọi
là một iđêan của L nếu [x, y] ∈ L, ∀x ∈ L, y ∈ I.
Định nghĩa 1.1.3.
Với L, L là hai đại số Lie trên trường F , một ánh xạ tuyến tính φ :
L −→ L được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu: φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)], ∀x, y ∈
L. Đồng cấu φ được gọi là đơn cấu nếu Kerφ = 0, toàn cấu nếu
Imφ = L , đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.
Nhận xét 1.1.3. Với φ : L −→ L là một đồng cấu thì Kerφ là một
iđêan của L còn Imφ là một đại số con của L . Thật vậy, với x ∈
Kerφ, y ∈ L, ta có [y, x] ∈ Kerφ vì φ([y, x]) = [φ(y), φ(x)] = 0. Và với
φ(x), φ(y) ∈ Imφ thì [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) ∈ Imφ.

Mệnh đề 1.1.4.
(1) Nếu φ : L −→ L là một đồng cấu đại số Lie, khi đó L/Kerφ ∼
=
Imφ. Nếu I là một iđêan của L nằm trong Kerφ, khi đó tồn tại duy

4


nhất một đồng cấu ψ : L/I −→ L sao cho biểu đồ sau giao hoán:
L

φ
/

LO
ψ

π

L/I
với π : L −→ L/I là phép chiếu chính tắc.
(2) Nếu I ⊂ J là những iđêan của L thì J/I là một iđêan của L/I và
(L/I)/(J/I) đẳng cấu tự nhiên với L/J.
(3) Nếu I, J là những iđêan của L thì tồn tại một đẳng cấu giữa (I +J)/J
và I/(I ∩ J).
Định nghĩa 1.1.5.
Cho L là một đại số Lie và V là một không gian véctơ. Một biểu
diễn của đại số Lie L trong V là một đồng cấu đại số Lie φ : L −→ gl(V ).
Bổ đề 1.1.6. Nếu x ∈ [L, L] và φ : L −→ gl(n) là một biểu diễn thì
T rφ(x) = 0.

Chứng minh. Do x ∈ [L, L] nên ta có thể biểu diễn x = [ai , bi ], với
ai , bi ∈ L. Từ T r([φ(ai ), φ(bi )]) = T r(φ(ai ).φ(bi ) − φ(bi ).φ(ai )) = 0, ta
có: T r(φ(x)) = T r(φ( [ai , bi ])) = T r([φ(ai ), φ(bi )]) = 0.

1.2

Đại số Lie Lũy linh và Định lý Engel
Xét dãy các iđêan của đại số Lie L (chuỗi giảm các iđêan):
L0 = L, L1 = [L, L], ..., Li = [L, Li−1 ], ....

Định nghĩa 1.2.1. L được gọi là lũy linh nếu tồn tại n sao cho: Ln = 0.
Rõ ràng các đại số giao hoán là lũy linh.
Mệnh đề 1.2.2. Cho L là một đại số Lie. Khi đó:
(1) Nếu L là lũy linh thì các đại số con và ảnh đồng cấu của L cũng lũy
linh.
(2) Nếu L/Z(L) là lũy linh thì L cũng là lũy linh.
(3) Nếu L là lũy linh và khác 0 thì Z(L) = 0.
5


Định nghĩa 1.2.3. Một phần tử x ∈ L được gọi là ad-lũy linh nếu ad
x là tự đồng cấu lũy linh, tức là tồn tại n sao cho: (adx)n = 0.
Bổ đề 1.2.4. Nếu x ∈ gl(V ) là một tự đồng cấu tuyến tính lũy linh của
V thì x là ad-lũy linh.
Bổ đề 1.2.5. Nếu L là lũy linh thì mọi phần tử của L là ad-lũy linh.
Chứng minh. Từ L là lũy linh, ta có: Ln = 0 nên với mọi x0 , x1 , ..., xn ∈
L:
[xn , [...[x2 , [x1 , x0 ]]...]] = (adxn )(adxn−1 )...(adx1 )(x0 ) = 0.
Đặc biệt khi cho x1 = x2 = ... = xn = x ∈ L ta được (adx)n (x0 ) =
0, ∀x0 ∈ L nên (adx)n = 0 hay x là ad-lũy linh.

