Bài tập tích phân kép, tích phân bội có lời giải

TÍCH PHÂN KÉP, BỘI
Bài 02.02.1.040.A995: Vẽ ví dụ về 1 vùng có:
(a).Cả loại I và loại II
(b).Không phải loại I và loại II
Lời giải:
(a)Ở hình vẽ dưới chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 khu vực D thỏa mãn điều kiện:
có cả loại I và loại II.

(b)Ở hình vẽ dưới chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 khu vực D thỏa mãn điều
kiện: không phải loại I và loại II.


Bài 02.02.1.041.A995: Lấy D là 1 miền khu vực có loại I và cũng có cả
loại II. Tính giá trị tích phân kép

 xdA , D khép kín bởi đường

y  x, y  0, x  1

D

Lời giải:

Với vùng miền loại I, D nằm giữa ranh giới thấp hơn y  0 và cao hơn
ranh giới y  x với 0  x  1 , bởi vậy D   x, y  / 0  x  1,0  y  x  .
Nếu chúng ta mô tả D như vùng miền loại II, D nằm giữa đường biên bên
trái x  y

và đường biên bên phải x  1 với 0  y  1 , bởi vậy

D   x, y  / 0  y  1, y  x  1 .

1 x

Như vậy

1

1

1 3 1 1
1
2
 x   1  0  
xdA

xdydx

xy
dx

x
dx



D



y 0
0

3
3
3
0 0
0
0
yx

Hoặc:
x 1

1
1
1 3  1  1   1
1 2
2
xdA

xdxdy

x
dy

1

y
dy

y


y    1    0  


D



 2 

2
2
3
 0 2  3   3
x y
0 y
0
0
1 1

1

1

1


Bài 02.02.1.042.A995: Lấy D là 1 miền khu vực có loại I và cũng có cả
loại II. Tính giá trị tích phân kép

 xydA , D khép kín bởi đường cong

y  x 2 , y  3x

D

Lời giải:

Đường cong y  x 2 và y  3x giao nhau tại điểm  0,0  ,  3,9  .Với vùng
miền loại I, D khép kiến bởi giới hạn dưới y  x 2 và giới hạn trên y  3x với
0  x  3 , bởi vậy D   x, y  / 0  x  3, x 2  y  3x  . Nếu chúng ta mô tả

D với vùng miền loại II, D được đóng kiến bới đường biên trái x 
đường biên phải x  y với 0  y  9 ,bởi vậy
y


D   x, y  / 0  y  9,  x  y  .
3



Như vậy:
y 3 x

1
 1 2
2
4
D xydA  0 2 xydydx  0  x. 2 y  y x2 dx  2 0 x  9 x  x  dx
x

3 3x

3

3

1
1 1
1  1  9
1
  243
   9 x3  x5  dx  9. x 4  x 6    .81  .729   0  
20
2 4
6  0 2  4
6
8
 
3

3

y
và
3


Hoặc

:

9

y

 xydA   
0 y
3

D

x y

1 
1 
1 
1 
1

xydxdy    x 2 y 
dy    y  y 2  ydy    y 2  y 3  dy
2
2 0
9 
2 0
9 
 x y
0
9

9

9

3

1 1
1 1  1  1
1
  243
  y 3  . y 4    .729  .6561  0  
2 3
9 4  0 2  3
36
8
 
9

Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau đó tính giá trị tích phân
kép bằng phương pháp dễ nhất và giải thích tại sao dùng nó.

 ydA ,D là tạo thành bởi

y  0, y  x2 , x  1

D

Lời giải:

Các đường cong y  x  2 hoặc x  y  2 và x  y 2 cắt nhau khi

y  2  y 2  y 2  y  2  0   y  2  y  1  0  y  1, y  2 ,bởi vậy
giao điểm 1, 1 và  4,2 .nếu chúng ta mô tả D với miền loại I, giới hạn
trên là đường cong y  x nhưng giới hạn dưới bao gồm 2 phần y   x
với 0  x  1 và y  x  2 với1  x  4 .
Như vậy:

D

 x, y  / 0  x  1, 

 

x  y  x   x, y  / 1  x  4, x  2  y  x




1

Và

x

 ydA   

0 x

D

4

ydydx  

x



ydydx . Nếu chúng ta mô tả D với miền loại

1 x 2

II, D được khép kín bởi đường biên trái x  y 2 và đường biên phải

x  y  2 với 1  y  2 ,bởi vậy D   x, y  / 1  y  2, y 2  x  y  2 và
2 y2

 ydA   

ydxdy .Trong cả 2 trường hợp, tích phân lặp không quá khó

1 y 2

D

để tính nhưng với miền loại II sẽ đơn giản hơn
2 y 2

 ydA   

1 y 2

D

2

2

ydxdy    xy x y 2 dy    y  2  y
1

x y 2

1

2

2

 ydy    y

2

 2 y  y 3  dy

1

2

1 
1 9

1
8
  1
  y3  y 2  y 4     4  4      1   
4  1  3
4 4
3
  3
Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau đó tính giá trị tích phân
kép bằng phương pháp dễ nhất và giải thích tại sao dùng nó.

 y e

2 xy

dA ,D là tạo thành bởi y  x, y  4, x  0

D

Lời giải:

Với miền loại I, D   x, y  / 0  x  4, x  y  4 và


 y e

4 4

2 xy

dA   y 2e xy dydx

D

.Với

miền

loại

II,

0 x

4 y

D   x, y  / 0  y  4,0  x  y và  y e dA   y 2e xy dxdy .Đánh giá
2 xy

D

y e

2 xy

dy đòi hỏi phải tính

y e

2 xy

0 0

dx là không dễ, bởi vậy tích tích phân lặp

theo miền loại II
4 y

4

2 xy
xy
 y e dy   y e dxdy    ye 
2 xy

D

0 0

x y
x 0

0

4





dy   ye y  y dy
2

0

4

17
1 2 1   1
 1
 1
  e y  y 2    e16  8     0   e16 
2 0  2
2
2
 2
 2

Bài 02.02.1.044.A995: Tính tích phân kép
1.  x cos ydA ,D xác định bởi y  0, y  x2 , x  1
D

2.   x 2  2 y  dA , D xác định bởi y  x, y  x3 , x  0
D

3.  y 2 dA ,D là miền tam giác với các đỉnh  0,1 , 1,2 ,  4,1
D

4.  xy 2 dA ,D khép kín bởi x  0 và x  1  y 2
D

5.   2 x  y  dA ,D được xác định bởi đường tròn tâm là gốc và bán kính 2
D

6.  2 xydA ,D là miền tam giác với các đỉnh  0,0 , 1,2 , 0,3
D

Lời giải:


1.
1 x2

1

1

1
1
2
2 1


x
cos
ydA

x
cos
ydydx


x
sin
y
dx

x
sin
x
dx


cos
x



D
0 0
0
0
y 0
 0 2 1  cos1
2
y  x2

2.

  x
D

1 x

2

1

 2 y  dA     x  2 y  dydx    x 2 y  y 2 
2

0x

3

yx
y  x3

dx

0

1

1
1
1  1 1 1 1 23
1
   x  x  x  x  dx   x 4  x 3  x 6  x 7      
3
6

7  0 4 3 6 7 84
4
0
1

3

2

5

6

3.

2 7 3 y

 y dA   
2

1 y 1

D

2

x  7 3 y

2

y dxdy    xy 
dy    7  3 y    y  1 y 2dy 
x  y 1
2

2

1

1
2

8
11
8
 64
   8 y  4 y  dy   y 3  y 4  
 16   1 
3
3
3
1 3
1
2

2

3

4.

1

1 y 2

 xy dA   
2

1

D

0

x  1 y 2

1 
xy dxdy   y  x 2 
 2  x 0
1
1

2

2

1

1

dy   y 2 1  y 2  dy
2 1

1

1
1 1
1 
11 1 1 1 2
   y 2  y 4  dy   y 3  y 5        
2 1
2 3
5  1 2  3 5 3 5  15
1

5.

4 x 2

2



2 

y  4 x 2

1 2

2

x

y
dydx

2
xy

y 


2
2 
2
 y 
4 x
2

dx
4 x

2

1
1


   2 x 4  x 2   4  x 2   2 x 4  x 2   4  x 2   dx
2
2


2 
2

2

3
 4
2
2 2
  4 x 4  x dx     4  x    0
 3
 2
2
2


6.

