Đề khảo sát học sinh giỏi toán 7

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN
LẦN 2 NĂM HỌC 2014-2015
Môn toán lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phút

PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN

KHỐI CLC THCS

Đề bài:
Bài 1:(5 điểm)
a)Thực hiện phép tính:

A

212.35  46.92

 22.3  84.35
6



510.73  255.492

 125.7 

3

 59.143

b) Tìm x biết : 2  x  x  3

Bài 2: (5điểm)
213
, c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3;
70

a)

Ba ph©n sè cã tæng b»ng

b)

4; 5 và c¸c mÉu cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n
sè ®ã.
Cho các số a,b,c ,x,y,z thỏa mãn : abc 0 và
x
y
z


chứng minh:
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c
a
b
c


( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z

Bài 3: ( 4điểm)

a)
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: ( x-y)2014 + x  y =2
b)
Cho 5 số nguyên phân biệt a1, a2, a3, a4 ,a5, xét tích :
P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5) (a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5)
Chứng minh P 288
Bài 4: ( 6 điểm)
Cho tam giác ABC có  B =750 đường cao AH bằng nửa cạnh BC. Trên nửa mặt
phẳng bờ AB chứa C vẽ tia Bx sao cho  ABx = 600 trên tia Bx lấy điểm D sao
cho BD =BA. Kẻ phân giác BF của góc ABD (F  AD)
a) Tính các góc chưa biết của tam giác ABD
b) Chứng minh AB=BD=DA
c) Chứng minh AC =CB

Lưu ý : cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm


PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN
KHỐI CLC THCS
Bài
1

Ý
a

b)

2

A

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT
MÔN TOÁN 7 LẦN 2
Nội dung

12

5

12

4

10

3

10

4

2 .3  2 .3
5 .7  5 .7
 9 3
12 6
12 5
2 .3  2 .3
5 .7  5 9 7 3.2 3
3  1 5  35
A


9  3 1 8
A 3,5

A=

Để có căn bậc hai dương 2  x thì x 2
khi đó x-3<0 mà 2  x 0
nên không tìm được x thỏa mãn yêu cầu bài ra.
a c m
; ; với a;b;c;m;n nguyên và b.d.n 0
b d n
a c m
theo bài ra ta có   k
3 4 5

0,5đ
1,0
1,0
0,5

Gọi 3 phân số cần tìm là

Suy ra a=3k; c=4k;m=5k
Tương tự ta có b=5q; d=q; n=2q
3k 4k 5k 213



5q q 2q 70

k 3
5
213
 ( 4 ) 
q 5
2
70
Vậy :
k 3

q 7
a 9 c 12 m 15
 ;  ; 
b 35 d
7 n 14

b)

Điểm
1đ
1đ

1đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ

Từ giả thiết ta có :

x
2y
z
x  2y  z



k
a  2b  c 4a  2b  2c 4a  4b  c
9a
2x  y  z 4x  4 y  z

Tương tự ta có k 
9b
9c
2x  y  z 2x  y  z 4x  4 y  z


Vậy:
9a
9b
9c
a
b
z
Suy ra x  2 y  z  2 x  y  z  4 x  4 y  z

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ


3

a)

B

4

2014

Ta có các số tự nhiên : x 0; y 0; ( x  y ) 0
Vậy (x-y)2014 là số chính phương nhỏ hơn 2
Hoặc (x-y)2014 =0 suy ra x=y
mà x  y 2  x  y 1
ta được (x ;y)=(1 ;1) (-1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(1 ;-1)
mà x  y nên ( x;y) =(1 ;1) ; -1 ;-1)
2
nếu (x-y) =1 thì hoặc : x-y= 1 Thì tổng hai số tự nhiên x  y 1 nên
trong hai số x, y có 1 số bằng 0 từ đó
ta có (x ; y)=(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0)
Vậy :(x ;y)=(1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0)
Với 5 số a1; a2; a3; a4 có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư không
mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a1 và a2 khi đó a1-a2 3
Bỏ đi a2 xét 4 số còn lại Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có
cùng số dư không nhất tính tổng quat giả sử 2 số đó là a3 và a5 thì a3a5
3 Suy ra P  9
* Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ

-Nếu có cả năm số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của p
đều chia hết cho 2 nên P 210
suy ra P 32
Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ 4 số này tạo ra 6 thừa số của
tích mà mỗi thừa số đều chia hết cho 2 nên P 32
Nếu trong 5 số có 3 số cùng chẵn không mất tính tổng quát giả sử đó là
a1; a2; a3 đặt a1=2b1; a2=2b2;a3=2b3 ; a4=2b4+1 ; a5=2b5+1
P là tích của 16(b1-b2)(b1-b3)(b2-b3)(b4-b5) và 6 thừa số lẻ . trong 3 số b1;
b2; b3 . có ít nhất hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ chúng tạo ra 1 thừa số
chia hết cho 2 nên p 32
Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P 32
Vậy P  9;32 288

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

A
A

F
D
I
B

H

E

C

Vẽ phân giác BF của ABD chứng minh:  ABF=  DBF (c-g-c)
Từ đó nhờ định lý tổng ba góc trong tam giác chứng minh:
 BAD=  BDA =600

1đ
1đ


B

c

Kẻ phân giác AI dựa vào định lý tổng 3 góc trong tam giác chứng minh
 BIA =  DIA =900
Từ đó chứng minh  AIB=  AID (g.c.g)

Suy ra AB=AD
Mà theo giải thiêt: AB=BD nên AB=BD=DA
Gọi E là trung điểm của BC , chứng minh:  AHB=  BED (c.g.c)
Từ đó chứng minh  DEB=  DEC =900
Chứng minh  DEB =  DEC (c.g.c) rồi chứng minh  BDC=1500
Chứng minh  ADC =1500
Chứng minh  ADC=  BDC (c.g.c)  CB=CA

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