Định lí 1.2.6. Cho L là một đại số Lie con của gl(V ), trong đó V là
một không gian véctơ hữu hạn chiều khác 0 trên F. Nếu L bao gồm các tự
đồng cấu lũy linh thì tồn tại véctơ khác không v ∈ V thỏa mãn: Lv = 0,
ở đây Lv = {xv|x ∈ L}.
Định lí 1.2.7. (Định lý Engel) Cho L là một đại số Lie hữu hạn chiều.
Nếu mọi phần tử của L là ad-lũy linh thì L lũy linh.
Hệ quả 1.2.8. Với L là một đại số con của gl(V ), ở đó V là một không
gian véctơ hữu hạn chiều khác không trên F . Nếu L gồm các tự đồng
cấu lũy linh thì tồn tại một flag (Vi ) của V ổn định dưới tác động của
L, với xVi ⊂ Vi−1 , ∀i, ∀x ∈ L. Nói cách khác, tồn tại một cơ sở của V
phụ thuộc vào L là một đại số con của πn, với n = dimV .
Bổ đề 1.2.9. Với L lũy linh và K là một iđêan của L, nếu K = 0 thì
K ∩ Z(L) = 0.

1.3

Đại số Lie giải được và Định lý Lie

Ta xét dãy các iđêan của L như sau:
L(0) = L, L(1) = [L, L], L(2) = [L(1) , L(1) ], ..., L(i) = [L(i−1) , L(i−1) ], ...

6


Định nghĩa 1.3.1. Đại số Lie L được gọi là giải được nếu tồn tại n sao
cho: L(n) = 0.
Mệnh đề 1.3.2. Với L là một đại số Lie, khi đó:
(1) Nếu L là giải được thì các đại số con và ảnh đồng cấu của L cũng
là các đại số Lie giải được.
(2) Nếu I là iđêan giải được của L sao cho L/I là giải được, thì L cũng

giải được.
(3) Nếu I, J là những iđêan giải được của L thì I + J cũng là iđêan giải
được.
Hệ quả 1.3.3. Đại số Lie L là giải được (lũy linh) khi và chỉ khi ad L
là giải được (lũy linh).
Ví dụ 1.3.1. Đại số Lie đơn là nửa đơn vì đại số Lie đơn có đúng hai
iđêan là 0 và chính nó, hơn nữa đại số Lie đơn là không giải được.
Với đại số Lie L bất kỳ thì L/Rad(L) là nửa đơn.
Một đại số Lie nửa đơn có tâm tầm thường, nên biểu diễn phụ hợp
của đại số Lie nửa đơn là trung thành.
Định lí 1.3.4. Xét F là trường đóng đại số có đặc số 0, L là đại số
con giải được của gl(V ), với V là không gian véctơ khác không, hữu hạn
chiều. Khi đó V chứa một véctơ riêng chung cho tất cả các tự đồng cấu
trong L.
Hệ quả 1.3.5. (Định lý Lie) Với L là một đại số Lie con giải được của
gl(V ), dimV = n < ∞. Khi đó tồn tại một flag của V ổn định dưới tác
động của L(nói một cách khác, ma trận của các tự đồng cấu của L với
cơ sở của V tương ứng là tam giác trên).
Hệ quả 1.3.6. Với L là đại số Lie hữu hạn chiều giải được. Khi đó tồn
tại một xích các iđêan của L thỏa mãn:
0 = L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ ... ⊂ Ln = L,
ở đó dimLi = i.
Hệ quả 1.3.7. Nếu L là một đại số Lie hữu hạn chiều giải được thì
[L, L] là lũy linh.
7


Chương 2
ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN
KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ

Trong chương này chúng tôi trình bày về đại số Lie đơn và nửa đơn,
đại số Lie quy, biểu diễn khả quy đầy đủ và ứng dụng để khảo sát phân
tích Levi của đại số Lie. Các kiến thức trình bày trong chương được tham
khảo từ các tài liệu [2] và [5].

