Xác suất cơ sở qua các ví dụ

MỤC LỤC

ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)


2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khoa học nghiên cứu về xác suất là một phát triển trong thời kỳ cận đại.
Việc chơi cờ bạc (gambling) cho chúng ta thấy rằng các ý niệm về xác suất đã
có từ trước đây hàng nghìn năm, tuy nhiên các ý niệm đó được mô tả bởi toán
học và sử dụng trong thực tế thì có muộn hơn rất nhiều. Ảnh hưởng chính của
lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và
trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất
để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối. Lý thuyết trò chơi
cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin
cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin
cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư
hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm.
Hai nhà toán học Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiên
đặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm (1654). Christiaan
Huygens (1657) được biết đến như là người đầu tiên có công trong việc đưa
xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học. Ngày nay lý thuyết xác suất
trở thành một ngành vô cùng quan trọng của toán học và các ngành khoa học
khác.
Cùng với sự phát triển của lí thuyết xác suất, thống kê toán học ra đời bắt
nguồn từ các vấn đề thực tiễn và dựa trên những thành tựu của lý thuyết xác
suất, đã có những bước tiến nhanh với sự đóng góp của các nhà toán học như
Francis Galton, Karl Pearson, Ronald Fisher, Von Neuman, … Thống kê toán
học có các ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như vật lý, hóa học, cơ

3

học, sinh vật, y học, dự báo, khí tượng, thủy văn, vô tuyến, điện tử, ngôn ngữ
học, xã hội học, …
Có thể nói xác suất và thống kê đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hết
mọi lĩnh vực của thế giới hiện đại, từ khoa học, công nghệ, đến kinh tế, chính
trị, đến sức khỏe, môi trường, v.v. Vì thế, lý thuyết xác suất và thống kê (đặc
biệt xác suất cơ sở) là những kiến thức cơ bản không thể thiếu trong tất cả các
ngành. Hiện nay, xác suất cơ sở được đưa vào giảng dạy trong các trường phổ
thông trung học, các trường trung cấp, cao đẳng và đại học trong nước cũng
như trên thế giới.
Với sự phát triển của khoa học công nghệ, ngày nay máy tính giúp cho việc
tính toán các vấn đề xác suất thống kê ngày càng trở nên dễ dàng, một khi đã
có các số liệu đúng đắn và mô hình hợp lý. Thế nhưng, bản thân máy tính
không biết mô hình nào là hợp lý. Đấy là vấn đề của người sử dụng: cần phải
hiểu được bản chất của các khái niệm và mô hình xác suất thống kê, thì mới
có thể dùng được chúng.
Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của việc nghiên cứu xác suất
cơ sở, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Xác suất cơ sở qua các ví
dụ để tiến hành nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham
khảo tốt cho những người muốn tìm hiểu về các kết quả rời rạc và liên tục của
lý thuyết xác suất cùng với ứng dụng chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu đúng bản chất của những
khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác suất cơ sở, và qua đó có thể áp
dụng được chúng, đi sâu tìm hiểu được phương pháp thích hợp cho những
tình huống cụ thể.

4

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết xác suất và thống kê. Phạm vi
nghiên cứu của đề tài là xác suất cơ sở và các ứng dụng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên
quan đến Xác suất cơ sở, vấn đề quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống
kê.
Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả
đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các
ứng dụng của lý thuyết xác suất và thống kê.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến xác suất
cơ sở và các ứng dụng thực tế qua các ví dụ minh họa, nhằm xây dựng một tài
liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về Lý thuyết xác suất và các
ứng dụng.
Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số ví
dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.
6. Cấu trúc của luận văn
Nội dung của luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1 giới thiệu các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở liên quan
đến phần rời rạc, như: phân phối đều, các công thức tính xác suất của một sự
kiện, khái niệm về biến ngẫu nhiên và các tham số đặc trưng, các phân phối
nhị thức, Poisson, hình học của biến rời rạc, các dạng hàm của biến ngẫu
nhiên, các bất đẳng thức Chebyshev, Markov, Jensen, định lý De MoivreLaplace, quá trình nhánh, …
Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở liên quan
đến phần liên tục, như : phân phối đều, các hàm mật độ, phân phối xác suất,

5

hàm sinh, hàm đặc trưng, khái niệm về biến ngẫu nhiên và tính độc lập, các
tham số đặc trưng, … phân phối chuẩn và mở rộng cho nhiều biến.
Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ minh họa với mức độ khác nhau.


