PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HẠ THI GIANG

PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HẠ THI GIANG

PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng
Đà Nẵng - Năm 2014

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Học viên

Nguyễn Hạ Thi Giang


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5. Bố cục đề tài. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.

1.2.

1.3.

SƠ LƯỢC VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Các định nghĩa ban đầu về phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Một số phép biến đổi thường gặp trong mặt phẳng. . . . . . . . . .

5

1.1.3. Một số phép biến đổi thường gặp trong không gian . . . . . . . . .

7

1.1.4. Một số kiến thức liên quan về ellipse, ellipsoid . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5. Một số định lý hình học cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

PHÉP CO DÃN TRONG MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1. Phép co dãn với hệ số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3. Phép co dãn với hệ số khác không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

PHÉP CO DÃN TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1. Phép co dãn với hệ số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.3. Phép co dãn với hệ số khác không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23


1.4.

PHÉP CO DÃN THEO PHƯƠNG CHO TRƯỚC . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.1. Phép co dãn theo phương cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG PHÉP CO DÃN

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP . . . . . . . .

32

BÀI TOÁN KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHÉP CO DÃN . . . . . . . . .

32

2.1.1. Các bài toán trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.2. Các bài toán trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.1.3. Các bài toán tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

BÀI TOÁN CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC . . . .

44

2.2.1. Các bài toán trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.2. Các bài toán trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2.3. Các bài toán tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.3.1. Các bài toán trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.3.2. Các bài toán trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.3.3. Các bài toán tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM (QŨY TÍCH) . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.4.1. Các bài toán trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.4.2. Các bài toán trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ
DESCARTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.5.1. Các bài toán trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.5.2. Các bài toán trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.5.3. Các bài toán tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73


2.6.

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . .

83

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Như chúng ta từng biết, hình học đã xuất hiện từ thời cổ đại
do nhu cầu đo đạc đất đai hay để xây những kim tự tháp khổng lồ.
Từ đó, bằng những cảm nhận vật lý và nhu cầu xây dựng môn hình

học của mình, nhà toán học Euclide đã đưa ra hệ tiên đề (thế kỷ III
tr.CN) trong tác phẩm "Cơ bản" nổi tiếng suốt 2300 năm qua. Từ
hệ tiên đề này, hình học đã thoát ra khỏi những tính toán thuần túy
để khoác lên mình những suy luận logic, chặt chẽ và chính xác.
Qua hơn 2000 năm phát triển với nhiều loại hình học ra đời, tại
Đại Hội "Erlangen 1872", nhà toán học người Đức Felix Klein (18491925) đã đưa ra quan điểm hình học của mình qua việc nghiên cứu
nhóm các phép biến đổi sao cho một số đối tượng hình học trở nên
bất biến. Khi đó, các mối liên hệ giữa các điểm, đường thẳng, góc
. . . có thể được xây dựng thông qua các phép biến đổi hình học
mà ta có thể gọi tắt là Phép biến đổi.
Hiện nay, các phép biến đổi là một trong những nội dung quan
trọng của chương trình Toán bậc phổ thông trung học (PTTH), đặc
biệt được sử dụng bồi dưỡng học sinh giỏi, lớp chuyên, lớp chọn, trong
các kì thi VMO, IMO. Trong nhiều phép biến đổi đã được xây dựng
thì phép biến đổi co dãn vẫn có nhiều ứng dụng quan trọng để giải
những bài toán hình học sơ cấp. Được sự định hướng của PGS.TS
Trần Đạo Dõng và bản thân mong muốn tìm hiểu thêm về phép
biến đổi hình học này, tôi đã chọn đề tài : "PHÉP BIẾN ĐỔI CO
DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
SƠ CẤP" làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài


2

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là khai thác các tính chất, đặc
trưng của phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng và trong không gian
để khảo sát một số chủ đề hình học trong chương trình PTTH.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khai thác phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng và trong không

gian để giải các dạng bài toán cơ bản trong hình học như : bài toán
chứng minh các tính chất hình học, bài toán cực trị hình học, bài
toán quỹ tích và các bài toán liên quan trong hệ tọa độ Descartes.
4. Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu về phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng và
không gian, hệ thống các kiến thức liên quan.

• Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn và đồng
nghiệp.
5. Bố cục đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
phân làm hai chương:

• Ở chương 1, chúng tôi giới thiệu cơ sở về phép biến đổi, phép
biến hình, phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng và không gian.