2.1

Đại số Lie nửa đơn và tiêu chuẩn Cartan

Định nghĩa 2.1.1. Cho L là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường
F.
a) L được gọi là đơn nếu L không giao hoán và không tồn tại một iđêan
khác không thực sự trong L.
b) L được gọi là nửa đơn nếu L không có iđêan giải được khác không
nào, tức là rad(L) = 0.
Nhận xét 2.1.1. Từ định nghĩa, ta suy ra :
i) Nếu L là đại số Lie đơn thì L = [L, L]. Do đó L không giải được.
ii) Nếu L là đại số Lie đơn thì L là đại số Lie nửa đơn. Điều ngược lại
nói chung không đúng.
iii) Mỗi iđêan là một đại số Lie nên ta có khái niệm iđêan đơn.
Mệnh đề 2.1.2. Mỗi đại số Lie 3 chiều hoặc là đơn hoặc là giải được.
Mệnh đề 2.1.3. Cho L là đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó, ta có :
a) L/rad(L) là nửa đơn.
b) Nếu L là đại số Lie nửa đơn thì L có tâm tầm thường và biểu diễn
liên hợp của L là đơn ánh.

8


Ta xét V là một không gian véctơ hữu han chiều trên trường F, với

F là một trường đóng đại số có đặc số tùy ý.
Định nghĩa 2.1.4. Phần tử x ∈ End(V ) được gọi là nửa đơn nếu các
nghiệm của đa thức tối tiểu của x trên trường F là phân biệt.
Mệnh đề 2.1.5. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F
và x ∈ End(V ). Khi đó:
(1) Tồn tại duy nhất xs , xn ∈ End(V ) thỏa mãn các điều kiện:
x = xs + xn , xs là nửa đơn, xn là lũy linh, xs , xn giao hoán.
(2) Tồn tại các đa thức một biến p(T ), q(T ) với hệ số tự do bằng 0,
sao cho xs = p(x), xn = q(x). Đặc biệt, xs và xn giao hoán với mọi đồng
cấu giao hoán với x.
(3) Nếu A ∈ B ∈ V là các không gian con, và x(B) ⊂ A, thì
xs (B) ⊂ A và xn (B) ⊂ A.
Phân tích x = xs + xn như trên được gọi là phân tích JordanChevalley của x; xs và xn được gọi là phần nửa đơn và phần lũy linh của
x.
Mệnh đề 2.1.6. Với x ∈ EndV (V là không gian véctơ hữu hạn chiều)
có phân tích Jordan là x = xs + xn , khi đó adx = adxs + adxn là phân
tích Jordan của ad x trong End(EndV ).
Mệnh đề 2.1.7. Cho A ⊂ B là hai không gian con của gl(V ), V hữu hạn
chiều. Đặt M = x ∈ gl(V )|[x, B] ⊂ A. Giả sử x ∈ M sao cho T r(xy) =
0, ∀y ∈ M . Khi đó x lũy linh.
Định lí 2.1.8. (Tiêu chuẩn Cartan cho tính giải được) Cho L là một
đại số con của gl(V ), ở đó V hữu hạn chiều. Khi đó L giải được khi và
chỉ khi T r(xy) = 0, ∀x ∈ [LL], y ∈ L.
Hệ quả 2.1.9. Đại số Lie L là giải được khi và chỉ khi T r(adx.ady) =
0, ∀x ∈ [LL], y ∈ L.
Chứng minh. Áp dụng định lý 1.5.2 cho biểu diễn phụ hợp của L được
ad L là giải được. Từ Ker ad = Z(L) là giải được nên theo Mệnh đề
1.4.2, L cũng giải được.
9