6

CHƯƠNG 1

CÁC KẾT QUẢ RỜI RẠC
Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài
liệu [2], [3], [4], [6], [7].
1.1. PHÂN PHỐI ĐỀU
Trong phần này, chúng tôi sử dụng mô hình xác suất đơn giản.
Định nghĩa 1.1.1. Phân phối đều (Uniform distribution)
Có m kết quả đồng khả năng xảy ra (thường được gọi là kết quả) và mỗi
kết quả có cùng một xác suất 1/m. Mỗi kết quả này được gọi là một biến cố sơ
cấp (hay sự kiện sơ cấp). Một tập hợp A gồm k kết quả xảy ra, với k ≤ m được
gọi là một biến cố (hay sự kiện) và xác suất của nó (A) được tính bằng k/m:
(1.1)
Số kết quả xảy ra của sự kiện A
Một tập rỗng có Tổng số kết quả xảy ra xác suất bằng không và tập
gồm tất cả các trường

hợp xảy ra có xác suất bằng

1. Sơ đồ này trông có vẻ đơn giản, nhưng trong thực tế việc tính toán số kết

quả xảy ra của một sự kiện nhất định (hoặc tổng số kết quả) có thể khó khăn.
Ví dụ 1.1.1. Giả sử một gia đình có 3 con. Khi đó xác suất để gia đình đó có 2
con trai, 1 con gái là bao nhiêu?
Lời giải:
Chúng ta có thể lập mô hình xác suất với 4 sự kiện thành phần: 3 trai, 2 trai
1 gái, 1 trai 2 gái, 3 gái. Thế nhưng 4 sự kiện thành phần đó không “cân bằng”
với nhau, và bởi vậy không kết luận được rằng xác suất của “2 trai 1 gái” là
1/4. Để có không gian xác suất với phân bố đều, ta có thể lập mô hình xác
suất với 8 sự kiện thành phần (m = 8) như sau:
{TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG}.
(Chẳng hạn, GGT có nghĩa là con thứ nhất là con gái, con thứ hai là con gái,
con thứ ba là con trai). Sự kiện “2 trai một gái” là hợp của 3 sự kiện thành


7

phần trong mô hình xác suất này: TTG, TGT,GTT (tương ứng k = 3). Như vậy
xác suất của nó bằng 3/8.
Ví dụ 1.1.2. Bạn và tôi chơi trò chơi tung một đồng xu: nếu đồng xu rơi mặt
ngửa tôi được một điểm, nếu mặt sấp bạn được một điểm. Ban đầu, tỷ số là số
không. Tính xác suất mà :
(1) Sau 2n lần ném điểm số của chúng tôi bằng nhau;
(2) Sau 2n +1 lần ném số điểm của tôi nhiều hơn của bạn là ba.
Lời giải:
(1) Tất cả các chuỗi NNN…N, SNN…N, …, SSS…S hình thành bởi 2n
chữ N hoặc S (với N (Ngửa), S (Sấp)). Tổng số kết quả xảy ra là m = , mỗi kết
quả có xác suất . Ta cần tìm số kết quả có số lượng N bằng S. Số k của kết quả
đó là (số cách để lựa chọn vị trí cho n chữ N trong 2n vị trí có sẵn trong trình
tự). Xác suất cần tìm là
(2) Mỗi kết quả là một chuỗi có độ dài , có tổng số kết quả. Xác suất số

điểm của tôi nhiều hơn của bạn là ba bằng:

1.2. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN. ĐỊNH LÝ BAYES. PHÉP THỬ ĐỘC LẬP
Xác suất của một sự kiện có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác
nhau. Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện A nào
đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, người ta đưa ra khái niệm
xác suất điều kiện. Điều kiện B được hiểu là một sự kiện, tức là sự kiện “có
B”.
Định nghĩa 1.2.1. Xác suất điều kiện
Với hai sự kiện A và B với , xác suất điều kiện của A khi B đã xảy ra được
định nghĩa là :


8

Từ (1.2) ta có công thức tích sau đây :
(1.3)
Tất nhiên, ta cũng có thể coi B là sự kiện, A là điều kiện nếu, và khi đó ta
có
Hai sự kiện A và B được gọi là xung khắc nếu .
Gọi A là tập hợp tất cả các biến cố, Ω là tập tất cả các biến cố sơ cấp xảy ra
và là xác suất trên A. Khi đó bộ ba được gọi là một không gian xác suất.
Mệnh đề 1.2.1. Công thức xác suất đầy đủ
Nếu B1, …, Bn là một phân hoạch của Ω, tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i < j
≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω, và ngoài ra (Bi) > 0 cho 1 ≤ i ≤ n, khi đó với
bất kỳ sự kiện A, ta có :
(1.4)
* Chứng minh :

