luan van thac si gai tich

Chương 2
ĐỘ ĐO JENSEN
2.1 Các định nghĩa
2.1.1 Định nghĩa
Cho
Ω
là tập con mở của
d
R
, và cho
x∈Ω
. Độ đo Jensen tại
x
trên
Ω
là
một độ đo xác suất Borel
µ
, có giá trong một tập con compact của Ω, thoả mãn
với mọi hàm điều hoà dưới
u
trên
Ω
sao cho

( )u x ud
µ
≤
∫
.
Nếu

B
là hình cầu đóng trong
Ω
với tâm
x
, thì độ đo Lebesgue chuẩn hoá
trên
B
là độ đo Jensen tại
x
, như là độ đo mặt chuẩn hoá trên
B∂
.Điều này xuất
phát từ bất đẳng thức dưới trung bình đối với các hàm điều hoà dưới.
Một ví dụ đơn giản khác là
x
µ δ
=
, độ đo Dirac tại
x
cũng là độ đo Jensen
tại
x
.
Ta có định nghĩa sau
2.1.2 Định nghĩa
Cho một hàm
[ ]
: ,
ϕ

Ω → −¥ ¥
bao điều hoà dưới của
ϕ
là
{ }
( ): sup ( ) : ( ), S x u x u u
ϕ ϕ
= ∈ Ω ≤SH

( )x∈Ω
Ở đây
( )ΩSH
là họ của các hàm điều hoà dưới trên
Ω
.
2.1.3 Định nghĩa
Cho một hàm
[ ]
: ,
ϕ
Ω → −¥ ¥
bao Jensen của
ϕ
là
{ }
( ): inf : ( )
x
J x d J
ϕ ϕ µ µ
= ∈ Ω

∫
.
( )x∈Ω
( )J
ϕ
Ω
là họ tất cả các độ đo Jensen tại
x
trên Ω.
26
Chú ý rằng
ϕ
là hàm đủ ‘tốt’ cho tất cả
d
ϕ µ
∫
tồn tại và ta có kết quả tiếp theo
là hiển nhiên
2.1.4 Mệnh đề
( ) ( ) ( )S x J x x
ϕ ϕ
≤ ∈Ω
.
Chúng minh
Cố định
x∈Ω
. Cho
( )u∈ ΩSH
với
u

ϕ
≤
, và cho
( )
x
J
µ
∈ Ω
bất kì ta có
( )u x ud d
µ ϕ µ
≤ ≤
∫ ∫
.
Lấy supremum theo tất cả
u
và infimum theo mọi
µ
như trên ta có
{ }
{ }
sup ( ): ( ) inf : ( )
x
u x u d J
ϕ µ µ
∈ Ω ≤ ∈ Ω
∫
SH
.
Hay

( ) ( )S x J x
ϕ ϕ
≤
.
W
2.2 Định lý đối ngẫu trừu tượng
Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý đối ngẫu trên cơ sở lý thuyết đã có.Định lý
này cho phép chúng ta xem xét đồng thời hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoà
dưới cũng như có thể áp dụng được vào lý thuyết đa thế vị.
Chúng ta kí hiệu sau
Cho
X
là không gian metric compact, và cho
R
là tập hợp các hàm số liên
tục từ
[
)
,X → −¥ ¥
thoả mãn
i)
,u v R u v R∈ ⇒ + ∈
.
ii)
, 0u R u R∈ > ⇒ ∈l l
.
iii)
R
tách các điểm của

X
và chứa các hằng số.
Với mỗi
x X∈
, độ đo
R
tại
x
là độ đo xác suất Borel
µ
trên
X
thoả mãn
27
( )u x ud
µ
≤
∫

( )u R∈
.
Chúng ta kí hiệu
x
I
là tập tất cả độ đo
R
tại
x
. Cho
[ ]