Định nghĩa 2.1.10. Cho L là một đại số Lie bất kỳ. Một dạng Killing
trên L là một ánh xạ κ : L × L −→ F; (x, y) −→ κ(x, y) = T r(adx.ady).
Nhận xét 2.1.2. κ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên L. Do
với A, B, C ∈ gl(n), ta có: T r([AB]C) = T r(ABC) − T r(BAC) =
T r(ABC) − T r(ACB) = T r(A[BC]), nên κ([xy], z) = κ(x, [yz]). Vậy
κ có tính kết hợp.
Bổ đề 2.1.11. Cho I là một iđêan của L. Nếu κ : L × L −→ F là dạng
Killing của L và κI : I × I −→ F là dạng Killing của I thì: κI = κ|I×I .
Định nghĩa 2.1.12. Một dạng song tuyến tính đối xứng B(x, y) được
gọi là không suy biến nếu Radical của nó bằng 0. Ở đây Radical của B,
ký hiệu Rad B, xác định như sau: RadB = {x ∈ L|B(x, y) = 0, ∀y ∈ L}.
Nhận xét 2.1.3. Rad B là một iđêan của L. Cố định một cơ sở x1 , x2 , ..., xn
của L thì κ không suy biến khi và chỉ khi ma trận tương ứng của κ là
ma trận có phần tử ở dòng thứ i, cột thứ j bằng κ(xi , xj ) có định thức
khác 0.
Trong sl(2, F) với cơ sở chuẩn tắc, như tính toán ở ví dụ 2.3.2, ma
trận xác định κ là: có định thức là −128 nên κ là không suy biến nếu
charF = 2.
Định lí 2.1.13. (Tiêu chuẩn Cartan cho tính nửa đơn) Cho L là một
đại số Lie. Khi đó, L là nửa đơn khi và chỉ khi dạng Killing tương ứng
không suy biến.
Bổ đề 2.1.14. Giả sử L = L1 ⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Lt , ở đó các iđêan Li là các
đại số Lie đơn. Thế thì mọi iđêan đơn của L sẽ trùng với một trong các
Li và L = [L, L]. Đại số Lie L là nửa đơn.
Định lí 2.1.15. Với L là một đại số Lie nửa đơn, tồn tại các iđêan đơn
L1 , L2 , ..., Lt của L sao cho: L = L1 ⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Lt .
Hệ quả 2.1.16. Nếu L là nửa đơn thì L = [L, L] và mọi iđêan và ảnh
đồng cấu của L cũng là nửa đơn. Hơn nữa mỗi iđêan là tổng các iđêan
đơn của L.

10


2.2

Biểu diễn khả quy đầy đủ

Cho L là một đại số Lie. Để thuận tiện, thay vì sử dụng ngôn ngữ
các biểu diễn, ta sử dụng một ngôn ngữ tương đương, là ngôn ngữ các
môđun.
Định nghĩa 2.2.1. Cho L là một đại số Lie. Không gian véctơ V cùng
với một phép toán L × V → V , ký hiệu : (x, v) → x.v hay xv được gọi
là L−môđun nếu các điều kiện sau được thỏa mãn : ∀x, y ∈ L; v, w ∈
V ; a, b ∈ F
a) (ax + by).v = a(x.v) + b(y.v).
b) x.(av + bw) = a(x.v) + b(x.w).
c) [x, y].v = x.(y.v) − y.(x.v).
Nhận xét 2.2.1. Nếu φ : L → gl(V ) là một biểu diễn của L thì V là
một L-môđun với phép toán : x.v = φ(x)v. Ngược lại, nếu V là một
L-môđun thì φ(x)v = x.v xác định một biểu diễn.
Định nghĩa 2.2.2. Nếu W ⊂ V là một L-môđun thì ta gọi W là một
L-môđun con của V.
Nhận xét 2.2.2.
a) Để kiểm tra W ⊂ V có phải là một L- môđun con của V hay
không, ta chỉ cần kiểm tra Lw ⊂ W, ∀w ∈ W hay không.
b) Khi W là một L- môđun con của V thì không gian véctơ thương
V /W cùng với tác động của L : x.(v + W ) = xv + W là một L- môđun,
gọi là L- môđun thương. Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra phép toán
L × V /W → V /W, x.(v + W ) → x.v + W được định nghĩa tốt. Điều này
đúng do nếu v − v ∈ W thì x.(v − v ) ∈ W , vì W là một L- môđun.

Định nghĩa 2.2.3. Một đồng cấu giữa các L - môđun V và W là một
ánh xạ tuyến tính φ : V → W thỏa mãn : φ(x.v) = x.φ(v), ∀x ∈ F, v ∈ V.
Định nghĩa 2.2.4. L-môđun V được gọi là bất khả quy nếu nó có đúng
2 L-môđun con (là 0 và chính nó). Tổng trực tiếp giữa các L-môđun
11