Chú ý 1.2.1. Hệ các sự kiện B1, …, Bn xung khắc từng đôi một Bi ∩ Bj = ∅ ,

với 1 ≤ i < j ≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω như trên gọi là hệ đầy đủ các
biến cố.
Mệnh đề 1.2.2. Định lý Bayes
Nếu B1, …, Bn là một phân hoạch của Ω, tức là có Bi ∩ Bj = ∅ với 1 ≤ i < j
≤ n và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω, và A là sự kiện ngẫu nhiên, với , thì
xác suất điều kiện :
Công thức (1.5) được gọi là công thức Bayes


9

* Chứng minh : Bằng cách ứng dụng trực tiếp định nghĩa và công thức xác
suất đầy đủ, ta có:
Ví dụ 1.2.1. Có n bình đựng bi hình thức bên ngoài giống nhau, bình thứ k
chứa k -1 bi màu đỏ và n - k bi màu xanh, k = 1, 2, ..., n. Chọn ngẫu nhiên một
bình và loại bỏ hai bi từ bình đó mà không cần thay thế. Tìm xác suất để hai
bi bị loại bỏ có màu sắc khác nhau.
Lời giải :
Tổng số bi màu xanh và màu đỏ trong tất cả các bình đựng bằng nhau.
Gọi Bk : sự kiện bình k được chọn, k = 1, 2, …, n, các sự kiện Bk xung khắc
từng đôi và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω; và A là sự kiện loại hai bi khác màu
trong trường hợp bi 1 màu đỏ, bi 2 màu xanh.
Ta có :
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ :

Ở đây chúng ta sử dụng đẳng thức đã biết :
Do đối xứng, xác suất cần tìm :
Các khái niệm về độc lập là một phát minh quan trọng trong lý thuyết xác
suất. Nó có dạng lý thuyết ở giai đoạn đầu và được xem là một trong những
tính năng đặc biệt xác định vị trí của lý thuyết xác suất trong lý thuyết đo

lường tổng quát.


10

Định nghĩa 1.2.2. Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau nếu
(1.6)
Một tiêu chuẩn thuận tiện của tính độc lập là: hai sự kiện A và B trong đó
(B) > 0 là độc lập khi và chỉ khi (A|B) = (A), nghĩa là sự kiện B xảy ra không
làm thay đổi xác suất của sự kiện A.
Ví dụ 1.2.2.
1) Sự kiện rỗng ∅ (biến cố không thể) và toàn bộ Ω: chúng không phụ
thuộc bất kỳ sự kiện nào.
2) Xét bốn kết quả 00, 01, 10 và 11 mỗi kết quả có xác suất 1/4. Ở đây, sự
kiện A = {chữ số đầu là 1} và B = {chữ số thứ 2 là 0} là độc lập
Ngoài ra, các sự kiện {chữ số đầu là 0} và {cả hai chữ số đều giống nhau}
là độc lập, trong khi các sự kiện {chữ số đầu là 0} và {tổng các chữ số là > 0}
phụ thuộc.
Mở rộng định nghĩa cho n sự kiện độc lập, ta có :
Định nghĩa 1.2.3. Các sự kiện A1, …, An được gọi là độc lập với nhau nếu với
mọi tập con hữu hạn Ai1, …, Ail, (l = 1, …, n) ta có đẳng thức :
(1.7)
Nếu như (Ai ∩ Ak) = (Ai).(Ak) (i ≠ k) với bất kỳ hai sự kiện khác nhau nào
trong họ các sự kiện A1, …, An (n > 2) thì được gọi là họ các sự kiện độc lập
từng đôi một.
Chú ý 1.2.2. Nếu có một họ các sự kiện độc lập, thì các sự kiện trong họ độc
lập từng đôi một với nhau. Nhưng điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.2.3.
1) Tung hai lần một đồng xu cân đối, với các sự kiện A = {lần 1 tung cho
mặt ngửa}, B = {lần 2 tung cho mặt ngửa} và C = {Cả hai lần tung hiển thị

cùng một mặt}. Thì :