: ,X
ϕ
→ −¥ ¥
, ta định
nghĩa
{ }
( ) sup ( ) : , ( )R x u x u R u x X
ϕ ϕ
= ∈ ≤ ∈
.
Định lý đối ngẫu trừu tượng sau là kết quả của Edward, [07]
Định lý
Cho
(
]
: ,X
ϕ
→ −¥ ¥
là hàm số nửa liên tục dưới. Khi đó
( ) ( )R x I x
ϕ ϕ
=
.
( )x X∈
Chứng minh
Theo mệnh đề 2.1.3. Ta dễ dàng chứng minh được
( ) ( )R x I x
ϕ ϕ
≤
với mọi

x X∈
. Ta sẽ chứng minh điều ngược lại tức là
( ) ( )R x I x
ϕ ϕ
≥
thật vậy
Đầu tiên ta giả sử
( )C X
ϕ
∈
, chú ý
ϕ
là hàm số giá trị thực liên tục trên
X
.
Và giả sử
( ) ( )R x I x
ϕ ϕ
<
với mọi
x X∈
. Ta có thể thêm một hằng số vào
ϕ
nếu
cần, không giảm mất tính chất tổng quát của bài toán ta giả sử
( ) 0 ( )R x I x
ϕ ϕ
< <
. Định nghĩa
{ }

( ) : , ( ) 0, f C X u R u x u f= ∈ ∃ ∈ = <C=
.
Thế thì
C=
là tập nón lồi trên
( )C X
, và
ϕ
∉C=
vì
( ) 0R x
ϕ
<
. Do đó, theo
định lý Hahn-Banach và định lý Riesz đã chứng minh, tồn tại độ đo Borel
µ
có
dấu trên
X
thoả mãn
0d fd
ϕ µ µ
≤ <
∫ ∫

( )f ∈C =
(2.1)
28
Mặt khác, vì
C=

bao gồm tất cả các hàm số liên tục, dương trên
X
do đó,
µ
chỉ là độ đo dương. Nhân thêm bởi một hằng số, chúng ta có thể giả sử rằng
µ
là
một độ đo xác suất.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng
µ
chính là độ đo
R
tại
x
. Cho
u R∈
. với mỗi
0>ò>
. Đặt
( )f u u x= − + ò>
. Thế thì
f ∈C=
, vì
0fd
µ
≥
∫
do đó
( )u x ud
µ

≤ +
∫
ò>
.
Cho
0→ò>
, ta được
( )u x ud
µ
≤
∫
>
. Điều chứng minh dưới đây xét
( )u x = −∞
, và trong tất cả các trường hợp đẳng thức luôn xảy ra.
Theo bất đẳng thức (2.1) ta có
( ) 0I x
ϕ
≤
khi đó mâu thuẫn với điều giả sử.
Do đó
( ) ( )I x R x
ϕ ϕ
≤
trong trường hợp
ϕ
là hàm số liên tục.
Giả sử
ϕ
chỉ là hàm số nửa liên tục dưới. Cho

( )
n
ϕ
là dãy trong
( )C X
mà
( )
n
ϕ
hội tụ tới
ϕ
. Ta vừa chứng minh, với mỗi
n
, tồn tại
n x
I
µ
∈
sao cho
1
( )
n n n
d R x
n
ϕ µ ϕ
< +
∫
.
Nếu
m n

≤
thì
1 1
( ) ( )
m n n n n
d d R x R x
n n
ϕ µ ϕ µ ϕ ϕ
≤ ≤ + ≤ +
∫ ∫
.
Giới hạn của
( )
n
µ
hội tụ
*
- yếu tới
x
I
µ
∈
. Cho
n → ∞
qua giới hạn này, và
sau đó
m → ∞
ta được
( )d R x
ϕ µ ϕ

≤
∫
.
Do đó, lặp lại một lần chúng ta có
( ) ( )I x R x
ϕ ϕ
≤
.
29
Vậy
( ) ( ) ( )R x I x x X
ϕ ϕ
= ∈
Nhận xét: Nếu
ϕ
là nửa liên tục trên thì định lý 2.2 không còn đúng nữa. Thật
vậy, điều đó là sai khi
R
chứa một dãy giảm
( )
n
u
mà có giới hạn là không liên
tục. Vì nếu đặt
lim
n n
u
ϕ
=
thì

