Một số định lý ánh xạ co trong không gian metric suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO TRONG
KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO TRONG
KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 846 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Quốc Bình

HÀ NỘI, 2018

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Một số định lý về ánh xạ co cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Mối quan hệ giữa các dạng ánh xạ co cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Sự tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Ánh xạ co địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 2. Một số định lí ánh xạ co toàn cục trong không gian

metric suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1. Định lý điểm bất động của ánh xạ co Boyd-Wong . . . . . . . . .

13

2.2. Định lý điểm bất động của ánh xạ co Rakotch . . . . . . . . . . . .

17

2.3. Không gian metric suy rộng bổ sung tính Hausdorff cảm sinh
bởi tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4. Không gian metric suy rộng không có tính Hausdorff. . . . . .

19

2.5. Không gian metric suy rộng và định lý Caristi . . . . . . . . . . . .

24

Chương 3. Ánh xạ co địa phương trong không gian metric suy
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Quốc Bình. Thầy đã tận
tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại
học, các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạy
lớp thạc sĩ K20 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thanh


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình, luận văn
thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số định lý ánh xạ
co trong không gian metric suy rộng" được hoàn thành bởi chính

sự nhận thức của bản thân tôi.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thanh


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ánh xạ co Banach và phần lớn các mở rộng của nó được phát biểu cho
không gian metric, trong đó bất đẳng thức tam giác
d(x, y)

d(x, z) + d(z, y)

đóng vai trò then chốt. Những năm gần đây, một số nhà toán học đã
mở rộng định lý ánh xạ co Banach cho không gian metric suy rộng, là
không gian mà bất đẳng thức tam giác được thay bằng bất đẳng thức
sau đây:
d(x, y)

d(x, z) + d(z, w) + d(w, y)

Rõ ràng không gian metric là metric suy rộng nhưng điều ngược lại
không đúng.
Giống như trong không gian metric thông thường, người ta còn nghiên
cứu ánh xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng.
Ngoài việc nêu lại một số kết quả chính của lý thuyết ánh xạ co trong

không gian metric, luận văn còn dịch một số định lý ánh xạ co và ánh
xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng.
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài:
“ Một số định lý ánh xạ co trong không gian metric suy rộng”.
Đề tài tập trung tìm hiểu về ánh xạ co toàn cục và ánh xạ co địa phương
trong không gian metric suy rộng.
1


2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ co
toàn cục và ánh xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu một số định lý ánh xạ co toàn cục trong không gian
metric suy rộng.
• Nghiên cứu ánh xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co và điểm bất động của ánh xạ co.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian metric suy rộng.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tổng hợp các bài báo,công trình nghiên cứu trong và
ngoài nước.

6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động
dạng co trong không gian metric suy rộng.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp, ánh xạ d : X × X → R+ thỏa
mãn các điều kiện sau với ∀x, y, z ∈ X:
i) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y
ii) d (x, y) = d (y, x)
iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y)
được gọi là một mêtric trên X. Tập X với mêtric d được gọi là không
gian mêtric (X, d).
Định nghĩa 1.2. Trong không gian mêtric (X, d), dãy {xn } ⊂ X được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu d (xn , x) → 0 khi n → ∞. Khi đó x
được gọi là giới hạn của dãy {xn }.
Định nghĩa 1.3. Trong không gian mêtric (X, d), dãy {xn } ⊂ X được
gọi là dãy Cauchy nếu lim d (xn , xm ) = 0, tức là:
m,n→∞

(∀ε > 0) (∃N ) (∀m, n > N ) , d (xm , xn ) < ε.
Định nghĩa 1.4. Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi
dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ.
3


Định nghĩa 1.5. Cho T là một ánh xạ đi từ X vào chính nó. Khi đó T
được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x∗ ∈ X sao cho T x∗ = x∗ .
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính
nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:

d (T x, T y)