11

2) Ném ba con súc sắc, với A = {súc sắc một hiển thị số điểm lẻ}, B = {súc
sắc hai hiển thị số điểm lẻ}, C = {tổng số điểm lẻ} và (A) = (B) = (C) = 1/2.
Thì :
.
Định nghĩa 1.2.4. Dãy các phép thử độc lập
Dãy n phép thử T1, T2, …, Tn trong mỗi phép thử Ti tương ứng với không
gian mẫu Ωi gồm k sự kiện sơ cấp A1, A2, …, Ak được gọi là độc lập nếu :
Trong đó : là một sự kiện bất kỳ trong k sự kiện A1, A2, …, Ak tương ứng
với phép thử T1 ; … ; : là một sự kiện bất kỳ trong k sự kiện A1, A2, …, Ak
tương ứng với phép thử Tn.
Mệnh đề 1.2.3. Một số tính chất của các sự kiện độc lập
(1) Nếu A và B độc lập thì và B cũng độc lập (với : sự kiện bù của A và ).
(2) Nếu (i) A1 và B là độc lập, (ii) A2 và B là độc lập, và (iii) A1 và A2 rời
nhau, khi đó A1 ∪ A2 và B là độc lập. Nếu giữ (i) và (ii) và A1 ⊂ A2 thì B và
A2\A1 cũng độc lập.
* Chứng minh :
(1) Thật vậy,

(2) Thật vậy,

Tiếp theo, vì A1 ⊂ A2 nên


12

Ví dụ 1.2.4. Bắn 3 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng theo thứ tự là
0,5 ; 0,6 ; 0,8. Xác suất mục tiêu bị phá hủy nếu trúng 1 phát là 0,3 ; hai phát
là 0,6 ; còn 3 phát thì chắc chắn bị phá hủy. Tính xác suất mục tiêu bị phá hủy.
Nếu mục tiêu bị phá hủy, tính xác suất nó bị trúng 1 phát.
Lời giải :
Gọi Ai (i = 1, 2, 3) là sự kiện viên đạn thứ i bắn trúng mục tiêu ; mỗi viên
đạn bắn độc lập nên các Ai độc lập ; : độc lập.
Bj (j = 0, 1, 2, 3) là sự kiện mục tiêu trúng j phát đạn ; {B0, B1, B2, B3} : hệ
đầy đủ các biến cố.
Ta có :

Nếu gọi D là sự kiện mục tiêu bị phá hủy, thì

Áp dụng công thức xác suất Bayes :
Ví dụ 1.2.5. Một đồng xu hiển thị mặt ngửa với xác suất p trên mỗi lần tung.
Cho là xác suất mà số mặt ngửa xuất hiện sau n lần tung là chẵn. Chứng tỏ
rằng n ≥ 1.


13

Lời giải :
Như trong các mô hình tung đồng xu, ta cho rằng kết quả của các lần tung
khác nhau là độc lập. Đặt An = {lần tung thứ n là mặt ngửa}, với (An) = p và
Bn = {số mặt ngửa sau n lần tung là số chẵn}, với = (Bn). Khi đó, bằng xác
suất điều kiện trên và :
mà và . Theo quan điểm độc lập,
và
Điều này dẫn đến

Nghĩa là,
1.3. CÔNG THỨC BÙ-TRỪ. BÀI TOÁN LÁ PHIẾU
Công thức bù-trừ được dùng để tính xác suất (A), trong đó A = A1 ∪ A2 ∪ ·
· · ∪ An là sự kiện tổng của các sự kiện A1,…, An.
Nếu các sự kiện A1,…, An là đôi một xung khắc thì :
Nhưng nếu các sự kiện A1,…, An đôi một không xung khắc thì công thức
tính xác suất (A) phức tạp hơn. Ta có
Mệnh đề 1.3.1. Công thức bù-trừ
Cho A1,…, An tập các sự kiện đôi một không xung khắc và A = A1 ∪ A2 ∪ · ·
· ∪ An , khi đó :

* Chứng minh : (Bằng quy nạp trong n)
- Với n = 2 (n = 1 công thức là tầm thường). Đối với hai sự kiện A và B
(A ∪ B) = ((A\(A∩B)) ∪ (B \(A∩B)) ∪ (A∩B))


14

= (A\(A∩B)) + (B \(A∩B)) + (A∩B)
= (A) - (A∩B) + (B) - (A∩B) + (A∩B)
= (A) + (B) - (A∩B)
- Giả sử công thức đúng cho bất kỳ tập của n sự kiện (n > 2). Khi đó với bất
kỳ tập A1, …, An+1 của n +1 sự kiện, xác suất bằng :

