Bài tập trắc nghiệm đạo hàm, phương trình tiếp tuyến có đáp án

www.thuvienhoclieu.com

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
Cho hàm số
lim

x → x0

y = f ( x)

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

Kí hiệu:

f ′ ( x0 )

( a; b )

xác định trên

và

x0 ∈ ( a; b )

. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

hoặc

y′ ( x0 )

f ′ ( x0 ) = lim

x → x0

. Vậy

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

y = f ( x)

tại điểm

x0

.

STUDY TIP

Nếu

∆x = x − x0



∆x

và

∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

gọi là số gia của đối số tại điểm

x0

∆y
∆x → 0 ∆x

f ′ ( x0 ) = lim

thì

.

.

∆y

gọi là số gia của hàm số tương ứng.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải.

a) Đạo hàm bên trái.
f ′ ( x0− ) = lim−
x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
∆y
= lim−
∆
x
→
0
x − x0
∆x

trong đó

x → x0−

được hiểu là

x → x0

và

x < x0

.

b) Đạo hàm bên phải.
f ′ ( x0+ ) = lim+
x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
∆y

= lim+
∆x → 0 ∆x
x − x0

Nhận xét: Hàm số
nhau. Khi đó

f ( x)

trong đó

x → x0+

có đạo hàm tại điểm

f ′ ( x0+ ) = f ′ ( x0− ) = f ′ ( x0 )

được hiểu là

+
x0 ⇔ f ′ ( x0 )

và

x → x0
f ′ ( x0− )

và

x > x0

.

tồn tại và bằng

.

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.

y = f ( x)

a) Hàm số
được gọi là có đạo hàm trên khoảng
mọi điểm trên khoảng đó.

www.thuvienhoclieu.com

( a; b )

nếu có đạo hàm tại

Trang 1

.


b) Hàm số
khoảng

y = f ( x)

( a; b )

www.thuvienhoclieu.com
được gọi là có đạo hàm trên đoạn

và có đạo hàm phải tại

a

[ a; b]

và đạo hàm trái tại

nếu có đạo hàm trên

b

.

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số.
- Nếu hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm tại điểm

x0

thì nó liên tục tại điểm đó.

STUDY TIP


Hàm số liên tục tại điểm

x0

có thể khơng có đạo hàm tại điểm đó.

x0


Hàm số khơng liên tục tại
thì khơng có đạo hàm tại điểm đó.
B. CÁC DẠNG TỐN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp:
1. Tính đạo hàm của hàm số

y = f ( x)

tại điểm

x0

bằng định nghĩa.

Cách 1:
lim

x → x0

-

Tính

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

(1).

Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại
x0
số khơng có đạo hàm tại .
Cách 2: Tính theo số gia.
-

∆x

-

Hàm số

-

Hàm số

-

y = f ( x)

y = f ( x)

và ngược lại thì hàm

∆x = x − x0 ⇒ ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

một số gia
:
∆y
∆x
Lập tỉ số
.
∆y
lim
∆x →0 ∆x
Tính giới hạn
.
2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm.
-

Cho

x0

x0

liên tục tại điểm

.

f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ lim = 0
x0 ⇔ xlim
→ x0
∆x →0

x0 ⇒ y = f ( x )

.

x0
có đạo hàm tại điểm
liên tục tại điểm .
y = f ( x)
x0
x0
Hàm số
liên tục tại điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com

Ví dụ 1. Cho hàm số
2
4
A.
.

f ( x) = x +1

x0 = 1

. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
.
2
2
2 2
2
3
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Đáp án A.
lim

Cách 1: Xét

x →1

= lim
x →1

f ( x ) − f ( 1)
x +1 − 2
= lim
x →1
x −1
x −1

( x − 1) (

x −1

)

x + 1 + 2 = lim
x →1

1
1
2
=
=
x +1 + 2 2 2
4

.

Cách 2:
∆y = f ( ∆x + 1) − f ( 1) = ∆x + 2 − 2
∆y
=

∆x
lim

∆x → 0

∆x + 2 − 2
∆x

.

.

∆y
∆x + 2 − 2
= lim
= lim
∆
x
→
0
∆x → 0
∆x
∆x
∆x

(

∆x
2 + ∆x + 2

)

= lim

∆x → 0

1
2
=
4
2 + ∆x + 2

.

STUDY TIP
a− b=

Nhân lượng liên hợp:

a −b
a+ b

a −b =
và

a − b2
a +b

.

Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2.

f ( x ) = x2 + 5x − 3

x0 = 2
Ví dụ 2. Khi tính đạo hàm của hàm số
tại điểm
, một học sinh
đã tính theo các bước sau:
f ( x ) − f ( 2 ) = f ( x ) − 11
Bước 1:
.
2
f ( x ) − f ( 2 ) x + 5 x − 3 − 11 ( x − 2 ) ( x + 7 )
=
=
= x+7
x−2
x−2
x−2
Bước 2:
.
f ( x ) − f ( 2)
lim
= lim ( x + 7 ) = 9
f ′ ( 2) = 9
x →2
x →2
x−2
Bước 3:

. Vậy
.
Tính tốn trên nếu sai thì sai ở bước nào.
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3 .
D. Tính tốn đúng.
Lời giải
Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng.
STUDY TIP

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
Phương trình bậc hai
Ví dụ 3. Số gia của hàm số
A.