V1 , V2 , ..., Vt là tổng trực tiếp giữa các không gian véctơ V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vt
cùng với tác động của L : x.(v1 , v2 , ..., vt ) = (x.v1 , x.v2 , ..., x.vt ). Một Lmôđun V được gọi là khả quy hoàn toàn (hay khả quy đầy đủ) nếu V là
tổng trực tiếp của các L -môđun con bất khả quy.
Bổ đề 2.2.5. Trong trường hợp V hữu hạn chiều, V là khả quy đầy đủ
nếu và chỉ nếu mọi L-môđun con W của V đều có phần bù, tức là tồn
tại L-môđun con W sao cho : V = W ⊕ W .
Bổ đề 2.2.6. (Bổ đề Schur): Cho φ : L → gl(V ) là một biểu diễn bất
khả quy. Khi đó, chỉ duy nhất các tự đồng cấu của V giao hoán với tất
cả φ(x) với mọi x ∈ L là các vô hướng.
Định nghĩa 2.2.7.
(1) L− môđun V được gọi là trung thành nếu φ : L → gl(V ) đơn
cấu (tức Kerφ = 0).
(2) Cố định một cơ sở x1 , x2 , ..., xn của L thì cφ = cφ (β) được
gọi là phần tử Casimir của φ với T r(cφ ) =
i T r(φ(xi ), φ(yi )) =
i β(xi , yi ) = dimL. Khi φ là biểu diễn bất khả quy, theo Bổ đề Schur,
cφ là vô hướng (= dimL/dimV ) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
Nhận xét 2.2.3. Nếu L là nửa đơn nhưng φ không là biểu diễn trung
thành thì ta luôn có L = Kerφ ⊕ L . Khi đó hạn chế của φ lên L là
biểu diễn trung thành và phần tử Casimir của φ được xác định bằng
phần tử Casimir của hạn chế này, hơn nữa, nó cũng giao hoán với φ(L)
vì φ(L) = φ(L ).

2.3

Định lý Weyl cho đại số Lie nửa đơn

Bổ đề 2.3.1. Cho φ : L → gl(V ) là một biểu diễn của đại số Lie nửa
đơn L. Khi đó, φ(L) ⊂ sl(V ). Đặc biệt L tác động tầm thường lên mọi
L-môđun con một chiều.
Định lí 2.3.2. (Định lý Weyl) Cho φ : L → gl(V ) là một biểu diễn hữu
hạn chiều của đại số Lie nửa đơn L. Khi đó L-môđun V là khả quy đầy
đủ.
12


2.4

Biểu diễn của đại số Lie sl(2, F)
Trong phần này, ta xét L = sl(2, F) =

a b
c −a |a, b, c ∈ F

với

cơ sở chuẩn tắc :
0 1
0 0
1 0
x = 0 0 , y = 0 1 , h = 0 −1 .
Ta có : [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h. Theo Ví dụ 2.1.5 : L = sl(2, F)
là đại số Lie đơn. Với V là một L-môđun, theo Định lý Weyl ta có :

V = ⊕λ∈F Vλ , ở đó Vλ = {v ∈ V |h.v = λv}. Khi Vλ = 0, ta gọi λ là một
trọng của h trên V và gọi Vλ là không gian trọng.
Bổ đề 2.4.1. Nếu v ∈ Vλ thì x.v ∈ Vλ+2 và y.v ∈ Vλ−2 .
Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng véctơ cực đại để phân lớp các biểu
diễn bất khả quy của sl(2, F). Trước hết, ta xét các bổ đề sau :
Bổ đề 2.4.2. V là một L-môđun bất khả quy. Gọi v0 ∈ Vλ là một véctơ
i
cực đại. Đặt v−1 = 0, vi = yi! .v0 (i ≥ 0). Khi đó :
a) h.vi = (λ − 2i)vi ,
b) y.vi = (i + 1)vi+1 ,
c) x.vi = i(λ − i + 1)vi−1
(i ≥ 0).
Hệ quả 2.4.3. Ta có : λ = m = dimV − 1
Theo phần (3) của bổ đề 2.4.2, ta có 0 = x.vm+1 = (m + 1)(λ + 1 − (m +
1))vm , nên λ = m = dimV − 1.
Nhận xét 2.4.1. Kết quả trên đây cho thấy, các biểu diễn bất khả quy
của sl(2, F) có thể được mô tả qua các trọng dưới đây và không gian
trọng tương ứng của chúng.
Định lí 2.4.4. Cho L-môđun bất khả quy hữu hạn chiều với các véctơ
vi được xác định như trong mệnh đề 2.4.2 và m + 1 = dimV . Khi đó, ta
có :
(1) Tương ứng với h, V là tổng trực tiếp các không gian trọng Vµ , µ =
13


m, m − 2, ..., −(m − 2), −m, ở đó m + 1 = dimV và dimVµ = 1 với mọi
µ.
(2) V có duy nhất một véctơ cực đại (sai khác một vô hướng khác không)
có trọng là m (gọi là trọng cao nhất của V ).
(3) Tác động của L lên V được xác định tường minh từ các công thức