ϕ
là nửa liên tục trên và thoả mãn
I
ϕ ϕ
=
, nhưng
R
ϕ ϕ
≠
, bởi vì
R
ϕ
là supremum của họ hàm số liên tục, và là liên tục dưới. Do
đó,
R I
ϕ ϕ
=
.
Định lý 2.2 dùng để chứng minh một cách tổng quát của Choquet. Chi tiết
chúng ta xem trong chương 1, [09]
2.3 Định lý đối ngẫu của hàm đa điều hoà dưới
Cho Ω là một tập con mở của
d
R
và
[ ]
: ,
ϕ
Ω → −¥ ¥
, ta kí hiệu

{ }
( ) sup ( ) : ( ), ( )S x u x u u x
ϕ ϕ
= ∈ Ω ≤ ∈ΩSH
,
{ }
( ) inf : ( ) ( )
x
J x d J x
ϕ ϕ µ µ
= ∈ Ω ∈Ω
∫
.
Trong đó
( )ΩSH
là họ của các hàm điều hoà dưới trên
Ω
, và
( )
x
J Ω
là họ của
các độ đo Jensen tại
x
trên
Ω
.
2.3.1 Định lý
Cho
:

ϕ
Ω → R
là hàm số liên tục. Khi đó
( ) ( ) ( )S x J x x
ϕ ϕ
= ∈Ω
.
Đây là khái niệm cơ bản. Cho
X
là tập con compact của
Ω
, Ta đặt
{ }
: ( ) ( )
X
R u u SH C= ∈ Ω ΩI|
.
Với
2
Ω = R
trường hợp này chúng ta xem trong trang 77, [14]
Chứng minh
Tương tự định lý 2.2.
30
Để có thêm kiến thức từ định lý ta cần phải liên hệ độ đo
R
trên
X
và độ
đo Jensen trên

Ω
. Ta có bổ đề sau
2.3.2 Bổ đề
Giả sử mỗi thành phần bị chặn của
|
d
XR
giao không trống với
|
d
ΩR
. Khi
đó
{ }
( ) :supp ( )
x x
I J X x X
µ µ
= ∈ Ω ⊂ ∈
.
Chứng minh
Cho
x X∈
và cho
( )
x
J
µ
∈ Ω
với

supp X
µ
⊂
. Lấy
v R∈
ta có
X
v u= |
. Vì
tồn tại
( ) ( )u C∈ Ω ΩISH
do đó
( ) ( )
X
v x u x ud vd
µ µ
= ≤ =
∫ ∫
suy ra
x
I
µ
∈
.
Ngược lại, giả sử
x
I
µ
∈
. Lấy

( )u∈ ΩSH
khi đó tồn tại
( ) ( )
n
u C∈ Ω ΩISH
sao cho
n
u u↓
trên
X
( Xem trong định lý xấp xỉ không
tầm thường
[ ]
Gr,®Þnh lý 6.1
). Đặt
|
n n X
v u=
, khi đó
n
v R∈
vì vậy
( )
n n
v x v d
µ
=
∫
.
Cho

n → ∞
suy ra
( )u x ud
µ
≤
∫
do đó
( )
x
J
µ
∈ Ω
. Vậy

{ }
( ) :supp ( )
x x
I J X x X
µ µ
= ∈ Ω ⊂ ∈

W
Chứng minh định lý 2.3.1
Cho
( )
n
X
thoả mãn là dãy vét cạn, compact của
Ω
, với mỗi

n
mọi hợp
thành giới nội của
|
d
n
XR
có giao không trống với
|
d
ΩR
. Ta định nghĩa
{ }
| : ( ) ( )
n
X
n
R u u C= ∈ Ω ΩISH
,
và biểu thị
n
R
ϕ
và
n
I
ϕ
tương ứng là bao của
|
n

X
ϕ
. Theo định lý 2.2 ta có
( ) ( )
n n
R x I x
ϕ ϕ
=
với mọi
n
x X∈
.
31
Ta chỉ cần chứng minh
limsup ( ) ( )
n
n
R x S x
ϕ ϕ
→∞
≤
và
liminf ( ) ( )
n
n
I x J x
ϕ ϕ
→∞
≥