Đối với số hạng cuối cùng chúng ta có, lặp lại giả thiết quy nạp :

Chúng ta thấy rằng toàn bộ tổng trong khai triển

bao gồm tất cả các số

hạng có thể được xác định trên vế phải của công thức (1.10) cho n + 1, với
các dấu chính xác. Điều này hoàn thành chứng minh mệnh đề.
Ví dụ 1.3.1.
1) Một chàng trai viết thư cho 3 cô bạn gái, vì đãng trí nên bỏ các thư vào
các phong bì một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để có ít nhất một cô nhận
được đúng thư viết cho mình.
Lời giải :
Nếu gọi Ai (i = 1, 2, 3) là sự kiện cô thứ i nhận đúng thư của mình. Khi đó
sự kiện B có ít nhất một cô nhận được đúng thư viết cho mình biểu diễn
bằng , và áp dụng công thức bù trừ ta có


15

2) Một người đãng trí (nói về một nhân viên giải quyết công việc thư từ) đã
đưa n bức thư cá nhân vào n phong bì rồi ghi địa chỉ sau, và anh ta làm một
cách ngẫu nhiên. Tính xác suất pm,n để có m lá thư được ghi đúng địa chỉ.
Lời giải :
Tập gồm n! các kết quả có thể xếp tương ứng các lá thư vào trong phong bì.
Gọi Ak = {thư k được ghi đúng địa chỉ}.
và vì vậy
Do đó,
và
mà dần đến e-1 khi n → ∞. Số kết quả trong trường hợp {không thư nào ghi
đúng địa chỉ} = , và do đó

Phần còn lại của phần này đề cập đến vấn đề bỏ phiếu. Nguyên bản của nó
được phát biểu có hệ thống là: một cộng đồng cử tri gồm m người phe hữu và
n người phe tả bỏ phiếu cho ứng cử viên của mình, trong đó m ≥ n. Xác suất
mà trong quá trình đếm các lá phiếu bí mật các ứng cử viên phe hữu sẽ không

thấp hơn phe tả là gì? Câu hỏi này đã xuất hiện trong nhiều hoàn cảnh.
Trong đề tài này, chúng tôi bắt đầu với một trường hợp cụ thể m = n. Có 2n
ly rượu trong số đó n ly rượu thật và n ly rượu giả. Trong một trò chơi phổ
biến tại địa phương, một người tham gia bịt mắt uống tất cả 2n ly tại một thời
điểm, được lựa chọn một cách ngẫu nhiên. Người tham gia được tuyên bố là
người chiến thắng nếu say với thể tích rượu thật uống luôn luôn là không


16

nhiều hơn so với rượu giả. Chúng ta sẽ kiểm tra xem điều này xảy ra với xác
suất 1/(n +1).
Xem xét di động ngẫu nhiên trên tập hợp{- n, - n +1, …, n} trong đó người
tham gia sẽ di chuyển lên một bước nếu uống ly rượu giả và sẽ lùi một bước
nếu uống rượu thật. Việc đi bộ bắt đầu từ gốc (lúc chưa uống) và sau 2n bước
luôn luôn trở về vị trí ban đầu (số lượng rượu thật = số lượng rượu giả).

Hình 1.1
Trên hình 1.1 bao gồm thời gian, bước đi X(t) của việc đi bộ bắt đầu từ
điểm (0, 0) và kết thúc tại (2n, 0) và mỗi lần nhảy lên và sang phải hoặc
xuống và sang phải. Chúng ta nhìn thấy xác suất mà các bước còn lại ở phía
trên đường X = -1.
Tổng số các đường đi dẫn từ (0, 0) đến (2n, 0) là (2n)!/n!n!. Số lượng các
đường đi ở trên đường thẳng cũng giống như tổng số các đường đi từ (1, 1)
đến (2n, 0) là ít hơn tổng số các đường đi từ (1, -3) đến (2n, 0). Thật vậy,
bước thứ nhất từ (0, 0) phải là bước lên. Tiếp theo, nếu một bước từ (0, 0) đến
(2n, 0) tiếp xúc hoặc xuyên qua đường X = -1, thì chúng ta có thể phản xạ bit
đầu tiên của nó và thu được một đường đi từ (1, -3) đến (2n, 0). Điều này đôi
khi được gọi là nguyên lý phản xạ.
Do đó, xác suất chiến thắng là :