( ∆x )

2

ax 2 + bx + c = 0

f ( x ) = x2

− 2 ∆x − 1

.

B.

( ∆x )

2

có hai nghiệm

∆x

ứng với số gia
+ 2∆x + 2

.

C.

( ∆x )

x1 , x2 ⇔ a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 0
x

của đối số
2

tại

+ 2∆x
.

x0 = −1

D.

( ∆x )

2

.

là:

− 2∆ x

.

Lời giải
Đáp án D.
Với số gia
.

∆x

của đối số

f ( x ) = x2 − x

Ví dụ 4. Cho hàm số

x

tại

x0

lim

A.

∆x → 0

là:

( ( ∆x )

2

x

− 2 x0 .∆x − ∆x

)

tại điểm

x0 = −1

C.

2

, ta có:

, đạo hàm của hàm số ứng với số gia

2

∆x

của đối số

lim ( ∆x + 2 x0 − 1)

.

B.

lim ( ∆x + 2 x0 + 1)

∆x → 0

∆y = ( −1 + ∆x ) − 1 = ( ∆x ) − 2∆x

∆x → 0

.

(

lim ( ∆x ) + 2 x0 .∆x + ∆x

.

D.

∆x → 0

2

)

.

Lời giải
Đáp án B.
∆y = ( x0 + ∆x ) − ( x0 + ∆x ) − ( x02 − x0 ) = ( ∆x ) + 2 x0 .∆x − ∆x
2

Ta có:

2

∆y
= lim ( ∆x + 2 x0 − 1)
∆x → 0 ∆x
∆x → 0

⇒ f ′ ( x0 ) = lim

Ví dụ 5. Cho hàm số
đây là sai.

y = f ( x)

f ′ ( x0 ) = lim

x → x0

A.

f ′ ( x0 ) = lim
C.

h→0

.

có đao hàm tại điểm

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

là

f ′ ( x0 )

f ′ ( x0 ) = lim

.

B.

f ( x + h ) − f ( x0 )
h

x0

.

D.

∆x →0

. Khẳng định nào sau

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆x

f ( x + x0 ) − f ( x0 )
f ′ ( x0 ) = lim
x → x0
x − x0

.

.

Lời giải
Đáp án D.
- A đúng theo định nghĩa.
∆x = x − x0
x → x0 ⇒ ∆x → 0
- B đúng vì
nên
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com

h = ∆x = x − x0 ⇒ x = h + x0 h → 0
x → x0
- C đúng. Đặt
,
khi
.
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x + h ) − f ( x0 )
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
f ′ ( x0 ) = lim
= lim
=
lim
x → x0

h
→
0
x − x0
h + x0 − x0
h →0
h
.
- Vậy D sai.
Ví dụ 6. Xét ba mệnh đề sau:
f ( x)
f ( x)
x = x0
(1) Nếu hàm số
có đạo hàm tại điểm
thì
liên tục tại điểm
đó.
f ( x)
f ( x)
x = x0
(2) Nếu hàm số
liên tục tại điểm
thì
có đạo hàm tại điểm đó
.
f ( x)
f ( x)
x = x0
(3) Nếu hàm số

gián đoạn tại điểm
thì chắc chắn
khơng có
đạo hàm tại điểm đó .
Trong ba mệnh trên:
A. (1) và (3) đúng.
B. (2) đúng.
C. (1) và (2) đúng . D. (2) và (3) đúng.
Lời giải
Đáp án A.
Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số

liên tục trên

¡

f ( x) = x

lim+

, nhưng ta có:

x →0

f ( x ) − f ( 0)
=1
x−0

x=0

hàm số khơng có đạo hàm tại

có tập xác định
lim−

và

x →0

D=¡

nên hàm số

f ( x ) − f ( 0)
= −1
x−0

nên

.

STUDY TIP
- Khi

x → 0+ ⇒ x > 0

x =x
nên

−

- Khi

x→0 ⇒ x<0

Ví dụ 7. Cho hàm số
2
A. .

.
x = −x

nên
.
2
x + x +1
y = f ( x) =
x
1

B. .

x0 = −1

. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
.
0
C. .
D. Không tồn tại.

Lời giải
Đáp án D.
Hàm số liên tục tại

x0 = −1

.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com

Ta có
lim−

x →−1

f ( x ) − f ( −1)
x2 + 2 x + 1
lim
= lim+
=0
x →−1+
x →−1
x +1
x ( x + 1)

f ( x ) − f ( −1)
x2 −1
= lim−
=2
x →−1 x ( x + 1)
x +1

Từ (1) và (2)

⇒

(1).

(2).

hàm số khơng có đạo hàm tại điểm

x0 = −1

.

STUDY TIP
Hàm số

f ( x)

Ví dụ 8. Cho hàm số
đây?
1
4

A. .

x0 ⇔ f ′ ( x0+ ) = f ′ ( x0− ) = f ′ ( x0 )

có đạo hàm tại
3 − 4 − x
f ( x) = 
1

B.

1
16

khi x ≠ 0
khi x = 0

.

. Khi đó

C.

1
2

f ′ ( 0)

.

là kết quả nào sau

D.

2

.

Lời giải
Đáp án A.
lim
x →0

Ta có:

f ( x ) − f ( 0)
2− 4− x
1
1
= lim
= lim
=
x →0
x →0 2 + 4 − x
x−0
x
4

Ví dụ 9. Cho hàm số
1

2
A. .
tại.

 x
f ( x) =  2
 x

khi x > 1
khi x ≤ 1

f ′ ( 1)

. Khi đó

1

B. .

C.