• Đến chương 2, chúng tôi ứng dụng phép biến đổi co dãn để giải
một số dạng toán trong chương trình bậc PTTH.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

• Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản
trong hình học thuộc chương trình toán bậc PTTH.

• Hệ thống phương pháp giải và ứng dụng phép biến đổi co dãn.
• Phát huy tư duy, tính tự học và sáng tạo của học sinh.


3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Ở chương 1, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng
trong luận văn.

1

1.1. SƠ LƯỢC VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
Ở mục này ta nhắc lại một số định nghĩa về phép biến đổi hình học
(gọi tắt là phép biến đổi) trong mặt phẳng và trong không gian.
1.1.1.

Các định nghĩa ban đầu về phép biến đổi

Giả sử P là một mặt phẳng (hoặc không gian).
Định nghĩa 1.1.1. (Phép biến đổi).
Phép biến đổi trong P là một quy tắc sao cho mỗi điểm M thuộc P xác
định được duy nhất một điểm M cũng thuộc P . Kí hiệu:

f : P −→ P
M −→ M = f (M ).
Khi đó:

• M được gọi là ảnh của M qua phép biến đổi f .
• M được gọi là tạo ảnh của M qua phép biến đổi f .
Định nghĩa 1.1.2. (Ảnh của một hình).
Cho một hình (H) và phép biến đổi f trong P . Khi đó

(H ) = {M : M = f (M ), M ∈ (H)}
được gọi là ảnh của (H) qua phép biến đổi f .
Kí hiệu: (H ) = f (H).
1

Mục này được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [5], [9], [10].


4

Định nghĩa 1.1.3. (Phép biến đổi 1-1).

2

Cho một phép biến đổi f trong P . Nếu ứng với mỗi ảnh M chỉ có duy
nhất một tạo ảnh M thì f là một phép biến đổi 1 − 1 hay còn gọi là phép
biến hình.
Định nghĩa 1.1.4. (Đại lượng bất biến).
Cho một phép biến đổi f trong P . Giả sử (A ) một đại lượng hình học nào
đó (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng, . . . ) sao cho f (A ) = (A )
thì (A ) được gọi là đại lượng bất biến của f . Trường hợp (A ) là một điểm
thì điểm đó còn được gọi là điểm bất động của f .
Định nghĩa 1.1.5. (Phép biến đổi đồng nhất).
Cho một phép biến đổi f trong P . Nếu mọi điểm M trong P đều là điểm
bất động thì f được gọi là phép biến đổi đồng nhất.
Kí hiệu: f = Id.
Định nghĩa 1.1.6. (Phép biến đổi trùng nhau).
Cho hai phép biến đổi f, g trong P . Với mọi điểm M thuộc P , ta có

f (M ) = M = g(M ) thì f, g được gọi là hai phép biến đổi trùng nhau. Kí

hiệu: f = g .
Định nghĩa 1.1.7. Cho hai phép biến đổi f, g trong P . Giả sử X là một
tập hợp các điểm trong P . Nếu f = g, ∀M ∈ X thì f, g được gọi là trùng
nhau cục bộ.
Từ định nghĩa 1.1.7, ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.1.1. Nếu f = g thì f, g trùng nhau cục bộ. Điều ngược lại
nói chung không đúng.
Định nghĩa 1.1.8. (Tích các phép biến đổi).
Cho hai phép biến đổi f : M −→ M , g : M −→ M trong P . Khi đó,
2

Định nghĩa 1.1.3 kết hợp từ hai tài liệu tham khảo [5] [9].


5

phép biến đổi biến M thành M được gọi là tích của hai phép biến đổi f, g .
Kí hiệu: g ◦ f : M −→ M .
Định nghĩa 1.1.9. Cho n phép biến đổi f1 , f2 , . . . , fn trong P . Tích của

n phép biến đổi đã cho là một phép biến đổi được thực hiện liên tiếp theo
một thứ tự xác định. Kí hiệu: F = fn ◦ fn−1 ◦ . . . ◦ f1 .
Định nghĩa 1.1.10. (Phép biến đổi ngược).
Cho hai phép biến đổi f, g trong P . Nếu g ◦ f là phép biến đổi đồng nhất
thì g được gọi là phép biến đổi ngược của f . Kí hiệu : f −1 .
Định nghĩa 1.1.11. (Phép biến hình đối hợp).
Một phép biến hình f trong P có phép biến đổi ngược là chính nó thì f
được gọi là một phép biến hình đối hợp.
Định nghĩa 1.1.12. (Phép dời hình).

