Cách giải khác của các bài toán TSDH 09

Câu II 2 đề thi khối B 09-10
Giải hệ phương trình:
2 2 2
1 7 (1)
( , )
1 13 (2)
xy x y
x y
x y xy y
+ + =

∈

+ + =

¡
Cách 1: (Đáp án). Từ (2) ta có y khác 0 nên hệ tương đương với
2
2 2
2
1 1 1 1
( ) 7 ( ) 7 ( ) ( ) 20 0
1 1 1
( ) 13 ( ) 13 ( ) 7
x x
x x x x
y y y y y y
x x x
x x x
y y y y y y
  

+ + = + + = + + + − =
  
  
⇔ ⇔
  
  
+ + = + − = + + =
  
  

( )
1
( ) 4
3
x
y
I
x y

+ =

⇔


=

hoặc
( )
1
( ) 5

12
x
y
II
x y

+ = −

⇔


=

.
Giải (I) được hai nghiệm (3;1) và (1; 1/3.Giải (II) thấy vô nghiệm
Cách 2: hệ phương trình tương đương với
( )
2 2 2 2 2 2
1 7
1 7 1 7 1 7
( 3 ) 12 0
( 1) 13 (7 ) 13 15 36 0
xy y x
xy y x xy y x xy y x
x y x y
xy xy y y x xy y x xy y
+ = −
+ = − + = − + = −

  


⇔ ⇔ ⇔
   
− − =
+ − = − − = − + =

  

Từ đó giải được kết quả trên
Câu II 2 đề thi khối D 09-10
Giải hệ phương trình:
2
2
( 1) 3 0 (1)
( , )
5
( ) 1 0 (2)
x x y
x y
x y
x
+ + − =


∈

+ − + =


¡

Cách 1:
ĐK: x khác 0. hệ tương đương với:
2
2
3
( ) 1 0
5
( ) 1 0
x y
x
x y
x

+ − + =




+ − + =


Đặt: u = x+y;
1
0v
x
= ≠
Ta có hệ:
2 2 2
3 1 0
3 1 0 3 1

1
1,
5 1 0 4 6 2 0
2
u v
u v u v
v v
u v u v
− + =

− + = = −
 

⇔ ⇔
  
= =
− + = − + =
 


Từ đó có nghiệm
(x;y) = (1;1) và (x;y) = (2; -3/2)
Cách 2: hệ tương đương với:
( )
2
2 2 2
2
1, 1
( ) 3
( ) 3 0

( ) 3 0
3
1, 2
2,
( ) 5 0
3 5 0
2
x y
x x y x
x x y x
x x y x
x x
x y
x x y x
x x
= =

+ = −

+ − + =
+ − + =




⇔ ⇔ ⇔
  

= =
= = −

+ − + =
− − + =





Câu V2 đề thi khốiA 09-10
Chứng minh rằng với x, y, z dương thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz (1)
CMR:
( )
3
3 3
(x+y) +(x+z) +3(x+y)(x+z)(y+z) 5 y+z≤
(2)
Cách 1: (Đáp án)
Cách 2: Đặt a= y+z; b= z+x; c = x+y (a, b, c dương) khi đó ta có:
; ;
2 2 2
b c a c a b a b c
x y z
+ − + − + −
= = =
kết hợp (1) ta có (b+c)
2
+3(c-b)
2
= 4a
2
hay

a
2
= b
2
– bc +c
2
(3)
Thay vào (2) ta có
3 3 3
+c +3abc 5ab ≤
Ta có:
( )
(3)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
+c +3abc ( ) 5 2 ( ) 2 4
do
b b c a b c a b c a b c a≤ + + + + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤
Ta lại có:
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a = 2(b - bc +c ) = b + c +(b-c) 4 2
2
b c
b c a b c a b c
+
≥ + ≥ ⇔ ≥ + ⇔ ≥ +

Vậy ta có điều phải chứng minh
Cách 3: x(x+y+z) = 3yz (1)
1 3
y z y z
x x x x
⇔ + + =
Đặt:
( )
2
2
0
2
0; 0; 0
3
1 3 3 3 4 4 0 2 *
2 4
do t
y z y z
u v t u v
x x x x
u v t
t uv t t t
>
⇔ = > = > = + = + >
+
 
→ + = ≤ = ⇔ − − ≥ ⇔ ≥
 ÷
 
Chia hai vế của (2) cho x

3
ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3
3
3 3 2
[(1+u) + (1+v) ]+3(1+u)(1+v)(u+v) 5 u+v 2 6 1 1 5
1
2 6 1 5 4 6 4 0 2 2 1 2 0
3
t u v t
t
t t t t t t t t t
≤ ⇔ + − + + ≤
+
 
⇔ + − + + ≤ ⇔ − − ≥ ⇔ + − ≥
 ÷
 

Đúng do (*) ĐPCM