Bài tập chuỗi lũy thừa có lời giải

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi hàm

Bài 03.04.1.001


Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa


n2

2n n 2   1
n n
3

n

xn

2

Lời giải:
1

Có lim

n  n

an

 lim
n

n

n 2/3  n1/2

 1
2 1   
 2

n

 lim

n

Vậy bán kính hội tụ là R 

n

n

n 2/3  n1/2

  1 
2 1     
  2  
n



1
2

1
2

Bài 03.04.1.002


Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

 n  1

  2n !!  x  2 

n 1

n0

Lời giải:

an
n  1  2n  2 !!
n 1
.
 lim
.  2n  2   
Có lim n1  lim
n a
n  2n !!

n
n
n
Vậy bán kính hội tụ là R  
Bài 03.04.1.003
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa



  1
n 1

Lời giải:
Có lim
n

an
n  2 n 1
 lim
.
1
an1 n n n  1

Vậy bán kính hội tụ là R  1

n 1

 2 n
1   x
 n

Bài 03.04.1.004


x2n
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n
n 1 3 .n

Lời giải:



x2n
1
Có  n   a n x 2 n ,ta xét: lim
 lim3 n n  3  R  3
n

n
n a
n 1 3 .n
n 1
n

Vậy bán kính hội tụ là R  3
Bài 03.04.1.005


n2

xn
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n1
 31ln n
n2 8

Lời giải:
1/ n

ln n 

8 8  3 n 
n n 1
1
8  3ln n
8 
 lim
 lim 
Có lim
n 2
n 2
n n
n
an n
n
n

8.80

8
1

Vậy bán kính hội tụ là R  8.
Bài 03.04.1.006

 n 1 
Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  

n2  n  2 


2 n2  3 n 1

Lời giải:
lim

n  n

n2
 lim 

an n   n  1 

1

2 n 2  3 n 1
n


3 


 lim 1 

n  
 n 1


n 1
3

3 

 lim 1 

n 
 n 1






3 2 n 2  3 n 1
.
n 1
n

 e6

2 n 2  3 n 1
n

xn


Vậy bán kính hội tụ là R  e6

Bài 03.04.1.007


Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

xn

2
n 1 n

Lời giải:
an
an
1
1
 n 1
 2:

1
  nlim
2
 a
an 1 n  n  1
 n 

n 1
2

R  1, chuỗi hội tụ với x  1 , phân kì với x  1

x2
1
Tại x  1 có 2  2 mặt khác
n
n



1

n
n 1

2

hội tụ

Do đó chuỗi lũy thừa hội tụ tại x  1
Vậy miền hội tụ là  1;1
Bài 03.04.1.008
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

n2 n
x
n

3
n0




Lời giải:
an
a
n2 n3
n2
 n : n 1  3
 lim n  3
n  a
an 1
3
3
n3
n 1
R  3, chuỗi hội tụ khi x  3, phân kì khi x  3.

Tại x  3 có





 a x    n  2 phân kỳ.
n

n0

Tại x  3 có

n

n0





 a x    1  n  2 phân kỳ.
n

n0

n

n0

n


Miền hội tụ  3;3
Bài 03.04.1.009


xn
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 

n0 n  1

Lời giải:
an
a
1
1
n2

:

 lim n  1
n  a
an 1 n  1 n  2 n  1
n 1
R  1, chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x  1.

Khi x  1 có



1

 n  1 phân kỳ.
n 1

Khi x  1 có



 1

n

 n 1

là chuỗi đan dấu hội tụ.

n 1

Miền hội tụ là [  1; 1).
Bài 03.04.1.010


x2n
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   1
 2n !
n0
n

Lời giải:
Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0: a2 n 1  0.
Đặt y  x

 1 y n
có chuỗi lũy thừa: 
n  0  2n !