trong bổ đề 2.4.2. Đặc biệt, tồn tại nhiều nhất một L-môđun bất khả quy,
sai khác một đẳng cấu của mỗi chiều m + 1, m ≥ 1.
Hệ quả 2.4.5. Cho V là một L-môđun hữu hạn chiều, với L = sl(2, F).
Khi đó các trị riêng của h trên V là các số nguyên và mỗi trị riêng xuất
hiện cùng số đối của nó với cùng số lần. Hơn nữa, mọi phân tích của V
thành tổng trực tiếp các môđun con bất khả quy có số lượng các hạng tử
là dimV0 + dimV1 .

2.5

Đại số Lie quy và đại số Lie nửa đơn cổ điển

Định nghĩa 2.5.1. Đại số Lie L được gọi là đại số Lie quy (đại số
Lie reductive) nếu với mỗi iđêan a của L tồn tại iđêan b của L sao cho
L=a⊕b
Nhận xét 2.5.1.
a) Đại số Lie quy L xét như một L-môđun (đối với biểu diễn liên
hợp ad) là khả quy đầy đủ.
b) Mỗi đại số Lie nửa đơn là đại số Lie quy nhưng đảo lại nói chung
không đúng.
Định lí 2.5.2. Mỗi đại số Lie quy L có dạng phân tích L = [L, L]⊕Z(L)
Hệ quả 2.5.3. Mỗi đại số Lie quy L là nửa đơn nếu và chỉ nếu tâm của
L bằng 0.
Nhận xét 2.5.2. Dựa vào mối liên hệ giữa đại số Lie quy và đại số Lie
nửa đơn ta có thể xác định được cấu trúc nửa đơn của các lớp đại số Lie
thực gồm các ma trận trên trường số thực R, trường phức C và trường
quaternion H, với H là một đại số trên R có cơ sở {1, i, j, k} sao cho
14

i2 = j 2 = k 2 = −1 và ij = k, jk = i, ik = −j. Lớp các đại số này thường
được gọi là đại số Lie nửa đơn cổ điển.
Định lí 2.5.4. Cho L là đại số Lie thực gồm các ma trận trên R, C
hoặc H. Giả sử L ổn định qua các phép toán lấy liên hợp chuyển vị các
ma trận, tức là x∗ = t (xij )n ∈ L, với mọi x = (xij )n ∈ L. Khi đó L là
đại số Lie quy.
Mệnh đề 2.5.5. Xét các đại số Lie sau :
u(n) = {x ∈ gl(n, C)|x + x∗ = 0}.
su(n) = {x ∈ gl(n, C)|x + x∗ = 0, T rx = 0}.
so(n) = {x ∈ gl(n, R)|x + x∗ = 0}
sp(n) = {x ∈ gl(n, H)|x + x∗ = 0}
Khi đó ta có :
a) u(n) không là nửa đơn với n ≥ 1 và su(n) là nửa đơn với n ≥ 2.
b) so(n) là nửa đơn với n ≥ 3 và sp(n) là nửa đơn với n ≥ 1.
Tiếp theo là các đại số Lie nửa đơn phức với tâm bằng không. Chú
ý rằng đối với một đại số Lie phức L và LR là dạng thực tương ứng,
tức là đại số Lie thực thỏa điều kiện L = LR + iLR , áp dụng tiêu chuẩn
Cartan cho tính nửa đơn ta có L là nửa đơn trên C nếu và chỉ nếu LR là
nửa đơn trên R. Từ tính chất này và áp dụng mệnh đề trên ta thu được
kết quả sau.
Mệnh đề 2.5.6. Các đại số Lie phức sau là nửa đơn :
sl(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|x + xt = 0}
với n ≥ 2;
so(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|T rx = 0}
với n ≥ 3;
sp(n, C) = {x ∈ gl(2n, C)|xt J + Jx = 0}
với n ≥ 1;
0 I
Trong đó J = Jn,n là những ma trận vuông cấp 2n, với J = −I 0 .
Bây giờ chúng ta xét các đại số Lie nửa đơn thực khác với các đại

số Lie nửa dơn thể hiện trong hai mệnh đề trên.
Mệnh đề 2.5.7. Các đại số Lie dưới đây, xét như đại số Lie thực, là
nửa đơn :
15