3

Phép dời hình là một phép biến hình trong P bảo toàn khoảng cách giữa
hai điểm bất kì trong P . Tức là: Với hai điểm M, N tùy ý trong P và

M = f (M ), N = f (N ), ta có M N = M N .
Định lý 1.1.1. Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm.
Từ định lý 1.1.1, ta có nhận xét quan trọng sau:
Nhận xét 1.1.2. Nếu T là một tính chất của phép biến hình g và f là
một phép dời hình thì f ◦ g cũng có tính chất T . Hay nói cách khác là
phép biến hình f ◦ g bảo toàn các tính chất của phép biến hình g .
1.1.2.

Một số phép biến đổi thường gặp trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng, ta có hai lớp phép biến đổi quen thuộc ở bậc PTTH
là lớp các phép dời hình và lớp các phép đồng dạng. Sau đây, chúng
tôi nhắc lại các định nghĩa của một số phép biến đổi thuộc hai lớp này.
3

Xem các định nghĩa 1.1.11, 1.1.12 ở tài liệu tham khảo [8].


6

a. Lớp các phép dời hình phẳng
Định nghĩa 1.1.13. (Phép tịnh tiến).
−
−

Cho một vector →
u . Phép tịnh tiến theo vector →
u là một phép biến hình
−−−→ →
−
biến điểm M thành M sao cho M M = −
u . Kí hiệu: T→
u.
Định nghĩa 1.1.14. (Phép đối xứng trục).
Cho một đường thẳng ∆. Phép đối xứng trục ∆ là một phép biến hình biến
điểm M thành M sao cho M M nhận ∆ làm đường trung trực.
Kí hiệu: D∆ .
Định nghĩa 1.1.15. (Phép đối xứng trượt).
−
Cho đường thẳng ∆ và vector →
u có phương song song với ∆. Xét phép
biến hình
−
−
−
T(∆,→
u ) = T→
u ◦ D(∆) = D(∆) ◦ T→
u
−
biến điểm M thành M trong mặt phẳng thì T(∆,→
u ) được gọi là phép đối

xứng trượt qua đường thẳng ∆.
Định nghĩa 1.1.16. (Phép quay).

Cho điểm O và một góc lượng giác ϕ.Phép quay tâm O là một phép biến
 OM = OM
hình biến điểm M thành M sao cho
.
 (OM, OM ) = ϕ
Kí hiệu: Q(O,ϕ) .
Định nghĩa 1.1.17. (Phép đối xứng tâm).
Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến điểm M thành điểm M sao cho

M M nhận O làm trung điểm. Kí hiệu: DO .
Từ các định nghĩa 1.1.16 và 1.1.17, ta có nhận xét
Nhận xét 1.1.3. Phép đối xứng tâm là phép quay tâm O, góc quay 180◦ .
b. Lớp các phép đồng dạng phẳng.


7

Định nghĩa 1.1.18. (Phép vị tự).
Cho điểm O và một số thực k = 0. Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi
−−→
−−→
điểm M thành điểm M sao cho OM = k OM . Kí hiệu: V(O,k) .
Định nghĩa 1.1.19. (Phép đồng dạng).
Cho một số thực k > 0. Phép đồng dạng là phép biến hình biến hai điểm

M, N thành hai điểm M , N sao cho M N = k.M N . kí hiệu: Dk .
Từ định nghĩa 1.1.19, ta đi đến nhận xét sau :
Nhận xét 1.1.4. Phép đồng dạng Dk là tích của một phép vị tự V(O,k) (k >

0) và một phép dời hình.

Thông thường, chúng ta hay xét đến phép đồng dạng có chứa một điểm
kép O (điểm bất động). Khi đó, Dk là tích giao hoán của một phép vị tự
và một phép quay tâm O. Kí hiệu:

Z(O,k,ϕ) = Q(O,ϕ) ◦ V(O,k) = V(O,k) ◦ Q(O,ϕ) (k > 0).
1.1.3.