2

.

.

là kết quả nào sau đây.

f ′ ( 1)

D.

khơng tồn

Lời giải
Đáp án D.
Ta có:

f ( 1) = 12 = 1

f ′ ( 1+ ) = lim+
x →1

Vì

.

x −1
= lim
x − 1 x →1+

f ' ( 1+ ) ≠ f ' ( 1− )

1
1
=
x +1 2

nên hàm số

f ′ ( 1− ) = lim−

và

f ( x)

x →1

x2 −1
= lim ( x + 1) = 2
x − 1 x →1+

không tồn tại đạo hàm tại

www.thuvienhoclieu.com

.

x0 = 1

.

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com

Ví dụ 10. Cho đồ thị hàm số

y = f ( x)

A. Hàm số có đạo hàm tại
C. Hàm số có đạo hàm tại

như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai.

x=0
x=2

.
.

B. Hàm số có đạo hàm tại

x =1

.
x=3
D. Hàm số có đạo hàm tại
.

Lời giải
Đáp án B.

x =1

Tại

đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số

x =1
khơng có đạo hàm tại
.
STUDY TIP
- Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
x0
x0
- Hàm số khơng liên tục tại điểm
thì khơng có đạo hàm tại .
2
 x −1
khi x ≠ 1

f ( x) =  x −1
a
khi x = 1
a

x =1
Ví dụ 11. Tìm để hàm số
có đạo hàm tại điểm
.
1
a=
a = −2
a=2
a =1
2
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Đáp án B.
Để hàm số có đạo hàm tại
lim
x →1

x2 −1
= 2 = f ( 1) = a
x −1

Vậy

a=2

x =1

. Khi đó

thì trước hết

f ( x)

phải liên tục tại

x2 −1
−2
f ( x ) − f ( 1)
x
−
1
f ′ ( 1) = lim
= lim
=1
x →1
x →1
x −1
x −1

x =1

.

.
STUDY TIP

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7

.


www.thuvienhoclieu.com
Hàm số

f ( x)

x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0

liên tục tại

.

 x2 − 1
khi x ≥ 0

f ( x ) =  x −1
ax + b khi x < 0


a, b
Ví dụ 12. Tìm
để hàm số
a = −11

b = 11
A.
.
B.

a = −10

b = 10

x=0
có đạo hàm tại điểm
.
a = −12
 a = −1


b = 12
b = 1
C.
.
D.
.

.

Lời giải
Đáp án D.
Trước tiên hàm số phải liên tục tại

x=0

lim f ( x ) = 1 = f (0), lim− f ( x) = b ⇒ b = 1

x → 0+

x →0

lim+

Xét

lim−

x →0

x →0

f ( x) − f (0)
x −1
= lim+
= −1
x →0 x + 1
x

f ( x) − f (0)
= lim− a = a
x →0
x

Hàm số có đạo hàm tại

x = 0 ⇔ a = −1
STUDY TIP

x0 ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x) = f ( x0 )

f ( x)
Hàm số

x → x0

liên tục tại

x → x0

ax 2 + bx + 1
khi x ≥ 0
f ( x) = 
a s in x + b cos x khi x < 0

a, b

Ví dụ 13. Tìm
để hàm số
a = 1; b = 1
a = −1; b = 1
A.
.
B.
.

có đạo hàm tại điểm
a = −1; b = −1
a = 0; b = 1
C.
.
D.
.

Lời giải

Đáp án A
f (0) = 1
Ta có:
lim+ f ( x ) = lim+ (ax 2 + bx + 1) = 1
x →0

x →0

lim f ( x) = lim− (a s in x + b cos x) = b

x → 0−

x →0

Để hàm số liên tục thì

b =1

www.thuvienhoclieu.com

Trang 8

x0 = 0


www.thuvienhoclieu.com
f ′(0+ ) = lim+
x →0

ax + x + 1 − 1
=1
x
2

x
x
x
2a sin cos − 2sin 2
a
s
inx
+
b
cos
x
−
1
2
2
2
f ′(0− ) = lim−
= lim−
x →0
x →0
x
x
x
x

sin
sin
x
2 . lim  a cos x  − lim
2
= lim−
sin = a
÷ x →0− x . xlim
−
x →0
x x →0− 
→
0
2
2
2
2

Để tồn tại

f ′(0) ⇒ f ′(0+ ) = f ′(0− ) ⇔ a = 1
STUDY TIP
s inx
s inf(x)
lim
= 1 ⇒ lim
=1
x →0
f ( x ) →0 f ( x )
x

Giới hạn lượng giác
f ( x ) = x( x − 1)( x − 2)...( x − 1000)
f ′(0)
Ví dụ 14. Cho hàm số
. Tính
.
10000!
1000!
1100!
1110!
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Đáp án B.
f ( x ) − f (0)
x ( x − 1)( x − 2)...( x − 1000) − 0
f ′( x ) = lim
= lim
= lim( x − 1)( x − 2)...( x − 1000)
x →0
x →0
x →0
x−0

x
= (−1)(−2)...(−1000) = 1000!