sl(n, R) = {x ∈ gl(n, R)|T rx = 0}

với n ≥ 2;
sl(n, H) = {x ∈ gl(n, H)|ReT rx = 0}
với n ≥ 1;
so(m, n) = {x ∈ gl(m + n, 2R)|x∗ Im,n + Im,n x = 0}
với m + n ≥ 3;
su(m, n) = {x ∈ sl(m + n, C)|x∗ Im,n + Im,n x = 0}
với m + n ≥ 2;
sp(m, n) = {x ∈ gl(m + n, H)|x∗ Im,n + Im,n x = 0}
với m + n ≥ 1;
sp(n, R) = {x ∈ gl(2n, R)|xt Jn,n + Jn,n x = 0}
với n ≥ 1;
so∗ (2n) = {x ∈ su(n, n)|xt In,n Jn,n + In,n Jn,n x = 0}
với n ≥ 2;
Trong đó J = Jn,n là ma trận vuông cấp 2n được xác định bởi
0 I
J = −I 0n và các ma trận Im,n , In,n Jn,n xác định bởi :
n
I
0
0 I
Im,n = 0m −I
,

In,n Jn,n = I 0n .
n
n

2.6

Phân tích Levi của đại số Lie

Theo mục 2.5, mỗi đại số Lie quy L là khả quy đầy đủ nếu L được
xét như là L-môđun qua biểu diễn liên hợp và L có thể phân tích dưới
dạng tổng trực tiếp của thành phần nửa đơn [L, L] và tâm Z(L). Trong
trường hợp L là đại số Lie hữu hạn chiều tùy ý, áp dụng tính khả quy
đầy đủ của biểu diễn, có thể biểu thị L dưới dạng tích nửa trực tiếp của
một đại số Lie con nửa đơn và radical của L. Trước khi thể hiện tính
chất này, chúng ta xét khái niệm tích nửa trực tiếp của các đại số Lie.
Định nghĩa 2.6.1. Cho L là một đại số Lie, a là một đại số Lie con
của L, b là một iđêan của L sao cho L = a ⊕ b là tổng trực tiếp của các
không gian véctơ. Nếu a ∈ a, do b là iđêan của L nên ada|b ∈ Derb. Khi
đó, đồng cấu π : a → Derb được cho bởi π(a)(b) = ada|b (b) = [a, b], ∀a ∈
a, ∀b ∈ b.
Như vậy, a, b và π xác định đại số Lie L, ta nói rằng L là tích nửa trực
tiếp của các đại số Lie a, b. Kí hiệu L = a ⊕π b.
Khái niệm "tích nửa trực tiếp" tổng quát được xây dựng nhờ Mệnh
để sau :

16


Mệnh đề 2.6.2. Cho a, b là các đại số Lie và π : a → Derb là một
đồng cấu đại số Lie. Khi đó, tồn tại một cấu trúc đại số Lie duy nhất