k.d (x, y), ∀x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.7. Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính
nó được gọi là ánh xạ co yếu nếu mọi x = y thì:
d (T x, T y) < d (x, y), ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính
nó được gọi là tựa co khi và chỉ khi tồn tại số α ∈ [0, 1) thỏa mãn:
d (T x, T y) ≤ α. max {d (x, y) , d (x, T x) , d (y, T y) , d (x, T y) , d (y, T x)}.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó
được gọi là φ−co nếu với mọi x, y ∈ X, mọi t > 0 thỏa mãn 0 < φ(t) <
1, φ(t) < t thì d(T x, T y) ≤ φ(d(x, y)).
Định nghĩa 1.10. Không gian mêtric X được gọi là T-quỹ đạo đầy đủ
khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong O (x, ∞) = x, T x, T 2 x, ... đều
hội tụ về một điểm nào đó nằm trong X.
Định nghĩa 1.11. Với tập A nằm trong không gian mêtric X, đường
kính tập A được kí hiệu là δ (A) và được xác định như sau:
δ (A) = sup {d (a, b) : a, b ∈ A}.
Định nghĩa 1.12. Cho (X, d) là không gian mêtric. Hàm f : X →
R ∪ {+∞} được gọi là hàm nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu :
4


f (x0 )

lim sup f (x) .
x→x0

Và được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu:

f (x0 )

lim inf f (x) .
x→x0

Trong đó:
lim sup f (x) = sup inf {f (x) : x ∈ X, d (x, x0 )

x→x0

lim inf f (x) = inf sup {f (x) : x ∈ X, d (x, x0 )

x→x0

η} ,

η>0

η>0

η} .

1.2. Một số định lý về ánh xạ co cơ bản
1.2.1. Mối quan hệ giữa các dạng ánh xạ co cơ bản
Định nghĩa 1.13. Cho (X,d) là một không gian mêtric đầy đủ và T là
một ánh xạ co trong X. Khi đó T là ánh xạ co Banach.
Định nghĩa 1.14. Giả sử T là ánh xạ liên tục từ không gian mêtric đầy
đủ (X, d) vào chính nó thỏa mãn:
d (T x, T y) ≤ λ (x, y) .d (x, y).
Ở đó λ (x, y) = λ (d (x, y)) là hàm đơn điệu giảm chỉ phụ thuộc vào

d (x, y) và 0 ≤ λ (d) < 1 với mọi d > 0.
Khi đó T là ánh xạ co Rakotch.
Định nghĩa 1.15. Giả sử T là ánh xạ liên tục từ không gian mêtric đầy
đủ (X, d) vào chính nó thỏa mãn:
d (T x, T y) ≤ k (a, b) .d (x, y).
5


∀x, y ∈ X, a ≤ d (x, y) ≤ b. Ở đây, 0 ≤ k (a, b) < 1 khi 0 < a ≤ b, a, b là
các số bất kỳ.
Khi đó T là ánh xạ co Krasnoselskii
Định nghĩa 1.16. Cho T là ánh xạ đi từ không gian mêtric đầy đủ
(X,d) vào chính nó sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:
d (T x, T y)

ψ (d (x, y)).

Ở đó, ψ : [0, ∞) → [0, ∞), ψ (t) < t với mọi t > 0 là ánh xạ tăng và liên
tục phải.
Khi đó T là ánh xạ co Browder.
Định nghĩa 1.17. Cho T là ánh xạ đi từ không gian mêtric đầy đủ
(X,d) vào chính nó sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:
d (T x, T y)

ϕ (d (x, y)).

Ở đây, ϕ : [0, ∞) → [0, ∞), ϕ (t) < t, với mọi t > 0, là ánh xạ nửa liên
tục trên từ bên phải .
Khi đó T là ánh xạ co Boyd-Wong.
Định nghĩa 1.18. Cho (X,d) là một không gian mêtric đầy đủ, T là

một ánh xạ (ε, δ) − co trong X, tức là với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa
mãn
nếu ε ≤ d (x, y) < ε + δ thì d (T x, T y) < ε
Khi đó T là ánh xạ co Meir-Keeler.
Định lí 1.1. [7],[14] ( Định lý về mối quan hệ giữa các dạng
ánh xạ co cơ bản)
6