( )x∈Ω
.
Lấy
x∈Ω
ta có
n
x X∈
, vì vậy tồn tại
( )
n
u ∈ ΩSH
thoả mãn
n
u
ϕ
≤
trên
n
X
và
1
( ) ( )
n n
u x R x
n
ϕ
> −
. Đặt
( ) limsup ( )
n

n
u y u y
→∞
=
và
*
( ) limsup ( )
z y
u y u z
→
=

( )y∈Ω
.
Thế thì
*
( )u ∈ ΩSH
và
*
u
ϕ
≤ do đó
*
limsup ( ) ( ) ( )
n
n
R x u x S x
ϕ ϕ
→∞
≤ ≤

.
Theo bổ đề 2.3.2, Nếu
n
x X∈
thì
{ }
( ) inf : ( ), sup
n x n
I x d J X
ϕ ϕ µ µ µ
= ∈ Ω ⊂
∫
.
Lấy giới hạn hai vế ta được
lim ( ) ( )
n n
I x J x
ϕ ϕ
→∞
=
.
2.3.3 Định nghĩa
Cho Ω là tập con mở của
d
C
. Đặt
( )PSH Ω
là họ của các hàm đa điều hoà
dưới trên
Ω

, và
( )
x
PJ Ω
là họ của độ đo đa Jensen tại
x
trên
Ω
. Cho
[ ]
: ,
ϕ
Ω → −¥ ¥
ta định nghĩa:
{ }
( ) sup ( ): ( ), PS x u x u PSH u
ϕ ϕ
= ∈ Ω ≤

( )x∈Ω
.
{ }
( ) inf : ( )
x
PJ x d PJ
ϕ ϕ µ µ
= ∈ Ω
∫

( )x∈Ω

2.3.4 Định lý
Giả sử Ω là tập giả lồi. Cho
:
ϕ
Ω → R
là liên tục. Khi đó
( ) ( )PS x PJ x
ϕ ϕ
=

( )x∈Ω
.
Chứng minh
32
Chứng minh tương tự định lý 2.3.1 chỉ cần chú ý trong quá trình chứng
minh bổ đề 2.3.2, chúng ta phải biết rằng
( )u∈ ΩSH
, tồn tại
( ) ( )
n
u C∈ Ω ΩISH
thoả mãn
n
u u↓
trên
X
. Kết quả tương tự của hàm đa điều
hoà dưới là không đúng trong trường hợp nói chung. Nhưng đúng trong trường
hợp
Ω

là giả lồi, chúng ta xem trong định lý 5.5, [08]
2.4 Ứng dụng vào hàm nguyên
Chúng ta biết rằng một hàm nguyên phải chứa tập không điểm lớn nhất. Sử
dụng độ đo Jensen ta sẽ thấy điều này
Cho
g
là một hàm nguyên với
0g ≡
/
. Cho
:M →C R
là hàm số liên tục.
Khi đó tồn tại một hàm nguyên
0f ≡
/
, chứa tập không điểm của
g
và thoả mãn
log ( ) ( )f z M z≤
với mọi
z∈C
?
Nếu mỗi
f
được tồn tại, thì ta có thể chọn được
( )
(0) 0f g ≠/
(Chỉ thay thế
f
bởi

( )
k
Cf z z/
với những hằng số
,C k
thích hợp). Khi đó hàm
log /u f g=
là
hàm điều hoà dưới trên
C
với
(0)u > −¥
,vì vậy mọi độ đo
µ
tại 0 ta có
(0) ( log )u ud M g d
µ µ
−∞ < ≤ ≤ −
∫ ∫
.
Trong trường hợp

0
( )
inf ( log )
J C
M g d
µ
µ
∈

− > −
∫
¥
(2.2)
Đặc biệt, điều kiện này sẽ cần thiết cho sự tồn tại của hàm
f
đó là điều kiện đủ,
xem trong định lý của Khabibullin,
§2
trang 1069, [12].
Định lý 2.4.1
Nếu (2) được thoả mãn, với mỗi
0
δ
>
, tồn tại một hàm nguyên
0f ≡
/
,chứa
tập không điểm của
g
, mà thoả mãn
33
2
2
log ( ) max ( ( ) 3log(1 ))
z
f z M z
ζ δ
ζ