 2 xydA 
D

1 3 x



1

 2 xydydx    xy

0 20

0

2

y 3 x

1

2
2

dx   x  3  x    2 x   dx
y 2 x


0

1

9 
3
9 7
 3
   3 x 3  6 x 2  9 x  dx    x 4  2 x 3  x 2     2  
2 0
4
2 4
 4

0
1

Bài 02.02.1.045.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Nằm dưới mặt phẳng x  2 y  z  1 và nằm trên vùng xác định bởi

x  y  1 và x2  y  1
Lời giải:


1 3 x

V 



1

0 2x
1

y 1 x 2

1  x  2 y  dydx    y  xy  y 2  y 1 x dx
0



 



   1  x 2   x 1  x 2   1  x 2   1  x   x 1  x   1  x 2   dx


0

1

   x 4  x 3  3x 2  x  2    2 x 2  4 x  2   dx
0

1

1
5
3 
1
   x  x  5 x  3x  dx   x 5  x 4  x 3  x 2 
4
3
2 0
5
0
1 1 5 3 17
    
5 4 3 2 60
1

4

3

2

Bài 02.02.1.046.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Nằm dười bề mặt z  1  x 2 y 2 và nằm trên vùng khép kín bởi x  y 2 và
x4

Lời giải:

x 4

1


V    1  x y  dxdy    x  x3 y 2  dy
3
 x y2
2 y 2
2 
2 4

2

2

2

2

61
1 
61
1 9
488 512
488 512 2336


   4  y 2  y 8  dy   4 y  y 3 
y  8

8


3
3
9
27
9
27
9
27
27





2

2
2


Bài 02.02.1.047.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Nằm dười bề mặt z  xy và nằm trên vùng tam giác với các đỉnh

1,1 ,  4,1, 1,2 
Lời giải:

2 7 3 y

V 



1

1

x  7 3 y

1

xydxdy    x 2 y 
2
 x1
1
2

2

1
dy    48 y  42 y 2  9 y 3  dy
21

2

1
9  31
  24 y 2  14 y 3  y 4  
2
4 1 8

Bài 02.02.1.048.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Kèm theo parabol z  x 2  3 y 2 và các đường thẳng x  0, y  1, y  x, z  0
Lời giải:


1

1  5
1
V    x  3 y  dydx    x y  y  dx    x  1  2 x  dx   x3  x  x 4  
yx
2 0 6
3
0 x
0
0

1 1

1

2

2

2

3

y 1

1

2

3

Bài 02.02.1.049.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Được hình thành bởi việc phối hợp các đường thẳng và mặt phẳng

3x  2 y  z  6
Lời giải:

2

3
3 x

2

0

0

V 



2

3
y x

 6  3x  2 y  dydx   6 y  3xy  y 2  y 02 dx
0

2
2
 
3 
3  
3  

9

  6  3  x   3 x  3  x    3  x   dx    x 2  9 x  9  dx
2 
2  

2  
4


0
0
 
2

2

9
3

  x3  x 2  9 x   6  0  6
2
4
0

Bài 02.02.1.050.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Được xác định bởi các đường thẳng z  x, y  x, x  y  2 và z  0
Lời giải:


1 2 x

V 

1

 xdydx   x  y 

0 x

y  2 x
yx

0

1

2  1

dx    2 x  2 x  dx   x 2  x3  
3 0 3

0
1

2

Bài 02.02.1.051.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Được xác định bằng các trụ z  x 2 , y  x 2 và các đường thẳng z  0, y  4
Lời giải:

2

1 
4
V    x dydx   x  y  y  x2 dx    4 x  x  dx   x 3  x 5 

5  2
3
2 x 2
2
2
2 4

2

2



2

y 4

2

2

4

32 32 32 32 128




3
5

3
5
15

Bài 02.02.1.052.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Được xác định bằng các trụ

y2  z2  4

x  2 y, x  0, z  0 trong mặt góc phần tư I

và các đường thẳng


Lời giải:

2 2y

V 

2

x 2 y

0 0

2

4  y dxdy    x 4  y 2  dy   2 y 4  y 2 dy


 x 0
0
0
2

2

3
 2
16 16
2 2
   4  y    0  
3
3
 3
0

Bài 02.02.1.053.A996: Tìm thể tích của vật rắn.

x 2  y 2  1 và các đường thẳng

Được xác định bằng các trụ

y  z, x  0, z  0 trong góc phần tư thứ I
Lời giải:

1 1 x 2

V 



0

0

y  1 x 2

 y2 
ydydx    
2  y 0
0
1

1  x2
1
1  1
dx  
dx   x  x 3  
2
2
3 0 3
0
1

1


Bài 02.02.1.054.A996: Tìm thể tích của vật rắn.
Được xác định bằng các trụ x2  y 2  r 2 và y 2  z 2  r 2

Lời giải:

Bằng phép đối xứng, nên thể tích V sẽ gấp 8 lần thể tích V1 trong góc phần
tư thứ I
r

