Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 cấp trường có đáp án

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
MÔN: TOÁN LỚP 7
Thời gian: 120 phút

ĐỀ 1

Câu1: (2 điểm)
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
a b bc c d d a



Tìm giá trị biểu thức: M=
cd d a ab bc

Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Câu2: (1 điểm) .
Cho S = abc  bca  cab .
Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.
Câu3: (2 điểm)
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy
từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung

điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2
khoảng cách từ xe máy đến M.
Câu4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.
�  �A  �
�
a. Chứng minh rằng: BOC
ABO  ACO
�

A
ABO  �
ACO  900  và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng
b. Biết �
2

minh rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C.
Câu 5: (1,5điểm).
Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít
nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200.
Câu 6: (1,5điểm).
Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng
một lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6… 11.
Hãy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất
của mỗi loại điểm đó.


ĐÁP ÁN
Câu 1:
Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được:

2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 =
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd



a
b
c
d
+,
Nếu a+b+c+d �0 thì
a = b = c = d lúc đó M = 1+1+1+1=4

+,
Nếu a+b+c+d = 0 thì
a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b);
d+a = -(b+c), lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4.
Câu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) =
37.3(a+b+c).

Vì 0 < a+b+c �27 nên a+b+c M
 37. Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) M37 => S
không thể là số chính phương.
Câu 3:
Quãng đường AB dài 540 Km; nửa quảng dường AB dài 270 Km. Gọi quãng
đường ô tô và xe máy đã đi là S1, S2. Trong cùng 1 thời gian thì quãng đường tỉ lệ
S

S

1
2
thuận với vận tốc do đó V  V  t (t chính là
1
2

t=

M

A

thời gian cần tìm).

B

270  a 270  2a
540  2a 270  2a (540  2 a)  (270  2a) 270

;t 




3
65
40
130
40
130  40
90

Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ
xe máy đến M.
Câu 4:
a, Tia CO cắt AB tại D.
+, Xét

�
�
là góc ngoài nên BOC
 BOD có BOC
 ADC có góc D1 là góc ngoài nên D�

Vậy

�
�
= �A  C�1 + B
BOC
1

+, Xét

1

�
= B�1  D
1
� A
�
AC
1

�

�

D �

2

2

2

A
A
A
�
ABO  �

ACO  900  thì BOC
b, Nếu �
= �A  900   900 

Xét

 BOC có:

B

O

C


�
��
A B
0
�  1800  O
�B
�  1800  �
C
90


�
�
2
2

�
2 2�
�
�
0
� �
� �
�  900  A  B  900  180  C  C
C
2
2
2
2






tia CO là tia phân giác của góc C.
Câu 5:
Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng
đã cho. 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi
góc này tương ứng bằng góc giữa hai đường thẳng trong số 9 đương thẳng đã cho.
Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 3600 do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 3600 :
18 = 200, từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng
không nhỏ hơn 200.
Câu 6:
Tổng số điểm ghi ở hai mặt trên của hai con súc sắc có thể là:
2 = 1+1

3 = 1+2 = 2+1
4 = 1+3 =2 +2 = 3+1
5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1.
6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1
7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1
8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2
9=3+6=4+5=5+4=6+3
10=4+6=5+5=6+4
11=5+6=6+5
12=6+6.

Như vậy tổng số 7 điểm có khả năng xảy ra nhất tới 16,7%
-------------------------------------------------------------------


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
MÔN: TOÁN LỚP 7
Thời gian: 120 phút

ĐỀ 2

Câu 1 : ( 3 điểm).
1. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài là 4,12 ,a . Biết rằng a là một
số tự nhiên. Tìm a ?
2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức

a c
 ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy ra được
b d

các tỉ lệ thức:
a)

a
c

.
a b c d

b)

a b c d

.
b
d

Câu 2: ( 1 điểm). Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0.
Câu 3: (2 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d
với
aCâu 4: ( 2 điểm). Cho hình vẽ.
a, Biết Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C.
b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh Ax // Cy.
x

A
B

y
C
Câu 5: (2 điểm)
Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với
các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------


