MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VŨ THANH TÙNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ
TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Đà Nẵng, Năm 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và
chưa được ai công bố trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Vũ Thanh Tùng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.

2.
3.
4.
5.
6.

Lý do chọn đề tài.....................................................................................1
Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................2
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu...........................................................2
Phương pháp nghiên cứu.........................................................................2
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài................................................2
Cấu trúc luận văn....................................................................................2

CHƯƠNG 1: BIẾN PHÂN.............................................................................4
1.1. BIẾN PHÂN THỨ NHÂT, PHƯƠNG TRÌNH EULER - LAGRANGE. .4
1.2. BIẾN PHÂN THỨ HAI.............................................................................8
1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE.......................................................10
1.3.1. Các phương trình Euler-Lagrange....................................................10
1.3.1. Các Lagrangian không.....................................................................12
1.3.3. Ứng dụng..........................................................................................15
CHƯƠNG 2: CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG. TÍNH
CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM......................................................................18
2.1. ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI..................18
2.1.1. Điều kiện cưỡng bức........................................................................19
2.1.2. Nữa liên tục dưới..............................................................................21
2.2. TÍNH LỒI.................................................................................................19
2.3. NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER - LAGRANGE..........27
2.4. TRƯỜNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH...................................................31
2.4.1. Tính lồi.............................................................................................31
2.4.2.Tính đa lồi.........................................................................................33

2.5. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM.......................................................37
2.5.1. Nhũng ước lượng đạo hàm cấp hai..................................................38
2.5.2. Những nhận xét trên quy tắc cao hơn...............................................42


CHƯƠNG 3: MỘT SỐ CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN..........................................45
3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG PHI TUYẾN TÍNH..................................45
3.2. RÀNG BUỘC MỘT BÊN, BẤT ĐẲNG THÚC BIẾN PHÂN...............49
3.3. ĐỊNH LÝ QUA NÚI................................................................................54
3.3.1. Các điểm tới hạn, sự biến dạng........................................................54
3.3.2. Định lý qua núi.................................................................................59
3.3.3. Ứng dụng trong phương trình eliptic nữa tuyến tính.......................61
KẾT LUẬN....................................................................................................68
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................69


5

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Chúng ta đều biết: không có lý thuyết tổng quát cho phép giải mọi
phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến

A[u ] = 0;

trong đó,

A[×]

(1)

ký hiệu toán tử đạo hàm riêng (nói chung là phi tuyến) đã

cho, còn u ký hiệu ẩn hàm. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp (chẳng hạn, với
phương trình Hamilton – Jacobi và các luật bảo toàn), toán tử phi tuyến

A[×]

có thể biểu diễn được như là một kiểu “đạo hàm” của một phiếm hàm “năng
lượng”

I [×]

thích hợp, và (1) trở thành

I '[u ] = 0.
Lúc này, thay vì giải phương trình (1) một cách trực tiếp – một việc khó,
người ta quan tâm đến việc tìm các “điểm tới hạn” của phiếm hàm

I [×] −

một

việc dường như là dễ hơn, nhờ vào các công cụ của giải tích hàm phi tuyến:
phép tính biến phân.
Rất nhiều bài toán – trên thực tế – được đưa về bài toán “cực trị của
phiếm hàm”. Có thể nói: Phép tính biến phân được sử dụng rộng rãi trong các
lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học và kỹ thuật. Vì lý do đó, dưới sự

hướng dẫn của thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, tôi chọn “Một số vấn đề cơ sở


6

trong phép tính biến phân” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa
học của mình.


7

2.

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác
nhau, nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ các kiến
thức cũ và mới về phép tính biến phân để có thể trình bày lại các kiến thức cơ
sở – theo cách mình hiểu – trong luận văn này với các chứng minh chi tiết và
các ví dụ minh họa.
Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích
cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học.

3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: phép tính biến phân.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, các định lý cơ sở và một số bài
toán liên quan.

4.

Phương pháp nghiên cứu
Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài
liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin
nhằm hệ thống lại các vấn đề lý thuyết một cách logic, chi tiết hóa các chứng
minh và tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa.

5.

6.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Mong muốn đề tài sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành toán trong
việc tiếp cận với một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân.
Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương
Chương 1 giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Euler-Lagrange,
biến phân thứ hai và hệ phương trình Euler-Lagrange.


8

Chương 2 trình bày điều kiện cưỡng bức, tính nửa liên tục dưới, tính lồi,
nghiệm yếu của phương trình Euler-Lagrange, trường hợp hệ phương trình và
tính chính quy của nghiệm.
Chương 3 trình bày về bài toán giá trị riêng phi tuyến, ràng buộc một
bên, bất đẳng thức biến phân, định lý qua núi và ứng dụng trong phương trình
elliptic nửa tuyến tính.

9

CHƯƠNG 1

BIẾN PHÂN
1.1. BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE
Giả sử U ⊂ là một tập mở, bị chặn với biên trơn, là một tập compact
và cho trước một hàm trơn
Ta gọi .
Kí hiệu .
Ta viết

ℝ.

với và .Như vậy là biến sốdưới đây được thế chỗ bởi , và là

biến sẽ được thế chỗ bởi . Ta cũng đặt

Kí hiệu này sẽ làm cho phần lí thuyết sau dễ hiểu.
Bây giờ để chính xác hoá ý tưởng đã nói trong lời mở đầu, ta giả sử rằng
phiếm hàm có dạng

với các hàm trơn

ℝ thỏa mãn điều kiện biên

(2)

trên
Giả sử thêm rằng một hàm trơn nào đó thỏa mãn điều kiện biên cần

thiết: trên , và là điểm đạt cực tiểu của phiếm hàm trong số tất cả các hàm
thỏa mãn (2). Khi đó, ta chứng minh rằng tự động là một nghiệm của một
phương trình đạo hàm riêng nào đó.
Để khẳng định điều này, trước tiên ta chọn tuỳ ý hàm trơn và xét hàm
giá trị thực
(3)
Vì là một điểm cực tiểu của phiếm hàm và trên , dễ dàng ta thấy có
một cực tiểu tại . Do đó


10

(4)

.
Đạo hàm trên được gọi là biến phân thứ nhất và ta tính toán nó một cách

tường minh bằng cách viết

Do đó

Cho , từ (4) suy ra rằng

Cuối cùng, vì có tính compact nên ta có thể lấy tích phân từng phần và
thu được
Vì đẳng thức này đúng với mọi hàm thử , do đó ta kết luận nghiệm đúng
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

Đây là phương trình Euler-Lagrange liên quan với phiếm hàm năng

lượng được định nghĩa bởi (1). Nhận thấy rằng (6) là một phương trình đạo
hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính ở dạng phân tán.
Tóm lại, mọi cực tiểu trơn của phiếm hàm là một nghiệm của phương
trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (6) vì thế đảo lại ta có thể tìm được một
nghiệm của (6) bằng cách tìm các cực tiểu của (1).
Ví dụ 1(Nguyên lý của Dirichlet).
Cho

Khi đó ; vì thế phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm

là


11

trong .
Đây là nội dung của nguyên lý Dirichlet.
Ví dụ 2 (Nguyên lý Dirichlet suy rộng).
Xét
Trong đó . Khi đó . Do đó phương trình Euler- Lagrange liên kết với
phiếm hàm

là phương trình tuyến tính cấu trúc phân tán

Điều kiện eliptic đồng đều trên là một giả thiết xa hơn mà ta sẽ áp đặt
một cách tự nhiên để chứng minh được sự tồn tại của điểm cực tiểu của phiếm
hàm năng lượng. Vì vậy cho nên trên quan điểm phi tuyến tính của phép tính
biến phân, dạng cấu trúc phân tán của một phương tình đạo hàm riêng eliptic
cấp hai là hoàn toàn tự nhiên.
Ví dụ 3 (Phương trình Poisson phi tuyến).

Cho một hàm trơn và . Khi đó phương trình Euler- Lagrange liên kết
với phiếm hàm

là phương trình Poisson phi tuyến

Ví dụ 4 (Các mặt cực tiểu).
Cho

vì thế


12

là diện tích của đồ thị của hàm . Phương trình Euler-Lagrange được liên kết là

Phương trình đạo hàm riêng này là phương trình mặt cực tiểu. Biểu thức
div ở vế trái của (7) là n lần độ cong trung bình của đồ thị của . Do đó một
của
đồ thị
=I[u]
mặtDiện
cực tích
tiểu mặt
có độ
cong
trung
bình bằng 0.

u

Một mặt cực tiểu

1.2. BIẾN PHÂN THỨ HAI
Biến phân thứ hai của phiếm hàm tại hàm được tính toán dựa trên phép
tính của biến phân thứ nhất. Ta bắt đầu bằng nhận xét quan trọng rằng vì là
một cực tiểu đối với phiếm hàm, nên ta cần phải có

với được định nghĩa bởi (3)như ở trên. Từ (5) ta có thể tính

Lấy ta thu được bất đẳng thức đúng với mọi hàm thử sau đây:


13

Từ bất đẳng thức (8) ta có thể rút ra một số thong tin hữu ích như sau.
Trước hết bằng cách lập luận xấp xỉ thông thường thì việc ước tính (8)
là đúng với mọi hàm liên tục Lipschitz v triệt tiêu trên . Khi đó, cố định và
định nghĩa

trong đó và là hàm tuần hoàn “zic-zắc” xác định bởi
, ()
Vì vậy
(10)

hầu khắp nơi.

Xem xét kỹ ta thấy

khi , và vì vậy thay thế (9) vào (8) ta được

Cho và sử dụng (10) ta thu được bất đẳng thức

Vì ước lượng này đúng với mọi , ta suy ra

Trong chương 2 ta sẽ thấy điều kiện cần (11) này chính là gợi ý cho giả
thiết lồi cơ bản được đặt trên toán tử Lagrange cần thiết cho lý thuyết tồn tại
nghiệm.
1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
1.3.1.Các phương trình Euler-Lagrange
Các nhận xét trên nhìn chung khá dễ đối với trường hợp của hệ, chỉ duy
nhất sự phức tạp là có quá nhiều kí hiệu. Giả sử cho trước hàm trơn Lagrange


14

Kí hiệu . Ta viết

với , và trong đó

(Ta dùng chỉ số trên để kí hiệu các hàng, quy ước kí hiệu này sẽ đơn giản hóa
các công thức tiếp theo).
Vì trong 1.1 hàm liên qua với phiếm hàm

với các hàm trơn được định nghĩa là, thỏa mãn điều kiện biêntrên, là cho
trước. Từ đó, ta có

là ma trận gradient của tại x.
Bây giờ ta chứng tỏ rằng bất kì cực tiểu trơn của phiếm hàm được lấy
trong các hàm bằng trên, ta cần phải giải một hệ các phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến tính nào đó. Do đó ta chọn , và viết

Vì đã có

Từ điều này ta suy ra đẳng thức như trên

Vì đẳng thứcc này có giá trị với mọi cách chọn nên lấy tích phân từng
phần ta được


15

Nói chung hệ phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính bao gồm các
phương trình Euler-Lagrange với các phiếm hàm được định nghĩa bởi (12).
1.3.2.Các Lagrangian không
Lagrangian không rất thú vị để nghiên cứu hệ phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến nào đó mà mỗi hàm trơn là một nghiệm.
Định nghĩa.
Hệ phương trình Euler-Lagrange

Hiển nhiên được giải bởi tất cả hàm . Khi đó hàm L được gọi là một
Lagrangian không.
Tầm quan trọng của Lagrangian không là khả năng tương ứng mà phiếm
hàm

chỉ phụ thuộc vào các điều kiện biên:
Định lý 1.( Các Lagrangian không và các điều kiện biên).
Cho L là một Lagrangian không. Giả sử là hai hàm trong sao cho
(15)

trên

Khi đó
(16)
Chứng minh. Định nghĩa

Khi đó


16

= 0,
phương trình cuối đúng vì hệ phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange
được thỏa mãn bởi . Từ đó suy ra đồng nhất thức (16).
Trong trường hợp vô hướng, khi thì chỉ các Lagranian không là những
ví dụ không hay mà L là tuyến tính với biến phân . Tuy nhiên đối với trường
hợp các hệ khi thì có những ví dụ không tầm thường mà đóng vai trò quan
trọng cho các phần sau.
Kí hiệu. Nếu là một ma trận vuông . Ta kí hiệu
cof
cof – ma trận đồng nhân tố mà khi ta bỏ đi thì (cof, trong đó bằng định thức
của ma trận -thu được bằng việc bỏ đi hàng thứ k và cột thứ i của ma trận .
Bổ đề(Những hàng không phân kỳ)
Cho là một hàm trơn. Khi đó

Chứng minh
1. Trong đại số tuyến tính ta có đồng nhất thức
(18)

(;

mà

Vì vậy

2. Trong (19) ta đặt , lấy vi phân với chú ý đến và tổng
ta tìm được


17

với . Rút gọn đồng nhất thức này ta được

3. Nếu , từ (21) ta suy ra rằng
tại .
Nếu thì ta chọn một số rất nhỏ để mà , áp dụng vào bước 1-3 thì được
với .
Định lý 2(Các định thức là những Lagrangian không ).
Hàm định thức

là một Lagrangian không.
Chứng minh.
Ta cần chứng minh rằng với bất kì hàm trơn , thì

Theo (20) ta có . Nhưng khi đó theo kí hiệu và kết luận của bổ đề thì ta thấy

1.3.3. Ứng dụng
Một ứng dụng hay của hệ phương trình Euler-Lagrange là chứng minh
nhanh định lý điểm bất động tôpô.
Định lý 3. ( Định lý điểm Brouwer bất động)
Giả sử

là hàm liên tục, trong đó là quả cầu đơn vị đóng trong . Khi đó, có một điểm
cố định có nghĩa là tồn tại một điểm với


18

.
Chứng minh
1. Kí hiệu . Trước hết ta cho rằng không tồn tại một hàm trơn
(22)
Sao cho
(23)
Giả sử ngược lại rằng tồn tại một như thế. Ta tạm thời viết cho hàm
đồng nhất thức sao cho. Từ (23) suy ra trên. Vì định thức là một Lagrangian
không, theo định lý 1 ta có

Mặt khác, theo (23) ý nói ; vì thế lấy vi phân ta được
(25)

.
Vì nên từ (25) ta nói 0 là một giá trị riêng của với mỗi . Vì thế trong B,

điều này mâu thuẫn với (24) và do đó chứng minh hàm trơn thỏa mãn (22),
(23) không thể tồn tại.
2. Tiếp theo ta chứng minh không có hàm liên tục nào kiểm tra (22),
(23).Thật vậy nếu là một hàm như thế, ta tiếp tục mở rộng bằng việc đặt.
Nhận xét rằng, chọn nhỏ để mà thỏa mãn. Chú ý rằng vì là radian nên ta có
nếu với đủ nhỏ. Khi đó

sẽ là một ánh xạ trơn thỏa mãn (22), (23) (với quả cầu thay thế cho ) , mâu
thuẫn với bước 1.
3. Cuối cùng giả sử hàm liên tục nhưng không có điểm cố định.Bâygiờ ta
xác định ánh xạ bằng việc đặt là điểm trên thu được bởi tia tỏa ra từ và đi


19

qua x. Vì nên ánh xạ này cũng được định nghĩa. Hơn nữa là hàm liên tục và
thỏa mãn (22), (23). Nhưng chiều hướng này là một mâu thuẫn với bước 2.

CHƯƠNG 2

CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG
TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM


20

Trong chương này ta sẽ nhận biết vài điều kiện trên Lagrangian mà đảm
bảo rằng phiếm hàm thật sự có một cực tiểu ít nhất ở trong không gian
Sobolev thích hợp.
2.1. ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỮA LIÊN TỤC DƯỚI
Chúng ta hãy bắt đầu với một số cách nhìn sâu sắc chủ yếu theo
kinh nghiệm như khi phiếm hàm

được định nghĩa cho các hàm thích hợp w: thỏa mãn
(2)

trên

nên có một cực tiểu.
2.1.1. Điều kiện cưỡng bức
Trước hết ta chú ý rằng ánh xạ là một hàm trơn và bị chặn dưới mà
không cần đạt tới infimum của nó. Ví dụ chẳng hạn hoặc . Những ví dụ này
gợi ý rằng chủ yếu ta sẽ cần một vài giả thiết để làm điều kiện cho phiếm hàm
đối với các hàm “rộng”. Dĩ nhiên cách hiệu quả nhất để chắc chắn điều này là
sẽ giả thuyết rằng phiếm hàm “mạnh hơn khi ”.
Chính xác hơn, ta cho rằng
(3)

là cố định.

Khi đó ta giả sử
(4)
Vì thế
(5)
với . Vì vậy khi . Thông thường ta gọi (5) là điều kiện cưỡng bức trên phiếm
hàm.


21

Trở lại một lần nữa nhiệm vụ cơ bản của ta là tìm những cực tiểu của
phiếm hàm, từ bất đẳng thức (5) ta nhận xét rằng điều đó dường như hợp lí để
định nghĩa phiếm hàm không chỉ đối với các hàm trơn mà còn đối với các
hàm trong không gian Sobolev mà thỏa mãn điều kiện biên (2) theo nghĩa
vết. Để phiếm hàm được định nghĩa thì ta mở rộng lớp của các hàm, càng
nhiều lớp như vậy ta càng sẽ có một cực tiểu.
Từ phần này đến cuối luận văn ta dùng

để kí hiệu cho lớp các hàm được thừa nhận này. Từ (4) ta chú ý rằng phiếm
hàm được định nghĩa ( nhưng nó có thể bằng +) với mỗi .
2.1.2. Nữa liên tục dưới
Ta thấy rằng mặc dù một hàm liên tục thỏa mãn điều kiện cưỡng bức thì
thật sự đạt tới infimum của nó, thông thường tích phân phiếm hàm sẽ không
như vậy. Để hiểu vấn đề này ta đặt
(6)
và chọn các hàm sao cho
(7)

khi

Ta gọi là một dãy giảm.
Ta sẽ chứng tỏ rằng vài dãy con của hội tụ về một cực tiểu thực. Thật
vậy, vì có số chiều vô hạn nếu ta sử dụng bất đẳng thức cưỡng bức (5) thì ta
chỉ có thể kết luận rằng dãy cực tiểu nằm trong một tập con bị chặn của .
Nhưng điều này không có nghĩa là tồn tại một dãy con hội tụ trong .
Do đó ta hướng đến topo yếu. Vì ta giả sử sao cho là phản xạ nên ta kết
luận rằng tồn tại một dãy con và một hàm thỏa


22

(8)
ta viết gọn (8) như sau
(9)

yếu trong .

Hơn nữa, nó đúng với trong theo ý nghĩa về vết và vì thế.
Do vậy bằng cách thay topo yếu ta có được tính compact đầy đủ từ bất
đẳng thức (5) suy ra (9) với một dãy con thích hợp. Nhưng lúc này lại nảy
sinh vấn đề khó hơn cho tất cả các trường hợp của phiếm hàm mà nó không
liên tục tương ứng với sự hội tụ yếu. Nói một cách khác, từ (7) và (9) ta
không thể suy ra rằng
(10)
và do đó là một cực tiểu. Vấn đề ở đây là không có nghĩa là hầu khắp nơi,
nó có thể xảy ra trong trường hợp khi những gradient bị chặn trong và mức độ
sẽ càng ngày càng nhanh khi
Nói tóm lại, nhận xét chính rằng ta không cần công thức đầy đủ của (10).
Thay vào đó ta chỉ cần dùng

Khi đó từ (7) ta suy ra nhưng mà từ (6) ta lại có . Vì vậy cho nên thật sự
là một cực tiểu.
Định nghĩa.
Cho là một phiếm hàm trên với điều kiện là

Mà

yếu trong .

Khi đó ta nói là( dãy) các nữa liên tục dưới yếu trong


23

Bởi vậy mục tiêu của ta là xác định những điều kiện thích hợp trên phi
tuyến tính mà chắc chắn là các nữa liên tục dưới yếu.
2.2. TÍNH LỒI

Ta tiếp tục trở lại giải tích biến phân thứ hai trong chương 1 và nhắc lại
bất đẳng thức ta đã thu được

là một điều kiện cần với bất kì là một cực tiểu trơn. Bất đẳng thức này khẳng
định một cách mạnh mẽ rằng việc giả sử là lồi trong argument đầu tiên của
nó là hợp lí.

Định lý 1(Tính nửa liên tục dưới yếu)
Giả sử rằng L là bị chặn, và hơn nữa ánh xạ là lồi với mỗi . Khi đó
phiếm hàm là các nửa liên tục dưới yếu trong .
Chứng minh
1.Chọn một dãy với
(12)

yếu trong ,

và tập . Ta cần chứng minh
(13)

.
2. Trước hết vì yếu trong và nên

sup u k W 1, q (U ) < ∞
(14)

k

Nếu cần thiết ta có thể bỏ qua dãy con ở trên, ta cũng giả sử

l = lim I [u k ]

(15)

k →∞

.


24

Hơn nữa ta có do đó

yếu trong và vì thế nếu cần thiết bỏ qua dãy con khác

thì ta có
(16)

hầu khắp nơi trong
3. Chọn . Khi đó (16) và định lý Egoroff khẳng định

(17)

không đổi trên

trong đó là một tập đo với
(18)
Bây giờ ta viết
(19)

.

Khi đó
(20)

khi

Cuối cùng ta đặt
(21)
và từ (18), (20) ta nhận xét rằng khi.
4. Nhận xét: vì bị chặn dưới nên ta cũng có thể giả sử
(22)
(nói cách khác ta có thể áp dụng các argument vào với vài hằng số thích
hợp). Vì vậy

bất đẳng thức cuối suy ra từ tính lồi của trong argument đầu tiên của nó. Từ
(17), (19) và (21) ta có

Hơn nữa, vì đều trên và yếu trong nên ta có


25

Từ (23) cùng với (24), (25) ta suy ra rằng

Bất đẳng thức này đúng với mỗi . Cho , và theo định lý hội tụ đều ta kết
luận

là đúng.
Nhận xét.
Việc hiểu các chứng minh ở trên như thế nào để giải quyết tính hội tụ
yếu thì rất quan trọng. Yếu tố quan trọng, ở vế phải của bất đẳng thức (23)

thì tuyến tính. Bằng định nghĩa, tính hội tụ yếu thì tương thích với các biểu
thức tuyến tính và do đó giới hạn (25) đúng. Lưu ý rằng nó thường không
đúng khi hầu khắp nơi thậm chí nếu ta bỏ qua một dãy con.
Tính hội tụ của đến trong thì mạnh hơn nhiều và do đó ta không cần
bất kì giả thiết nào về tính lồi liên quan đến .
Tiếp theo ta có thể chứng minh là phiếm hàm có một cực tiểu trong số
các hàm trong .
Định lý 2. (Sự tồn tại cực tiểu)
Giả sử rằng thỏa mãn bất đẳng thức cưỡng bức (4) và lồi với biến số .
Và là không rỗng.
Khi đó tồn tại ít nhất một hàm nghiệm đúng

Chứng minh