Hoán vị

n

phần tử:

STUDY TIP
Pn = n ! = 1.2...( n − 1)n

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

f ( x) = x3

x0 = 2

∆x = 1
Số gia của hàm số
ứng với
và
bằng bao nhiêu?

−19
7
19
−7
A.
.
B. .
C. .
D. .
∆y
f ( x ) = 2 x ( x − 1)
∆x
x
∆x
Tỉ số
của hàm số
theo và
là:
4 x + 2(∆x) 2 − 2
4 x + 2∆x + 2
A.
.
B.
.
2
4 x.∆x + 2( ∆x) + 2∆x
4 x + 2 ∆x − 2
C.
.
D.

.
2
f ( x) = x − 4 x + 1
∆x
x
Số gia của hàm số
ứng với và
là:
∆x(∆x + 2 x − 4)
∆x(2 x − 4∆x)
2x + ∆x
2 x − 4∆x
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
 x2 + 1 − 1
khi x ≠ 0

f ( x) = 
x
0
f ( x)
f ′(0)
khi x = 0


Cho hàm số
xác định:
.Giá trị
bằng:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com
1
2

A. .

−
B.

1
2

.

C.

−2

.

D. Không tồn tại.
 x − 4 x + 3x
khi x ≠ 1

f ( x) =  x 2 − 3x + 2
0
¡ \ { 2}
f ( x)
khi x = 1

Cho hàm số
xác định trên
bởi
.Giá trị
f ′(1)
bằng:
3
0
2
1
A. .
B. .
C. .
D. Không tồn tại.
Xét hai mệnh đề:
x0
x0
( I ) f ( x)
f ( x)
có đạo hàm tại thì

liên tục tại .
x0
x0
( II ) f ( x)
f ( x)
có liên tục tại thì
đạo hàm tại .
Mệnh đề nào đúng?
(I )
( II )
A. Chỉ .
B. Chỉ
.
C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều
đúng.
y = f ( x)
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:
3

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

2

Hàm số khơng có đạo hàm tại các điểm nào sau đây?
x=0
x=2
x =1
x=3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
 x3 − 2 x 2 + x + 1 − 1
khi x ≠ 1

f ( x) = 
x −1
0
f ′(1)
khi x = 1

Cho hàm số
.Giá trị
bằng:
1
1
1
1
3

5
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com

Câu 9.

Cho hàm số
0
A. .

khi x ≥ 1
2 x + 3
 3
f ( x) =  x + 2 x 2 − 7 x + 4
khi x < 1

x −1


f ′(1)

bằng:

5
C. .

4
B. .

f ( x)

.Giá trị

¡

+

D. Không tồn tại.

 x
khi x ≠ 0

f ( x) =  x
0
khi x = 0


Câu 10. Cho hàm số
xác định trên

bởi
Xét hai mệnh đề
sau:
( I ) f ′(0) = 1
.
x0 = 0
( II )
Hàm số khơng có đạo hàm tại
.
Mệnh đề nào đúng?
(I )
( II )
A. Chỉ .
B. Chỉ
.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai
đều sai.
Câu 11. Xét hai câu sau:
x
y=
(1)
x=0
x +1
Hàm số
liên tục tại
.
x
y=
(2)

x=0
x +1
Hàm số
có đạo hàm tại
.
Trong 2 câu trên:
(2)
(1)
(1) (2)
(1) (2)
A. đúng.
B. đúng.
C.Cả , đều đúng.
D. Cả ,
đều sai.
 3 4 x 2 + 8 − 8 x2 + 4
khi x ≠ 0

f ( x) = 
x
0
f ′(0)
khi x = 0

Câu 12. Cho hàm số
.Giá trị của
bằng:
1
5
4

−
3
3
3
A. .
B.
.
C. .
D.Không tồn tại.
π

khi x ≠ 0
 x sin
f ( x) = 
x
0
f '( x) = 0
khi x = 0
Câu 13. Với hàm số
.Để tìm đạo hàm
một học sinh
lập luận qua các bước như sau:
π
f ( x) = x . sin ≤ x
x
1.
.
x →0
f ( x) → 0 ⇒ f ( x ) → 0
x→0

2.Khi
thì
nên
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com

lim+ f ( x ) = lim− f ( x) = f (0) = 0

x=0
nên hàm số liên tục tại
.
f ( x)
x = 0 ⇒ f ( x)
x=0
4.Từ
liên tục tại
có đạo hàm tại
.
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A.Bước 1.
B.Bước 2.
C.Bước 3.
D.Bước 4.
1


 x sin 2 khi x ≠ 0
f ( x) = 
x
0
khi x = 0
Cho hàm số
.
(1)
f ( x)
x=0
Hàm số
liên tục tại điểm
.
(2)
f ( x)
x=0
Hàm số
khơng có đạo hàm tại điểm
.
Trong các mệnh đề trên:
(1)
(2)
(1), (2)
(1),(2)
A.Chỉ đúng.
B. Chỉ đúng.
C.Cả
đều đúng.
D. Cả

đều sai.
 ax 2 + bx khi x ≥ 1
f ( x) = 
a, b
khi x < 1
2 x − 1
x =1
Cho hàm số
.Tìm
để hàm số có đạo hàm tại
a = −1, b = 0
a = −1, b = 1
a = 1, b = 0
a = 1, b = 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
 sin x
khi x > 0

f ( x) =  x
 x 2 + x khi x ≤ 0
f ′(0)