ĐÁP ÁN
Câu 1: Gọi x, y, z là độ dài 3 cạnh tương ứng với các đường cao bằng 4, 12, a.
Ta có: 4x = 12y = az = 2S
 x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm)
Do x-y < z< x+y nên
S S 2S S S
2 2 2
 
    
2 6
a
2 6
6 a 3

(0,5 điểm)

 3, a , 6 Do a  N nên a=4 hoặc a= 5. (0,5 điểm)
a c
a b a b
a a b

a
c
 


   
b d
c d c d
c c d
a b c d
a c
a b a b
b a b
a b c d




b.    
b d
c d cd
d cd
b
d

2. a. Từ

(0,75 điểm)
(0,75 điểm)

Câu 2: Vì tích của 4 số : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 là số âm nên phải có 1 số
âm hoặc 3 số âm.
Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. Xét 2 trường hợp:
+ Có 1 số âm: x2 – 10 < x2 – 7  x2 – 10 < 0 < x2 – 7
 7< x2 < 10  x2 =9 ( do x  Z )  x =  3. ( 0,5 điểm)
+ có 3 số âm; 1 số dương.
x2 – 4< 0< x2 – 1  1 < x2 < 4
do x Z nên không tồn tại x.
Vậy x =  3

(0,5 điểm)

Câu 3: Trước tiên tìm GTNN B = x-a +  x-b với aTa có Min B = b – a ( 0,5 điểm)
Với A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d
= [ x-a +  x-d] + [x-c +  x-b]
Ta có : Min [ x-a +  x-d] =d-a khi axd
Min [x-c +  x-b] = c – b khi b x  c ( 0,5 điểm)
Vậy A min = d-a + c – b khi b x  c ( 0, 5 điểm)
Câu 4: ( 2 điểm)
A, Vẽ Bm // Ax sao cho Bm nằm trong góc ABC  Bm // Cy (0, 5 điểm)
Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC
 ABm + CBm = A + C tức là ABC = A + C ( 0, 5 điểm)


b. Vẽ tia Bm sao cho ABm và A là 2 góc so le trong và ABM = A  Ax// Bm (1)
CBm = C  Cy // Bm(2)
Từ (1) và (2)  Ax // By
Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có:
AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2  CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm)

Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0,
5 điểm)
Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm).
---------------------------------------------------------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
MÔN: TOÁN LỚP 7
Thời gian: 120 phút

ĐỀ 3

Câu 1: Tính :
a) A =
b) B =

1
1
1
1


 .... 
.
1.2 2.3 3.4
99.100
1
1
1
1

1+ 2 (1  2)  3 (1  2  3)  4 (1  2  3  4)  ....  20 (1  2  3  ...  20)

Câu 2:
a) So sánh:

17  26  1

b) Chứng minh rằng:

và

99 .

1
1
1
1


 .... 
 10 .
1
2
3
100

Câu 3:
Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ
theo 1:2:3
Câu 4

Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam
giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc


ACE đều bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC.
Chứng minh rằng:
a. BI=CK; EK = HC;
b. BC = DI + EK.
Câu 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x  2001  x  1
------------------------------------------ hết ---------------------------------------------


ĐÁP ÁN
Câu 1: a) Ta có:

1 1 1
1 1 1
  ;
 
1.2 1 2 2.3 2 3

;

1 1 1
  ;
3.4 3 4

1

1

1

…; 99.100 99  100

1
99
  1 1   1 1
 1 1  1
 
   ....  
 
1 

100 100
 2 2  3 3
 99 99  100

Vậy A = 1+ 
b) A = 1+
= 1+
=

1  2.3  1  3.4  1  4.5 
1  20.21 

 
 
  ....  

=
2 2  3 2  4 2 
20  2 

3 4
21 1
  ... 
  2  3  4  ...  21 
2 2
2 2

1  21.22 
 1 =

2 2


115.

Câu 2: a) Ta có:

17  4 ;

nên

26  5

17  26  1  4  5  1

hay

17  26  1  10

Còn
b)

99 <

1

10 .Do đó:

1
;
1 10

Vậy:

1

1
;
2 10



1
1



1
2





1
3

17  26  1  99

1

1
;
3 10

 .... 

…..;



1
100

 100.

