đại số lie tuyến tính và hệ căn nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ CÔNG TRƯỜNG
ĐẠI SỐ LIE TUYẾN TÍNH VÀ HỆ
CĂN NGHIỆM
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
Huế, Năm 2014
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Lê Công Trường
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo
của Thầy giáo, PGS.TS. Trần Đạo Dõng. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng
và lòng biết ơn sâu sắc.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Huế, quý Thầy Cô giáo ở Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào
tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế cùng quý Thầy Cô giáo đã tham
gia giảng dạy Cao học Khóa 21, những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa
học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của
mình.

Xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, Trường THPT Phong
Điền đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè, đặc biệt là
các bạn học viên cao học Toán Khóa 21 - ĐHSP Huế đã quan tâm, giúp đỡ và
động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Lê Công Trường
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Đại số Lie tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Đại số Lie . 3
1.2. Đại số Lie nửa đơn . 7
1.3. Đại số Lie tuyến tính 10
Chương 2. Hệ căn nghiệm và biểu diễn của đại số Lie. . . . . . . . . . 14
2.1. Biểu diễn của sl(2, C) . 14
2.2. Đại số con Cartan . 19
2.3. Hệ căn nghiệm . . 26
2.4. Biểu diễn của đại số Lie nửa đơn . 36
2.5. Biểu diễn của đại số Lie cổ điển 44
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1
LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết Lie ra đời từ thế kỉ XIX bởi nhà toán học Sophus Lie (1842–1899)
và có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý.
Một trong các nội dung cơ bản của lý thuyết Lie là khảo sát cấu trúc và biểu

diễn của đại số Lie nửa đơn, đang được thể hiện cho mỗi lớp đại số Lie nửa đơn
cụ thể. Trong số các đại số Lie nửa đơn, một lớp đại số Lie đặc biệt là đại số Lie
tuyến tính, tức là các đại số Lie con của đại số Lie các tự đồng cấu tuyến tính
của một không gian vector, đang được khảo sát và có nhiều tính chất thú vị.
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, chúng tôi mong muốn được tìm hiểu
và làm rõ một số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie phức nửa đơn. Được sự
gợi ý của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, chúng tôi chọn đề tài "Đại số Lie tuyến
tính và hệ căn nghiệm" làm đề tài nghiên cứu của luận văn.
Về cấu trúc, luận văn được chia thành 2 chương:
Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ bản
của đại số Lie liên quan đến đề tài. Nội dung chính của chương là trình bày sơ
lược kiến thức của đại số Lie, đại số Lie nửa đơn và đại số Lie tuyến tính, trong
đó tiêu biểu là các đại số Lie cổ điển.
Chương 2 là chương chính của luận văn. Trong chương này, trước hết chúng
tôi khảo sát biểu diễn của đại số Lie sl(2, C), phát triểu để xây dựng các biểu
diễn của đại số Lie phức nửa đơn dựa vào đại số con Cartan và hệ căn nghiệm
tương ứng. Từ đó thể hiện cụ thể cho các đại số Lie cổ điển, một lớp của đại số
Lie tuyến tính có nhiều ứng dụng quan trọng.
Hầu hết các kết quả trong luận văn được trích dẫn từ [5], [6], [8] và đã được
trình bày một cách chi tiết, rõ ràng hơn.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng việc trình bày luận văn khó tránh
khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy cô và các đồng nghiệp dành cho luận văn.
2
CHƯƠNG 1
Đại số Lie tuyến tính
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số Lie,
đại số Lie nửa đơn, đại số Lie tuyến tính. Các khái niệm và kết quả chủ yếu
tham khảo từ những tài liệu [5], [6], [8].
1.1. Đại số Lie

1.1.1. Đại số Lie
Định nghĩa 1.1. Cho g là một không gian vectơ trên trường F. Khi đó g được
gọi là đại số Lie trên F nếu tồn tại phép toán
[, ] : g × g −→ g
(x, y) −→ [x, y]
sao cho
(i) [, ] là phép toán song tuyến tính;
(ii) [x, y] = −[y, x], ∀x, y ∈ g;
(iii) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là
[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0, ∀x, y, z ∈ g.
Khi đó [, ] được gọi là tích Lie. Số chiều của không gian vectơ g được gọi là
chiều của đại số Lie g, kí hiệu dim
F
g.
Nếu F = R thì g được gọi là đại số Lie thực.
Nếu F = C thì g được gọi là đại số Lie phức.
Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [x, y] = 0, ∀x, y ∈ g.
Ví dụ 1.1. 1) Mỗi không gian vectơ V trên trường K là một đại số Lie giao
hoán với tích Lie
[x, y] = 0, ∀x, y ∈ V.
3
2) Không gian vector thực 3 chiều R
3
với phép toán tích trực tiếp vectơ:
[, ] : g × g −→ g
(x, y) −→ [x, y] = x × y
là một đại số Lie thực 3 chiều.
3) Cho g là đại số (không nhất thiết là kết hợp) trên trường F, ta xác định
tích Lie như sau:
[, ] : g × g −→ g

(x, y) −→ [x, y] = xy − yx.
Khi đó g là một đại số Lie.
4) Trường hợp riêng, đại số các ma trận vuông g = {x = (x
ij
)
n×n
|x
ij
∈ F}
với tích Lie [x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ g là một đại số Lie, và được kí hiệu là
gl(n, F).
Định nghĩa 1.2. Cho g là một đại số Lie trên trường F.
1) h ⊆ g được gọi là đại số Lie con nếu h là không gian vectơ con bảo toàn
tích Lie, tức [x, y] ∈ h, ∀x, y ∈ h.
2) a ⊆ g được gọi là iđêan của g nếu a là không gian vectơ con và ∀x ∈
g, ∀a ∈ a ta có [x, a] ∈ a.
3) Cho a là một không gian vectơ con của đại số Lie g. Tâm hóa của a trong
g, kí hiệu
z
g
(a) = {x ∈ g|[x, y] = 0, ∀y ∈ a}.
Đặt biệt tâm hóa của g trong g được gọi là tâm của g và kí hiệu là z(g).
4) Cho a là một không gian vectơ con của đại số Lie g. Chuẩn tắc hóa của
a trong g, kí hiệu
n
g
(a) = {x ∈ g|[x, y] ∈ a, ∀y ∈ a}.
Nhận xét 1.1. 1) z
g
(a), z(g), n