Banach ⇒ Rakotch ⇒ Browder ⇔ Krasnoselskii ⇒ Boyd − W ong ⇒
M eir − Keeler.
1.2.2. Sự tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ co cơ
bản
Định lí 1.2. [11] [ Định lí ánh xạ co Meir-Keeler] Cho (X,d) là
một không gian mêtric đầy đủ, T là một ánh xạ (ε, δ) − co trong X, tức
là với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa mãn
nếu ε ≤ d (x, y) < ε + δ thì d (T x, T y) < ε
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x∗ và với mọi x0 ∈ X ta có
T n x0 → x∗ khi n → ∞.
Chứng minh. Lấy x0 tùy ý trong X. Đặt xn+1 = T xn , cn = d (xn , xn+1 )
với n = 0, 1, 2, ... Giả sử cn > 0. Vì T là (ε, δ) − co nên:
cn = d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) < ε ≤ d (xn−1 , xn ) = cn−1 .
Suy ra cn < cn−1 , hay {cn } là dãy không âm và giảm. Do đó cn → ε ≥ 0.
Nếu mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa mãn:
nếu ε ≤ d (x, y) < ε + δ thì d (T x, T y) < ε.
Chọn k ∈ N sao cho nếu n ≥ k thì ε ≤ cn < ε + δ. Khi đó ta có
cn+1 = d (xn+1 , xn+2 ) = d (T xn , T xn+1 ) < ε, vô lí. Vì vậy ε = 0 hay
cn → 0.
Bây giờ ta đi chứng minh dãy {cn } là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại,
dãy {cn } không phải là dãy Cauchy, tức là có ε > 0 sao cho với mọi

7


k ∈ N luôn tồn tại n, m > k thỏa mãn d (xn , xm ) ≥ 2ε. Chọn k sao
α
cho nếu i ≥ k thì ci <
với α = min {ε, δ} . Chọn m > n ≥ k để
4
cho d (xm , xn ) ≥ 2ε và xét các số d (xn , xn+1 ) , d (xn , xn+2 ) , ..., d (xn , xm ).
Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là:
|d (xn , xi ) − d (xn , xi+1 )| = d (xi , xi+1 ) ≤ ci <

α
.
4

Giả sử với mọi số j ∈ N, n ≤ j ≤ m thì d (xn , xj ) < ε +

α
. Thế mà
2

d (xn , xj ) + d (xj , xm ) ≥ d (xn , xm ) ≥ 2ε, nên suy ra:
d (xj , xm ) ≥ 2ε − ε +

α
α
> .
2
2

Mặt khác, nếu j = m − 1 thì ta phải có:
d (xj , xm ) = d (xm−1 , xm ) = cm−1 <

α
.
4

Mâu thuẫn, do đó giả sử ở trên là sai. Tức là tồn tại j ∈ N, n ≤ j ≤ m,
α
ta luôn có d (xn , xj ) ≥ ε + .
2
α
Đặt j0 = min{j : n ≤ j ≤ m, d (xn , xj ) ≥ ε + }.
2
3α
Giả sử d (xn , xj0 ) > ε +
. Khi đó:
4
d (xn , xj0 −1 ) ≥ d (xn , xj0 ) − d (xj0 −1 , xj0 ) > ε +

3α α
α
− =ε+ .
4
4
2

Điều này mâu thuẫn với cách xác định j0 . Do đó phải có d (xn , xj0 ) ≤
3α

ε+
.
4
Khi đó tồn tại số j ∈ [n, m] sao cho:
ε+

α
3α
≤ d (xn , xj ) ≤ ε +
.
2
4

Vì ε ≤ d (xn , xj ) < ε + δ nên ta có: d (T xn , T xj ) = d (xn+1 , xj+1 ) < ε.
8


Từ đây ta có:
d (xn , xj ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xj+1 ) + d (xj+1 , xj )
α
α
α
< +ε+ =ε+ .
4
4
2
α
Điều này mâu thuẫn với d (xn , xj ) ≥ ε+ . Vậy {xn } phải là dãy Cauchy.
2
∗

Giả sử xn → x ∈ X. Vì T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có:
d (x∗ , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn+1 ) + d (xn+1 , T x∗ )
= d (x∗ , xn+1 ) + d (T xn , T x∗ )
≤ d (x∗ , xn+1 ) + d (xn , x∗ ) .
Cho n → ∞ ta được d (x∗ , T x∗ ) = 0, tức là x∗ = T x∗ .
Vì T là co yếu nên x∗ là duy nhất.
Nhận xét 1.1. Định lý ánh xạ co Meir – Keeler là định lý tổng quát
nhất nói về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản.

1.3. Ánh xạ co địa phương
Định nghĩa 1.19. Một ánh xạ T được gọi là phép ε − co địa phương
Banach nếu tồn tại một hằng số λ < 1 sao cho 0 < d(x, y) ≤ ε suy ra
d(T x, T y) < λd(x, y).
Định nghĩa 1.20. Một ánh xạ T được gọi là
(a) ε − co địa phương Rakotch nếu tồn tại một hàm giảm α : (0, ε] →
[0, 1) sao cho
0 < d(x, y) ≤ ε ⇒ d(T x, T y) ≤ α(d(x, y))d(x, y).
9


(b) ε − co địa phương Karasnoselskii nếu tồn tại một hàm k(a, b) :
(0, ε] × (0, ε] → [0, 1) sao cho
a ≤ d(x, y) ≤ b ⇒ d(T x, T y) ≤ k(a, b)d(x, y).
(c) ε − co địa phương Browder nếu tồn tại một hàm liên tục phải, tăng
φ : [0, ε] → [0, ε) với φ(t) < t với mọi t > 0 sao cho T là φ − co khi
0 < d(x, y) ≤ ε.
(d) ε − co địa phương Boyd - Wong nếu tồn tại một hàm nửa liên tục
trên từ phải φ : [0, ε] → [0, ε) với φ(t) < t với mọi t > 0 sao cho T
là φ − co khi 0 < d(x, y) ≤ ε.
(e) ε − co địa phương Boyd - Wong* nếu tồn tại một hàm nửa liên tục

trên từ phải α : (0, ε] → [0, 1) sao cho
0 < d(x, y) ≤ ε ⇒ d(T x, T y) ≤ α(d(x, y))d(x, y).
(f) ε − co địa phương Meir-Keeler nếu với mọi a, 0 < a < ε, tồn tại
δ > 0 : a + δ ≤ ε sao cho
a ≤ d(x, y) < a + δ ⇒ d(T x, T y) < a.
(g) ε − co địa phương Edelstein nếu
0 < d(x, y) ≤ ε ⇒ d(T x, T y) < d(x, y).
Định lí 1.3. ([1]) Ta có phép suy dẫn sau:
• (a) ⇔ (b) ⇔ (c) ⇒ (d) ⇔ (e) ⇒ (f ) ⇒ (g),
• (g)

(f ), (f )

(e), (d)

(c), (a)

Banach.
10

phép ε − co địa phương


Định nghĩa 1.21. Một không gian mêtric X được gọi là η-chuỗi nếu
với bất kì x, y ∈ X, tồn tại một η-chuỗi từ x đến y, tức là tồn tại
n điểm x0 = x, x1 , ..., xn = yn (n phụ thuộc vào cả x và y) sao cho
d(xi−1 , xi ) < η, i = 1, 2, ..., n.
Định lí 1.4. Giả sử một tự ánh xạ T của ε-xích không gian mêtric X là
một trong các dạng (a) − (f ) trong Định nghĩa 1.20. Khi đó, T có duy
nhất một điểm bất động, là giới hạn của dãy {T n x0 } với x0 ∈ X bất kì.

11


Chương 2
Một số định lí ánh xạ co toàn cục
trong không gian metric suy rộng
Trước tiên ta đưa ra một vài định nghĩa.
Định nghĩa 2.1. Cho X là một tập hợp, d : X 2 −→ R+ là một ánh
xạ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ X và các điểm phân biệt
z1 , z2 , ..., zk ∈ X, k ≥ 2, mỗi điểm phân biệt đó khác x, y :
i) d (x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y
ii) d (x, y) = d (y, x)
iii) d(x, y) ≤ d(x, z1 ) + d(z1 , z2 ) + ... + d(zk , y)
Khi đó ta nói (X, d) là một không gian mêtric suy rộng.
Định nghĩa 2.2. Trong không gian mêtric suy rộng, một dãy {xn } được
gọi là hội tụ tới điểm x nếu d(xn , x) → 0 khi n → ∞.
Định nghĩa 2.3. Trong không gian mêtric suy rộng, một dãy {xn }, n ∈
N được gọi là dãy Cauchy nếu:
∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀m, n ∈ N, n ≥ nε , d(xn , xn+m ) < ε.
.

12


Định nghĩa 2.4. Không gian mêtric suy rộng (X, d) được gọi là đầy đủ
nếu mọi dãy Cauchy trong không gian mêtric suy rộng đều là dãy hội tụ
trong X.
Định nghĩa 2.5. Ánh xạ T đi từ không gian mêtric suy rộng (X, d) vào
chính nó được gọi là ánh xạ co nếu với 2 điểm phân biệt x, y ∈ X,

d(T x, T y) < d(x, y).

2.1. Định lý điểm bất động của ánh xạ co BoydWong
Định lí 2.1. ([5]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng đầy
đủ, ánh xạ T : (X, d) −→ (X, d) thỏa mãn:
d(T x, T y) ≤ ψ(d(x, y))

(2.1)

với ψ : P → [0, +∞) là một nửa liên tục trên từ phải của P (bao đóng
của P trong d) và thỏa mãn ψ(t) < t với ∀t ∈ P \{0}.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x0 và Txn → x0 với mỗi x ∈ X.
Chứng minh. Lấy x ∈ X, đặt
cn = d(T n x, T n−1 x).

(2.2)

Từ (2.1), dãy {cn } là giảm và có giới hạn c.
Ta cần chỉ ra rằng: c = 0.
Nếu c > 0, ta có:
cn+1 ≤ ψ(cn ),
13

(2.3)


vì vậy
c ≤ lim+ sup ψ(t) ≤ ψ(c)
t→c

(2.4)

điều này là mâu thuẫn.
Với mỗi x ∈ X, xét dãy {T n x}. Đầu tiên giả sử rằng nó là dãy hằng số
chung cuộc, do đó có n ∈ N nào đó thỏa mãn T m x = T n x = y với mỗi
m > n. Khi đó T m−n (T n x) = T n x, đặt k = m−n, ta có T k y = y, ∀k ∈ N.
Suy ra d(y, T y) = d(T k y, T k+1 y) = ck , ∀k và từ ck → 0, d(y, T y) = 0 nên
y = T y. Vì vậy y là một điểm bất động của T.
Nếu {T n x} không là một dãy hằng số thì nó có một dãy con với các phần
tử đôi một phân biệt. Không mất tính tổng quát, giả sử {T n x} là dãy
con này. Ta cần chỉ ra {T n x} là một dãy Cauchy trong không gian mêtric
suy rộng. Ngược lại, giả sử có một ε > 0 và các dãy {m(k)}, {n(k)} các
số nguyên dương với m(k) > n(k) ≥ k sao cho
d(T m(k) x, T n(k) x) ≥ ε, ∀k ∈ N

(2.5)

Điều này đúng với mọi k ∈ N, ta có thể kết luận rằng ∀k ∈ N, khi đó
tồn tại n(k) ≥ k và một số vô hạn m(k) > n(k) thì
d(T m(k) x, T n(k) x) ≥

ε
3

(2.6)

Ngược lại giả sử m1 (k) > n(k) là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn
(2.6). Từ ck → 0 khi k → ∞ ta có thể tìm được m2 ∈ N sao cho
ε
ck = d(T k x, T k−1 x) < , ∀k ≥ m2

3

14

(2.7)


Bây giờ nếu m0 = max{m1 , m2 } thì với bất kì i, j > m0 ,
d(T i x, T j x) = d(T i x, T i+1 x)
ε
< < ε nếu j = i + 1, hoặc,
3
d(T i x, T j x) ≤ d(T i x, T i+1 x) + d(T i+1 x, T n x) + d(T n x, T j x)
ε ε ε
< + + = ε nếu j > i + 1.
3 3 3
mâu thuẫn (2.5).
Từ (2.6) ta có thể chọn m(k) là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn
n(k) + 2 mà
ε
dk = d(T m(k) x, T n(k) x) ≥ , ∀k ∈ N
3
Giả sử k ≥ m2 . Bây giờ nếu

(2.8)

(i) m ≥ n + 5 thì rõ ràng
dk = d(T m x, T n x) ≤ d(T m x, T m−1 x) + d(T m−1 x, T m−2 x) + d(T m−2 x, T n x)
ε
< cm + cm−1 + (xem (2.8))

3
ε
< 2ck + .
3
ε
(ii) Nếu m = n + 3 thì theo (2.7), d(T m−2 x, T n x) < nên
3
dk = d(T m x, T n x) ≤ d(T m x, T m−1 x) + d(T m−1 x, T m−2 x) + d(T m−2 x, T n x)
ε
< 2ck + (như trên).
3
(iii) Nếu m = n + 4 thì
dk = d(T m x, T n x)
≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + d(T n+2 x, T n+3 x) + d(T n+3 x, T n+4 x)
ε
< 3ck + .
3
15


Từ đó dk →

ε+
khi k → ∞.
3

Hơn nữa
dk = d(T m x, T n x) ≤ d(T m x, T m+1 x) + d(T m+1 x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n x)
= cm+1 + d(T m+1 x, T n+1 x) + cn+1
≤ 2ck + ψ(d(T m x, T n x))

= 2ck + ψ(dk ).
ε
ε
≤ ψ ( ), điều này mâu
3
3
thuẫn với điều kiện đã cho vì ε > 0. Bởi vậy trong trường hợp này {T n x}
Như vậy khi k → ∞, từ (2.8) ta thu được

là một dãy Cauchy trong không gian mêtric suy rộng và X là đầy đủ,
{T n x} hội tụ về một điểm x0 trong X.
Ta chỉ ra rằng T x0 = x0 . Ta chia chứng minh thành hai phần. Đầu tiên
lấy T n x khác x0 và T x0 với bất kì n ∈ N. Khi đó,
d(x0 , T x0 ) ≤ d(x0 , T n x) + d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T x0 )
≤ d(x0 , T n x) + cn+1 + ψ(d(x0 , T n x0 ))
< d(x0 , T n x) + cn+1 + d(x0 , T n x0 )
→ 0 khi n → ∞,
điều này suy ra T x0 = x0 .
Sau đó ta giả sử rằng T k x = x0 hoặc T k x = T x0 với k ∈ N.
Hiển nhiên thì x0 = x và dễ dàng chỉ ra {T n x0 } là một dãy có các tính
chất sau:
(i) lim d(T n x0 , x0 ) = 0.
n→∞

(ii) T n x0 = x0 với mọi n ∈ N.
16


(iii) T p x0 = T r x0 với mọi p, r ∈ N, p = r.
Từ đó lập luận như trên, kéo theo x0 là một điểm bất động của T .

Tính duy nhất của điểm bất động của T dễ dàng được suy ra từ định
nghĩa của T .

2.2. Định lý điểm bất động của ánh xạ co Rakotch
Định lí 2.2. ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric suy rộng đầy đủ, ánh
xạ T : (X, d) → (X, d) thỏa mãn: d(T x, T y) ≤ α(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈
X với α(d(x, y)) là hàm đơn điệu giảm và 0 < α(d) < 1.
Khi đó T là điểm bất động duy nhất x0 và Txn → x0 với mỗi x ∈ X.

2.3. Không gian metric suy rộng bổ sung tính Hausdorff cảm sinh bởi tôpô
Có nhiều nghiên cứu mở rộng mêtric và một vài loại không gian đã
được giới thiệu. Một trong những mở rộng thú vị về không gian mêtric
được đưa ra bởi Branciari năm 2000 ([3]), là không gian mà bất đẳng
thức tam giác được thay bởi bất đẳng thức tổng quát hơn, gọi là không
gian mêtric suy rộng. Nhưng không gian mêtric suy rộng có thể không
thỏa mãn điều kiện:
(1) Mêtric d là liên tục với cả 2 biến.
(2) Topo tương ứng là Hausdorff.
(3) Đặc biệt, một dãy chỉ có thể hội tụ đến nhiều nhất một điểm.
17


(4) Mỗi hình cầu mở là một tập mở.
(5) Mỗi dãy hội tụ là một dãy Cauchy.
Do đó, hầu hết các nhà toán học khi nghiên cứu về không gian mêtric
suy rộng đều giả sử một số điều kiện bổ sung, thông thường là tính
Hausdorff cảm sinh bởi tôpô.
Định lí 2.3. ([8]) Cho (X, d) là không gian Hausdorff mêtric suy rộng
đầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn với λ ∈ [0, 1) và mọi x, y ∈ X,
d(T x, T y) ≤ λd(x, y).

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.
Định lí 2.4. ([8]) Cho (X, d) là không gian Hausdorff mêtric suy rộng
đầy đủ, T : X → X thỏa mãn với ∀x, y ∈ X,
1
d(T x, T y) ≤ (d(x, T x) + d(y, T y)) − φ(d(x, T x), d(y, T y)),
2
với φ : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) liên tục và φ(a, b) = 0 nếu và chỉ
nếu a = b = 0. Khi đó T có điểm bất động duy nhất.
Định lí 2.5. ([8]) Cho (X, d) là không gian Hausdorff mêtric suy rộng
đầy đủ, ϕ : [0, +∞) → [0, +∞) thỏa mãn: (ϕ1 )(ϕ(t)) < t với ∀t > 0 và
ϕ(0) = 0; (ϕ2 ) lim inf tn →t ϕ(tn ) < t với ∀t > 0. Cho S, T, F, G : X → X
thỏa mãn với ∀x, y ∈ X,
d(Sx, T y) ≤ ϕ(max{d(F x, Gy), d(F x, Sx), d(Gy, T y)}).
Giả sử T (X) ⊆ F (X) và S(X) ⊆ G(X) và các cặp {S, F } và {T, G} là
tương thích. Nếu F hoặc G liên tục thì S, T, F, G có một điểm bất động
chung duy nhất.
18


2.4. Không gian metric suy rộng không có tính Hausdorff
Một dãy trong không gian mêtric suy rộng có thể có hai giới hạn.
Tuy nhiên có một trường hợp đặc biệt là khi mà nó không xảy ra và điều
này có thể hữu ích cho một vài chứng minh.
Bổ đề 2.1. ([8]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng và {xn }
là một dãy Cauchy trong X sao cho xm = xn với m = n. Khi đó dãy
{xn } có thể hội tụ đến nhiều nhất một điểm.
Chứng minh.
Giả sử ngược lại, nếu lim xn = x, lim xn = y và x = y.
n→∞

n→∞

Do xm , xn phân biệt, cũng như x và y, rõ ràng tồn tại l ∈ N sao cho x
và y khác xn với mọi n > l. Với mọi m, n > l, bất đẳng thức tứ giác đưa
đến: d(x, y) ≤ d(x, xm ) + d(xm , xn ) + d(xn , y).
Khi m, n → ∞ thì d(x, y) = 0, nghĩa là x = y. Trái với giả thiết.
Bổ đề 2.2. ([8]),([9]) Cho (X, d) là không gian mêtric suy rộng và {xn }
là một dãy trong X mà vừa là dãy Cauchy, vừa hội tụ. Khi đó giới hạn
x của {xn } là duy nhất.
Bổ đề 2.3. ([8]) Cho (X, d) là không gian mêtric suy rộng và {yn } là
một dãy trong X với các phần tử phân biệt (yn = ym với n = m).
Giả sử d(yn , yn+1 ) và d(yn , yn+2 ) tiến đến 0 khi n → ∞ và {yn } không là
một dãy Cauchy. Khi đó ∃ε > 0 và hai dãy {mk } và {nk } nguyên dương
sao cho nk > mk > k và bốn dãy sau tiến tới ε khi k → ∞:
d(ymk , ynk ), d(ymk , ynk +1 ), d(ymk −1 , ynk ), d(ymk −1 , ynk +1 ).
19

(2.9)


Chứng minh.
Do {yn } không là dãy Cauchy, khi đó ∃ε > 0 và hai dãy {mk } và {nk }
nguyên dương sao cho nk > mk > k, d(ymk , ynk ) ≥ ε và nk là số nguyên
dương nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức này, nghĩa là d(ymk , yl ) < ε với
mk < l < nk .
Ta cần chứng minh dãy đầu tiên trong (2.9) tiến tới ε khi k → ∞.
Theo giả thiết, d(ymk , ymk +1 ) → 0 và d(ymk , ymk +2 ) → 0 khi k → ∞.
Do đó, không thể có nk = mk + 1 hoặc nk = mk + 2 ( vì một trong hai
trường hợp này sẽ không thể có d(ymk , ynk ) ≥ ε). Vì vậy, áp dụng bất
đẳng thức tứ giác ta được:

ε ≤ d(ymk , ynk ) ≤ d(ymk , ynk −2 ) + d(ynk −2 , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk )
≤ ε + d(ynk −2 , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk ) → ε,
khi k → ∞, tức là d(ymk , ynk ) → ε khi k → ∞.
Để chứng minh dãy thứ hai trong (2.9) tiến tới ε khi k → ∞, ta xét
hai bất đẳng thức tứ giác sau:
d(ymk , ynk +1 ) ≤ d(ymk , ynk ) + d(ynk , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk +1 )
d(ymk , ynk ) ≤ d(ymk , ynk +1 ) + d(ynk +1 , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk ),
cùng với d(ymk , ynk ) → ε tức là d(ymk , ynk +1 ) → ε khi k → ∞.
Chứng minh cho hai dãy còn lại có thể bằng cách tương tự, sử dụng bất
đẳng thức tứ giác
(ymk −1 , ynk , ynk −2 , ymk ) và (ymk , ynk , ymk −1 , ymk −2 ),
tương ứng
20