Cho hàm số
.Giá trị của
bằng:
3
5
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
x → x0 ∈ [ a; b]
[ a; b ]
y = f ( x)
Xét hàm số
có tập xác định là đoạn
đồng thời nếu

3.Do

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

x →0

x →0

f ( x) → 1
thì
với 3 điều kiện:
x0
f ( x)
I.
là hàm số liên tục trái và liên tục phải của .
f ( x0 ) = 1
II.
.
x0
f ( x)
III.
có đạo hàm tại .
x0
f ( x)
Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để
liên tục tại
là:
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.
C. Chỉ I và II.
D. Chỉ II và III.
Câu 18. Xét ba hàm số:
f ( x ) = x .x
I.
g ( x) = x
II.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
h( x ) = x + 1 x
III.
Hàm số không có đạo hàm tại
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.

x=0

là:
C. Chỉ I và II.

D. Chỉ I và III.

D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Đáp án C.
3
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( x0 + ∆x ) − x03
x0 = 2, ∆x = 1 ⇒ ∆y = 19

Câu 2.

Với
Đáp án C.
∆y f ( x ) − f ( x0 ) 2 ( x − x0 ) ( x + x0 ) − 2 ( x − x0 )
=
=
= 2 x + 2 x0 − 2
∆x
x − x0
x − x0
x0 = x − ∆x

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

(Với
)
Đáp án A.
2
∆y = f ( ∆x + x ) − f ( x ) = ( ∆x + x ) − 4 ( ∆x + x ) + 1 − ( x 2 − 4 x + 1) = ∆x ( ∆x + 2 x − 4 )
Đáp án A.
f ( x) − f ( 0)

x2 + 1 − 1
1
1
lim
= lim
= lim
=
2
2
x →0
x
→
0
x
→
0
x
x
x +1 +1 2
Xét
1
f ′ ( 0) =
2
Vậy
Đáp án D.
f ( x ) − f ( 1)
x ( x − 3)
x3 − 4 x 2 + 3x
lim
= lim

=
lim
=∞
x →1
x →1 x − 1 x 2 − 3 x + 2
x −1
( )(
) x→1 ( x − 1) ( x − 2 )
Xét
Đáp án A.
f ( x) = x
f ( x)
f ( x)
(II) Sai : ví dụ:
thì
liên tục tại x = 0 nhưng
khơng có đạo hàm tại x =
0
(I) Đúng theo đáp án đã trình bày
Đáp án B.
Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số khơng liên tục tại đó
⇒
hàm số khơng có đạo hàm
Đáp án C.
lim
x →1

Câu 9.

f ( x ) − f (1)

x3 − 2x 2 + x + 1
x
1
= lim
= lim
=
2
x →1
x →1
x −1
( x − 1)
x3 − 2x 2 + x + 1 + 1 2

Đáp án D.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


lim+ f ( x ) = lim+ ( 2 x + 3) = 5

x →1

x →1

lim− f ( x ) = lim−

x →1

www.thuvienhoclieu.com

x →1

x 3 + 2x 2 − 7x + 4
= lim− x 2 + 3 x − 4 = 0
x →1
x −1

(

)

f ′ ( 1)

Vậy không tồn tại
Câu 10. Đáp án B.
x
−0
1
x
f ′ ( 0 ) = lim
= lim
= +∞
x →0 x − 0
x →0 x x
Vậy (I) sai, (II) đúng
Câu 11. Đáp án B.
x
lim

= 0 = f ( 0) ⇒
x →0 x + 1
x=0
Ta có:
Hàm số liên tục tại
f ( x ) − f ( 0)
x
1
lim+
= lim+
= lim+
=1
x →0
x → 0 x ( x + 1)
x → 0 ( x + 1)
x−0
lim−

x →0

f ( x) − f ( 0)
x−0

= lim−
x →0

x
x ( x + 1)

= lim−

x →0

−1
= −1
( x + 1)

Vậy hàm số khơng có đạo hàm tại
Câu 12. Đáp án B.

x=0

3
3
f ( x ) − f ( 0)
4 x 2 + 8 − 8x 2 + 4
4x 2 + 8 − 2 + 2 − 8x 2 + 4
= lim
=
lim
x →0
x →0
x →0
x
x2
x2


1 
4x 2
8x 2

5
 1
= lim 2 
−
= −2 = −

2
x →0 x  3
2
3
2
3
2 + 8x 2 + 4  3
 4x + 8 + 2 4x + 8 + 4


lim

(

)

Ta có:
Câu 13. Đáp án D.
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa
f ( x ) − f ( 0)
π
= sin
x−0
x

x→0
khơng có giới hạn khi
Câu 14. Đáp án C.
1
− x ≤ x. sin 2 ≤ x
x
Ta có:
1
1
⇒ lim( − x ) ≤ lim x. sin 2 ≤ lim x = 0 ⇒ lim x. sin 2 = 0 = f ( 0 )
x →0
x →0
x
→
0
x
→
0
x
x
Vậy hàm số liên tục tại

x=0

www.thuvienhoclieu.com

Trang 14

www.thuvienhoclieu.com

Xét

f ( x ) − f ( 0)
1 

lim
= lim sin 2 
x →0
x−0
x 


1

xn =

π
+ 2nπ
2

Lấy dãy (xn):
1

lim xn = lim

π
+ 2nπ
2

n →+∞

( x ′) : x ′ =
n

Lấy dãy

π

= 0 ⇒ lim f ( xn ) = lim sin  + 2nπ ÷ = 1
n →+∞
n→+∞
2

1

n

có:

π
+ 2π n
6

=

1
2

, tương tự ta cũng có:
f ( x ) − f ( 0)
1
π
 1
lim xn′ = 0 ⇒ lim f xn′ = 0 ⇒ lim sin  + 2nπ ÷ = ⇒ lim
= lim sin 2
n →+∞
n →+∞
n →+∞
x
→
0
x
→
0
x −0
x
6
 2

( )

tồn tại
Câu 15. Đáp án C.
 lim+ f ( x ) = a + b = f (1)
x →1
⇒ a +b =1

(

)
(
)
lim
f
x
=
lim
2
x
−
1
=
1
 x→1−
x →1−
Ta có:
f ( x ) − f (1)
ax 2 + bx − ( a + b )
lim+
= lim+
= lim+ [ a ( x + 1) + b ] = 2a + b
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
lim−

x →1

f ( x ) − f (1)
2x 2 − 1 − ( a + b)
2x − 1 − 1
= lim−
= lim−
=2
x
→
1
x
→
1
x −1
x −1
x −1

Ta có hệ:

a + b = 1
a = 1
⇔

2a + b = 2
b = 0

Câu 16. Đáp án A.

sin 2 x
 sin x


lim+ f ( x ) = lim+
= lim+ 
. sin x  = 0
x →0
x →0
x →0 
x
x


(

)

lim f ( x ) = lim− x 2 + x = 0

x →0 −

x →0

x=0
Suy ra hàm số liên tục tại
f ( x ) − f ( 0)
sin 2 x
f ( x ) − f ( 0)
x2 + x
lim+
= lim+
= 1; lim−

= lim−
=1
x →0
x →0
x →0
x →0
x−0
x
x−0
x
f ′ ( 0 ) = f ′ ( 0− ) = f ′ ( 0+ ) = 1

Vậy:
Câu 17. Đáp án C.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15

không


www.thuvienhoclieu.com
-

x → x0

f ( x ) → f ( x0 )

f(x) liên tục tại x0 tức là

thì
nên (I) và (II) đúng.
f(x) có đạo hàm tại x0 là điều điện đủ để f(x) liên tục tại x0. f(x) liên tục
tại x0 nhưng có thể f(x) khơng có đạo hàm tại điểm đó.
Câu 18. Đáp án B.
g ( x ) − g ( 0)
1
lim+
= lim+
= +∞
g ( x)
x →0
x →0
x−0
x
x=0
Ta có:
. Vậy
khơng có đạo hàm tại
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 16


www.thuvienhoclieu.com
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số

1.

3.

u = u ( x) ; v = v ( x)

( u + v ) ′ = u ′ + v′

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

2.

( u.v ) ′ = u ′v + v′u

4.

( u - v ) ′ = u ′ - v′

v′
 u ′ u ′v − v′u
 1 ′
=
⇒
 ÷
 ÷ =− 2
2
v
v

v
v
STUDY TIP

Mở rộng:

1.

2.

( u1 ± u2 ± ... ± un ) ′ = u1′ ± u2′ ± ... ± un′
( u.v.w ) ′ = u′.v.w + u.v′.w + u.v.w ′

2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số

y = f ( u( x ) ) = f ( u )

với

u = u( x)

. Khi đó:

yx′ = yu′ .ux′

3. Bảng cơng thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm các hàm hợp

www.thuvienhoclieu.com

u = u( x)

Trang 17


www.thuvienhoclieu.com

( c) ′ = 0

, c là hằng số

( x) ′ = 1

u′
 1 ′
 ÷ =− 2
u
u
u′
′
u =
2 u

1
 1 ′
 ÷ =− 2
x
 x

1
′
x =
2 x

( )

( )

( x ) ′ = α .x
α

( u ) ′ = α .u′.u
α

α −1

α −1

( sin u ) ′ = u′.cos u

( sin x ) ′ = cos x

( cos u ) ′ = −u′.sin u

( cos x ) ′ = − sin x

u′
= u ′. ( 1 + tan 2 x )
2

cos u
1
( cot u ) ′ = − 2 = −u′. ( 1 + cot 2 u )
sin u

( tan u ) ′ =

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x
1
( cot x ) ′ = − 2 = − ( 1 + cot 2 x )
sin x

( tan x ) ′ =

STUDY TIP
Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ.

B. Các dạng tốn về quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp
Phương pháp:
- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.
- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.
- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức,
bất đẳng thức..

y = −2 x 5 + 4 x

Ví dụ 15. Đạo hàm của hàm số
1
4
− 10 x 4 +
− 10 x 4 +
x
x
A.
B.

bằng biểu thức nào dưới đây?
2
1
− 10 x 4 +
− 10 x 4 −
x
x
C.
D.
Lời giải

Đáp án C.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 18



Lời giải

2
y ′ = −10 x 4 +
.
x
y=

2x +1
x+2

Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số
nhận giá trị nào sau đây:
a = −3
a=5
A.
.
B.
.

a
bằng biểu thức có dạng

( x + 2)

a =3
C.
.
Lời giải

D.

2

.
Khi đó

a = −5

a

.

Đáp án C.
( 2 x + 1) ′ ( x + 2 ) − ( 2 x + 1) ( x + 2 ) ′ = 3 ⇒ a = 3.
y′ =
2
2
( x + 2)
( x + 2)
STUDY TIP

 ax + b ′ ad − bc

÷=
2
 cx + d  ( cx + d )
x2 − x + 1
y=
x −1

Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số
bằng:
a.b = −2
a.b = −1
A.
.
B.
.

với

c≠0

bằng biểu thức có dạng

a.b = 3
C.
.
Lời giải

( 2 x − 1) ( x − 1) − ( x 2 − x + 1) x 2 − 2 x
y′ =
=
⇒ a.b = −2.
2
2
( x − 1)
( x − 1)
y = x+

Cách 2:

ad − bc ≠ 0
ax 2 + bx

Đáp án A.

Cách 1:

và

1
1
x2 − 2x
⇒ y′ = 1 −
=
2
2
x −1
( x − 1) ( x − 1)

( x − 1)

D.

2

.
Khi đó

a.b = 4

.

a.b


Với

a.a′ ≠ 0

ta có

STUDY TIP
 ax 2 + bx + c ′ aa′x 2 + 2ab′x + bb′ − ac′

÷=
2
( a′x + b′)
 a′x + b′ 

x2 + x + 3
y= 2
x + x −1

Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số
a+b
bằng:
a+b = 4
a+b = 5

A.
.
B.
.

bằng biểu thức có dạng

a + b = −10
C.
.
Lời giải

(x
D.

ax + b
2

+ x − 1)

2

.
Khi đó

a + b = −12

.

Đáp án D.

Cách 1:

−4 ( 2 x + 1)
x2 + x −1 + 4
4
8x + 4
y=
= 1+ 2
⇒ y′ =
=−
2
2
2
x + x −1
x + x −1
( x2 + x − 1) ( x 2 + x − 1)

 u ′ u′v − uv′
 ÷=
v2
v

Cách 2: Áp dụng
( 2 x + 1) x 2 + x − 1 − x 2 + x + 3 ( 2 x + 1)
−8 x − 4
y′ =
=
2
x2 + x − 1

x2 + x − 1

(

(

) (

)

)

(

 ax 2 + bx + c ′
 2
÷
 a1 x + b1 x + c1 

)

(

Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số
là:
2x + a −1
2ax + 1 − a
A.
.
B.

.

)

(với a là hằng số) tại mọi

2ax + 3a 2 − 2a + 1

y ′ = 2ax + a − 1

C.
Lời giải

STUDY TIP
( c)′ = 0

Với c là hằng số thì
( c.u ) ′ = c.u′

( x ) ′ = nx
n

n −1

⇒ a + b = −12

STUDY TIP
a b 2
a c
b c

x +2
x+
a b
a1 c1
b1 c1
= 1 1
2
a1 x 2 + b1 x + c1

y = ax 2 + ( a − 1) x + a3 − a 2

Đáp án D.

2

,n∈¥*

. D.

2ax + a − 1

x∈¡

.


ax + b

y = x + x +1
2

Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số
a −b
đó
bằng:
a −b = 2
a − b = −1
A.
.
B.
.

(x
y′ =
Ví dụ 7. Đạo hàm của hàm số
A.
C.

4 ( x − x + 1)

4

5 ( x 2 − x + 1)

4

Đáp án C.

a −b =1
C.

.
Lời giải

+ x + 1) ′

=

2 x2 + x + 1

Đáp án C.

2

2

bằng biểu thức có dạng

( 2 x − 1)
( 2 x − 1)

y = ( x 2 − x + 1)

2x +1
2 x2 + x +1

2 x2 + x + 1

D.

a − b = −2

. Khi

.

⇒ a −b =1

5

là:

.

B.

.

5 ( x 2 − x + 1)

4

(x

( 2 x − 1)

D.
Lời giải
y ′ = 5 ( x 2 − x + 1)

4

(x

2

2

− x + 1)

4

.

− x + 1) ′ = 5 ( x 2 − x + 1)

4

.

( 2 x − 1)

STUDY TIP
u n ′ = n.u′u n−1 , n ∈ ¥ *

( )

Với

u = u ( x)

:

( u ) ′ = 2u′u

y = ( x 2 + 1) ( 5 − 3x 2 )

Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số
a
T=
b
đó
bằng:
−1
−2
A.
.
B.
.

bằng biểu thức có dạng

3
C. .
Lời giải

D.

−3

ax3 + bx

. Khi

.

Đáp án D.

y′ = ( x 2 + 1) ′ ( 5 − 3x 2 ) + ( x 2 + 1) ( 5 − 3 x 2 ) ′ = 2 x ( 5 − 3 x 2 ) + ( x 2 + 1) ( −6 x ) = −12 x 3 + 4 x
STUDY TIP
u = u ( x ) , v = v ( x ) : ( uv ) ′ = u ′v + uv′

Với
y = x 2 ( 2 x + 1) ( 5 x − 3 )
ax 3 + bx 2 + cx
Ví dụ 9. Đạo hàm của hàm số
bằng biểu thức có dạng
a+b+c
. Khi đó
bằng:
31
51
34
24
A. .
B.
.
C. .
D.
.
Lời giải

Đáp án A.


Cách 1:

y′ = 2 x ( 2 x + 1) ( 5 x − 3) + x 2 .2 ( 5 x − 3) + x 2 ( 2 x + 1) .5 = 40 x 3 − 3 x 2 − 6 x

Cách 2: Nhân vào rút gọn ta được
a + b + c = 31

y = 10 x 4 − x 3 − 3 x 2 ⇒ y′ = 40 x 3 − 3 x 2 − 6 x

nên

STUDY TIP

u = u ( x ) , v = v ( x ) , ω = ω ( x ) ⇒ ( uvω ) ′ = u ′vω + uv′ω + uvω ′

x

y=
Ví dụ 10.

a2 − x2

Đạo hàm của hàm số
a2
a2
−
3

a2 − x2
a2 + x2
A.
.
B.

(

(

)

)

(

a

là hằng số) là:
2a 2

(a

3

.

C.
Lời giải

2

− x2 )

a2

(a

3

.

D.

2

− x2 )

3

.

Đáp án D.

a2 − x2 +
y′ =

a2 − x

x2

a2

a2 − x2 =
2

(a

2

− x2 )

y=

3

ax

1

(x

2

+ 1)

3

x +1
a
Ví dụ 11. Đạo hàm của hàm số

bằng biểu thức có dạng
. Khi đó
nhận giá trị nào sau đây:
a = −4
a = −1
a=2
a = −3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Đáp án B.
′
x2 +1
− x2 + 1 ′
−x
y′ = −
=
=
⇒ a = −1
2
x +1
2 x 2 + 1. x 2 + 1
x 2 + 1. x 2 + 1

(

)

(

(

)

2

)

(

)

STUDY TIP
u′
′
u =
u = u ( x) :
2 u

( )

2
 x + x + 1 khi x ≤ 1
f ( x) = 

 x − 1 + 3 khi x > 1

Ví dụ 12. Đạo hàm của hàm số
khi x < 1
2 x

f ′( x) =  1
 2 x − 1 khi x > 1

A.
.

B.

là:
2 x + 1 khi x < 1

f ′( x) =  1
 x − 1 khi x > 1


.


C.

2 x + 1 khi x ≤ 1

f ′( x) =  1
 2 x − 1 khi x > 1



.

D.
Lời giải

2 x + 1 khi x < 1

f ′( x) =  1
 2 x − 1 khi x > 1


.

Đáp án D.
x < 1: f ′ ( x ) = 2 x + 1
Với
1
x > 1: f ′ ( x ) =
2 x −1
Với
f ( x ) − f ( 1)
x −1
lim+
= lim+
= +∞
x = 1,
x →1
x →1

x = 1.
x −1
x −1
Với
ta có
nên khơng có đạo hàm tại
2 x + 1 khi x < 1

f ′( x) =  1
 2 x − 1 khi x > 1

Vậy
STUDY TIP
Loại bài tốn kết hợp giữa tính đạo hàm bằng cơng thức và tính đạo hàm bằng

Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số

A.

C.

Với

 − x khi x < 1

f ′( x) =  1
 − x 2 khi x > 1

− x khi x < 1


f ′( x) =  1
 x 2 khi x > 1

Đáp án B.
x < 1: f ′ ( x ) = − x

x > 1: f ′ ( x ) = −
Với

1
x2

.

.

định nghĩa tại 1 điểm
 3 − x2
 2 khi x < 1
f ( x) = 
1
khi x ≥ 1
 x

B.

D.
Lời giải

x0 .

.


− x khi x < 1

f ′ ( x ) = −1 khi x = 1
 1
− 2 khi x > 1
 x

− x khi x < 1

f ′ ( x ) = 1
khi x = 1
 1
− 2 khi x > 1
 x

.

.


Với

⇒

x = 1,

ta có

Hàm số liên tục tại

Xét

Vậy
-

1

f ( x ) = lim+ = 1
+
 xlim
→1
x →1 x
⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = 1 = f ( 1)

2
x →1
x →1
3
−
x
 lim f ( x ) = lim
=
1
 x →1−
x →1−
2

x = 1.



f ( x ) − f ( 1)
= lim+
 xlim
+
x →1
 →1
x −1


f ( x ) − f ( 1)

= lim−
−
 lim
x →1
x →1
x −1

1
−1
x
= −1
x −1
⇒ f ′ ( 1) = −1
3 − x2

−1
2
= −1
x −1


− x khi x < 1

f ′ ( x ) = −1 khi x = 1
 1
− 2 khi x > 1
 x

STUDY TIP
Trên các khoảng xác định ta tính đạo hàm bằng quy tắc.
x = x0
Tại điểm
ta xét đạo hàm bằng định nghĩa.

Ví dụ 14. Cho hàm số
4
A. .

f ( x ) = ( 3 x 2 − 1)
8

B.

.

2

. Giá trị

f ′ ( 1)

là:
−4
C.
.
Lời giải

D.

24

.

Đáp án D.

f ′ ( x ) = 2 ( 3x 2 − 1) ( 3x 2 − 1) ′ = 12 x ( 3 x 2 − 1) ⇒ f ′ ( 1) = 24

Cách 1:
Cách 2: Sử dụng MTCT

Nhập vào màn hình:
Nhận xét: Bằng cách 2 ta có thể tính nhanh chóng đạo hàm tại một điểm
xác định

x = x0

.
STUDY TIP
Dùng MTCT:

Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm chỉ ra
Ví dụ 15. Cho hàm số

f ( x ) = x −1

. Đạo hàm của hàm số tại

x =1

là:

x = x0

.