g
(a) là các đại số Lie con của g.
4
2) Mỗi iđêan là một đại số Lie con. Điều ngược lại nói chung không đúng.
3) Kí hiệu [a, b] là không gian vectơ con bé nhất chứa a, b với a, b ⊂ g. Cho
h, a là không gian vectơ con của g. Khi đó
(i) h là một đại số Lie con ⇔ [h, h] ⊆ h.
(ii) a là một iđêan ⇔ [a, g] ⊆ a.
Định nghĩa 1.3. Cho g, h là các đại số Lie trên trường F.
(i) Ánh xạ ϕ : g → h được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu ϕ là ánh xạ tuyến
tính bảo toàn tích Lie, tức là:
ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)], ∀x, y ∈ g.
(ii) Đồng cấu đại số Lie ϕ được gọi là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn
(toàn, song) ánh.
Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với đại số Lie h nếu tồn tại đẳng cấu
đại số Lie ϕ : g → h, khi đó ta kí hiệu g
∼
=
h.
Ví dụ 1.2. Cho g là một đại số Lie trên trường F.
ad : g −→ gl(g) = End
F
(g)
x −→ adx : g −→ g
y −→ ad x(y) = [x, y].
Khi đó ad là một đồng cấu đại số Lie, được gọi là biểu diễn liên hợp của g.
Việc nghiên cứu đại số tuyến tính trên tập số phức thường đơn giản hơn trên
tập số thực. Do đó người ta thường giải quyết các bài toán trên trường số phức,
sau đó áp dụng các kết quả lên trường số thực. Để áp dụng điều này đối với đại
số Lie, chúng ta cần đưa ra khái niệm phức hóa và dạng thực của một đại số

Lie.
Định nghĩa 1.4. Cho g là một đại số Lie thực với tích Lie [ , ]. Xét đại số Lie
phức g
C
:= g ⊗ C với tích Lie là phép toán tuyến tính phức được xác định như
sau:
[u + iv, x + iy] := [u, x] − [v, y] + i([u, y] + [v, x]), ∀u, v, x, y ∈ g.
5
Khi đó, g
C
được gọi là phức hóa (complexification) của g.
Xét đại số Lie thực h có phức hóa h
C
đẳng cấu với đại số Lie phức g. Khi đó, h
được gọi là một dạng thực (real form) của g, kí hiệu g
R
. Một cách tương đương,
một đại số con thực h ⊂ g
R
là một dạng thực của g nếu g = {u + iv|u, v ∈ h}.
Ví dụ 1.3. Ta có gl(n, R)
C
∼
=
gl(n, C).
1.1.2. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh
Định nghĩa 1.5. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường F. Khi đó
g được gọi là giải được nếu trong chuỗi các hoán tử
g
0

= g, g
1
= [g
0
, g
0
], . . . , g
k+1
= [g
k
, g
k
], . . .
tồn tại k ∈ N sao cho g
k
= {0}.
Định nghĩa 1.6. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k và V là không
gian vectơ trên trường F, k ⊂ F ⊂ C. End
F
V được xét như là k−không gian
vectơ và kí hiệu là (End
F
V )
k
. Khi đó ánh xạ
σ : g −→ (End
F
V )
k
được gọi là một biểu diễn của g trong V nếu σ là một đồng cấu đại số Lie.

Để đơn giản ta thường viết σ : g → End
F
V và kí hiệu biểu diễn là V thay cho
cho σ.
Không gian vectơ con U ⊆ V được gọi là không gian con ổn định nếu
σ(g)U ⊆ U. Và lúc đó U được gọi là biểu diễn con của V .
Nhận xét 1.2. Theo định nghĩa biểu diễn σ của g trên V và tích Lie trong
End
F
V , ta có
σ([x, y]) = σ(x)σ(y) − σ(y)σ(x), ∀x, y ∈ g.
Định lý 1.1.1 (Định lý Lie, [5], Theorem 1.25). Cho g là một đại số Lie hữu
hạn chiều giải được trên trường k, V là F−không gian vectơ khác 0, k ⊂ F ⊂ C.
Xét σ : g → End
F
V là một biểu diễn của g. Khi đó
(a) Nếu F đóng đại số thì tồn tại v ∈ V, v = 0 sao cho v là một vectơ riêng của
σ(x), ∀x ∈ g.
6
(b) Trường hợp tổng quát đối với F, tồn tại v ∈ V \{0} là vectơ riêng của
σ(x), ∀x ∈ g khi và chỉ khi các giá trị riêng của σ(x) thuộc vào F.
Hệ quả 1.1.2 ([5], Corollary 1.29). Cho g, V, k, F, σ như giả thiết của Định lý
1.1.1. Khi đó, tồn tại dãy các không gian vectơ con
V = V
0
⊇ V
1
⊇ · · · ⊇ V
m
= {0}

sao cho V
i
ổn định qua tác động của σ(g) và dim(V
i
/V
i+1
) = 1, i = 0, . . . , m − 1.
Suy ra trong g tồn tại một cơ sở sao cho ma trận của σ(x), ∀x ∈ g có dạng tam
giác trên.
Định nghĩa 1.7. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường F. Khi đó
g được gọi là lũy linh nếu chuỗi tâm dưới
g
0
= g, g
1
= [g
0
, g], . . . , g
k+1
= [g
k
, g], . . .
tồn tại k ∈ N sao cho g
k
= {0}.
Nhận xét 1.3. Nếu g là đại số Lie lũy linh thì g là giải được, nhưng chiều
ngược lại nói chung không đúng.
1.2. Đại số Lie nửa đơn
Định nghĩa 1.8. Cho g là đại số Lie trên trường F. Khi đó
1) g được gọi là đơn (simple) nếu g không giao hoán và không có iđêan nào