V1  
0

r 2  y2


0

r

x r 2  y2

r  y dxdy    x r 2  y 2 

 x 0
0
2

2

r

dy    r 2  y 2 dy
0

r

1  2

 r 2 y  y3   r 3
3 0 3


Bởi vậy V 

16 3
r .
3

Bài 02.02.1.055.A996: Tìm thể tích của vật rắn bằng cách trừ hai thể tích
Vật rắn được bao bọc bởi các trụ parabol y  1  x 2 , y  x 2  1 và các mặt
phẳng x  y  z  2,2 x  2 y  z  10  0
Lời giải:


2 đường cong y  1  x 2 , y  x 2  1cắt nhau tại  1,0  với 1  x 2  x 2  1
trên  1,1 . Trong vùng này, các mặt phẳng z  2 x  2 y  10 ở trên mặt
phẳng z  2  x  y , bởi vậy:

1 1 x 2

1 1 x 2

1 x 1

1 x 2 1

V

  2 x  2 y  10  dydx     2  x  y  dydx

2

1 1 x 2



  2 x  2 y  10   2  x  y   dydx

1 x 1
2

1 1 x 2

y 1 x 2

3


    3 x  3 y  8  dydx   3 xy  y 2  8 y 
dx
2
2
2



y  x 1
1 x 1
1
1

2
3
3


  3 x 1  x 2   1  x 2   8 1  x 2   3 x  x 2  1   x 2  1  8  x 2  1  dx
2
2

1 
1

16
 3

   6 x  16 x  6 x  16  dx  x 4  x 3  3x 2  16 x 
3
2
 1
1
3 16
3 16
64

    3  16    3  16 
2 3
2 3
3
1

1

3

2

Bài 02.02.1.056.A996: Tìm thể tích của vật rắn bằng cách trừ hai thể tích
Vật rắn được bao bọc bởi các trụ parabol y  x 2 và các đường thẳng

z  3 y, z  2  y
Lời giải:


2 đường thẳng giao nhau tại y  1, z  3 , bởi vậy vùng giao điểm là vùng
khép kín bởi parabol y  x 2 và đường thẳng y  1 . chúng ta có 2  y  3 y
với 0  y  1 , bởi vậy vùng chưa chất rắn bị chặn trên bởi z  2  y và
chặn dưới bởi z  3 y

1 1

1 1

1 1

1 1

1 x 2

_1 x 2

1 x 2

1 x 2

V     2  y  dydx     3 y  dydx     2  y  3 y  dydx     2  2 y  dydx
1

2
1 
16

   2 y  y  2 dx   1  2 x  x  dx   x  x3  x5  
yx
3
5  1 15

1
1
1

2

y 1

1

2

4

Bài 02.02.1.057.A996: Phác thảo chất rắn bằng việc sử dụng phép lặp
không thể thiếu:
1 1 x

  1  x  y  dydx
0 0

Lời giải:

Chất rắn nằm bên dưới mặt phẳng z  1  x  y và x  y  z  1 và nằm trên
vùng D   x, y  / 0  x  1,0  y  1  x trong mặt phẳng xy. Vật rắn là 1
tứ diện.


Bài 02.02.1.058.A996: Phác thảo chất rắn bằng việc sử dụng phép lặp
không thể thiếu:
1 1 x 2

  1  x  dydx
0

0

Lời giải:

Chất rắn nằm dưới đường thẳng

z 1 x

và nằm trên vùng

D   x, y  / 0  x  1,0  y  1  x 2  trong mặt phẳng xy

Bài 02.02.1.059.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích
của chất rắn:
Nằm dưới mặt phẳng z  x3 y 4  xy 2 và nằm trên vùng xác định bởi

y  x3  x và y  x2  x với x  0
Lời giải:
Hai đường cong y  x3  x và y  x2  x cắt nhau tại gốc và x  2 , với

x 2  x  x3  x trên  0,2 .Sử dụng CAS, chúng ta tính được thể tích là:
2 x2  x

V 



0 x3  x

2 x2  x

zdydx  

 x y

0 x3  x

3

4

 xy 2  dydx 

13,984,735,616
14,549,535


Bài 02.02.1.060.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích
của chất rắn:
Nằm giữ 2 parabol z  2 x2  y 2 và z  8  x 2  2 y 2 và và bên trong trụ

x2  y 2  1
Lời giải:
Với x  1 và y  1 , 2 x2  y 2  8  x2  2 y 2 .Ngoài ra, các trụ được miêu tả
bằng sự bất bình đẳng 1  x  1,  1  x 2  y  1  x 2 . Bởi vậy thể tích
được tính :
1

V

1 x 2

 

1  1 x 2

 8  x 2  2 y 2    2 x 2  y 2   dydx  13


2

( sử dụng CAS )