Một số phép biến đổi thường gặp trong không gian

Trong mục trên, ta đã nhắc lại một số phép biến đổi thường gặp trong
mặt phẳng. Trong không gian, chúng vẫn có định nghĩa hoàn toàn tương
tự. Vì thế, để tiện cho việc trình bày, mục này chỉ giới thiệu những định
nghĩa về các phép biến đổi đặc trưng trong không gian.

4

Định nghĩa 1.1.20. (Phép đối xứng mặt).
Cho mặt phẳng (P ). Phép đối xứng qua mặt (P ) là một phép biến hình
biến điểm M thành điểm M sao cho (P ) là mặt phẳng trung trực của

M M . Kí hiệu: D(P ) .
Định nghĩa 1.1.21. (Phép chiếu theo một phương cho trước).
Cho mặt phẳng (P ) và đường thẳng ∆ cắt (P ). Phép chiếu theo phương
4

Tham khảo chủ yếu từ tài liệu [10].


8


 MM ∆
(∆) lên (P ) là phép biến đổi biến M thành M sao cho
.
 M ∈ (P )
Kí hiệu: P(∆,(P )) .
Nếu ∆ ⊥ (P ) thì ta có phép chiếu vuông góc (gọi tắt là phép chiếu). Kí
hiệu : P(P ) .
Định nghĩa 1.1.22. (Phép chiếu xuyên tâm).
Cho một mặt phẳng (P ) và điểm O ∈
/ (P ). Phép chiếu xuyên tâm O là
một phép biến đổi biến M thành M ∈ (P ) sao cho M, O, M thẳng hàng.
Kí hiệu: S(O,(P )) .
1.1.4.

Một số kiến thức liên quan về ellipse, ellipsoid

Ở mục này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức liên quan về ellipse
trong hệ tọa độ Oxy và ellipsoid trong hệ tọa độ Oxyz .
Định nghĩa 1.1.23. (Định nghĩa ellipse).

5

Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c và đoạn thẳng A1 A2 = 2a,

(a > c > 0). Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn
M F1 + M F2 = 2a
được gọi là một đường ellipse. Trong đó, F1 , F2 được gọi là tiêu điểm, 2c
được gọi là tiêu cự của ellipse.
Từ định nghĩa này, ta có định lý sau:

Định lý 1.1.2. Mọi ellipse trong mặt phẳng tọa độ Oxy đều có phương
trình chính tắc dưới dạng

x2 y 2
+
= 1, a > b > 0.
a2 b 2
Trong đó, 2a, 2b lần lượt là độ dài trục lớn, trục nhỏ của ellipse, tâm của
ellipse trùng với gốc O(0; 0).
5

Tham khảo ở tài liệu [7].


9

Định lý 1.1.3. Mọi ellipse trong mặt phẳng tọa độ Oxy đều có phương
trình tổng quát dưới dạng Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, với

B 2 < 4AC .
Định lý 1.1.4. Cho ellipse có độ dài hai trục là 2a và 2b thì diện tích
ellipse là : S(E) = π.ab.
Định nghĩa 1.1.24. (Định nghĩa mặt ellipsoid)

6

Cho hệ trục tọa độ Oxyz , cho nửa ellipse thuộc nửa mặt phẳng trên của
x2 y 2
(Oxy) có phương trình là (E) : 2 + 2 = 1. Quay đường cong này quanh
a

b
trục Ox, ta nhận được một mặt trong không gian được gọi là mặt ellipsoid
tròn xoay có phương trình là

x2 y 2 z 2
+
+
= 1.
a2 b 2 b 2
Bằng cách tương tự, ta có các mặt ellipsoid tròn xoay khi cho nửa ellipse
quay quanh Oy, Oz lần lượt là

x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
+
+
= 1, 2 + 2 + 2 = 1.
a2 b 2 a2
a
a
b
Tổng quát các trường hợp này, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.25. Cho hệ trục tọa độ Oxyz , mặt ellipsoid có phương
trình

x2 y 2 z 2
(E) : 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c

được gọi là mặt ellipsoid tổng quát (hay mặt ellipsoid lệch).
Nếu a = b > c thì (E) được gọi là phỏng cầu dẹt.
Nếu a = b < c thì (E) được gọi là phỏng cầu dài.
Để đơn giản, chúng ta có thể viết tắt mặt ellipsoid là ellipsoid.
Định lý 1.1.5. (Thể tích khối ellipsoid) 7
x2 y 2 z 2
4
Cho ellipsoid (E) : 2 + 2 + 2 = 1 thì V(E) = π.abc.
a
b
c
3
6
7

Tham khảo ở tài liệu [10].
Xem chứng minh diện tích ellipse, thể tích khối ellipsoid ở các bài toán 2.6.1, 2.6.8.