khác 0 và chính nó.
2) g được gọi là nửa đơn (semi-simple) nếu g không có iđêan giải được thực
sự khác 0 nào.
Định nghĩa 1.9. Cho g là một đại số Lie trên trường F. Khi đó
K : g × g −→ F
(x, y) −→ K(x, y) = Tr(ad x ◦ ad y)
được gọi là dạng Killing của g.
Dạng Killing K của đại số Lie hữu hạn chiều g được gọi là không suy biến
nếu
radK := {x ∈ g|K(x, y) = 0, ∀y ∈ g} = {0}.
7
Nhận xét 1.4. 1) K là ánh xạ song tuyến tính.
2) Dạng Killing K bất biến qua mọi tự đẳng cấu của g, nghĩa là
K(ϕ(x), ϕ(y)) = K(x, y), ∀ϕ ∈ Autg, ∀x, y ∈ g,
trong đó Autg là tập tất cả các tự đẳng cấu của g.
3) Với mọi x, y, z ∈ g, ta có
K([x, y], z) = −K(y, [x, z]) = K(x, [y, z]).
Tiếp theo là tiêu chuẩn Cartan cho tính nửa đơn.
Định lý 1.2.1 ([5], Theorem 1.45). Đại số Lie g là nửa đơn khi và chỉ khi dạng
Killing của g không suy biến.
Mệnh đề sau cho thấy mối liên hệ tính nửa đơn của một đại số Lie phức và
dạng thực tương ứng.
Mệnh đề 1.2.2 ([5], Proposition 1.61). Dạng thực g
R
của đại số Lie phức g là
nửa đơn trên R khi và chỉ khi g là nửa đơn trên C.
Ta thấy các đại số Lie đơn là đại số Lie nửa đơn, nhưng chiều ngược lại nói
chung là không đúng. Tuy nhiên, các đại số Lie nửa đơn được xác định thông
qua các đại số Lie đơn. Định lý sau sẽ cho thấy điều đó.
Định lý 1.2.3 ([5], Theorem 1.54). Đại số Lie hữu hạn chiều g là nửa đơn khi

và chỉ khi g = g
1
⊕ · · · ⊕ g
m
, với g
j
là các đại số Lie đơn. Trong trường hợp này,
sự phân tích là duy nhất và các iđêan của g là tổng của một số g
j
khác nhau.
Định nghĩa 1.10. Đại số Lie g được gọi là khả quy (reductive) nếu với mỗi
iđêan a của g tồn tại iđêan b của g sao cho g = a ⊕ b.
Mệnh đề 1.2.4 ([6], Proposition 6.31). Cho V là biểu diễn của g, ta xác định
dạng song tuyến tính trên g như sau:
K
V
(x, y) = Tr(ρ(x) ◦ ρ(y)).
Khi đó K
V
là dạng song tuyến tính bất biến đối xứng trên g.
8
Với dạng song tuyến tính này ta có một dấu hiệu nhận biết đại số Lie khả
quy.
Định lý 1.2.5 ([6], Theorem 6.32). Cho g là đại số Lie với biểu diễn V sao cho
K
V
là không suy biến. Khi đó g là khả quy.
Nhận xét 1.5. Dựa vào Định lý 1.2.5, mỗi đại số Lie nửa đơn thì khả quy,
nhưng điều ngược lại nói chung không đúng.
Hệ quả 1.2.6 ([5], Corollary 1.56). Mỗi đại số Lie g khả quy đều có dạng phân

tích g = [g, g] ⊕ z(g), trong đó [g, g] là nửa đơn và tâm z(g) là giao hoán.
Hệ quả sau sẽ cho ta thêm một cách để chứng minh một đại số là nửa đơn.
Hệ quả 1.2.7. Mỗi đại số Lie khả quy có tâm bằng không là nửa đơn.
Nhận xét 1.6. Xét H là trường Quaternion được sinh bởi một cơ sở {1, i, j, k}
sao cho
i
2
= j
2
= k
2
= −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j.
Phần thực Re(a + bi + cj + dk) = a, liên hợp a + bi + cj + dk = a − bi − cj − dk
thỏa tính chất
Re(xy) = Re(yx), Re(x¯y) = Re(y¯x), ∀x, y ∈ H.
Khi đó ta có R ⊂ C ⊂ H.
Với đại số Lie các ma trận ta có thêm một dấu hiệu nữa để nhận biết đại số
Lie khả quy.
Mệnh đề 1.2.8 ([5], Proposition 1.59). Cho g là một đại số Lie thực gồm các
ma trận cấp n hệ số trong R, C hoặc H. Nếu g đóng qua phép lấy chuyển vị liên
hợp của ma trận, tức là A
∗
= (a
ij
)
t
n
∈ g, ∀A = (a
ij
)

n
∈ g thì g khả quy.
Hệ quả 1.2.9. g = gl(n, k) với k = R, C hoặc H là khả quy.
Sau đây là một lớp các biểu diễn đặc biệt, có vai trò quan trọng trong phân
loại các biểu diễn của đại số Lie.
9
Định nghĩa 1.11. Một biểu diễn V khác 0 của g được gọi là biểu diễn bất
khả quy (hay là đơn, irreducible representation) nếu nó không có biểu diễn con
nào ngoài 0 và V . Ngược lại thì V được gọi là biểu diễn khả quy (reducible
representation).
Định nghĩa 1.12. Một biểu diễn được gọi là khả quy đầy đủ (hay là nửa
đơn, complete reducibility) nếu nó đẳng cấu với tổng trực tiếp của các biểu diễn
bất khả quy. Tức là: V
∼
=