17

Bây giờ giả sử rằng số ly rượu giả là m, số ly rượu thật là n, m > n. Như
trước, chiến thắng trò chơi có nghĩa là tại mỗi lần số lượng tiêu thụ rượu giả
là không ít hơn so với rượu thật. Sau đó tổng số các đường dẫn từ (0, 0) đến
(m + n, m - n) bằng (m + n)!/ m!n!. Một lần nữa, bước đầu tiên của đường
chiến thắng là luôn đi lên. Tổng số các đường dẫn từ (1, 1) đến (m + n, m - n)
bằng (m + n -1)!/(m - 1)!n!. Sử dụng nguyên lý phản xạ, chúng ta thấy rằng số
lượng đường mất đi bằng với tổng số các đường dẫn từ (1, -3) đến (m + n, m n), đó là (m + n -1)! / (m + 1)!(n - 2)!. Cuối cùng, xác suất chiến thắng là:
1.4. BIẾN NGẪU NHIÊN. KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN.
PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI
Định nghĩa 1.4.1. Biến ngẫu nhiên (BNN)
Biến ngẫu nhiên là một hàm X trên tập hợp kết quả Ω,
X:

(1.11)

với tập giá trị là tập hữu hạn hoặc đếm được gọi là tập giá trị có thể của
BNN X.
Ví dụ 1.4.1.
1) Hàm chỉ của một sự kiện là một BNN. Nếu A là một sự kiện, thì ta có
thể định nghĩa hàm chỉ IA của A như sau: IA = 1 khi A xảy ra và IA = 0 khi A
không xảy ra.
2) Số chấm xuất hiện khi tung một con súc sắc là một BNN. Nếu gọi X là
số chấm xuất hiện khi tung một con súc sắc thì khi tung súc sắc tập các giá trị
mà X có thể nhận là {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

18

Khi ta có một BNN, ta có thể nghiên cứu các tính chất, đặc trưng của nó, để
rút ra các thông tin, kết luận nào đó. Một trong những đặc trưng quan trọng
nhất là giá trị trung bình (kỳ vọng).
Định nghĩa 1.4.2. Kỳ vọng của BNN
Kỳ vọng của một BNN X, lấy giá trị x 1,…, xm với xác suất p1,…, pm được ký
hiệu là và là tổng :
Định nghĩa này cũng có ý nghĩa cho BNN đếm được nhiều giá trị x1, x2, …
với xác suất p1, p2, … :
với điều kiện là chuỗi này hội tụ tuyệt đối: . Nếu , ta nói rằng X không có giá
trị kỳ vọng hữu hạn.
Ví dụ 1.4.2.
1) Giá trị kỳ vọng của hàm chỉ I A(ω) = I(ω∈A) một sự kiện bằng với xác
suất :
2) Nếu gọi X là số chấm xuất hiện khi tung một con súc sắc thì
3) Trò chơi đề (một trò đánh bạc) : trong 100 số đề sẽ chỉ có 1 số thắng, 99
số thua. Thắng thì được 70 lần tiền đặt cọc. Thua thì mất tiền đặt cọc. Nếu đặt
cọc T tiền, thì kỳ vọng số tiền nhận lại được là 99% × 0 + 1% × 70.T = 0, 7.T.
Kỳ vọng lãi (lỗ) là 0,7.T − T = −0, 3.T. Tức là đặt cọc T tiền chơi đề, thì kỳ
vọng là bị thua 0,3.T.
Mệnh đề 1.4.1. Một số tính chất của kỳ vọng
(1) Nếu BNN X ≡ b là số không đổi, thì (X) = b.
(2) Giả sử các BNN X, Y có kỳ vọng, nếu X ≤ Y thì (X) ≤ (Y).


19

(3) Kỳ vọng của một tổ hợp tuyến tính BNN bằng tổ hợp tuyến tính của các
kỳ vọng.

* Chứng minh :
(1), (2) Hiển nhiên theo định nghĩa của kỳ vọng.

Thực tế điều này (được gọi là tuyến tính của kỳ vọng) có thể dễ dàng mở
rộng cho n số hạng :
Trong trường hợp đặc biệt nếu (Xk) = µ với mọi k, thì Tính chất cũng đúng
cho một dãy vô hạn các BNN X1, X2, … :
với điều kiện là chuỗi ở vế phải hội tụ tuyệt đối: .
Định nghĩa 1.4.3. Phân bố xác suất đồng thời - Phân bố xác suất điều kiện
Cho 2 BNN X và Y, với các giá trị rời rạc X( và Y(. Xét sự kiện {X = x i, Y =
yj} (với bất kỳ cặp giá trị xi, yj của X, Y), phân bố xác suất đồng thời của cặp
X, Y là .
Phân bố xác suất điều kiện của X = x i khi điều kiện Y = yj (cố định) xảy ra
là :
Trong đó, các xác suất biên (X = xi) và (Y = yj) được tính bằng :