10

1.1.5.

Một số định lý hình học cổ điển

Trong luận văn này, một số bài toán có sử dụng đến các định lý hình
học cổ điển sau đây:

8

Định lý 1.1.6. (Định lý Menelaus).
Giả sử ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh BC, CA, AB của

ABC .

Điều kiện cần và đủ để P, Q, R thẳng hàng là

P B QC RA
.
.
= 1.
P C QA RB
Định lý 1.1.7. (Định lý Ceva).
Cho ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh BC, CA, AB của

ABC .

Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy là

P B QC RA
.
.
= −1.
P C QA RB
Định lý 1.1.8. (Công thức Heron).
i) Cho

ABC có diện tích S , độ dài các cạnh a, b, c. Đặt p :=

Khi đó S 2 = p(p − a)(p − b)(p − c).

a+b+c
.
2

ii) Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S , độ dài các cạnh a, b, c, d. Đặt
a+b+c+d
p :=
. Khi đó
2

S 2 = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2

B+D
2

.

1.2. PHÉP CO DÃN TRONG MẶT PHẲNG
Mục này giới thiệu về phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng (gọi tắt
là phép co dãn).
8
9

9

Xem các định lý Menelaus và Ceva ở tài liệu [3], [5], công thức Heron ở tài liệu [12].
Tham khảo chủ yếu ở tài liệu [9].

11

1.2.1.

Phép co dãn với hệ số dương

Định nghĩa 1.2.1. Cho một đường thẳng d và một số k > 0. Với điểm

M bất kỳ không thuộc đường thẳng d, ta dựng điểm M sao cho
−−−→
−−→
HM = k HM .
Trong đó, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d. Khi đó, M được
gọi là ảnh của M trong phép co dãn trục d với hệ số k .
Kí hiệu: Γ(d,k) : M −→ M . Đường thẳng d được gọi là trục co dãn, k được
gọi là hệ số co dãn.
Theo định nghĩa, ta có các trường
hợp sau:
Nếu k > 1 thì Γ(d,k) được gọi là
phép dãn.
Nếu 0 < k < 1 thì Γ(d,k) là được
gọi là phép co.
Nếu k = 1 thì Γ(d,k) là phép đồng
nhất.
1.2.2.

Hình 1.1

Tính chất

Xét một phép co dãn Γ(d,k) .
Tính chất 1.2.1. Trục d là đại lượng bất biến của phép biến đổi Γ(d,k) .

−−→ →
−
Chứng minh. Với mọi M ∈ d thì hình chiếu H ≡ M . Do đó, HM = 0 ,
suy ra

−−−→
−−→ →
−
HM = k HM = 0 .

Vậy M ≡ H ≡ M .
Tính chất 1.2.2. Phép biến đổi Γ(d,k) là phép biến đổi 1-1.


12

Chứng minh. Giả sử Γ(d,k) (M1 ) = Γ(d,k) (M2 ) = M và H là chân đường
vuông góc hạ từ M1 xuống d. Theo định nghĩa 1.2.1, ta có M, M1 , M2 , H
thẳng hàng và

−−−→ −−−→
−−−→
k HM1 = HM = k HM2 ,
−−−→ −−−→
Khi đó, HM1 = HM2 . Vậy M1 ≡ M2 .

k > 0.

Tính chất 1.2.3. Phép biến đổi Γ = Γ(d, k1 ) ◦ Γ(d,k) là một phép đồng nhất.
Khi đó, Γ(d, k1 ) là phép biến đổi ngược của Γ(d,k) .
Chứng minh. Giả sử P là mặt phẳng đang khảo sát, ta có sơ đồ sau:
Γ(d,k)

Γ(d, 1 )

k
P
P −−−→P −−−→

M −→M −→ M
Theo định nghĩa 1.2.1, ta có

−−−→
−−→
HM = k HM ,

(1.1)

với H là chân đường vuông góc hạ từ M, M xuống d và

−−−→ 1 −−−→
HM = HM,
k

(1.2)

với H là chân đường vuông góc hạ từ M , M xuống d. Vậy H, H cùng

là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d. Suy ra, H ≡ H .
Viết lại (1.2) dưới dạng

−−−→ 1 −−−→
HM = HM .
k

(1.3)

Từ (1.1), (1.3), ta thu được :

−−−→ 1 −−→ −−→
HM ” = .k.HM = HM
k
hay M ” ≡ M . Vậy Γ(d,k) ◦ Γ(d, k1 ) là phép đồng nhất.
Tính chất 1.2.4. Phép biến đổi Γ(d,k) biến 3 điểm thẳng hàng thành 3
điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự các điểm.