V
i
, với các V
i
là bất khả quy.
Định lý 1.2.10 ([6], Theorem 6.57). Bất kỳ biểu diễu diễn của đại số Lie nửa
đơn g đều là biểu diễn khả quy đầy đủ.
Như vậy để khảo sát biểu diễn của đại số Lie nửa đơn, ta chỉ cần tìm hiểu
các biểu diễn bất khả quy.
1.3. Đại số Lie tuyến tính
Xét V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường F. Ký hiệu End V là tập
tất cả các tự đồng cấu tuyến tính V −→ V . Khi đó, nếu n = dimV thì End V
là một không gian vectơ trên trường F có số chiều là n
2

.
Hơn nữa, End V là một đại số Lie trên trường F với phép toán tích Lie
[x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ End V . Ta sử dụng kí hiệu gl(V ) thay cho End V để chỉ
đây là một đại số Lie.
Định nghĩa 1.13. Mỗi đại số Lie con của đại số Lie gl(V ) được gọi là đại số
Lie tuyến tính.
Ví dụ 1.4. 1) Xét không gian vectơ V có số chiều n+1. Ta gọi sl(V ) là tập tất cả
các tự đồng cấu của V có vết bằng 0. Do tr(x+y) = tr(x)+tr(y), tr(xy) = tr(yx)
nên sl(V ) là đại số Lie con của gl(V ) và được gọi là đại số Lie tuyến tính đặc
biệt.
2) Xét V là không gian vectơ 2n chiều. Xác định tự đồng cấu f của V có
ma trận là


0 I
n
−I
n
0


, trong đó I
n
là ma trận đơn vị cấp n. Ta chứng minh
được f là song tuyến tính phản xứng, nghĩa là f(v, w) = −f(w, v), ∀v, w ∈ V .
Gọi sp(V ) là tập tất cả các tự đồng cấu x của V thỏa tính chất f(x(v), w) =
10
−f(v, x(w)), ∀v, w ∈ V . Khi đó ta cũng chứng minh được sp(V ) là đại số Lie
con của gl(V ), và được gọi là đại số Lie symplectic.
3) Cho V là không gian vectơ 2n + 1 chiều. Xác định tự đồng cấu f của V

có ma trận là




1 0 0
0 0 I
n
0 I
n
0




. Gọi o(V ) là tập tất cả các tự đồng cấu x của V
thỏa tính chất f(x(v), w) = −f(v, x(w)), ∀v, w ∈ V . Ta cũng chứng minh được
o(V ) là đại số Lie con (2n
2
+ n) chiều của gl(V ), và được gọi là đại số Lie trực
giao.
4) Cho V là không gian vectơ 2n chiều. Xét đồng cấu f có ma trận


0 I
n
I
n
0



.
Tương tự như trường hợp 3) ta thu được một đại số Lie con (2n
2
− n) chiều
o(V ) của gl(V ) và cũng được gọi là đại số Lie trực giao.
Khi cố định một cơ sở của không gian vectơ n−chiều V , mỗi tự đồng cấu
tuyến tính V −→ V đều xác định duy nhất một ma trận vuông cấp n và ngược
lại. Do vậy đại số Lie gl(V ) đẳng cấu với đại số Lie gl(n, F) các ma trận vuông
cấp n trên trường F. Qua đẳng cấu này, mỗi đại số Lie con của gl(n, F) cũng
được gọi là đại số Lie tuyến tính.
Định nghĩa 1.14. Mỗi đại số Lie thực các ma trận vuông cấp n trên trường
F với F là trường số thực R, trường số phức C hoặc trường quaternion H, được
gọi là đại số Lie cổ điển.
Đây là các đại diện tiêu biểu của đại số Lie tuyến tính và bao gồm nhiều lớp
đại số Lie nửa đơn cụ thể. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi tập trung
khảo sát các đại số Lie cổ điển thể hiện qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1.5 (Loại A
n
). Xét n ≥ 1, ta xác định đại số các ma trận vuông phức
cấp n +1 có vết bằng 0. Đại số Lie này cũng được gọi là đại số Lie tuyến tính
đặc biệt và kí hiệu là
sl(n + 1, C) = {x ∈ gl(n + 1, C)|Trx = 0}.
Ta thấy:
11
sl(n + 1, C) =














x =







x
1
x
12
. . . x
1(n+1)
x
21
x
2
. . . x
2(n+1)
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
(n+1)2
x
(n+1)2
. . . x
n+1







∈ gl(n + 1, C)|
n+1

i=1
x
i

= 0













.
Gọi E
ij
là ma trận tại vị trí (i, j) bằng 1 còn các vị trí còn lại đều bằng 0.
Đặt H
i
= E
ii
− E
i+1,i+1
, ∀i =
1, n thì sl(n + 1, C) có cơ sở là {E
ij
, 1 ≤ i, j ≤
n + 1, i = j} ∪ {H
i

, 1 ≤ i ≤ n}.
Tính toán trên cơ sở ta có:
[E
ij
, E
kl
] = δ
jk
E
il
− δ
li
E
kj
,
với δ
ij
là hàm nhận giá trị 1 khi i = j và 0 khi i = j.
Ví dụ 1.6 (Loại B
n
, D
n
). Xét n ≥ 2, ta xác định đại số Lie các ma trận vuông
phức cấp n có tổng của nó với ma trận chuyển vị bằng 0. Đại số Lie này được
gọi là đại số Lie trực giao đặc biệt và kí hiệu là
so(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|x + x
t
= 0}.
Ta thấy:
so(n, C) =














x =







0 x
12
. . . x
1n
−x
12
0 . . . x
2n
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−x
1n
−x
2n
. . . 0







∈ gl(n, C)














.
Đặt F
ij
= E
ij
− E
ji
, ∀i, j = 1, n, i = j thì so(n, C) có cơ sở là {F
ij
, 1 ≤ i < j ≤
n, i = j}. Với n chẵn và lẻ có tính chất khác nhau nên người ta phân làm 2 loại:
B
n
= so(2n + 1, C), D
n
= so(2n, C) với n ≥ 1.
Tính toán trên cơ sở ta có:
[F
ij
, F
kl
] = 0, nếu i, j, k, l đôi một khác nhau;
[F

ij
, F
jl
] = F
il
nếu i, j, l đôi một khác nhau.
Ví dụ 1.7 (Loại C
n
). Xét n ≥ 1, và J = J
n,n
=