Tương tự khái niệm được áp dụng trong trường hợp của một vài BNN X1,
…, Xn.
Định nghĩa 1.4.4. Kỳ vọng điều kiện


20

Nếu X và Y là hai BNN thì :

với các giá trị có thể của BNN X, Y.
Chú ý 1.4.1. Trong công thức (1.16) vai trò của X và Y có thể được hoán đổi.
Ví dụ 1.4.3. Giả sử X, Y là hai BNN rời rạc có phân phối đồng thời là
Y
y1 = 0,5

y2 = 0,7

x1 = 1
0,20
0,08

X
x2 = 6
0,05
0,12

x3 = 9
0,4
0,15

Tìm phân phối xác suất của X, Y. Tìm kỳ vọng có điều kiện ?
Lời giải :
Phân phối xác suất của BNN X là
X

1
0,28

6
0,17

Phân phối xác suất của BNN Y là
Y

0,5

0,65

Kỳ vọng có điều kiện :
mà
* Với X =1 :

* Tương tự, với X = 6 và X = 9 ta có:
Vậy :

0,7
0,35

9
0,55


21

Định nghĩa 1.4.5. BNN độc lập
BNN X và Y được gọi là độc lập nếu với bất kỳ cặp giá trị xi và yj:
Định nghĩa này được mở rộng cho trường hợp n BNN độc lập. Các BNN
X1, …, Xn độc lập nếu ∀ x1, … , xn :
Hơn nữa, một dãy vô hạn các BNN X1, X2, … được gọi là độc lập nếu ∀ n
các biến X1, …, Xn là độc lập.
Định nghĩa 1.4.6. Chuỗi các BNN độc lập phân phối giống nhau
Các BNN X1, X2, ... được gọi là chuỗi các BNN độc lập phân phối giống
nhau nếu ngoài sự độc lập ra các xác suất (X i = x) của chúng là như nhau
cho mỗi i = 1, 2, ...
Mệnh đề 1.4.2. Kỳ vọng của tích hai BNN độc lập
Cho các BNN độc lập X, Y, kỳ vọng của tích các giá trị bằng tích của các

kỳ vọng, tức là
* Chứng minh :

Chú ý 1.4.2. Sự khẳng định ngược lại là không đúng: BNN X, Y có mà không
phải là độc lập.
Ví dụ 1.4.4. Cho BNN X và Y :
Ở đây (X) = 0, (Y) = 0, nhưng rõ ràng X và Y là phụ thuộc.


22

Định nghĩa 1.4.7. Phương sai của BNN
Phương sai của BNN rời rạc X có là một số được ký hiệu và xác định như
sau :
Bằng cách khai triển bình phương và sử dụng các tính chất của kỳ vọng,
chúng ta có

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch tiêu chuẩn.
Một khái niệm liên quan chặt chẽ với phương sai là hiệp phương sai của hai
BNN.
Định nghĩa 1.4.8. Hiệp phương sai của hai BNN
Hiệp phương sai của hai BNN X và Y là một số được ký hiệu và xác định :
Đối với các biến X, Y độc lập thì Cov (X, Y) = 0, nhưng khẳng định ngược
lại không đúng.
Các BNN với Cov (X, Y) = 0 được gọi là không tương quan.
Với phương sai Var (X + Y) của tổng X + Y, chúng ta có biểu diễn sau đây :
Var (X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov (X, Y).

(1.23)

Mệnh đề 1.4.3. Một số tính chất của phương sai
(1) Nếu X ≡ b (hằng số) thì VarX = b2 - b2 = 0.
(2) Nếu c là một hằng số thực thì
(3) Phương sai của tổng các biến độc lập bằng tổng của các phương sai:
Var (X + Y) = Var X + Var Y.
Mở rộng cho nhiều BNN độc lập bất kỳ:


23

Var (X1 + … + Xn) = Var X1 + … + Var Xn.
(4) Var (X + b) = Var X + Var b = Var X. (b: hằng số)
(5) Xi các BNN độc lập phân phối giống nhau và nếu VarXi = thì .
(6) X1, X2, … các BNN độc lập và c1, c2, … các số thực
với điều kiện là chuỗi trong vế phải hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ 1.4.5. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập với giá trị thực, |X|,
|Y| ≤ K với số không đổi K. Nếu Z = XY chứng tỏ phương sai của Z được cho
bởi :
Lời giải :