13

Chứng minh. Giả sử A, B, C là ba
điểm thẳng hàng với B nằm giữa

A, C . Đặt hệ trục Oxy sao cho
Ox luôn trùng với trục co d. Gọi
A , B , C là ảnh của A, B, C qua
phép biến đổi Γ(d,k) , H, K, I lần
lượt là hình chiếu của A, B, C lên
trục d.

Hình 1.2
Theo định nghĩa 1.2.1:
−−→
−−→ −−→
−−→ −→
−→
HA = k HA, KB = k KB, IC = k IC.

(1.4)

Gọi tọa độ các điểm là A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), C(x3 ; y3 ) thì theo hình 1.2, ta
được H(x1 ; 0), K(x2 ; 0), I(x3 ; 0).
Từ (1.4) suy ra A (x1 ; ky1 ), B (x2 ; ky2 ), C (x3 ; ky3 ). Do A, B, C thẳng
hàng nên

−→
−→
AB = mAC, m ∈ R


 x2 − x1 = m(x3 − x1 )
 x2 − x1 = m(x3 − x1 )
hay
⇔
.
 y − y = m(y − y )
 ky − ky = m(ky − ky )
2
1
3

1
2
1
3
1
−−→
−−→
Vậy A B = mA C . Rõ ràng A , B , C thẳng hàng.
Từ tính chất quan trọng này, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.2.1. Phép biến đổi Γ(d,k) biến:

• Đường thẳng thành đường thẳng.
• Hai vector cùng phương có tỷ số độ dài k thành hai vector cùng phương
cũng có tỷ số độ dài k .
Tính chất 1.2.5. Giả sử

ABC có diện tích S và

A B C là ảnh của

nó qua phép biến đổi Γ(k,d) có diện tích S thì S = kS .
10

Tham khảo cách chứng minh khác ở tài liệu [9].

10


14

Chứng minh. Đặt hệ trục Oxyz
sao cho (Oxy) ≡ (ABC), trục Ox
trùng với trục co dãn d. Khi đó,

A(x1 ; y1 ; 0), B(x2 ; y2 ; 0), C(x3 ; y3 ; 0),
A (x1 ; ky1 ; 0), B (x2 ; ky2 ; 0), C (x3 ; ky3 ; 0).
−→
AB = (x2 − x1 ; y2 − y1 ; 0),
−→
AC = (x3 − x1 ; y3 − y1 ; 0),
−−→
A B = (x2 − x1 ; k(y2 − y1 ); 0),
−−→
A C = (x3 − x1 ; k(y3 − y1 ); 0).

Hình 1.3

Vậy ta thu được các tích có hướng:
−→ −→
[AB, AC] = (0; 0; (x2 − x1 )(y3 − y1 ) − (x3 − x1 )(y2 − y1 )),
(1.5)
−−→ −−→
[A B , A C ] = (0; 0; k(x2 − x1 )(y3 − y1 ) − k(x3 − x1 )(y2 − y1 ))
−→ −→
= k[AB, AC].
(1.6)
Từ (1.5) và (1.6), ta có
1 −→ −→
1 −−→ −−→
SA B C = |[A B , A C ]| = k. |[AB, AC]| = kSABC .

2
2
Từ tính chất này, ta có hệ quả:
Hệ quả 1.2.2. Một đa giác F có diện tích S . Gọi F là ảnh của F qua
phép biến đổi Γ(d,k) có diện tích S . Khi đó, S = kS .
Tính chất 1.2.6. Nếu trục d của một phép biến đổi Γ(d,k) đi qua tâm
của đường tròn (C) thì ảnh của đường tròn trong phép biến đổi đó là một
Ellipse (E).
Chứng minh. Ta chọn hệ tọa độ Oxy có trục d trùng với Ox.

• Phần thuận:
Giả sử ta có phương trình đường tròn là:

(C) : x2 + y 2 = R2 .

(1.7)


15

Với mỗi điểm M (x; y) ∈ (C), gọi M (x ; y ) = Γ(d,k) (M ) thì

x = x,

y = ky.

Thay vào (1.7) ta được

x2 +

y2
x2
y2
2
=
R
⇔
+
= 1.
k2
R2 (Rk)2
(1.8)

Vậy M thuộc một ellipse.

• Phần đảo:
Với mỗi M thuộc ellipse có phương
trình dạng (1.8), biến đổi ngược lại
ta sẽ có M ∈ (C) là tạo ảnh của

M qua phép biến đổi Γ(d,k) .

Hình 1.4

• Kết luận: Quỹ tích điểm M là một Ellipse có trục là 2R và 2kR.
Tính chất 1.2.7. Nếu trục d của phép biến đổi Γ(d,k) trùng với trục đối
xứng của Ellipse (E) và hệ số k bằng tỷ số hai trục của (E) thì ảnh của
nó là một đường tròn (C).
Chứng minh. Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với trục d. Khi đó,
Ellipse có phương trình là:

x2 y 2
(E) : 2 + 2 = 1.
a
b

(1.9)

• Phần thuận:
Với mỗi điểm M (x; y) ∈ (E), gọi M (x ; y ) = Γ(d,k) (M ) thì

x = x,

a
a
y = ky = y (theo giả thiết k = ).
b
b

Thay vào (1.9), ta được:

x 2 b2 y 2
+ 2 2 = 1 ⇔ x2 + y 2 = a2 .
2
a
ab

(1.10)

16

Vậy điểm M thuộc một đường tròn.

• Phần đảo:
Với mỗi M thuộc đường tròn (1.10), biến đổi ngược lại ta cũng có M
thuộc (E) và M = Γ(d,k) (M ).

• Kết luận: Quỹ tích M là một đường tròn (O, a).
Tính chất 1.2.8. Phép biến đổi Γ(d,k) biến đường tròn có diện tích S
thành Ellipse có diện tích S thì S = kS .
Chứng minh. Theo tính chất 1.2.6, cho (C) : x2 + y 2 = R2 thì ảnh của nó
x2
y2
là ellipse (E) : 2 +
= 1. Vậy theo công thức diện tích ellipse:
R
(kR)2

S = π.R.kR = k.π.R2 = kS.

Nhận xét 1.2.1. Đối với trường hợp Γ(d,k) biến ellipse thành đường tròn,
ta cũng có kết quả như trên.
1.2.3.

Phép co dãn với hệ số khác không

Ở mục trên, chúng tôi đã giới thiệu định nghĩa và tính chất của phép
co dãn với hệ số dương. Ở mục này, chúng ta sẽ khảo sát phép co dãn với
hệ số khác 0, được xét như là sự mở rộng của phép co dãn với hệ số dương.

Cho một đường thẳng ∆ và số thực

k > 0. Khi đó, tồn tại một phép đối
xứng trục D∆ và một phép co dãn

Γ(∆,k) . Xét phép biến hình
F = Γ(∆,k) ◦ D∆ ,
với mọi điểm M trong mặt phẳng,
gọi H là hình chiếu của M lên ∆.
Hình 1.5


17

Giả sử M = D∆ (M ), M = Γ(∆,k) (M ) thì

−−−→
−−−→
−−→
HM = k HM = −k HM .
Vậy ta có M = Γ(∆,k) ◦ D∆ (M ) = F (M ) thỏa mãn

−−−→
−−→
HM = −k HM .
Nhận xét 1.2.2. Qua cách mở rộng ở trên, ta có phép biến hình F là tích
giao hoán của Γ(∆,k) và D∆ .
Điều này dẫn đến định nghĩa tổng quát hơn về phép co dãn :
Định nghĩa 1.2.2. Cho đường thẳng ∆ và một số thực k = 0. Với mọi
điểm M trong mặt phẳng, gọi H là hình chiếu của M lên ∆. Phép co dãn

là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho

−−−→
−−→
HM = k HM .
Kí hiệu: Γ(∆,k) .