0 I
n
−I
n
0


. Ta xác định đại
số Lie các ma trận vuông phức cấp 2n thỏa x
t
J + Jx = 0. Đại số Lie này cũng
được gọi là đại số Lie symplectic và kí hiệu là
sp(n, C) = {x ∈ gl(2n, C)|x
t
J + Jx = 0}.
12
Ta thấy:

sp(n, C) =

























x =














a
11
· · · a
1n
b
11
· · · b
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
a
n1
· · · a
nn
b
1n
· · · b
nn
c
11
· · · c
1n
−a
11
· · · −a
n1
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
1n
· · · c
nn
−a
1n
· · · −a
nn














∈ gl(2n, C)

























.
Ta xác định một cơ sở của sp(n, C) như sau:
E

kl
− E
n+l,n+k
, E
i,j+n
+ E
j,i+n
, E
i+n,j
+ E
j+n,i
, E
k,k+n
, E
k+n,k
,
với 1 ≤ i = j ≤ n, 1 ≤ k, l ≤ n.
Mệnh đề sau sẽ cho biết tính nửa đơn của các loại đại số này.
Mệnh đề 1.3.1 ([5], p.59). Các đại số Lie phức sau đây là nửa đơn
(1) sl(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|Trx = 0}, n ≥ 2.
(2) so(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|x
t
+ x = 0}, n ≥ 3.
(3) sp(n, C) = {X ∈ gl(2n, C)|x
t
J + Jx = 0}, n ≥ 1, trong đó
J = J
n,n
=



0 I
n
−I
n
0


.
13
CHƯƠNG 2
Hệ căn nghiệm và biểu diễn của đại số Lie
Trọng tâm của chương này trình bày về các khái niệm căn nghiệm, trọng,
đại số con Cartan của các đại số Lie. Từ đó ứng dụng để phân loại các biểu diễn
bất khả quy, biểu diễn trọng cao nhất của đại số Lie phức nửa đơn và thể hiện
cho các đại số Lie cổ điển. Các khái niệm, kết quả trong chương này chủ yếu
tham khảo từ tài liệu [6], [8].
2.1. Biểu diễn của sl(2, C)
Xét đại số Lie phức sl(2, C) các ma trận vuông cấp 2 trên trường số phức có
vết bằng 0. Đại số Lie này được sinh ra bởi 3 phần tử
e =


0 1
0 0


, f =



0 0
1 0


, h =


1 0
0 −1


có quan hệ
[e, f] = h, [h, e] = 2e, [h, f] = −2f.
Đây là đại số Lie nửa đơn phức 3−chiều, và để khảo sát biểu diễn của sl(2, C)
ta sẽ bắt đầu bằng cách chéo hóa toán tử h.
Định nghĩa 2.1. Cho V là biểu diễn của sl(2, C). Một vectơ v ∈ V được gọi là
vectơ của λ ∈ C nếu v là vectơ riêng của h với giá trị riêng λ, tức là
hv = λv.
Ta kí hiệu V [λ] ⊂ V là không gian con bao gồm tất cả vectơ của λ, tức là:
V [λ] = {v ∈ V |hv = λv}.
V [λ] = 0 thì λ được gọi là trọng và v ∈ V [λ] được gọi là vectơ trọng.
Bổ đề 2.1.1 ([6], Lemman 5.2).
eV [λ] ⊂ V [λ + 2]
fV [λ] ⊂ V [λ − 2].
14
Chứng minh. Xét v ∈ V [λ], ta có:
h(ev) = [h, e]v + ehv = 2ev + λev = (λ + 2)ev ⇒ ev ∈ V [λ + 2],
h(fv) = [h, f]v + fhv = −2fv + λfv = (λ − 2)fv ⇒ fv ∈ V [λ − 2].
Định lý 2.1.2 ([6], Theorem 5.3). Mỗi biểu diễn hữu hạn chiều V của sl(2, C)
có thể viết dưới dạng:

V =

λ∈C
V [λ]
với V [λ] được xác định ở Định nghĩa 2.1. Phân tích này được gọi là phân tích
trọng của V .
Chứng minh. Do mỗi biểu diễn của sl(2, C) là khả quy đầy đủ nên ta chỉ cần
xét V là bất khả quy. Gọi V

=

λ∈C
V [λ] là không gian con sinh ra bởi các vectơ
riêng của h. Do các vectơ riêng của các giá trị riêng khác khau là độc lập tuyến
tính nên V

=

λ∈C
V [λ]. Theo Bổ đề 2.1.1 thì V

ổn định qua các tác động của
e, f, h. Suy ra V

là biểu diễn con của V . Nhưng do V là bất khả quy nên V

= V .
Mục đích chính là phân loại các biểu diễn hữu hạn chiều bất khả quy nên
trong phần này, từ đây trở về sau ta xét V là biểu diễn bất khả quy của sl(2, C).
Ta xét lớp các trọng đặc trưng cho các biểu diễn bất khả quy này.