trên không gian véctơ tổng trực tiếp L = a ⊕ b giữ nguyên tích Lie trên
a và b, đồng thời thỏa mãn [a, b] = π(a)(b) với a ∈ a, ∈ b. Với đại số L,
ta có a là một đại số Lie con còn b là một iđêan của L.
Chứng minh. Rõ ràng, cấu trúc đại số Lie trên L thỏa mãn điều kiện
của mệnh đề nếu tồn tại là duy nhất. Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn
tại của nó. Trên không gian véctơ L = a ⊕ b, xác định phép toán :
[g, g ]L = [a, a ]a + [b, b ]b + π(a)(b ) − π(a )(b), ∀g = (a, b), g = (a , b ).
Ta chứng minh [., .]L là một tích Lie thỏa mãn điều kiện của mệnh đề.
Thật vậy, đồng nhất phần tử a ∈ a với phần tử (a, 0) ∈ L và b ∈ b với
phần tử (0, b) ∈ L, ta có
[a, a ]L = [a, a ]a + [0, 0]b + π(a)(0) − π(a )(0) = [a, a ]a
[b, b ]L = [0, 0]a + [b, b ]b + π(0)(b ) − π(0)(b) = [b, b ]b
[a, b]L = [a, 0]a + [0, b]b + π(a)(b) − π(0)(0) = π(a)(b)
Hơn nữa, [., .]L tuyến tính theo từng biến vì [., .]a , [., .]b tuyến tính theo
từng biến và π, π(x), x ∈ a là nhứng ánh xạ tuyến tính. Với mọi L =
(a, b) ∈ L, ta có :
[g, g ]L = [a, a ]a + [b, b ]b + π(a)(b) − π(a )(b) = 0
Vì [., .]L tuyến tính theo từng biến nên để chứng minh đồng nhất thức
Jacobi cho ba phần tử bất kì thuộc L ta sẽ quy về các trường hợp :
(1). Nếu cả ba phần tử này đều thuộc a hoặc cả ba đều thuộc b thì
đồng nhất thức Jacobi là rõ.
(2). Hai phần tử a1 , a2 ∈ a và một phần tử b ∈ b
[[a1 , a2 ], b]L = π([a1 , a2 ])(b) = ([π(a1 ), π(a2 )])(b)
= (π(a1 ) ◦ π(a2 ) − π(a2 ) ◦ π(a1 ))(b)
= π(a1 )(π(a2 )(b)) − π(a2 )(π(a1 )(b))
= [a1 , [a2 , b]]L − [a2 , [a1 , b]]L
Suy ra [[a1 , a2 ], b]L + [[a2 , b], a1 ]L + [[b, a1 ], a2 ]L = 0
(3) Một phần tử a ∈ a, hai phần tử b1 , b2 ∈ b. Khi đó
[a, [b1 , b2 ]]L = π(a)([b1 , b2 ])
17

= [π(a)(b1 ), b2 ] + [b1 , π(a)(b2 )
= [[a, b1 ], b2 ]L + [[b1 , a], b1 ]L ]
Suy ra [[a, b1 ], b2 ]L + [[b1 , b2 ], a]L + [[b2 , a], b1 ]L = 0
Như vậy, [., .]L là một tích Lie thỏa mãn điều kiện của mệnh đề.
Định nghĩa 2.6.3. Cho a, b là những đại số Lie, π : a → Derb là một
đồng cấu đại số Lie. Khi đó, đại số Lie L xác định bởi a, b và π như
trong mệnh đề trên được gọi là tích nửa trực tiếp của các đại số Lie a
và b. Ký hiệu L = a ⊕π b.
Nhận xét 2.6.1. Tổng trực tiếp của các địa số Lie là một trường hợp
đặc biệt của tích nửa trực tiếp của các đại số Lie, tương ứng với π = 0.
Định lí 2.6.4. (Định lý phân tích Levi) Cho L là một đại số Lie hữu
hạn chiều với căn R = radL. Khi đó tồn tại một đại số Lie con h của
L đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn L/R sao cho L là tích nửa trực tiếp
của h và R

18


KẾT LUẬN
Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về đại số Lie
nửa đơn, dưới sự hướng dẫn khoa học, nhiệt tình của giáo viên hướng
dẫn, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu đề tài với
những kết quả cụ thể sau :
• Đã trình bày tổng quan được một số kết quả về đại số Lie nửa đơn
và đại số Lie quy.
• Khảo sát biểu diễn khả quy đầy đủ của đại số Lie nửa đơn theo
ngôn ngữ môđun và thể hiện cho trường hợp đại số Lie sl(2, F), với
F là một trường đóng đại số tùy ý.

• Ứng dụng tính khả quy đầy đủ của biểu diễn để khảo sát cấu trúc
của các đại số Lie hữu hạn chiều tùy ý thể hiện qua định lý phân
tích Levi.
Với những gì khảo sát được, luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo
hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hi vọng
cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về đại số
Lie nửa đơn và biểu diễn. Mặc dù đã rất cố gắng, song do hạn chế về
năng lực và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn
đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!

19


Tài liệu tham khảo
1. A. Kirillov (2008),An introduction to Lie Groups and Lie algrebras,
Lecture Notes in Math, Cambridge University Press, New york.
2. A.W.Knapp (2002), Lie Group beyond an introduction, Progress in
Math, New york.
3. E.P. Van den Ban (2010), Lie Group, Lecture Notes, University of
Utrecht, Holland.
4. G. Bellamy (2016), Lie Groups, Lie algrebras and their Representations, Lecture Notes, University of Glasgow, UK.
5. James E. Humphreys (1972),Introduction to Lie Algrebras and Representation Theory, Springer-Verlag New York Inc.

20