• Nếu k = −1 thì Γ(∆,k) là phép đối xứng trục.
• Nếu |k| < 1 thì Γ(∆,k) được gọi là phép co.
• Nếu |k| > 1 thì Γ(∆,k) được gọi là phép dãn.
Nhận xét 1.2.3. Từ nhận xét 1.1.2, ta có D∆ là một phép dời hình nên
phép co dãn với hệ số âm bảo toàn các tính chất của phép co dãn với hệ số
dương. Do đó, các tính chất của phép co dãn hệ số khác không hoàn toàn
giống với các tính chất của phép co dãn hệ số dương đã được chứng minh
ở trên. Để chính xác hơn, khi sử dụng các tính chất 1.2.5, 1.2.8 và hệ quả

1.2.2, ta chỉ cần thay k thành |k|.
Vậy từ đây, trong luận văn này, chúng tôi chỉ sử dụng đến phép co dãn

Γ(d,k) với k = 0.


18

1.3. PHÉP CO DÃN TRONG KHÔNG GIAN
Mục này giới thiệu về phép biến đổi co dãn trong không gian (gọi tắt
là phép co dãn).
1.3.1.

11

Phép co dãn với hệ số dương

Định nghĩa 1.3.1. Cho một mặt phẳng (P ) và một số k > 0. Với mỗi
điểm M trong không gian, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt
−−−→
−−→
phẳng (P ), ta xác định một điểm M sao cho HM = k HM .
Khi đó, M là ảnh của M trong
phép co dãn mặt phẳng (P ).
Kí hiệu: C(P,k) .
Mặt phẳng (P ) được gọi là mặt co
dãn, k được gọi là hệ số co dãn.
Vậy ta có các trường hợp:
Hình 1.6

• Nếu k = 1 thì C(P,k) là phép đồng nhất.
• Nếu k > 1 thì C(P,k) được gọi là phép dãn.
• Nếu 0 < k < 1 thì C(P,k) được gọi là phép co.
1.3.2.

Tính chất

Tính chất 1.3.1. (P ) là một mặt phẳng bất động của phép co dãn C(P,k) .
Chứng minh. Tương tự tính chất 1.2.1.
Tính chất 1.3.2. C(P,k) là phép biến đổi 1 − 1 và có phép biến đổi ngược
là C(P, k1 ) (hay C(P,k) ◦ C(P, k1 ) là phép đồng nhất).
Chứng minh. Cách chứng minh hoàn toàn tương tự tính chất 1.2.2 và

1.2.3.

11

Tham khảo ở tài liệu [10].


19

Tính chất 1.3.3. Phép biến đổi C(P,k) biến 3 điểm thẳng hàng A, B, C (B
nằm giữa A, C ) thành 3 điểm thẳng hàng A , B , C (B nằm giữa A , C ).
Chứng minh. Chứng minh tương tự tính chất 1.2.4.
Hệ quả 1.3.1. Phép biến đổi C(P,k) biến đường thẳng thành đường thẳng.
Tính chất 1.3.4. Cho bốn điểm A, B, C, D sao cho AB

CD hoặc

AB, CD cùng thuộc một đường thẳng. Giả sử A B , C D là ảnh của AB, CD
AB
AB
qua phép biến đổi C(P,k) . Khi đó A B C D và
=
.
CD
CD
Chứng minh. Chọn hệ trục Oxyz sao cho (Oxy) ≡ (P ) và Oz đi qua A,

(Oxz) chứa C .
Khi đó, ta có tọa độ các điểm :

A(0; 0; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 ),
C(x3 ; 0; z3 ), D(x4 ; y4 ; z4 ),

A (0; 0; kz1 ), B (x2 ; y2 ; kz2 ),
C (x3 ; 0; kz3 ), D (x4 ; y4 ; kz4 ).
Vậy tọa độ các vector là :
−→
AB = (x2 ; y2 ; z2 − z1 ),
−−→
CD = (x4 − x3 ; y4 ; z4 − z3 ),
−−→
A B = (x2 ; y2 ; k(z2 − z1 )),
−−→
Hình 1.7
C D = (x4 − x3 ; y4 ; k(z4 − z3 )).
−→ −−→
−→
−−→
Vì AB CD nên AB CD. Suy ra AB = m.CD, m ∈ R. Ta có đẳng
thức sau:






x2 = m(x4 − x3 )
x2 = m(x4 − x3 )







.
⇔
y2 = my4
y2 = my4








 k(z2 − z1 ) = m.k(z4 − z3 )
 z2 − z1 = m(z4 − z3 )

−−→
−−→
Vậy rõ ràng A B = m.C D .