Định nghĩa 2.2. Cho λ là trọng của V (tức V [λ] = 0). λ được gọi là trọng cao
nhất nếu
Reλ ≥ Reλ

, với mọi trọng λ

của V. (2.1.1)
Và vectơ v ∈ V [λ] được gọi là vectơ trọng cao nhất.
Do mỗi biểu diễn hữu hạn chiều V đều có hữu hạn các trọng nên luôn có
trọng cao nhất, suy ra V có ít nhất một vectơ trọng cao nhất khác 0. Chúng ta
sẽ xét một số tính chất của vectơ trọng cao nhất đó.
Bổ đề 2.1.3 ([6], Lemman 5.4). Cho v ∈ V [λ] là vectơ trọng cao nhất của V .
Khi đó ta có:
(1) ev = 0.
15
(2) Xét
v
k
=
f
k
k!
v, k ≥ 0
thì ta có:
hv
k
= (λ − 2k)v
k
,
fv

k
= (k + 1)v
k+1
,
ev
k
= (λ − k + 1)v
k−1
, k > 0.
(2.1.2)
Chứng minh. (1) Theo Bổ đề 2.1.1 thì ev ∈ V [λ + 2], nhưng λ là trọng cao nhất
nên V [λ + 2] = 0 suy ra ev = 0.
(2) Xét k ≥ 0, ta có
fv
k
= f(
f
k
k!
v) =
1
k!
f
k+1
v =
k + 1
(k + 1)!
f
k+1
v = (k + 1)v

k+1
.
Theo Bổ đề 2.1.1 ta có fV [λ] ⊂ V [λ − 2] suy ra f
k
V [λ] ⊂ V [λ − 2k]. Do đó
f
k
v ∈ V [λ − 2k], ∀k ≥ 0. Suy ra
h(v
k
) = h(
f
k
k!
v) =
1
k!
h(f
k
v) =
1
k!
(λ − 2k)f
k
v = (λ − 2k)v
k
.
Cuối cùng ta chứng minh ev
k
= (λ − k + 1)v

k−1
, k > 0 bằng quy nạp. Thật
vậy, với k = 1 ta có ev
1
= efv = [e, f]v + fev = hv + 0 = hv = λv. Giả sử đẳng
thức đúng cho k > 0, tức là ev
k
= (λ − k + 1)v
k−1
. Ta chứng minh đẳng thức
đúng cho k + 1:
ev
k+1
= e

f
k+1
(k + 1)!
v

=
1
k + 1
e

f
f
k
k!
v


=
1
k + 1
efv
k
=
1
k + 1

[e, f]v
k
+ fev
k

=
1
k + 1

hv
k
+ f

(λ − k + 1) v
k−1

=
1
k + 1


hv
k
+ (λ − k + 1) fv
k−1

=
1
k + 1

(λ − 2k) v
k
+ (λ − k + 1) kv
k

=
1
k + 1

λ − 2k + λk − k
2
+ k

v
k
=
1
k + 1
(λ − k) (k + 1) v
k
= (λ − k)v

k
.
16
Nếu V là hữu hạn chiều thì chỉ có hữu hạn v
k
là khác 0. Nhưng nếu xét V
như là thương của không gian vô hạn chiều với cơ sở là các v
k
thì ta có:
Bổ đề 2.1.4 ([6], Lemman 5.5). Cho λ ∈ C, xác định M
λ
là không gian vectơ
vô hạn chiều với cơ sở v
0
, v
1
, v
2
, Khi đó ta có:
(1) Từ công thức (2.1.2) và ev
0
= ev = 0 nên M
λ
có cấu trúc của một biểu
diễn (vô hạn chiều) của sl(2, C).
(2) Nếu V là biểu diễn hữu hạn chiều bất khả quy của sl(2, C) chứa một vectơ
trọng cao nhất khác không của trọng cao nhất λ thì V = M
λ
/W với W là
biễu diễn con.

Chứng minh. (1) Ta xác định tương ứng:
ρ : sl(2, C) −→ gl(M
λ
)
h −→ ρ(h) : M
λ
−→ M
λ
v
k
−→ ρ(h)(v
k
) = hv
k
= (λ − 2k)v
k
, ∀k ≥ 0;
f −→ ρ(f) : M
λ
−→ M
λ
v
k
−→ ρ(f)(v
k
) = fv
k
= (k + 1)v
k+1
, ∀k ≥ 0;

e −→ ρ(e) : M
λ
−→ M
λ
v
k
−→ ρ(e)(v
k
) = ev
k
= (λ − k + 1)v
k−1
, ∀k > 0
v
0
−→ ρ(e)(v
0
) = ev
0
= 0.
Theo công thức (2.1.2) và ev
0
= 0 thì M
λ
ổn định qua ρ(x), ∀x ∈ sl(2, C). Vậy
M
λ
là một biểu diễn của sl(2, C).
(2) Từ hv
k

= (λ − 2k)v
k
, suy ra các v
k
khác nhau là các vectơ của các trọng
khác nhau nên nếu chúng khác 0 sẽ độc lập tuyến tính. Nếu V là hữu hạn chiều
thì ∃m nhỏ nhất sao cho v
m
= 0 và v
k
= 0, ∀k > m. Khi đó gọi W là không
gian vectơ sinh ra bởi v
m+1
, v
m+2
, thì W là biểu diễn con của M
λ
và M
λ
/W
là một biểu diễn của V . Nhưng do V là bất khả quy nên V = M
λ
/W .
Sau đây là định lý quan trọng nhất trong phần này, làm cơ sở giúp chúng ta
phân loại các biểu diễn bất khả quy của sl(2, C).
Định lý 2.1.5 ([6], Theorem 5.6). (1) Với mọi n ≥ 0, xét V
n
là không gian
vectơ hữu hạn chiều với cơ sở v
0

, v
1
, , v
n
. Ta xác định tác động của
17
sl(2, C) bởi
hv
k
= (λ − 2k)v
k
,
fv
k
= (k + 1)v
k+1
, k < n; fv
n
= 0,
ev
k
= (λ − k + 1)v
k−1
, k > 0; ev
0
= 0.
(2.1.3)
Khi đó V
n
là biểu diễn bất khả quy của sl(2, C) và được gọi là biểu diễn

bất khả quy với trọng cao nhất n.
(2) Với n = m, biễu diễn V
n
và V
m
là không đẳng cấu.
(3) Mỗi biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều của sl(2, C) đều đẳng cấu với một
biểu diễn V
n
.
Chứng minh. (1) Xét M
λ
là biểu diễn vô hạn chiều được xác định ở Bổ đề 2.1.4.
Nếu λ = n là số nguyên không âm, xét không gian con M