Bài 02.02.1.061.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích
của chất rắn:
Xác định bởi z  1  x 2  y 2 và z  0
Lời giải:
Hai bề mặt giao nhau trong vòng tròn x2  y 2  1, z  0 và vùng giao nhau là
đĩa D : x 2  y 2  1 .
Sử dụng CAS, thể tích là :
V   1  x  y  dA 
2

D

2

1

1 x 2

  1  x

1  1 x 2

2

 y 2  dydx 


2

Bài 02.02.1.061.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích
của chất rắn:
Xác định bởi z  x 2  y 2 và z  2 y


Lời giải:
Chiếu lên mặt phẳng xy , giao điểm 2 bề mặt là vòng tròn
x 2  y 2  2 y  x 2  y 2  2 y  0  x 2   y  1  1 , bởi vậy vùng giao
2

điểm cho bởi 1  x  1,1  1  x 2  y  1  1  x 2 . Trong miền này,

2y  x 2  y 2 so với sử dụng CAS, thể tích là
1 1 1 x 2

V

 

1 1 1 x 2

 2 y   x 2  y 2  dydx  


2

Bài 02.02.1.062.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự
của chúng.
1 y

 f  x, y  dxdy
0 0

Lời giải:

Bời vì khu nhập :

D   x, y  / 0  x  y,0  x  1   x, y  / x  y  1,0  x  1
1 y

1 1

Chúng ta có:  f  x, y  dxdy   f  x, y  dA   f  x, y  dydx
0 0

D

0 x


Bài 02.02.1.063.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự

của chúng.
2 4

  f  x, y  dydx
0 x2

Lời giải:

Bởi vì khu hội nhập là

D   x, y  / x 2  y  4,0  x  2 

 x, y  / 0  x 

2 4

Chúng ta có

4



y ,0  y  4

y

  f  x, y  dydx  f  x, y  dA    f  x, y  dxdy
0 x2

D

0 0

Bài 02.02.1.064.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự
của chúng.

2 cos x

  f  x, y  dydx
0

Lời giải:

0


Vì vùng hội nhập có:



D   x, y  / 0  y  cos x,0  x     x, y  / 0  x  cos 1 y,0  y  1
2

Chúng ta có


1 cos 1

2 cos x

  f  x, y  dydx   f  x, y  dA    f  x, y  dxdy
0

0

D

0

0

Bài 02.02.1.065.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự
của chúng.
2

4 y 2

2

0

 

Lời giải:

f  x, y  dxdy


Vì vùng hội nhập có:
D

 x, y  / 0  x 

  x, y  / 

4  y 2 , 2  y  2 

Chúng ta có:
2

4 y 2

2

0

 

2

f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy  

4 x 2



f  , y  dydx

0  4 x 2

D

Bài 02.02.1.066.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự
của chúng.
2 ln x

  f  x, y  dydx
1 0

Lời giải:

Vì vùng hội nhập có:

D   x, y  / 0  y  ln x,1  x  2   x, y  / e y  x  2,0  x  2
2 ln x

Chúng ta có: 

ln 2 2

 f  x, y  dydx   f  x, y  dA    f  x, y  dxdy

1 0

D

0 ey



4  x 2  y  4  x 2 ,0  x  2


Bài 02.02.1.067.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự
của chúng.
1


4

f  x, y  dydx

 
0 arctanx

Lời giải:

Bời vì vùng hội nhập:




 
D   x, y  / arctan x  y  ,0  x  1   x, y  / 0  x  tan y,0  y  
4
4

 
Chúng ta có:
1





4

4 tan y

 

f  x, y  dydx   f  x, y  dA  

0 arctan x

D

0

 f  x, y  dxdy
0

Bài 02.02.1.068.A996: Đánh giá tích phân bằng cách đảo ngược các hội
nhập
1 3

x
  e dxdy
2

0 3y

Lời giải:


x
1 3

9
2
2
e y  dx   x  e x dx   1 e x   e  1
e
dxdy

e
dydx

0 3y

0   y0 0  3 
6
 6  0
0 0
1 3

x2

3

x2

y

x2

x
3

3

3

Bài 02.02.1.069.A996: Đánh giá tích phân bằng cách đảo ngược các hội
nhập




  cos  x dxdy
2

0

y

Lời giải:

 

 x



  cos  x  dxdy    cos  x  dxdy   cos  x  y 
2

0

2

y

0 0



1
1

  sin  x 2     sin   sin 0   0
2
2
0

2

0

yx

y 0



dx 

 x cos  x  dx
2

0