2

n

 2  n  1 !  2n  1 2n  2
a
 1 :  1
Có n 




an 1
 2n !  2  n  1 !
 2n !
n

 lim

n 

an

an 1

n 1


Miền hội tụ  ;  
Bài 03.04.1.011

 x  2



5

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

n 1

n3

n

*

3n  1

Lời giải:
Ta đặt X  x  2, an 

1

Ta có:



1
5

n3

3n  1

chuỗi (*) trở thành

a X

n

n

n 1

n 
5 n 31/3 n n1/3 
5

 n 5n 3 3n  1

an

n

Nên bán kính hội tụ là R = 5

X   5;5  x  2   5;5  x   3;7 
Xét x  3 chuỗi (*) trở thành

5

n3

n 1

Xét x  7 chuỗi (*) trở thành



5
n 1

an 

1
3

3n  1

1
3

3n1/ 3

( 

 5





3n  1

 5

n3

n

n

3
n0



3n  1

3
n0

 1

n

3n  1
1

3n  1

1
 1)
3

Vậy miền hội tụ là [  3, 7)
Bài 03.04.1.012
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa




n 1

 x  5

n

 *

3n n!

Lời giải:
1
Ta đặt X  x  5, an  n chuỗi (*) trở thành
3 n!



a X

n 1

n

n

hội tụ theo Leibniz

phân kỳ do


3  n  1!
a
n 
Ta có: n 
 3  n  1 

n
an 1
3 n!
n 1

Khi đó X  x  5   ,    x   ,  
Vậy miền hội tụ của chuỗi là

.

Bài 03.04.1.013
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa và tính tổng




n0

2n

 x  2

n

Lời giải:
1
 Đặt X 
, an  2n thì (1) trở thành
x2



 a .X
n0

n

n

(2)

an
2n

1
1
Ta có lim
 lim n 1   R 
n  a
n  2
2
2
n 1
n




1
1
Tại X    2n X n   2n    1n phân kỳ.
2
 2  n0
n0
n0
n




1
n
n
n

n 1
Tại X     2 X   2       1 phân kỳ.
2
 2  n0
n0
n0

 1 1
Do vậy miền hội tụ của (2) là   , 
 2 2

x  0
1
1
1
Ta có:  
 
2 x2 2
 x  4

Vậy miền hội tụ của (*) là  , 4   0,  
 Tính tổng:

1






n0

n0

Xét (2) có S  x    2n X n    2X 

1   2X 

 S  x   1   2X   ....   2X  
1

n

 S  x   lim Sn  x   lim
n 

 S  x 

1   2X 

n 

1
a 2  b2
1  2X

Xét (1): Thay X 

n

n 1

1  2X
n 1



1  2X

1
 1 1
(Vì X    ,  )
1  2X
 2 2

 *

1
vào (*):
x2

 S  x 

1
1
x2


1  2X 1  2 1
x

x2

Bài 03.04.1.014
n2



 n  n
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  
 x
n 1  n  3 

*

Lời giải:
Xét an 

n
n3

Ta có:
3

lim

n 

n

1

1
 n 
an  lim 
 lim
 3  R  e3

n
n  n  3
e

 n   n  3 


 n 


n2

 n  n   n 
Tại x  e   
 x  

n 1  n  3 
n 1  n  3 
3

 lim n an  1  0
n 

n2

 e 

3 n



 n 
   1 

 n  3
n 1
n

n2

e 

3 n


Vậy miền hội tụ của chuỗi là D   e3 , e3 
Bài 03.04.1.015

 n 1 
Tìm miền hội tụ của chuỗi  

n  0  2n  3 


n2

 x  2

*

2n

Lời giải:
Đặt X   x  2  , X  0.
2

 n 1  n
Ta tìm miền hội tụ của chuỗi  
 X
n  0  2n  3 
n



Xét an 

n 1 1
n 1
có lim n an  lim
 R2
n 
n  2n  3
2n  3
2

n  2n  2 
 n 1  n 
Tại X  2 chuỗi (*) thành   1 
 2    1 

 2n  3 
 2n  3 
n0
n0


n

n

2n  2
 1  0 nên chuỗi phân kỳ.
n  2n  3

 lim n un  lim
n 

Vậy miền hội tụ theo X là  2, 2 
 miền hội tụ x  2  2  2  2  x  2  2

Bài 03.04.1.016
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



 n  x  2 *
n

n

n 1

Lời giải:
Ta đặt X  x  2, a n  nn chuỗi (*) thành



a X
n 1

n

n

n


1
n



an

1
n

nn



1 n 

0  R
n

Khi đó X  x  2  0  x  2
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là {2}
Bài 03.04.1.017
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



 x  1

2
n 1

n

n

 *

 3n

Lời giải:


1
Ta đặt X  x  1, an  n
chuỗi (*) thành
2  3n

1

Ta có:
n

 n 2n  3n

n

a X

n

n

n 1

n 
3n 
3

an

Suy ra bán kính hội tụ là R  3  X   3, 3


Tại X  3 chuỗi (*) trở thành: 
n 1

 3

n

2n  3n



  un là chuỗi phân kỳ
n 1

3n
n 
Vì un  n

1  0  lim un  0
n
x 
2 3

Vậy miền hội tụ là  2, 4 

Bài 03.04.1.018
n2
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  

n 1  n  1 


n  n 1

xn

Lời giải:
n2
Đặt an   

n 1  n  1 


n  n 1

khi đó (*) trở thành



a x
n 1

n

n

*


Ta có lim

n 

n

1 

an  lim 1 

n 
 n 1


1
n2
Tại x     

e
n 1  n  1 

 lim

n 

n

n  n 1

n 1

e R

1
e
n

n
n 1
n
 
1  
n1
 1

      1 
   1  
n

1
 e

 
e
n 1 


1 

an  lim 1 

n 
 n 1

n 1

1
1
.  e.  1  0
e
e

 1 1
Vậy miền hội tụ là D    , 
 e e

Bài 03.04.1.019
n
 n 1 
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  
  x  2
n 1  3n  2 


n

 *

Lời giải:
 n 1 
Đặt X  x  2, an  
 chuỗi (*) trở thành
3
n

2



Xét lim n an  lim
n 

n 



a X
n 1

n

n

(**)

n 1

1
 R3
3n  2 3


n
n
 n 1 
 3n  3 
Tại X  3 ta được  
  3   
  1
n 1  3n  2 
n 1  3n  2 


Có lim n un  lim
n 

n 

n

3n  3
 1  0 nên tại X  3 chuỗi không hội tụ.
3n  2

Vậy miền hội tụ của chuỗi (**) là  3, 3
do đó miền hội tụ của chuỗi (*) là  1, 5
Bài 03.04.1.020

n


Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



n
n2

1

 x  1 1
n

 ln n 

2

Lời giải:
Đặt X  x  1, an 



1
n  ln n 

chuỗi (1) thành

2

n2

Ta có:

n 

n

(2)

n

1
n

n  ln n 
an 1
 lim
 lim
2
n 
n 
1
an
 n  1  ln  n  1 
2ln  n  1 .
n 1
2

lim

a X

ln n
n  ln  n  1

Với lim

2ln n.

Lopi tan

1
 lim n  1  R  1
n 
1
n 1

Lopi tan

Tại X  1 ta được chuỗi



n
n2

1

 ln n 

2

 1

n

(*)

n  ln n 
a
lim n 1  lim
1 
2
n 
Từ đó ta có: n  an
chuỗi (*) phân kỳ.
 n  1  ln  n  1 
2

Vậy miền hội tụ của (2) là  1, 1 nên miền hội tụ của (1) là  2, 0 
Bài 03.04.1.021
 n 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi  

n2  n  1 


n  n 1

 x  1 *
n

Lời giải:
 n 1
Ta đặt X  x  1, an  

 n 1

n  n 1



chuỗi (*) thành

a X
n2

n

n


 n 1
 

 n 1
an

1

Ta có:
n

n  n 1

 n 1


 n 1

n

n 1

2 

 1 

 n 1

n 1
n 

 e2

Suy ra bán kính hội tụ là R  e2 .
 n 1

Ta xét tại X  e . chuỗi (*) thành  

n2  n  1 


n  n 1

2



 e    u
2 n

n2

n

Ta có:

 n 1
un  

 n 1

n  n 1

e 
2n

 n 1
Suy ra chuỗi  

n2  n  1 


n

 n 1
un  

 n 1

n  n 1

n 1

e 

e2

2

 n 1


 n 1

n 1

 e  phân kì.
2 n

Vậy miền hội tụ là  1  e2 ,  1  e2 
Bài 03.04.1.022


Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa


n0

2

 1

n

xn



n  5 .3

n

 *

Lời giải:
Có R  3  x   3,3



Xét x  3 (*) trở thành 
n0

 1  3
n

2

n







n  5 .3n


Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với

n 1

1

n
n 1

1/ 2

2

1
n 5





e2
2 

1 

 n 1

n 1

 1, n  2


Xét x  3 (*) trở thành 
n0

Chuỗi đan dấu với an 



 1  3
n



2

n



n  5 .3n

1
2 n 5






n 1

1

2

n 5



 0 và giảm nên hội tụ theo Leibnitz.

Vậy miền hội tụ là D  (3, 3]
Bài 03.04.1.023
n
 n3 
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  
  x  1
n 1  2 n  1 


n

 *

Lời giải:
Có R  2  x  1  2, 2   x   1, 3


n
n
 n3 
 2n  6 
Xét x  1 (*) trở thành  
  2    
  1   an
n 1  2n  1 
n 1  2n  1 
n 1

n




5  
5 
 2n  6  

1


1

Mà 
 



 2 n  1   2 n  1   2 n  1 

n

n

n

2 n 1
5






5
.n
2 n 1
n 

 e5/ 2

 an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.


n
 n3 
 2n  6 
2


Xét x  3 (*) trở thành  





  an
n 1  2n  1 
n 1  2 n  1 

n 1


n

 an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.

Vậy miền hội tụ là D   1, 3
Bài 03.04.1.024

n


Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



 2  x  5 *
n

n2

n0

Lời giải:

1

Có lim

n  n

an

 lim

n  n

1
2n

1
0
n  2n

 lim

2

Khi đó bán kính hội tụ R  0
Vậy chuỗi chỉ hội tụ tại 5
Bài 03.04.1.025
 2n 3n  n
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   n  2  x
n 
n 1  3


*

Lời giải:
Có R 

1
 1 1
 x , 
3
 3 3

n
n
n

 
 2n.n 2  9n   1 
1
 2   1 
Xét x   (*) trở thành  
          2 
3n.n 2   3  n 1  9 
n 
3
n 1 

n



 2
Do chuỗi     và

n 1  9 




n 1

 1

n

n2

 2n.n2  9n   1 
hội tụ nên  
    hội tụ.
3n.n2   3 
n 1 
n



n
n

 
 2n.n 2  9n   1 
1
1
2



Xét x  (*) trở thành  

     
3n.n 2   3  n 1  9  n 2 
3
n 1 


n

2
Do chuỗi    và
n 1  9 



1
hội tụ nên

2
n 1 n

 1 1
Vậy miền hội tụ là D    , 
 3 3

 2n.n2  9n   1 



   hội tụ.
3n.n2   3 
n 1 


n


Bài 03.04.1.026

 x  8 *
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 
 
2n
n 1  n !
n



Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy bán kính hội tụ R  
Vậy miền hội tụ là D   , + 
Bài 03.04.1.027
n



2 n 1
 n 

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  
  x  1
n 1  2n  1 

 *

Lời giải:
Hiển nhiên với x  0, 1 chuỗi hội tụ.
n

2n
 n 
Xét chuỗi (*) có an  
  x  1 , n 
 2n  1 

Khi đó

n

 x  1
n
2
an 
 x  1 
2n  1
2

2

 TH1:  x  1  2 chuỗi hội tụ.
2

 TH2:  x  1  2 chuỗi phân kỳ.
2

 TH3:  x  1  2
2



1
2n
 n 
 2n  
x

1


1










2 n 1

 2n  1 
 2n  1    2n  1


n



Vậy miền hội tụ là D  1  2, 1+ 2
Bài 03.04.1.028



2 n 1






n
2 n 1


 e1/ 2  0


Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

n2
n
x

3


2
n 1 n




Lời giải:
Có U n 

n2
n2
n
,
ta
xét:
lim
U

lim
( x  3) n  0 ( x  3)
(
x


3)
n
2
2
n 
n  n
n

Nhận thấy

Un  1
(n  3)( x  3) n .n 2
(n3  3n 2 )( x  3)


Un
(n  1)2 (n  2)( x  3) n n3  4n 2  5n  2

Theo dấu hiệu D’lambe có:


U



n 1

n

là hội tụ  4  x  2

 x  2
là
phân
kỳ

U

n
 x  4
n 1







Vậy miền hội tụ của

U
n 1

n

là (-4,-2)

Bài 03.04.1.029
n

 n 1 
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  
  x  1
n 1  2n  1 


Lời giải:
Có U n  (

n 1 n
) ( x  1) n
2n  1

n 1
n
 n 1 
Un  
x 1
 x 1 
2n  1
 2n  1 
n

Xét

n

n



Theo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụ
n 1

n


n 1
x 1  1
n  2n  1

 lim n U n  1  lim
n 

 x  1  2  1  x  2


Vậy miền hội tụ của

U
n 1

là (-1,2)

n

Bài 03.04.1.030


x3n

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n
n 1 n.4

Lời giải:
Có U n 
Mà:

n

x3n
n.4n

Un 

x
n

3

n .4



1
n

n .4

x

3



Theo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụ
n 1

 x 4 x  3 4
3



vậy miền hội tụ của

U
n 1

n

là ( 3 4, 3 4)

Bài 03.04.1.031
( x  2) 2 n 1
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 
2n  1
n0


Lời giải:
Có: U n 

( x  2) 2 n 1
2n  1


U n  1 ( x  2)2 n  3 (2n  1) (2n  1) 2


Xét
Un
(2n  3)( x  2) 2 n 1
2n  3


Theo dấu hiệu Dalambe ta có

U
n 1

n

là hội tụ

Un  1
 1  x  2  1  3  x  1
x 
Un
lim



U

Vậy miền hội tụ của

n0

n

là  3,  1 .

Bài 03.04.1.032.A745
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



  1

n

nx n

n 1

Lời giải:
Với an   1 nx n có:
n

1  n  1 x n 1
an 1


n 1

1 
lim
 lim

lim

1
x

lim
1




 x x
n

n
n  a
n 
n 
n 
n
n

 


1
nx

 
n
n 1

Từ đó, chuỗi



  1

n

nx n hội tụ khi x  1 với bán kính hội tụ R  1.

n 1

Xét tại x  1 được chuỗi




  1 n  1    1
n

n 1

n

n

 1
n 

n phân kỳ do lim

n 1

n

n 

Vậy miền hội tụ là D   1, 1
Bài 03.04.1.033.A745
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:




n 1

Lời giải:

 1
3

n

n

xn


Với an

 1

3

n

xn

xét:

n

3
1 x n 1
1 x 3 n
an 1


n
1
3
lim

 lim 3
.

lim

lim
x  x
n
3
n
n  a
n 
n 
n  1  1 / n
n

1
n

1
 1 x
n
n 1



Chuỗi


n 1

 1
3

n

xn

hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1.

n

Tại x  1 chuỗi





 1

n 1

Tại x  1 chuỗi

n




n 1

3

n

n

hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

1 

phân kì do     1
3 
n


1
3

Vậy miền hội tụ là (1, 1]
Bài 03.04.1.034.A745


xn
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: 
n 1 2n  1

Lời giải:
xn
Với an 

xét:
2n  1

an 1
x n 1 2n  1
 2n  1 
lim
 lim
. n  lim 
x x
n  a
n  2n  1
n  2n  1
x


n


Chuỗi

xn
hội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1.

2
n

1
n 1

Tại x  1 chuỗi



1
1
1
1  1

phân
kỳ
do
mà
phân kỳ.


2
n

1
2
n
2
n

1
2
n
n 1
n 1

Tại x  1 chuỗi



 1

n

 2n  1 hội tụ theo chuẩn Leibnitz.
n 1


Vậy miền hội tụ là [  1, 1).
Bài 03.04.1.035.A745
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:





 1

n 1

n

xn

n2

Lời giải:
Với an

 1


n

xn

xét:

n2

n 1
 n  2  2
1 x n 1
an 1

n2
lim
 lim
.
 lim 
 x  1 x  x
2
n
n  a
n 

 n  1  1 x n n   n  1  
n

Tại x  1 chuỗi





 1

n 1

Tại x  1 chuỗi



n2
1

n
n 1

2

n

hội tụ theo chuẩn Leibnitz.
hội tụ (do   2  1 )

Vậy miền hội tụ là  1, 1
Bài 03.04.1.036.A745


xn
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: 
n  0 n!

Lời giải:
Với an 

xn
xét:
n!

an 1
x n 1 n!
x
1
lim
 lim
. n  lim
 x lim
 x .0  0  1
n  a
n   n  1! x
n  n  1
n  n  1
n
Nên bán kính hội tụ là R  

Vậy miền hội tụ là  ,  


Bài 03.04.1.037.A745
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



 nx

n

n 1

Lời giải:
Với an  nn x n xét:

lim n an  lim n x  , x  0

n 

n 

Vậy bán kính hội tụ là R  0 và miền hội tụ là D  0
Bài 03.04.1.038.A745


n2 xn
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1
2n

n 1
n

Lời giải:
n2 x n
Với an   1
xét:
2n
n

2
2
2
x
n  1 x n 1 2n
x  n  1
an 1

1  x
1
2
lim
 lim
.

lim

lim
1



1

x






n  a
n 
n 
2n 1
n 2 x n n 
2n 2
n   2
2
 2 
n
2 n

1
n n x
Chuỗi   1
hội tụ khi x  1  x  2 , bán kính hội tụ R  2.
n
2
2
n 1

Tại x  2 chuỗi



  1

n

n 1

n2  2 
2

n

n



   1 n2 phân kỳ do lim  1 n 2  
n

n

n 

n 1

Vậy miền hội tụ là  2, 2 

Bài 03.04.1.039.A745


Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
Lời giải:

10n x n

n3
n 1


Với an 

10n x n
xét:
n3

10 x
10 x
an 1
10n 1 x n 1 n3
10 xn3
lim
 lim
. n n  lim
 lim
 3  10 x
3
3

3
n  a
n 
1
 n  1 10 x n   n  1 n  1  1 / n 
n


10n x n
1
Chuỗi  3 hội tụ khi 10 x  1  x  , bán kính hội tụ là R  10.
n
10
n 1


1
Tại x  
chuỗi
10



n3

n 1



1

Tại x 
chuỗi
10

 1

1

n
n 1

3

n

hội tụ theo chuẩn Leibnitz.

hội tụ (do   3  1 )

 1 1
Vậy miền hội tụ là   ,

 10 10 

Bài 03.04.1.040.A745
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



 3

n
n 1

n

n

xn

Lời giải:
Với an

 3


n

xn

n3/ 2

xét:

3 x n 1 n3/ 2
an 1

 n 
lim
 lim

.

lim

3x


3/
2
n
n  a
n 
 n 1
 n  1  3 x n n 
n
n 1

3/ 2

 1 
 3 x lim 

n  1  1 / n



 3 x 1  3 x


Chuỗi

 3

n
n 1

n

n

x n hội tụ khi 3 x  1  x 

1
Tại x  chuỗi
3




n 1

 1
n3/ 2

1
1
, bán kính hội tụ R 
3
3

n

hội tụ theo chuẩn Leibnitz.

3/ 2


Tại x  



1
chuỗi
3

1

n
n 1

3/ 2

hội tụ do  

3
1
2

 1 1
Vậy miền hội tụ là   , 

 3 3

Bài 03.04.1.041.A745


xn
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  n
n 1 3 n

Lời giải:
xn
Với an  n xét:
3 n

lim

n 

x n 
x 1  1
an 1
x n 1
3n n
 lim
.

lim

lim




 x
n   n  1 3n 1 x n
n  3
n  3 1  1 / n
an
n

1



 3


xn
1
Chuỗi  n hội tụ khi x  1  x  3, bán kính hội tụ là R  3.
3
n 1 3 n

Tại x  3 chuỗi



1

 n là dãy phân kỳ.
n 1

Tại x  3 chuỗi



  1

n

n 1

1
hội tụ.
n

Vậy miền hội tụ là [  3, 3).
Bài 03.04.1.042.A745


xn
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1 n
4 ln n
n2

Lời giải:
Với an   1

n

xn

xét:
4n ln n

n


x
x
an 1
x n 1
4n ln n
ln n L ' hopi tan x
lim
 lim n 1
. n  lim

.1 
n  a
n  4
ln  n  1 x
4 n  ln  n  1
4
4
n


x
xn
Chuỗi   1 n
hội tụ khi

 1  x  4, bán kính hội tụ R  4.
4 ln n
4
n2
n

  1 4 
    1
xn



Tại x  4 chuỗi   1 n
4 ln n n  2 4n ln n
n2
n  2 ln n
4



n

1
1
Ta có ln n  n, n  2 
 mà
ln n n




1
phân kỳ nên

n2 n



1

 ln

phân kỳ.

n2


xn
n 1
   1
Tại x  4 chuỗi   1 n
hội tụ theo Leibnitz.
4 ln n n  2
ln n
n2
n

Vậy miền hội tụ là (4, 4]
Bài 03.04.1.043.A745
x 2 n 1

Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1
 2n  1!
n0


n

Lời giải:
x 2 n 1
Với an   1
xét:
 2n  1!
n

1 x 2 n  3  2n  1!
1 x 2
an 1


lim
 lim
.
 lim
n  a
n 
 2n  3!  1n x 2n 1 n   2n  3 2n  2 
n
n 1

 x 2 lim

n 

1

 2n  3 2n  2 

 x 2 .0  0  1

x 2 n 1
Nên chuỗi   1
phân kỳ với mọi x.
 2n  1!
n0


n

Vậy bán kính hội tụ R  , miền hội tụ  ,  
Bài 03.04.1.044.A745


Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:





 x  2

n0

n

n2  1

Lời giải:
Với an

 x  2


n

xét:

n2  1

a
 x  2  . n2  1  x  2 lim n2  1  x  2
lim n 1  lim
2
n
2
n  a
n 
n 
 n  1  1  x  2 
 n  1  1
n

n 1



Chuỗi


n0

 x  2

n

hội tụ khi x  2  1  1  x  3 , bán kính hội tụ R  1.

n2  1

Tại x  1 chuỗi



  1

1
hội tụ theo chuẩn Leibnitz.
n2  1

n

n0

Tại x  3 chuỗi



1
hội tụ do

2
n

1
n0



1

n
n0

2

hội tụ mà

1
1

n2  1 n2

Vậy miền hội tụ là 1, 3
Bài 03.04.1.045.A745
Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:



  1
n0

n

 x  3

n

2n  1

Lời giải:
Với an   1

n

 x  3

n

xét:

2n  1

a
 x  3 . 2n  1  x  3 lim 2n  1  x  3
lim n 1  lim
n  a
n 
n  2n  3
2n  3  x  3  n
n
n 1



Chuỗi

  1
n0

n

 x  3

n

2n  1

hội tụ khi x  3  1  2  x  4, bán kính hội tụ R  1.