− ≤
≤ + +
( z∈C ).
Khabibullin chứng minh
2
3log(1 )z+
bị khử, cũng như giả thiết liên tục của
M
yếu hơn một chút. Chúng ta xem trong sách của Koosis, chương 3,[15].
Định lý 2.4.2
Cho
u
là hàm điều hoà dưới trên
C
với
u ≡ −
/
¥
,
m
là độ đo Lebesgue. Khi
đó tồn tại một hàm nguyên
0h ≡
/
thoả mãn
2
( )
2
3
( )

(1 )
( )
u z
h z e
z
dm z
−
+
<
∫
C
¥
.
Chứng minh định lý 2.4.1
Gọi
ρ
là độ đo Lebesgue trên đĩa
{ }
z
δ
≤
, độ đo xác suất chuẩn hoá. Chú ý
rằng
0
( )J
ρ
∈ C
. Định nghĩa
:
ϕ

→C R
được xác định
( log )M g
ϕ ρ
= − ∗
. Thế
thì
ϕ
là liên tục, và với mỗi
0
( )J
µ
∈ C
ta có
( log ) ( )d M g d
ϕ µ ρ µ
= − ∗
∫ ∫
.
Dễ dàng kiểm tra được rằng
0 0
( ) ( )J J
µ ρ µ
∈ ⇒ ∗ ∈C C
. Do vậy từ (2.2) ta có
0
( )
inf
J
d

µ
ϕ µ
∈
> −
∫
C
¥
Nói cách khác
(0)J
ϕ
> −¥
Áp dụng định lý 2.3.1 suy ra
(0)S
ϕ
> −¥
, do đó tồn tại một hàm điều hoà dưới
nhỏ nhất
u
trên
C
thoả mãn
u
ϕ
≤
và
u ≡ −
/
¥
. Theo định lý 2.4.2 tồn tại một
hàm nguyên

0h ≡
/
sao cho
2
( )
2
3
( )
(1 )
( )
u z
h z e
z
dm z
−
+
<
∫
C
¥
34
Đặt
2
f Cgh=
,
C
là hằng số. Rõ ràng
f
là hàm nguyên,
0f ≡

/
và chứa tập
không điểm của
g
.
Mặt khác, khi
f
là hàm điều hoà dưới trên
C
,
2
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z z
C
f z f dm g h dm
ζ δ ζ δ
ζ ζ ζ ζ ζ
πδ πδ
− ≤ − ≤
≤ ≤
∫ ∫
. (2.3)
Thật ra,
u
ϕ
≤
mà
( log )M g

ϕ ρ
= − ∗
nên
(log )g M u
ρ ρ
∗ ≤ ∗ −
.
Hơn nữa vì
log g
là hàm điều hoà dưới, ta có
log (log )g g
ρ
≤ ∗
. Do đó
M u
g e e
ρ
∗ −
≤
Thế vào (2.3) ta có

2
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
M u
z
C
f z e e h dm
ρ ζ ζ

ζ δ
ζ ζ
πδ
∗ −
− ≤
≤
∫

{ }
2
( )
2
( ) 3
2
2
3
-
( )
( ) max (1 )
(1 )
u
M
z
h e
C
dm e
ζ
ρ ζ
ζ δ
ζ

ζ ζ
πδ
ζ
−
∗
≤
≤ +
+
∫
C

2
( ) 3
- 2
max (1 )
M
z
CC e z
ζ
ζ δ
≤
′
≤ +
Ở đây
C
′
là hằng số không phụ thuộc vào
z
và thoả mãn được
1

C
C
≤
′
. Do đó

2
2
log ( ) max ( ( ) 3log(1 ))
z
f z M z
ζ δ
ζ
− ≤
≤ + +

W

2.5 Độ đo điều hoà
Cho
Ω
là tập con mở của
d
R
, và cho
x∈Ω
.
( )
x
J Ω

là tập độ đo Jensen
tại
x
trên
Ω
. Mục đích của chúng ta trong phần này là nghiên cứu tính chất của
( )
x
J Ω
.
35