Ví dụ 1.4.6. X1, …, Xn là độc lập, các BNN phân phối giống nhau với giá trị
trung bình và phương sai . Tìm giá trị trung bình của
Lời giải :
Đầu tiên, hãy xem xét các giá trị trung bình và phương sai của :
và
Tiếp theo


24

Ví dụ 1.4.7. Một con súc sắc cân đối có hai mặt màu xanh lá cây, hai mặt
màu đỏ và hai mặt màu xanh dương, và khi súc sắc được ném một lần. Giả sử
rằng
Tìm Cov (X, Y).
Lời giải :
Đặt : , ta có

nếu mặt xanh lá cây hướng lên trên
nếu mặt xanh dương hướng lên trên
nếu khác
nếu khác

Do đó tương tự
Theo công thức (1.22)
nhưng XY = 0 với xác suất 1, do đó .
Vậy,
1.5. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC, POISSON VÀ HÌNH HỌC. HÀM SINH
XÁC SUẤT, HÀM SINH MOMENT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG
Phân phối nhị thức xuất hiện tự nhiên trong việc tung đồng xu. Xem biến
ngẫu nhiên X bằng số mặt ngửa xuất hiện trong quá trình thử nghiệm n lần với
cùng một loại đồng xu. Biểu diễn:
X = Y 1 + … + Yn
Trong đó các BNN Y1, …, Yn là độc lập và phân phối đồng nhất
nếu lần thứ j xuất hiện mặt ngửa
Giả sử : xác suất của mặt ngửa xuất hiện và là xác suất mặt sấp xuất hiện,
nếu lần thứ j xuất hiện mặt sấp
ta có :
Do có liên quan đến việc mở rộng nhị thức
Nên phân bố xác suất của BNN X được gọi là phân phối nhị thức (hoặc (n,
p) - Nhị thức).

Định nghĩa 1.5.1. Phân phối nhị thức (Binomial distribution)
BNN X được gọi là có phân phối nhị thức với hai tham số n, p nếu X có
phân bố xác suất
Kí hiệu X ~ (n, p).


25

Từ biểu diễn trên X = Y1 + · · · + Yn nên có
Mệnh đề 1.5.1.
Nếu X ~ (n, p) thì :
(1.25)
Ví dụ 1.5.1. Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 7 lần, mỗi lần 1 viên bi từ một bình
đựng 8 bi xanh, 7 bi đỏ và 10 bi vàng. Tìm xác suất để có 3 lần lấy được bi
đỏ. Nếu biết rằng có 3 lần lấy được bi đỏ, tìm xác suất để các bi đỏ đó được
lấy từ các lần lấy chẵn.
Lời giải :
Nếu gọi A là sự kiện nhận được bi đỏ ở mỗi lần lấy bi thì
không thay đổi (vì lấy có hoàn lại), các lần lấy là ngẫu nhiên nên độc lập.
Vậy 7 lần lấy bi tương ứng với 7 phép thử. Gọi X là số lần nhận được bi đỏ.
Khi đó X ~ (n ; p) với n = 7 và p = 0,28.
Xác suất để có 3 lần lấy được bi đỏ :
Nếu biết rằng có 3 lần lấy được bi đỏ thì xác suất cần tìm là xác suất có
điều kiện : , với B là dãy kết quả của phép thử với các lần chẵn xuất hiện A,
các lần lẻ không xuất hiện A : B = . Ta có Mặt khác, vì , nên :
Mở rộng khác cũng có ích cho phân phối xác suất. Ví dụ, nếu chúng ta tung
đồng xu cho đến khi mặt ngửa xuất hiện đầu tiên, kết quả là số 0, 1, … (chỉ số
mặt sấp xuất hiện trước khi mặt ngửa đầu tiên xuất hiện). Gọi Y là số mặt sấp
xuất hiện trước khi mặt ngửa đầu tiên xuất hiện. Xác suất của kết quả k là
Khi đó BNN Y cho số các phép thử trước khi mặt ngửa đầu tiên xuất hiện

được cho là một phân phối hình học, với tham số q.
Định nghĩa 1.5.2. Phân phối hình học (phân phối bội) (Geometric distribution)
Phân phối hình học với tham số q (0 ≤ q ≤ 1) là phân bố xác suất rời rạc
tập trung tại tập hợp các số tự nhiên, cho bởi công thức sau: