(Luận văn thạc sĩ) Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHAN THỊ MƯỜI

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA
NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành:

TOÁN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014


Mục lục

Mục lục

i

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

1

1

4

Các khái niệm và vấn đề cơ bản
1.1

Một số khái niệm cơ bản

. . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Các bổ đề và định lí cần sử dụng . . . . . . . . . . . . .

13

2 Nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa

nhóm không giãn trong không gian Hilbert

17

2.1

Các phương pháp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Các định lí hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Tài liệu tham khảo

31

i


Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng
dẫn và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TS Nguyễn Bường- Viện Công nghệ
Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tôi xin
chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và kính chúc thầy luôn
luôn mạnh khỏe.
Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy tại Đại học Thái

Nguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt
Nam, đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và
cuộc sống.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong
thời gian học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn
thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 3 - 2014
Người viết Luận văn

Phan Thị Mười

1


Mở đầu
Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert rất quan trọng trong toán học, có nhiều
ứng dụng trong khoa học, vật lí, tối ưu và kinh tế... đã có nhiều nhà
toán học nghiên cứu về vấn đề này. Năm 1912 nhà toán học Hà Lan
Luizen Egbereisjan Brouwer nghiên cứu và đưa ra nguyên lí tìm điểm
bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu đóng trong Rn vào
chính nó phải có điểm bất động, tức là tồn tại x sao cho f (x) = x. Đến
năm 1930 Schauder, 1935 Tikhonov đã mở rộng nguyên lí này thành
dạng tổng quát: Một ánh xạ liên tục f từ một tập lồi com-pắc trong
không gian tô-pô lồi địa phương Hausdorff vào chính nó phải có điểm
bất động. Gọi là nguyên lí Brouwer-Schauder-Tikhonov.
Cho đến nay các nhà toán học cả trong và ngoài nước vẫn đang tiếp
tục nghiên cứu mở rộng định lí này. Trong khuôn khổ của luận văn này
chúng tôi xin được trình bày một đề tài "Bài toán cân bằng và điểm bất
động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert". Luận văn

được tổng hợp từ bài báo "Các định lí hội tụ mạnh giải bài toán cân
bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không
gian Hilbert" của GS.TS Nguyễn Bường cùng với cộng sự Nguyễn Đình
Dương.
Mục đích của luận văn này là giới thiệu các định lí hội tụ mạnh giải
bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn
trong không gian Hilbert. Trong đó giới thiệu hai phương pháp lặp để tìm
nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ
2


không giãn trong không gian Hilbert. Sau đó chứng minh định lí về sự hội
tụ mạnh của phép lặp, kết hợp giữa kết quả của Comberttes, Hirstoaga
và kết quả của Nakajo, Takahashi. Từ kết quả đã chứng minh nhận
được hai hệ quả là sự cải tiến và mở rộng các kết quả của Comberttes,
Hirstoaga và Tada, Takahashi.
Bố cục luận văn gồm 2 chương:
Chương I. Một số khái niệm và vấn đề cơ bản.
Chương II. Nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa
nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên
dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bường. Mặc dù tác giả đã hết
sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là khá phức tạp và kinh
nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót. Trong quá
trình viết luận văn cũng như sử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi
sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và
bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 3 - 2014
Tác giả

Phan Thị Mười

3


Chương 1
Các khái niệm và vấn đề cơ bản
Chương I gồm 3 mục.
Mục 1.1 Giới thiệu định nghĩa không gian Hilbert, nửa nhóm ánh xạ
không giãn và một số khái niệm, tính chất liên quan.
Mục 1.2 Giới thiệu bài toán cân bằng và phương pháp lặp Mann để
giải bài toán cân bằng.
Mục 1.3 Nêu một số bổ đề và định lý cần thiết để giải bài toán cân
bằng.

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Không gian Hilbert và một số tính chất

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích
vô hướng trong H là một ánh xạ ., . thỏa mãn các điều kiện sau:
i) x, x > 0, ∀x = 0;

x, x = 0 ⇐⇒ x = 0;

ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H.

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ., . được gọi là
không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là
không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. Chuẩn của phần tử x trong H kí hiệu là x và được xác
định bằng x =

x, x .
4


Không gian Rn có tích vô hướng là:
n

x, y =

ξi ηi ,
i=1

x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn ,
y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn .
Ví dụ 1.2. Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng
được xác định:
b

ϕ(x)ψ(x)dx, ∀ϕ, ψ ∈ L2 [a, b].

ϕ, ψ =
a

Định nghĩa 1.2. Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

H gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu của H) và kí hiệu là
H ∗.
Định nghĩa 1.3. Cho H là không gian Hilbert, một dãy {xn } gồm các
phần tử xn ∈ H gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H (kí hiệu: xn

x),

Nếu < φ, xn >−→< φ, x > với mỗi φ ∈ H ∗ ( H ∗ là không gian liên hợp
của H).
Định nghĩa 1.4. Cho H là không gian Hilbert, một dãy {xn } gồm các
phần tử xn ∈ H gọi là hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu xn −x −→

0 khi n −→ ∞. Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H thì:
(i) Mỗi dãy con {xnk } ⊂ {xn } cũng hội tụ tới x;
(ii) Mỗi dãy { xn − ξ } bị chặn với ξ ∈ H.
Định nghĩa 1.5. Dãy {xn } ⊂ H được gọi là Cauchy, nếu với mỗi ε > 0,
tồn tại n0 (ε) sao cho: xm − xm < ε với mọi m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε).
Định nghĩa 1.6. Cho không gian Hilbert thực H , một hàm f : H → R.
Khi đó
5


i) Một hàm f xác định trên tập H được gọi là nửa liên tục dưới tại
điểm x0 thuộc H nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f (x) ≥

f (x0 ) − ε, với mọi x thuộc H thoả mãn x − x0 < δ .
ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H tại x0 ∈ H nếu hàm

−f nửa liên tục dưới trên H tại x0 ∈ H.

iii) Hàm f được gọi là liên tục trên H tại điểm x0 ∈ H nếu hàm f
vừa nửa liên tục dưới trên H tại điểm x0 ∈ H và vừa liên tục trên trên

H tại điểm x0 ∈ H .
iv) Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục) trên H nếu hàm f liên
tục (nửa liên tục) tại mọi điểm trên H .
Định nghĩa 1.7. Cho H là không gian Hilbert, X là tập con khác rỗng
của H.
(i) X được gọi là tập lồi nếu với ∀x, y ∈ X, 0 ≤ λ ≤ 1 ta có:

λx + (1 − λ)y ∈ X.
(ii) X được gọi là compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ X đều chứa dãy con
hội tụ đến một điểm thuộc X .
Định nghĩa 1.8. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi C . Một véc-tơ

y ∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của f tại x∗ ∈ C nếu
f (x) ≥ f (x∗ ) + y ∗ , x − x∗ , ∀x ∈ C.
Tập tất cả các điểm y ∗ thỏa mãn bất đẳng thức trên được ký hiệu là

∂f (x∗ ). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x∗ nếu ∂f (x∗ ) = ∅.
Định lý 1.1. Mỗi tập con đóng và bị chặn X của một không gian Hilbert
là compact yếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong X có thể trích ra được
một dãy con hội tụ yếu tới một phần tử của không gian này. Tập con
X của không gian Hilbert H được gọi là đóng yếu, nếu {xn

x}, thì

x ∈ X.
Định lý 1.2. Định lý Mazur:
Mỗi tập con lồi đóng của một không gian Hilbert là đóng yếu.

6


Định nghĩa 1.9. Một phiếm hàm ϕ xác định trên H được gọi là lồi,
nếu:

ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀x, y ∈ H, t ∈ [0, 1].
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y, thì ϕ được gọi là lồi chặt.
Nếu tồn tại một hàm liên tục tăng:

γ : [0; +∞) −→ R, γ(0) = 0,
sao cho:

ϕ(tx+(1−t)y) ≤ tϕ(x)+(1−t)ϕ(y)−t(1−t)γ( x−y ), ∀x, y ∈ H, t ∈ [0, 1]
thì ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) gọi là modun lồi của ϕ.
Nếu γ(t) = ct2 , c > 0 thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh.
Định nghĩa 1.10. Một phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới tại

x0 ∈ H , nếu với mỗi dãy {xn } ⊂ H sao cho xn −→ x ta có:
ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ).
n−→∞

Nếu xn

x0 và ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ), thì ϕ được gọi là nửa liên tục
n−→∞

yếu tại x0 ∈ H.
Định lý 1.3. (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên H thì ϕ (x) thỏa
mãn bất đẳng thức:

ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H.
(ii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên H thì ϕ (x) thỏa mãn
bất đẳng thức:

ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2γ( x − y ), ∀x, y ∈ H.
(iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên H thì ϕ (x) thỏa mãn
bất đẳng thức:

ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2γ( x − y 2 ), ∀x, y ∈ H.
7


Định nghĩa 1.11. Toán tử A : H −→ H được gọi là tuyến tính nếu:
(i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , ∀x1 , x2 ∈ H,
(ii) A(αx) = αAx, ∀α ∈ R, x ∈ H.
Định nghĩa 1.12. Toán tử tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn
tại một hằng số M > 0 sao cho Ax ≤ M x . Giá trị M nhỏ nhất
thỏa mãn bất đẳng thức đó được gọi là chuẩn của A và kí hiệu bởi A .
Định nghĩa 1.13. Toán tử A : X −→ Y được gọi là compact trên X,
nếu nó biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập compact trong Y.
Định nghĩa 1.14. Toán tử A : X −→ Y được gọi là:
(i) liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi dãy con {xn } ⊂ X sao cho:

Ax −→ Ax0 , khi xn −→ x0 .
(ii) h- liên tục tại x0 ∈ X nếu A(x0 + tn h)

Ax0 , khi tn −→ 0 với

mỗi véc tơ h ∈ X.

(iii) d- liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi dãy con {xn } ⊂ X sao cho
khi xn −→ x0 thì Axn

Ax0 .

(iv) liên tục Lipschitz nếu ∃L > 0 sao cho:

Ax − Ay ≤ L x − y , ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.15. Cho X là không gian Hilbert và X ∗ là không gian
∗

liên hợp của X. Toán tử A : X −→ 2X được gọi là d-đơn điệu trên X
nếu tồn tại một hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0 và d(0) = 0
thỏa mãn:

Ax − Ay, x − y ≥ (d( x ) − d( y ))( x − y ), ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.16. Cho X là không gian Hilbert và X ∗ là không gian
∗

liên hợp của X. Toán tử A : X −→ 2X được gọi là đơn điệu đều trên X
nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0 và δ(0) = 0
thỏa mãn:

Ax − Ay, x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ X.
8


Nếu δ(t) = ct2 , (t > 0) thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Toán
tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C sao
cho A + C là một toán tử đơn điệu.

Định nghĩa 1.17. Cho H là không gian Hilbert thực {xn } là một dãy

x để chỉ {xn } hội tụ yếu về x, còn xn −→ x để

trong H. Kí hiệu xn

chỉ sự hội tụ mạnh. Trong không gian Hilbert H, ta có

λx + (1 − λ)y

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 ,

với mọi x, y ∈ H và λ ∈ R. Giả sử C là tập con khác rỗng, lồi, đóng
của H. Khi đó với mỗi x ∈ H, trong C tồn tại duy nhất phần tử, kí hiệu

PC (x) thỏa mãn:
x − PC (x) ≤ x − y , ∀y ∈ C.
PC được gọi là phép chiếu của H lên C . Ta đều biết PC là ánh xạ không
giãn. Hơn nữa, với x ∈ H và z ∈ C

z = PC (x) ⇐⇒ x − z, z − y ≥ 0, ∀y ∈ C.
Định nghĩa 1.18. Không gian Hilbert H luôn thỏa mãn điều kiện Opail,
tức là với mọi dãy {xn } ⊂ H với xn

x ta có bất đẳng thức:

lim inf xn − x < lim inf xn − y , ∀y ∈ H, y = x.

n−→∞

n−→∞

Mặt khác từ hệ thức :

xn − x

2

= xn

2

− 2 xn , x + x 2 .

Ta dễ dàng suy ra không gian Hilbert có thuộc tính Kadec-Lee, tức là
với xn

x và xn −→ x ta nhận được xn −→ x.

Định nghĩa 1.19. (Ánh xạ không giãn) Cho C là tập con khác rỗng,

lồi và đóng trong không gian Hilbert H. Ánh xạ T : C −→ C được gọi
là không giãn trên C nếu:

T x − T y ≤ x − y , ∀x, y ∈ C.
9


Ta kí hiệu F (T ) là tập các điểm bất động của T, tức là:

F (T ) = {x ∈ X : x = T x}.
Định nghĩa 1.20. (Nửa nhóm không giãn) Cho C là tập con khác rỗng,
lồi và đóng trong không gian Hilbert thực H. Tập {T (s) : s > 0} được
gọi là nửa nhóm không giãn trên C nếu thỏa mãn các điều kiện:
(i) Với mỗi s > 0, T (s) là ánh xạ không giãn trên C;
(ii) T (0)x = x, ∀x ∈ C;
(iii) T (s1 + s2 ) = T (s1 ) ◦ T (s2 ), ∀s1 , s2 > 0;
(iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x : (0, +∞) −→ C là liên tục.
Kí hiệu F = ∩s>0 F (T (s)). Khi đó F là tập lồi đóng trong H và F = ∅
nếu C bị chặn.

1.2

Bài toán cân bằng

Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được ký
hiệu lần lượt là . và . . Cho C ⊂ H là tập đóng, lồi và khác rỗng và
song hàm G : C × C −→ R. Trong đó G thỏa mãn các điều kiện:
(A1) G(u, u) = 0, ∀u ∈ C,
(A2) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0, ∀(u, v) ∈ C × C,
(A3) ∀u ∈ C, G(u, .) : C −→ R là nửa liên tục dưới và lồi,

(A4)

limt→0+ G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v), ∀(u, z, v) ∈ C × C×C.

Bài toán cân bằng với song hàm G là tìm u∗ ∈ C sao cho

G(u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C.

(1.1)

Tập nghiệm của (1.1) được ký hiệu bởi EP (G). Xét ánh xạ F : C −→ H
và giả sử G(u, v) = F u, v − u với mọi u, v ∈ C . Khi đó u∗ ∈ EP (G)
khi và chỉ khi F u∗ , v − u∗ ≥ 0 với mọi v ∈ C , tức u∗ là nghiệm của
bài toán cân bằng.
Định lý 1.4. (Điểm bất động Kakutani) Cho C là tập lồi com-pắc
trong không gian Hilbert H và F : C −→ 2C là một ánh xạ đa trị nửa
10


liên tục trên và F (x) lồi, đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C . Khi đó F có
điểm bất động, tức là tồn tại x∗ ∈ C , x∗ ∈ F (x∗ ).
Một trường hợp riêng quan trọng của định lý này là định lý điểm bất
động Brouwer sau.
Định lý 1.5. (Điểm bất động Brouwer) Cho C là một tập lồi com-pắc
yếu trong không gian Hilbert thực H và F là một ánh xạ (đơn trị) liên
tục từ C vào C . Khi đó tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ F (x∗ ).
Ta cũng cần đến định lý sau: Định lý cực đại của Berge.
Định lý 1.6. Cho X, Y là các không gian tô-pô, F : X −→ 2Y là ánh xạ
nửa liên tục trên trên X sao cho F (X) com-pắc. Giả sử g : X ×Y −→ R
là hàm số nửa liên tục trên trên X . Khi đó hàm giá trị tối ưu

h(x) := max{g(x, y) : y ∈ F (x)}
nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu

S(x) := {y ∈ F (x) : g(x, y) = h(x)}
nửa liên tục trên.
Dựa vào định lý điểm bất động Kakutani và định lý cực đại của

Berge, ta có định lý sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
bằng.
Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập lồi, com-pắc khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H và song hàm cân bằng f : C × C −→ R ∪ {+∞}
có các tính chất

(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C;
(ii) g(x, .) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi
x ∈ C.
Khi đó Bài toán (1.1) có nghiệm.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ C , ta gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán

min{f (x, y) : y ∈ C}.
11

(1.2)


Do C com-pắc và f (x, .) nửa liên tục dưới, nên theo định lý W eistrass,
bài toán này tồn tại nghiệm. Hơn nữa, do C lồi, com-pắc, f (x, .) lồi,
nên S(x) lồi, com-pắc. Theo định lý cực đại của Berge, ánh xạ g nửa
liên tục trên. Và S là ánh xạ từ C vào C . Vậy theo định lý điểm bất

động Kakutani, tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗ ). Bây giờ ta chỉ ra

x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (1.1). Thật vậy, do f (x, .) lồi, khả
dưới vi phân, theo điều kiện cần và đủ của tối ưu quy hoạch lồi, ta có

0 ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ).
Theo định nghĩa của dưới vi phân và nón pháp tuyến, từ đây ta có

v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ) thoả mãn
v ∗ , y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Do v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ), nên

v ∗ , y − x∗ ≤ f (x∗ , y) − f (x∗ , x∗ ) = f (x∗ , y) ∀y ∈ C.
Vậy f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C. Điều này chứng tỏ x∗ là nghiệm của Bài toán

(1.1).
Phương pháp lặp Mann

Phương pháp tìm điểm bất động trong tập lồi C trong không gian
Banach với một ánh xạ liên tục G : C −→ C . W.R.Mann đã xây dựng
một dãy {xn } ⊂ C , dãy {xn } hội hội đến điểm bất động của G, bằng
cách chọn một phần tử ban đầu là x1 ∈ C và các phần tử tiếp theo được
xác định thông qua quá trình lặp:

xn+1 = G(xn ), ∀n ≥ 1.

(1.3)

Nếu dãy này hội tụ thì nó hội tụ đến điểm bất động của G. Nhưng để
dãy {xn } hội tụ thì phải cần thêm một số điều kiện như G là một hàm

giảm. Nhưng phương án đó chỉ dùng đối với hàm đặc biệt, còn trong
12


trường hợp tổng quát mà bài toán vẫn được giải quyết, Mann đã đưa ra
phương pháp giải:
Giả sử quá trình lặp được xác định bởi (1.3) là không hội tụ, khi đó
ta xét ma trận:

1 0 0
 a21 a22 0

...
A=

an1 an2 ...

...
...



ann

0
0
0

0
0

0




.


Trong đó các phần tử của A thỏa mãn các điều kiện:

aij ≥ 0, ∀i, j;
aij = 0, ∀i > j;
i

(1.4)

aij = 1, ∀i.
j=1

Bắt đầu với phần tử x1 ∈ C và quá trình lặp được xác định:

xn+1 = G(un ), ∀n ≥ 1.
Trong đó

(1.5)

n

un =

ank xk .

(1.6)

k=1

Quá trình lặp được xác định bởi điểm ban đầu là x1 , ma trận A và ánh
xạ G được biểu thị bởi bộ (x1 , A, G), khi ma trận A là ma trận đơn vị
thì bộ (x1 , I, G) là quá trình lặp thông thường (1.5).

1.3

Các bổ đề và định lí cần sử dụng

Bổ đề 1.1. (Xem [5]) Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó ta luôn
có

x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, x + y , ∀x, y ∈ H.

Bổ đề 1.2. (Xem [5]) Cho C là tập lồi, đóng và khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H. Với mọi x ∈ H, tồn tại z ∈ C sao cho
13

z−x ≤ y−x với mọi y ∈ C và z ∈ PC x khi và chỉ khi z−x, y−z ≥
0 với mọi y ∈ C.
Bổ đề 1.3. (Xem [6]) Cho

{an } ⊂ R, {bn } ⊂ [0, 1],
an+1 ≤ (1 − bn )an + cn ,
∞

bk = ∞,
k=1

lim sup ck ≤ 0.

k−→∞

Khi đó

lim ak = 0.

k−→∞

Bổ đề 1.4. (Xem [2]) Cho C là tập khác rỗng, lồi, đóng của không gian
Hilbert H và G là song hàm từ C × C vào (−∞, +∞) thỏa mãn điều
kiện (A1) − (A4), cho r > 0 và x ∈ H. Khi đó luôn ∃z ∈ C sao cho

G(z, v) +

1

z − x, v − z ≥ 0, ∀v ∈ C.
r

Bổ đề 1.5. (Xem [2]) Giả sử G : C × C −→ (−∞, +∞) thỏa mãn

(A1) − (A4). Cho r > 0 và x ∈, H định nghĩa ánh xạ T r : H −→ C
như sau

T r (x) = {z ∈ C : G(z, v) +

1
z − x, v − z ≥ 0, ∀v ∈ C}.
r

Khi đó ta có kết quả
(i) T r là ánh xạ đơn trị,
(ii) T r là ánh xạ không giãn chặt, tức là với mọi x, y ∈ H :

T r x − EP (G)

2

≤ T r x − T r y, x − y ,

(iii) E(T r ) = EP (G),
(iv) EP (G) là tập lồi đóng.

14

Bổ đề 1.6. Cho C là tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của H, {T (s) :

0 ≤ s < ∞} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C. Khi đó với mọi
h ≥ 0, ta có
t

1
lim sup
s→∞ x∈C t

t

1
T (s)xdx − T (h)(
t
0

T (s)xdx) = 0.
0

Ma trận A thỏa mãn điều kiện: (1.3), (1.6) và quá trình lặp theo

(1.4), (1.5), khi đó ta có (x1 , A, G) biểu diễn quá trình lặp, bắt đầu với
điểm x1 ∈ E và theo công thức:

xn+1 = G(un ) , ∀n ≥ 1,
trong đó
n

1

un =
n

xk .

(1.7)

k=1

Khi đó ta nói rằng (k + 1) phần tử trong dãy {xn } là ảnh của k phần
tử đầu tiên qua ánh xạ G và ta thấy quá trình lặp trên thỏa mãn:

un+1 − un =

G(un ) − un
.
n+1

(1.8)

Trong trường hợp đặc biệt, không gian Banach là trục thực và các tập
lồi E đóng và bị chặn. Ta có kết quả là định lí sau
Định lý 1.7. Nếu G là một hàm liên tục trên đoạn [a, b] và có một
điểm bất động duy nhất p trên đoạn [a, b], với cách chọn x1 ∈ [a, b] thì

(x1 , A, G) hội tụ đến p, với mọi cách chọn x1 ∈ [a, b].
Chứng minh: Theo (1.8) thì (un+1 − un ) −→ 0. Lại có hàm G liên
tục và p duy nhất thỏa mãn:

G(x) − x > 0 nếu x < p và G(x) − x < 0 nếu x > p.

Mặt khác, với mỗi giá trị δ > 0 tồn tại ε > 0 sao cho |G(x) − x| ≥ ε
khi |x − p| ≥ δ. Áp dụng (1.8) khi đó un+1 được biểu diễn:
n

un+1 = u1 +
k=1

15

G(uk ) − uk
.
k+1


Ta có kết quả lim un = p, suy ra limxn = p.
Trong Chương I đã trình bày các vấn đề cơ bản về không gian Hilbert,
bài toán cân bằng và phép lặp Mann để trình bày và chứng minh các
kết quả quan trọng trong chương sau.

16


Chương 2
Nghiệm của bài toán cân bằng và
điểm bất động của nửa nhóm
không giãn trong không gian
Hilbert
Trong chương này trình bày vấn đề cơ bản của luận văn như sau.
Mục 2.1 nội dung một số phương pháp tìm nghiệm của bài toán cân
bằng là điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.

Mục 2.2 giới thiệu phương pháp tìm nghiệm của bài toán cân bằng
của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Các kết quả
trên xem trong [1],[3], [5].

2.1

Các phương pháp cơ bản

Một số phương pháp đã được giới thiệu để giải bài toán cân bằng
(1.1). Ký hiệu tập điểm bất động của T là F (T ), tức là F (T ) = {x ∈

C : x = T x}. E.F.Browder [4] đã chứng minh được F (T ) = ∅ nếu C
giới nội. Một số phương pháp được đưa ra để xấp xỉ điểm bất động của

T (xem [1], [3], [4]). Năm 2003 Nakajo và Takahashi đã chứng minh kết
quả sau:
Định lý 2.1. Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian
Hilber H và T là ánh xạ không giãn từ C vào C thỏa mãn F (T ) = ∅.
Giả sử dãy {xn } xây dựng bởi công thức
17


x0 = x ∈ C,
yn = αn xn + (1 − αn )T xn ,
Cn = {z ∈ C| yn − z ≤ xn − z },

(2.1)

Qn = {z ∈ C| x0 − xn , xn − z ≥ 0},
xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ),

trong đó PCn ∩Qn là phép chiếu từ C lên Cn ∩Qn , {αn } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1).
Khi đó {xn } hội tụ mạnh về phần tử PF (T ) (x0 ), trong đó PF (T ) là phép
chiếu từ C lên F (T ).
Nakajo và Takahashi cũng chứng minh được sự hội tụ mạnh của nửa
nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Định lý 2.2. Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian
Hilbert H và S = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là nửa nhóm ánh xạ không giãn
trên C thỏa mãn S = ∅. Giả sử {xn } được xây dựng bởi:

x0 = x ∈ C,
1
yn = αn xn + (1 − αn )
tn

tn

T (s)xn ds,
0

Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z },

(2.2)

Qn = {z ∈ C : x0 − xn , xn − z ≥ 0},
xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ),
với mọi n ∈ N ∪ {0}, trong đó {αn } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1) còn {tn } là dãy
số thực dương phân kì. Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh về PF (x0 ).
Các phương pháp xấp xỉ của Nakajo và Takahashi được gọi là phương
pháp CQ. Năm 2007 phương pháp này được He và Chen cải tiến trong
thuật toán:

x0 ∈ C,
yk = αn kn + (1 − αk )T (sk )xk ,
Ck = {z ∈ C : yk − z ≤ xk − z },
18


Qk = {z ∈ C : xk − x0 , z − xk ≥ 0},
(2.3)

xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ),
trong đó {αk } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1) còn sk

0, lim sk = 0. Khi đó dãy
k→∞

{xk } hội tụ về PF (x0 ).
Năm 2008 Saejung đã chứng minh (2.3) với các điều kiện mới của sk :

lim inf sk = 0,

k→∞

lim sup sk > 0,

k→∞

lim (sk+1 − sk ) = 0.

k→∞

Gần đây Tada và Takahasi đã mở rộng phương pháp CQ để tìm
nghiệm của bài toán (1.1) và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
trong không gian Hilbert. Ngoài ra sử dụng thuộc tính Opial của không
gian Hilbert họ đã chứng minh được các định lí hội tụ, kết hợp giữa kết
quả của Combettes và Hirstoaga, Wittman.
Để giải bài toán cân bằng với song hàm G : C × C −→ R, ta luôn
giả sử rằng G thỏa mãn các điều kiện sau:
(A1) G(u, u) = 0, ∀u ∈ C,
(A2) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0, ∀(u, v) ∈ C × C,
(A3) ∀u ∈ C, G(u, .) : C −→ R là nửa liên tục dưới và lồi,
(A4)

limt→0+ G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v), ∀(u, z, v) ∈ C × C×C.

Định lý 2.3. (Xem [6]). Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Hilbert H, G là song hàm từ C × C vào R thỏa mãn (A1 − A4),

T là ánh xạ không giãn từ C vào H thỏa mãn F (T ) ∩ EP (G) = ∅. Giả
sử {xn } và {un } là các dãy xây dựng bởi

x0 = x ∈ H,
un ∈ C : G(un , y) +

1
rn

un − xn , y − un

un = (1 − αn )xn + αn T un ,

19

0, ∀y ∈ C,


Cn = {z ∈ H : ωn − z ≤ xn − z },
Qn = {z ∈ H : x− xn , xn − z ≥ 0},

(2.4)

xn+1 = PCn ∩Qn (x),
với mọi n ∈ N, trong đó {αn } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1) và {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa
mãn

lim inf rn > 0.

n−→∞

Khi đó {xn } hội tụ mạnh về PF (T )∩EP (G) (x).
Trong luận văn này, sử dụng các kết quả của Combettes và Hirstoaga,
Takahashi, He và Chen, chứng minh sự hội tụ của hai thuật toán tìm
nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert. Từ kết quả này nhận được hai hệ
quả là các kết quả của Tada và Takahashi, Nakajo, He và Chen.

2.2

Các định lí hội tụ mạnh

Định lý 2.4. Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H.
Giả sử G là song hàm từ C × C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)(A4), {T (s) : s > 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C thỏa mãn

C ∩ EP (G) = ∅.
Giả sử {xk }, {uk }, {zk } là các dãy xây dựng bởi thuật toán:

x0 ∈ H,
1
uk − xk , y − uk
rk
zk = (1 − αk )xk + αk T uk ,
uk ∈ C : G(uk , y) +

Ck = {z ∈ H :

0, ∀y ∈ C,

zk − z ≤ xk − z },

Qk = {z ∈ H : xk − x0 , z − xk ≥ 0,
xk+1 = PCk ∩Qk (x0 ), k ≥ 0,
trong đó {αk } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1), {rk } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn

lim inf rn > 0,

n−→∞

20

(2.5)

Tk xác định bởi
Tk x = T (sk )x, ∀x ∈ C,
lim inf sk = 0,

k−→∞

lim sup sk > 0,

k−→∞

(2.6)

lim (sk+1 − sk ) = 0.

k−→∞

Khi đó {xk }, {uk }, {zk } hội tụ về z0 = PC∩EP (G) (x0 ).
Chứng minh: Dễ thấy Ck là tập đóng và Qk là tập lồi, đóng với mọi

k ≥ 0. Ck cũng là tập lồi với mọi k ≥ 0 vì zk − z ≤ xk − z tương
đương với

zk − xk

2

+ 2 zk − xk , xk − z ≤ 0.

Như vậy, Ck ∩ Qk là tập lồi, đóng với mọi k ≥ 0. Với u ∈ C ∩ EP (G),
đặt uk = T rk xk và sử dụng (ii) trong Bổ đề (1.5) ta có

uk − u = T rk xk − T rk u ≤ xk − u .
Khi đó

zk − u = (1 − αk )(xk − u) + αk (Tk uk − u)
≤ (1 − αk ) xk − u + αk (Tk uk − u)
≤ (1 − αk ) xk − u + αk (Tk uk − u)
≤ xk − u .

Do đó, F ∩ EP (G) ⊂ Ck , ∀k ≥ 0.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh F ∩ EP (G) ⊂ Ck ∩ Qk với mọi k ≥ 0
bằng phương pháp quy nạp. Với k = 0, ta có x = x0 ∈ H và Q0 = H ,
do đó F ∩ EP (G) ⊂ C0 ∩ Q0 . Giả sử F ∩ EP (G) ⊂ Ci ∩ Qi . Khi
đó tồn tại duy nhất phần tử xi+1 = PF ∩EP (G) (x0 ), tức là với mọi z ∈

F ∩ EP (G) ⊂ Ci ∩ Qi ta có:
xi+1 − z, x0 − xi+1 ≥ 0.
Điều này chứng tỏ z ∈ Qi+1 suy ra z ∈ Ci+1 ∩ Qi+1 . Như vậy F ∩

EP (G) ⊂ Ci+1 ∩ Qi+1 .
21


Vì F ∩ EP (G) là tập lồi, đóng và khác rỗng của C nên tồn tại duy
nhất phần tử z0 ∈ F ∩ EP (G) sao cho z0 = PF ∩EP (G) (x0 ). Từ hệ thức

xk+1 = PCk ∩Qk (x0 ) ta có
xk+1 − x0 ≤ z − x0 , ∀z ∈ Ck ∩ Qk .

Do

z0 ∈ F ∩ EP (G) ⊂ Ck ∩ Qk
nên

xk+1 − x0 ≤ z0 − x0 , ∀k ≥ 0.
Điều này chứng tỏ { xk − x0 } bị chặn.
Mặt khác, từ (2.5) suy ra xk = PQk (x0 ) và với xk+1 ∈ Qk ta có

xk − x0 ≤ xk+1 − x0 .
Từ đó suy ra tồn tại

lim

k−→∞

xk − x0 = c.

Ngoài ra ta còn có:

xk − x0

2

≤

(xk − xk+1 )
− x0
2

2

(xk − x0 (xk+1 − x0 ) 2
+
2
2
2
xk − x0
xk+1 − x0 2
xk − xk+1 2
≤
+
−
2
2
4
⇒ xk − xk+1 2 ≤ 2( xk+1 − x0 2 − xk − x0 2 ).
≤

Vì lim xk − x0 = c nên suy ra
k→∞

lim xk − xk+1 = 0.

k→∞

Mặt khác do xk+1 ∈ Ck nên

zk − xk ≤ xk − xk+1 + xk+1 − zk ≤ 2 xk − xk+1 .

22

(2.7)


Kết hợp với (2.7) suy ra

zk − xk = 0.

lim

k−→+∞

(2.8)

Với u ∈ F ∩ EP (G), từ Bổ đề (1.5) ta có
uk − u 2 = T rk xk − T rk u 2 ≤ T rk xk − T rk u, xk − u

≤ uk − u, xk − u
1
≤ { uk − u 2 + xk − u
2

2

− uk − xk 2 }.

2

− uk − xk 2 .

Do đó,

uk − u

2

≤ xk − u

Do tính lồi của . 2 , ta có

zk − u

2

≤ (1 − αk ) xk − u

2

+ αk Tk uk − Tk u

≤ (1 − αk ) xk − u

2

+ αk Tk uk − u

≤ (1 − αk ) xk − u

2

+ αk { x k − u

≤ xk − u

2

2

2

− uk − xk 2 }

− αk uk − xk 2 .

Vì αk ∈ [a, 1] nên ta có

a uk − xk

2

≤ αk uk − xk
≤ xk − u

2

2

− zk − u

2

≤ zk − xk { xk − u + zk − u }.
Từ đó, cùng với (2.8) và điều kiện lim inf rk > 0 ta nhận được
k−→∞

lim

uk − xk = 0,

lim

uk − xk
1
= lim
uk − xk = 0.
k−→∞ rk
rk

k−→∞
k−→∞

Do

αk Tk uk = zk − (1 − αk )xk
nên ta cũng có:

a uk − Tk uk ≤ αk uk − Tk uk
23

(2.9)