PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HỒ XUÂN BÌNH

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA
HÀM SỐ DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HỒ XUÂN BÌNH

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA
HÀM SỐ DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số

: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng - 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi
Các số liệu, các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả

Hồ Xuân Bình


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài...................................................................................1
2. Mục tiêu và nhiệm vụ............................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.........................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài..............................................2
6. Bố cục luận văn.....................................................................................2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ...............................................................4
1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ..........................................................................4
1.1.1. Khái niệm hàm số một biến số........................................................4
1.1.2. Một số mô hình toán học thường gặp..........................................10
1.1.3. Hàm hợp........................................................................................14
1.1.4. Hàm mũ- Hàm ngược và Logarit..................................................15
1.1.5. Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến................................18

1.2. HÀM NHIỀU BIẾN.................................................................................26
1.2.1. Hàm hai biến.................................................................................26
1.2.2. Đồ thị của hàm hai biến................................................................26
1.2.3. Đường mức....................................................................................27
1.2.4. Hàm ba biến và nhiều hơn ba biến................................................29
1.2.5. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến................................30
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
MỘT BIẾN SỐ DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC..............................33
2.1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU..............................................................33
2.1.1. Bài toán tiếp tuyến........................................................................33
2.1.2. Bài toán vận tốc.............................................................................34


2.2. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.............................................35
2.2.1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm................................................35
2.2.2. Đạo hàm của hàm số.....................................................................36
2.3. PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM.....................................................................37
2.3.1. Đạo hàm của hàm đa thức, lượng giác, hàm mũ...........................37
2.3.2. Các quy tắc tính đạo hàm..............................................................38
2.3.3. Quy tắc tính đạo hàm hàm hợp.....................................................38
2.3.4. Công thức vi phân.........................................................................39
2.3.5. Đạo hàm của hàm ẩn.....................................................................40
2.3.6. Đạo hàm của hàm ngược...............................................................40
2.3.7. Đạo hàm cấp cao...........................................................................41
2.3.8. Cực trị hàm số...............................................................................42
2.3.9. Xấp xỉ nghiệm của phương trình...................................................45
2.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM-MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN HỌC.......47
2.4.1. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc vào một
đại lượng..........................................................................................................47
2.4.2. Mô hình quan hệ giữa các đại lượng biến thiên............................54

2.4.3. Mô hình tìm đại lượng theo một điều kiện ràng buộc...................52
2.4.4 Tốc độ biến thiên và ứng dụng trong một số lĩnh vực...................53
2.5. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
SỐ ...................................................................................................................58
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM RIÊNG, ĐẠO
HÀM THEO HƯỚNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN DỰA TRÊN MÔ HÌNH
TOÁN HỌC...................................................................................................60
3.1. BÀI TOÁN ĐẶT RA...............................................................................60
3.2. HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM RIÊNG, ĐẠO HÀM THEO
HƯỚNG..........................................................................................................60


3.2.1 Đạo hàm riêng................................................................................60
3.2.2. Đạo hàm theo hướng và vector gradient.......................................62
3.3. PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM.....................................................................64
3.3.1. Đạo hàm riêng cấp cao..................................................................67
3.3.2. Mặt phẳng tiếp xúc và xấp xỉ tuyến tính.......................................65
3.3.3. Vi phân hàm nhiều biến.................................................................67
3.3.4. Quy tắc tính đạo hàm riêng của hàm hợp và hàm ẩn....................67
3.3.5. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu...................................................69
3.3.6. Nhân tử Lagrange - Cực trị có điều kiện.......................................71
3.3.7. Đạo hàm theo hướng cực đại........................................................73
3.3.8. Ý nghĩa của vector gradient..........................................................73
3.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN- MỘT SỐ MÔ
HÌNH TOÁN HỌC..........................................................................................75
3.4.1. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc hai đại lượng...75
3.4.2. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc hai (ba)
đại lượng với một điều kiện ràng buộc...........................................................76
3.4.3. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc ba đại
lượng với hai điều kiện ràng buộc...................................................................80

3.5. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ ....81
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN...................................................83
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................84
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)


DANH MỤC CÁC BẢNG
Số hiệu
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

Tên bảng
Nồng độ CO2 trong không khí
Quả bóng rơi theo thời gian
Số liệu dân số thế giới
Bảng giá trị lân cận 2
Giới hạn đến vô cùng

Trang
11
12
13
19
22


DANH MỤC CÁC HÌNH

Số hiệu
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8

2.9
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Tên Hình
Biểu đồ máy của hàm f
Biểu đồ vector
Biểu diễn Container
Tiêu chuẩn đường thẳng đứng
Tính đối xứng hàm chẵn
Tính đối xứng của hàm lẻ
Tính đơn điệu của hàm số
Mô hình toán học
Hàm hợp
Đồ thị hàm mũ
Đồ thị hàm logarit
Hình thành khái niệm giới hạn
f(x) liên tục tại a
f(x) không liên tục tại x =1, 3, 5
Định lý giá trị trung gian
Đồ thị hàm hai biến
Đường mức
Một số đường mức của đồ thị tương ứng
Mặt mức của đồ thị hàm ba biến
Minh họa định nghĩa giới hạn hàm hai biến
Giới hạn dần về theo những hướng khác nhau
Tiếp tuyến của đường cong

Bài toán vận tốc
Cực trị hàm số
Minh họa định lý Fecma
Xấp xỉ nghiệm phương trình
Mô hình bài toán tối ưu
Mô hình quan hệ giữa các đại lượng biến thiên
Mô hình tìm đại lượng theo một điều kiện ràng buộc
Sơ đồ phương pháp dạy học đạo hàm hàm số một biến số
Sự thay đổi của hàm nhiều biến theo hướng vector đơn vị
Mặt cong tham số
Minh họa dz và số gia của z
Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Cực trị địa phương

Trang
5
5
6
8
8
9
9
10
15
16
18
19
25
25
26

27
28
29
30
31
31
33
34
43
44
46
48
51
52
59
61
67
68
70
71


3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13

3.14

Cực trị với một điều kiện ràng buộc
Cực trị với hai điều kiện ràng buộc
Ý nghĩa Vector Gradient
Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc
vào hai đại lượng
Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc
vào hai (ba) đại lượng với một điều kiện ràng buộc
Khu Phicnic
Khối hộp
Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc
ba đại lượng với hai điều kiện ràng buộc
Sơ đồ phương pháp dạy học đạo hàm hàm nhiều biến

73
74
75
76
78
78
79
81
82


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong việc dạy và học toán, đứng trước một khái niệm toán học, chắc
hẳn mỗi chúng ta luôn tự đặt ra cho mình câu hỏi: khái niệm này bắt nguồn từ
đâu? chúng được hiểu như thế nào? và có ứng dụng gì trong thực tế? Trả lời
đúng ba câu hỏi này bạn đã hiểu thấu đáo, làm chủ khái niệm đó và là nền
tảng quan trọng để người dạy truyền tri thức toán đến người học, tạo sự lôi
cuốn giúp người học xác định rõ mục đích của việc học toán là để phục vụ
cuộc sống. Đây là một vấn đề lớn đòi hỏi sự nghiên cứu kỹ lưỡng, lâu dài bởi
không phải bất kì khái niệm toán học nào chúng ta cũng biết rõ khởi nguồn và
ứng dụng của nó.
Đạo hàm là một trong những vấn đề quan trọng của toán học và có nhiều
ứng dụng thực tế. Do đó, tìm ra phương pháp dạy học đạo hàm sao cho hiệu
quả là công việc cần thiết.
Đứng trước một bài toán thực tế đặt ra, việc giải quyết sẽ đơn giản nếu
tìm ra một mô hình toán học tương ứng trên cơ sở mô hình hóa vấn đề thực tế
và đó cũng chính là con đường hình thành phương pháp dạy học đạo hàm.
Xuất phát từ tình hình thực tiễn trên, tôi chọn đề tài làm luận văn tốt
nghiệp cao học: Phương pháp dạy học đạo hàm của hàm số dựa trên mô
hình toán học
2. Mục tiêu và nhiệm vụ
Mục đích của đề tài
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu nguồn gốc, ứng
dụng của đạo hàm, xây dựng một số mô hình toán học liên quan đến đạo
hàm từ đó hình thành phương pháp dạy học đạo hàm của hàm số dựa trên
mô hình toán học.


2

Nhiệm vụ:
 Tìm hiểu lý thuyết về hàm số một biến số, giới hạn, đạo hàm của hàm

số một biến số.
 Tìm hiểu lý thuyết hàm nhiều biến, giới hạn, đạo hàm riêng, đạo hàm
theo hướng của hàm nhiều biến.
 Tìm hiểu mô hình toán học.
 Tìm hiểu nguồn gốc và ứng dụng của đạo hàm.
 Xây dựng một số mô hình toán học liên quan đến đạo hàm
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Lý thuyết tổng quan về hàm số, giới hạn và đạo hàm.
 Phương pháp dạy học bộ môn toán, mô hình toán học.
4. Phương pháp nghiên cứu
Kết hợp lý thuyết + thực tế giảng dạy.
Đề tài được thực hiện theo tiến trình sau:
 Thu thập, phân tích tài liệu liên quan đến đề tài.
 Nghiên cứu, lựa chọn phương pháp giải quyết vấn đề đặt ra.
 Triển khai xây dựng ứng dụng thực tiễn, ứng dụng trong giảng dạy.
 Kiểm tra thử nghiệm và đánh giá kết quả đem lại.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
 Cơ sở phát triển lý thuyết về đạo hàm, đạo hàm riêng, đạo hàm theo
hướng
 Cơ sở phát triển các mô hình toán học
 Tài liệu phục vụ cho việc dạy học
 Ứng dụng trong thực tế
6. Bố cục luận văn


3

Kết cấu luận văn bao gồm: Phần mở đầu, nội dung, kết luận và hướng
phát triển, tài liệu tham khảo. Trong đó:
Mở đầu: Nêu lên lý do chọn đề tài, mục đích, nhiệm vụ và các phương

pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề. Từ đó đưa ra lý do chọn đề tài và phương
án triển khai.
Phần nội dung:
Chương 1 Kiến thức cơ sở
Trình bày lý thuyết về hàm một biến, hàm nhiều biến, mô hình toán học.
Chương 2 Phương pháp dạy học đạo hàm của hàm số một biến số
dựa trên mô hình toán học.
Nguồn gốc, khái niệm, kiến thức về đạo hàm hàm số một biến số, một số
mô hình toán học và ứng dụng của đạo hàm hàm một biến số, xây dựng
phương pháp dạy học đạo hàm hàm số một biến số dựa trên mô hình toán học.
Chương 3 Phương pháp dạy học đạo hàm riêng, đạo hàm theo
hướng của hàm nhiều biến dựa trên mô hình toán học.
Nguồn gốc, khái niệm, kiến thức về đạo hàm của hàm nhiều biến, một số
mô hình toán học và ứng dụng của đạo hàm, xây dựng phương pháp dạy học
đạo hàm hàm nhiều biến dựa trên mô hình toán học.
Kết luận và hướng phát triển
Trình bày đánh giá các kết quả đạt được, những vấn đề còn hạn chế từ đó
đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1.1. Khái niệm hàm số một biến số
Hàm được phát sinh khi một đại lượng này phụ thuộc vào một đại
lượng khác.
Ví dụ 1. Dân số trên thế giới P phụ thuộc vào thời gian t. Mỗi giá trị của

thời gian t có một giá trị tương ứng của P và ta nói rằng P là hàm số theo t.
Ví dụ 2. Diện tích A của một đường tròn phụ thuộc vào bán kính r của
đường tròn đó. Quy tắc liên kết giữa r và A được cho bởi phương trình
A  .r 2 . Với mỗi số r dương thì sẽ liên kết với một giá trị của A và ta nói rằng

A là một hàm số của r.
Ví dụ 3. Chi phí C của một lá thư phụ thuộc vào trọng lượng w của lá
thư đó. Mặc dù không có một công thức để kết nối giữa w và C, bưu điện vẫn
có quy tắc để xác định C khi biết được w.
Ví dụ 4.Gia tốc thẳng đứng a của trái đất được đo bởi máy ghi động đất
là một hàm theo thời gian t. Với mỗi giá trị của t, đồ thị sẽ cho tương ứng một
giá trị của a.
Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc khi cho một số ( r , t , w hoặc t ) thì nó
sẽ gán tương ứng với các số A , P , C hoặc a . Trong mỗi trường hợp thì ta nói
rằng số thứ hai là một hàm của số thứ nhất.
Định nghĩa 1.1 Một hàm f là một quy tắc đặt tương ứng với mỗi phần
tử x thuộc tập A với một và chỉ một phần tử f (x) thuộc tập B. Khi A, B là
những tập số thì hàm được gọi là hàm số.
Chúng ta chỉ xét những hàm trên tập A và B là tập con của tập số thực. Tập
A được gọi là miền xác định của hàm f . Số f (x) là giá trị của hàm f tại x và


5

đọc là “ f của x ”. Miền giá trị của f là tập hợp tất cả các giá trị của f (x) khi x
biến thiên trong miền xác định. Một số tuỳ ý trong miền xác định của hàm f
được gọi là biến độc lập. Một số trong miền giá trị của f được gọi là biến phụ
thuộc. Chẳng hạn, trong ví dụ 1, r là biến độc lập và A là biến phụ thuộc.
Thật hữu ích để hiểu rằng một hàm như một cái máy (xem hình 1.1). Nếu
x thuộc miền xác định của hàm f , thì khi x được nhập vào máy, nó sẽ chấp

nhận sự nhập vào này và máy sẽ xuất ra f (x) tuỳ theo quy tắc của một hàm. Do
đó, ta có thể nghĩ rằng miền xác định là tập hợp của tất cả các phần tử có thể
nhập vào và miền giá trị là tập tất cả những phần tử máy có thể xuất ra.
x

f

f(x)

Hình 1.1. Biểu đồ máy của hàm f
Những hàm đã được chương trình hoá trong máy tính là những ví dụ rất
tốt của một hàm giống như cái máy. Ví dụ, phím căn bậc hai trên máy tính cá
nhân của bạn giống như là một hàm. Bạn ấn vào nhãn

(hoặc

x ) và nhập

x . Nếu x  0 thì x không thuộc miền xác định của hàm này, vì vậy x không

được chấp nhận và máy tính sẽ chỉ ra một lỗi. Nếu x 0 thì một xấp xỉ với
x sẽ được hiển thị trên máy tính. Phương pháp khác để mô tả bức tranh một

hàm là sơ đồ mũi tên như trong hình 1.2. Mỗi mũi tên liên kết một phần tử
của A đến một phần tử của B. Mũi tên này chỉ ra rằng f (x) liên kết với x ,
f (a) liên kết với a và vân vân..

x

f(x)

a

f(a)

Hình 1.2. Biểu đồ vector


6

Một phương pháp chung nhất để hình dung một hàm đó là đồ thị của nó.
Nếu f là một hàm với miền xác định A, thì đồ thị của nó là tập hợp tất
cả các cặp có thứ tự   x, f ( x)  x A (chú ý những cặp nhập vào - xuất ra). Nói
cách khác, đồ thị của hàm f bao gồm các điểm  x, y  trong mặt phẳng toạ độ
sao cho y  f (x) và x thuộc miền xác định của f .
Đồ thị của hàm f cho ta một bức tranh hữu ích về dáng điệu của một
hàm. Từ tung độ giao điểm của bất kỳ điểm  x, y  trên đồ thị y  f (x) , ta sẽ
đọc được giá trị của f (x) từ đồ thị như là chiều cao của đồ thị tại điểm có
hoành độ x . Đồ thị của hàm f cũng cho phép ta hình dung được bức tranh về
miền xác định của f trên trục ox và miền giá trị của nó trên trục oy.
Có bốn phương pháp để biểu diễn một hàm số: Lời nói (mô tả bằng ngôn
ngữ), số trị (bằng bảng các giá trị), hình ảnh (bằng đồ thị), phương pháp đại
số (bằng công thức chi tiết).
Nếu một hàm đơn giản thì có thể biểu diễn được cả bốn phương pháp
trên, điều này rất hữu ích để đi từ một cách biểu diễn này đến cách biểu diễn
khác nhằm làm tăng thêm sự hiểu thấu đấu về hàm số đó.
Ví dụ : Một Container hình hộp chữ nhật không nắp trên có thể tích là 10
m 3 . Chiều dài đáy gấp đôi chiều rộng. Nguyên liệu cho mặt đáy giá $10/m 2,

nguyên liệu cho mặt bên giá $6/m 2. Hãy tìm một hàm về giá thành của
nguyên liệu theo chiều rộng của đáy.

h
2w

w

Hình 1.3. Biểu diễn Container


7

Giải: Ta vẽ biểu đồ như trong hình 1.3 và ta ký hiệu w là chiều rộng khi
đó 2w chiều dài của đáy, và h là chiều cao.
Diện tích của đáy là (2w).w 2w 2 , vì thế giá (đơn vị là đô la) của nguyên
liệu cho mặt đáy là 10 2w 2  . Hai mặt bên có diện tích là wh và hai mặt khác có
diện tích là 2wh , vì thế giá thành của nguyên liệu cho các mặt bên là
6 2 wh   2 2wh   . Do đó tổng chi phí sẽ là:





C 10 2 w 2  6 2( wh)  2(2 wh) 20w 2  36wh

Để biểu diễn C là một hàm theo w , ta cần khử h , để làm được điều này
ta sử dụng thể tích là 10m 3 . Như vậy
w(2 w)h  10 � h 

10
5
 2
2
2w
w

Thế h vào biểu thức của C ta có:
 5
C 20 w 2  36 w 2
w

180

2
 20w 
w


Như vậy, phương trình
C 20 w 2 

180
w

w0

biểu diễn C là một hàm theo w .
Đồ thị của một hàm là một đường cong trong mặt phẳng oxy. Nhưng câu
hỏi được phát sinh là những đường nào trong mặt phẳng oxy là đồ thị của

hàm số ? Điều này được trả lời bởi dấu hiệu dưới đây.
*Tiêu chuẩn đường thẳng đứng: Một đường cong trong mặt phẳng oxy
là đồ thị của một hàm theo x nếu và chỉ nếu không có đường thẳng đứng nào
cắt đường cong nhiều hơn một lần.
Lý do cho sự chính xác của tiêu chuẩn đường thẳng đứng có thể được
nhìn thấy trong hình 1.4. Nếu mỗi đường thẳng đứng x a cắt đường cong
chỉ một lần tại  a, b  , thì giá trị chính xác của hàm được xác định bởi f (a) b .
Nhưng nếu đường thẳng x a cắt đường cong hai lần tại (a, b) và (a, c) , thì


8

đường cong này không phải là biểu diễn của hàm bởi vì một hàm không thể
có hai giá trị khác nhau từ a .

Hình 1.4. Tiêu chuẩn đường thẳng đứng
*Tính đối xứng
Nếu một hàm f thoả mãn f ( x)  f ( x) với mọi x thuộc miền xác định
của nó, thì f được gọi là một hàm chẵn.
Chẳng hạn hàm f ( x)  x 2 là chẵn bởi vì x ��, f ( x)  ( x) 2  x 2  f ( x) .

Hình 1.5. Tính đối xứng hàm chẵn
Ý nghĩa hình học của một hàm chẵn đó là đồ thị của nó đối xứng qua
trục oy. Điều đó có nghĩa là nếu ta đã vẽ đồ thị của f cho x 0 , ta dể dàng
thu được toàn vẹn đồ thị bằng cách lấy đối xứng qua trục oy.
Nếu f thoả mãn f ( x)  f ( x) với mọi x thuộc miền xác định của nó,
thì f được gọi là một hàm lẻ.
Ví dụ : Hàm f ( x)  x 3 là lẻ vì
x ��, f ( x)  (  x)3   x 3   f ( x)

9

Hình 1.6. Tính đối xứng của hàm lẻ
Đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc toạ độ. Nếu ta đã có được đồ thị của
f ứng với x 0 , ta có thể thu được hoàn toàn đồ thị bằng cách quay đoạn này

180 0 qua gốc tọa độ.
*Sự tăng và giảm của hàm số
Đồ thị cho trong hình 1.7 tăng lên từ A đến B, giảm từ B đến C và tăng
trở lại từ C đến D.

Hình 1.7. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa hàm số tăng, giảm
+) Hàm số f được gọi là tăng trên khoảng I nếu f ( x1 )  f ( x 2 )

khi

x1  x 2 trong I .

+) Hàm số f được gọi là hàm giảm trên I nếu f ( x1 )  f ( x 2 )
x1  x 2 trong I .

khi


10

Trong định nghĩa của hàm số tăng nó rất quan trọng để nhận ra rằng bất
đẳng thức f ( x1 )  f ( x 2 ) phải thoả mãn với mọi cặp số x1 và x 2 trong I với

x1  x 2 .

1.1.2. Một số mô hình toán học thường gặp
Một mô hình toán học là một cách biểu diễn toán học (thường được
cho bởi một hàm số hoặc một phương trình) của các hiện tượng trong thế
giới hiện thực chẳng hạn như độ lớn của dân số, nhu cầu của sản phẩm,
tốc độ giảm của một đối tượng, sự cô đặc của một chất trong phản ứng
hoá học... Mục đích của mô hình là giúp ta hiểu hơn về hiện tượng và làm
dự đoán cho các hành động về sau. Hình 1.8 minh hoạ quy trình của mô
hình toán học. Trước một vấn đề đặt ra trong thế giới hiện thực, việc đầu
tiên của ta là tạo ra một công thức cho mô hình toán học bằng cách nhận
dạng tên của các biến phụ thuộc và các biến độc lập và làm giả thuyết
nhằm đơn giản hoá hiện tượng này để vận dụng vào toán học dể dàng hơn.
Sử dụng kiến thức của tự nhiên và các kĩ năng toán học ta thu được một
phương trình liên hệ giữa các biến.
Vấn đề trong

Công thức hóa

toán học

thực tế

Giải quyết

Kiểm thử
Dự đoán

Mô hình

Giải thích

Kết luận

vấn đề xảy ra
toán học
Hình 1.8. Mô hình toán học
Trong hoàn cảnh không có quy luật tự nhiên nào hướng dẫn chúng ta, ta
cần phải thu thập các dữ liệu và quan sát bảng các dữ liệu để phân biệt các
dạng. Từ các số liệu này ta sẽ có được cách biểu diễn bằng đồ thị của hàm. Đồ
thị sẽ gợi lại một công thức đại số thích hợp cho từng trường hợp.


11

Bước thứ hai là ta vận dụng toán học đã biết (chẳng hạn các phép toán sẽ
phát triển xuyên suốt trong luận văn này) vào mô hình toán học để suy ra
công thức toán học cuối cùng. Sau đó, trong bước thứ ba, ta lấy công thức
toán cuối cùng này và làm sáng tỏ chúng bằng các thông tin của hiện tượng
hiện thực trước đó bằng phương pháp giải thích hoặc làm dự báo. Bước cuối
cùng là kiểm tra dự báo của ta bằng cách kiểm tra lại các dữ liệu mới.
Việc đơn giản hoá mô hình thực tế đủ để cho phép tính toán bằng toán
học và nó tương đối chính xác để đưa ra một kết luận quý giá. Có nhiều kiểu
khác nhau của hàm số sử dụng mô hình quan sát quan hệ giữa các đối tượng
trong thế giới hiện thực. Dưới đây ta sẽ thảo luận hình dạng và đồ thị của
những hàm này và đưa ra ví dụ của mô hình thích hợp với tự nhiên.
*Mô hình tuyến tính
Mô hình tuyến tính là mô hình có dạng y = f(x) = mx +b .
Ví dụ: Tìm mô hình tuyến tính biểu diễn nồng độ CO 2 trong không khí
cho bởi bảng số liệu sau:

Bảng 1.1. Nồng độ CO2 trong không khí

Giải. Gọi t: thời gian( year), C : nồng độ CO2 (in ppm)
Đồ thị của hàm xấp xỉ một đường thẳng có phương trình C = mt +b.
Với m, b được xác định:


12

*Mô hình Parabol
Ví dụ: Một quả bóng thả từ độ cao 450m xuống mặt đất, độ cao của quả
bóng theo thời gian được cho theo bảng sau:
Bảng 1.2. Quả bóng rơi theo thời gian

Hỏi tại thời điểm nào quả bóng chạm đất?
Giải. Từ bảng số liệu ta mô hình hóa bằng các điểm trên hệ trục tọa độ.


13

Dự đoán đồ thị là parabol bằng các công cụ toán học ta xác định được độ
cao của quả bóng theo thời gian được tính theo công thức:
h  449.36  0.96t  4.9t 2

Từ đó ta có thể tính được thời gian quả bóng chạm đất ,tức khi h = 0 ta
có:
449.36  0.96t  4.9t 2  0

và giải phương trình ta được :
0.96 � (0.96) 2  4(4.9)(449.36)

t
2(4.9)

Vì t  0 nên t �9.67
*Mô hình mũ
Ví dụ: Tìm mô hình toán học biểu diễn sự phát triển dân số thế giới.
Thông qua điều tra dân số, ta thu thập được bảng số liệu sau:
Bảng 1.3. Số liệu dân số thế giới


14

Từ bảng số liệu ta mô hình hóa bằng các điểm trên hệ trục tọa độ.
P
6000000000

.
.
.
.
..
.
.
..

.
.
.

1900

2000

t

Dùng đường cong nhẵn nối các điểm lại với nhau
P
6000000000

.
.
.
.
..
.
.
..
1900

.
.
.

2000

t

Ta dự đoán dân số thế giới tăng theo hàm mũ và bằng các công cụ toán
học ta xác định được dân số thế giới được tính bởi công thức sau:
P(t )  f (t ) (0,008079266).(1,013731) t

Dựa vào biểu thức trên ta có thể dự đoán dân số thế giới ở bất cứ thời
điểm nào.
1.1.3. Hàm hợp
Có nhiều phương pháp khác nhau kết nối hai hàm để tạo ra một hàm
mới. Ví dụ, giả sử rằng y  f (u )  u và u  g ( x)  x 2  1 . Vì y là hàm theo u
và u là hàm theo x, điều đó kéo theo biểu thức cuối cùng của y là hàm theo x.
Ta tính toán điều này bằng phép thế:
y  f (u )  f  g ( x)   f  x 2  1  x 2  1


15

Phương pháp đó được gọi là sự hợp thành bởi vì hàm mới được hợp
thành từ hai hàm đã cho f và g.
Tổng quát, cho hai hàm f và g, ta bắt đầu với số x trong miền xác định
của g và tìm ảnh g(x) của nó. Nếu số g(x) này thuộc miền xác định của f, thì ta
có thể tính giá trị của f(g(x)). Kết quả là thu được một hàm mới h(x) = f(g(x))
bằng cách thế g vào f . Nó được gọi là sự hợp thành của f và g và được ký
hiệu f  g (“ f tròn g ”).
Định nghĩa 1.2: Cho hai hàm f và g, hàm hợp f  g (cũng được gọi là sự
hợp thành của f và g) được định nghĩa bởi  f  g ( x)  f  g ( x)  .
Miền xác định của f  g là tập hợp tất cả x thuộc miền xác định của f
sao cho g(x) thuộc miền xác định của f . Nói cách khác,  f  g (x) xác định
khi cả g(x) và f(g(x)) xác định.
g

x

g(x)

f

f(g(x))

Hình 1.9: Hàm hợp
1.1.4. Hàm mũ- Hàm ngược và Logarit
a. Hàm mũ
Định nghĩa 1.3 Hàm mũ là hàm số có dạng f ( x)  a x trong đó a là hằng
số.
n
43a
Nếu x  n là một số nguyên dương thì : a  a14.an2.....
la�
n

1
Nếu x  0 thì a 0  1 và nếu x  n , với n là số nguyên dương thì a  n  n
a

p

Nếu x là một số hữu tỷ x  q , với p và q là các số nguyên và q  0 thì
a x  a p/q 

q

p

 a

q

p

Họ các đồ thị của hàm số y  a x tùy thuộc vào giá trị của a