⊂ M
λ
sinh bởi
các vectơ v
n+1
, v
n+2
, Khi đó M

là một biểu diễn con. Thật vậy, rõ ràng
M

ổn định dưới tác động của h, f và e, ∀k ≥ n + 2. Với k = n + 1 ta có
ev
n+1

= (n + 1 − (n + 1))v
n
= 0 ∈ M

. Suy ra không gian thương M
λ
/M

là biểu
diễn hữu hạn chiều của sl(2, C). Rõ ràng M
λ
/M

có cơ sở v
0
, v
1
, , e
n
nên công
thức 2.1.3 được suy ra từ công thức 2.1.2.
Bây giờ ta chứng minh tính bất khả quy của biểu diễn này. Xét N là biểu
diễn con khác 0 của V
n
thì N phải chứa một v
i
nào đó (0 ≤ i ≤ n), nhưng do
N ổn định qua các tác động của e, f, h nên N sẽ chứa tất cả v
0
, v

1
, , e
n
, tức
N = V
n
. Vậy V
n
là biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều của sl(2, C).
(2) Ta có dimV
n
= n + 1 nên rõ ràng các V
n
khác nhau sẽ không đẳng cấu
với nhau từng đôi một.
(3) Xét V là biểu diễn hữu hạn chiều bất khả quy của sl(2, C) và v ∈ V [λ] là
vectơ trọng cao nhất. Lập luận như ở chứng minh (2) của Bổ đề 2.1.4 thì biểu
diễn V sẽ có cơ sở là v
0
, v
1
, , v
n
. Do v
n+1
= 0 nên ev
n+1
= 0. Mặt khác, theo
Định lý 2.1.2 ta có ev
n+1

= (λ − n)v
n
mà v
n
= 0 nên λ = n là số nguyên không
âm. Vậy V
∼
=
V
n
.
Như là một hệ quả của định lý trên, định lý sau sẽ cung cấp một số kiến
thức hữu ích giúp ta khảo sát các biểu diễn hữu hạn chiều của sl(2, C).
18
Định lý 2.1.6 ([6], Theorem 5.7). Cho V là biểu diễn hữu hạn chiều của sl(2, C).
Khi đó ta có:
(1) V có phân tích trọng với các trọng nguyên:
V =

n∈Z
V [n].
(2) dimV [n] = dimV [−n]. Hơn nữa, với n ≥ 0, các ánh xạ:
e
n
: V [n] −→ v[−n],
f
n
: V [−n] −→ v[n]
là đẳng cấu.
Chứng minh. (1) Theo Định lý 2.1.5(3) và công thức 2.1.3 thì mỗi biểu diễn

bất khả quy V
n
có tập các trọng là {−n, −n + 2, −n + 4, , n − 2, n} tức các
trọng đều là trọng nguyên. Mặt khác, mỗi biểu diễn hữu hạn chiều V đều phân
tích thành tổng trực tiếp của các biểu diễn V
n
nên trọng của V cũng là các số
nguyên. Suy ra V =

n∈Z
V [n].
(2) Với mỗi biểu diễn bất khả quy V
m
ta có
V
m
= Cv
0
⊕ Cv
1
⊕ Cv
2
⊕ ⊕ Cv
m−1
⊕ Cv
m
= V
m
[m] ⊕ V
m

[m − 2] ⊕ V
m
[m − 4] ⊕ ⊕ V
m
[−m + 2] ⊕ V
m
[−m].
Suy ra V
m
[n]
∼
=
V
m
[−n], ∀n ∈ Z. Bây giờ nếu xét V là biểu diễn hữu hạn chiều
bất khả quy thì V =

m∈A
V
m
với A ⊂ N. Theo (1) thì V =

n∈Z
V [n], suy ra
V [n] =

m∈A
V
m
[n]

∼
=

m∈A
V
m
[−n] = V [−n], ∀n ∈ Z. Vậy dimV [n] = dimV [−n].
Để phục vụ cho việc khảo sát các biểu diễn của đại số Lie phức nửa đơn, ta
xây dựng một đại số con đặc biệt sau:
2.2. Đại số con Cartan
Định nghĩa 2.3. Phần tử x ∈ g được gọi là nửa đơn (tương ứng lũy linh) nếu
ad x là toán tử nửa đơn (tương ứng lũy linh).
19
Định lý 2.2.1 ([6], Theorem 7.2). Nếu g là đại số Lie phức nửa đơn thì mỗi
x ∈ g đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
x = x
s
+ x
n
với x
s
là nửa đơn, x
n
là lũy linh và [x
s
, x
n
] = 0. Hơn nữa ad x
s
= P (ad x) với

đa thức P ∈ tC(t) phụ thuộc x.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh sự duy nhất: Giả sử x = x
s
+x
n
= x

s
+x

n
là hai sự phân tích của x. Suy ra ad x = ad (x
s
)+ad (x
n
) = ad (x

s
)+ad (x

n
), mà
ad x có phân tích Jordan duy nhất nên ad (x
s
) = ad (x

s
) suy ra ad (x
s
− x


s
) = 0.
Mặt khác g nửa đơn nên có tâm bằng 0, suy ra x
s
− x

s
∈ z(g) = {0}. Như vậy
x
s
= x

s
và x
n
= x

n
.
Ta chứng minh sự tồn tại: Với λ ∈ g
∗
ta có:
g
λ
= {y ∈ g|(ad x − λ.id)
n
y = 0, với n ≥ 0} thì g = ⊕g
λ
.

Đầu tiên ta chứng minh Bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2 ([6], Lemman 7.3).
[g
λ
, g
µ
] ⊂ g
λ+µ
.
Chứng minh. Xét y ∈ g
λ
, z ∈ g
µ
, ta có
(ad x − λ.id − µ.id)[y, z] = ad x[y, z] − λ[y, z] − µ[y, z]
= [x, [y, z]] − [λy, z] − [y, µz]
= [[x, y], z] + [[z, x], y] − [λy, z] − [y, µz]
= [ad x(y), z] + [y, ad x(z)] − [λy, z] − [y, µz]
= [ad x(y) − λy, z] + [y, ad x(z) − µz]
= [(ad x − λ)y, z] + [y, (ad x − µ)z].
Từ đó quy nạp lên ta chứng minh được:
(ad x − λ.id − µ.id)
n
[y, z] =
n

k=0
C
k
n

[(ad x − λ.id)
k
y, (ad x − µ.id)
n−k
z]
= 0, với n đủ lớn.
Suy ra [y, z] ∈ g
λ+µ
.
20
Bây giờ xét phân tích Jordan của ad x:
ad x = (ad x)
s
+ (ad x)
n
Ta nhắc lại: g
λ
= {y ∈ g|(ad x − λ.id)
n
y = 0, với n ≥ 0}. Khi đó
y ∈ g
λ
⇔ ad x − λ.id lũy linh trên g
λ
⇔ A = (ad x)
s
+ (ad x)
n
− λ.id lũy linh trên g
λ

⇔ A − (ad x)
n
= (ad x)
s
− λ.id lũy linh trên g
λ
⇒ (ad x)
s
− λ.id = 0 trên g
λ
(do (ad x)
s
− λ.id cũng nửa đơn trên g
λ
)
⇒ (ad x)
s
= λ.id trên g
λ
.
Xét bất kỳ y, z ∈ g = ⊕g
λ
suy ra ∃λ, µ sao cho y ∈ g
λ
, z ∈ g
µ
. Do đó [y, z] ∈
[g
λ
, g

µ
] ⊂ g
λ+µ
suy ra (ad x)
s
[y, z] = (λ + µ)[y, z]. Mặc khác [λ.y, z] + [y, µ.z] =
λ[y, z] + µ[y, z] = (λ + µ)[y, z] nên (ad x)
s
[y, z] = [(ad x)
s
y, z] + [y, (ad x)
s
z] hay
(ad x)
s
là đạo hàm của g. Nhưng vì g nửa đơn nên mọi đạo hàm đều là đạo hàm
trong, suy ra tồn tại x
s
∈ g sao cho (ad x)
s
= ad x
s
, từ đó (ad x)
n
= ad (x − x
s
).
Đặt x
n
= x − x

s
thì ad x = ad x
s
+ ad x
n
và x = x
s
+ x
n
, với x
s
nửa đơn còn x
n
lũy linh.
Cuối cùng, theo định lý B.2 ([6], p.121) thì (ad x)
s
= P (ad x) với P là đa
thức phụ thuộc vào x có hệ số tự do bằng 0.
Hệ quả 2.2.3 ([6], Corollary 7.4). Bất kỳ đại số Lie phức nửa đơn nào cũng
tồn tại phần tử nửa đơn khác 0.
Chứng minh. Cho đại số Lie phức nửa đơn g, giả sử g không có phần tử nửa
đơn nào khác 0. Khi đó theo Định lý 2.2.1, mọi x ∈ g đều có phân tích thành
x = x
s
+ x
n
, trong đó x
s
là phần tử nửa đơn nên x
s

= 0, suy ra x = x
n
là lũy
linh. Vậy theo định lý Engle thì g là lũy linh (mâu thuẫn với g là nửa đơn).
Định lý 2.2.4 ([6], Theorem 7.5). Cho g là đại số Lie nửa đơn, x ∈ g là phần
tử nửa đơn, ρ : g −→ gl(V ) là biểu diễn của g. Khi đó ρ(x) là phần tử nửa đơn.
Chứng minh. Vì g là nửa đơn nên mọi biểu diễn đều khả quy đầy đủ. Do đó
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử V là biểu diễn bất khả quy. Ta xét
V [λ] = {v ∈ V |ρ(x).v = λv} và đặt V

=

λ
V [λ].
21
Do x là nửa đơn nên ad x là chéo hóa được. Suy ra g =

α∈C
g
α
, với
g
α
= {y ∈ g|ad x(y) = [x, y] = αy}. Xét y ∈ g
α
, và v ∈ V [λ], ta có
ρ(x)(ρ(y)v) = [ρ(x), ρ(y)]v + ρ(y)ρ(x)v
= ρ([x, y])v + ρ(y)ρ(x)v
= ρ(αy)v + ρ(y)λv
= (α + λ)(ρ(y)v).

Suy ra ρ(y).v ∈ V [λ + α], hay V

ổn định qua ρ(g). Suy ra V

là biểu diễn
con khác 0 của V . Mà V là biểu diễn bất khả quy nên V

= V . Hay ta có thể
chọn cho ρ(x) một cơ sở toàn là vectơ riêng nên chéo hóa được, tức ρ(x) là nửa
đơn.
Bây giờ ta sẽ xét tập hợp các phần tử nửa đơn giao hoán.
Định nghĩa 2.4. Đại số Lie con h của g được gọi là xuyến nếu h giao hoán và
bao gồm các phần tử nửa đơn.
Định lý 2.2.5 ([6], Theorem 7.7). Cho h ⊂ g là đại số con xuyến. Khi đó
(1) g =

α∈h
∗
g
α
, với g
α
là không gian con riêng cho tất cả ad h, h ∈ h với
giá trị riêng α; tức là g
α
= {x ∈ g|ad h(x) = α, hx, ∀h ∈ h}.
Đặc biệt, ta có h ⊂ g
0
.
(2) [g

α
, g
β
] ⊂ g
α+β
.
(3) Nếu α + β = 0, thì g
α
, g
β
trực giao theo dạng Killing K.
(4) Với mọi α, dạng Killing cảm sinh trên g
α
⊗ g
−α
−→ C là không suy biến.
Đặc biệt, hạn chế của K lên g
0
là không suy biến.
Chứng minh. (1) Theo định nghĩa của đại số con xuyến, với mỗi h ∈ h, toán
tử ad h đều chéo hóa được. Do h giao hoán nên tất cả các toán tử ad h
cũng giao hoán với nhau. Từ đó tất cả ad h sẽ cùng được chéo hóa và ta
sẽ có được phân tích của g như trên.
22