1

1
 .
100 10

1
10
10

Câu 3: Gọi a,b,của là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm . Vì mỗi chữ số
a,b,của không vượt quá 9 và ba chữ số a,b,của không thể đồng thời bằng 0 ,
vì khi đó ta không được số có ba chữ số nên: 1  a+b+c  27
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc
a+b+c=17
a

b c

a b c
Do đó: ( a+b+c) chia
6
a b c 18
   3  a=3; b=6 ; của =9
1 2 3 6

Theo giả thiết, ta có: 1  2 3 
Nên : a+b+c =18 

hết cho 6

Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn.
Vậy các số phải tìm là: 396; 936.
Câu 4:
a) Vẽ AH  BC; ( H BC) của ABC
+ hai tam giác vuông AHB và BID có:
BD= AB (gt)


Góc A1= góc B1( cùng phụ với góc B2)
 AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn)
AH BI (1) và DI= BH
+ Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc A2= góc C1( cùng phụ với
góc C2)
AC=CE(gt)
 AHC= CKB ( cạnh huyền, góc nhọn) AH= CK (2)
từ (1) và (2)  BI= CK và EK = HC.
b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên)
tương tự: EK = HC
Từ đó BC= BH +Hc= DI + EK.
Câu 5: Ta có:
A = x  2001  x  1 = x  2001  1  x  x  2001  1  x 2000
Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là 2000 khi x-2001 và 1-x cùng dấu,
tức là :
1  x  2001
biểu điểm :
Câu 1: 2 điểm .
a. 1 điểm b. 1 điểm
Câu 2: 2 điểm :
a. 1 điểm b . 1 điểm .

Câu 3 : 1,5 điểm
Câu 4: 3 điểm : a. 2 điểm ; b. 1 điểm .
Câu 5 : 1,5 điểm .
---------------------------------------------------------------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (LẦN 4)
MÔN: TOÁN LỚP 7
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (1,5 điểm) Tìm x biết:


a,

x  2 x  3 x  4 x  5 x  349
+
+
+
+
=0
327
326
325
324
5

b, 5x - 3 - x = 7
Câu2:(3 điểm)
0

1

2

 1  1  1
 1
a, Tính tổng: S             ........    
 7  7  7
 7
1 2 3
99
1
b, CMR:    ........ 
2! 3! 4!
100!

2007

c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết
cho 10
Câu3: (2 điểm)
Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng
ba cạnh đó tỉ lệ với số nào?
Câu 4: (2,5điểm)
Cho tam giác ABC có góc B 60 0 hai đường phân giác AP và CQ của tam giác cắt
nhau tại I.
a, Tính góc AIC
b, CM : IP = IQ
Câu5: (1 điểm)

1

Cho B  2(n  1) 2  3 . Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.

------------------------------------------ hết -----------------------------------------

ĐÁP ÁN
Câu1:


a,
......

x2
x 3
x4
x 5
x  349
1 
1 
1 
1 
 4 0
327
326
325
324
5
1
1
1

1
1
 ( x  329)(



 ) 0
327 326 325 324 5

(1) 

(0,5 đ )

(0,5đ )

 x  329 0  x  329

a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 7 � 5 x  3  x  7 (1)

b,

ĐK: x �-7

(0,25 đ)

5x  3  x  7
�

 1 � �

5x  3    x  7 
�

….

(0,25 đ)

Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Câu 2:
a,

S 1 

x1 = 5/2 ; x2= - 2/3

1 1
1
1
1
1 1
1
1
 2  3  4  .....  2007 ; 7 S 7  1   2  3  .....  2006
7 7
7 7
7
7
7
7
7

1

7

7 2007

 S

(0,25đ).
(0.5đ)

1

(0,5đ)
7
8
1 2 3
99
2 1 3 1
100  1
   ...... 


 ....... 
b,
2! 3! 4!
100!
2!
3!

100!
1
 1 (0,5đ)
................... 1 
100!
8S 7 

(0,25 đ)

2007

(0,5đ)

c, Ta có 3 n2  2 n2  3 n  2 n 3n 2  3 n  (2 n2  2 n ) (0,5đ)
................. 3 n.10  2 n.5 3n.10  2 n 2.10 103 n  2 n 2 10 (0,5đ)
Câu 3: Gọi độ dài 3 cạnh là a , b, c, 3 chiều cao tương ứng là x, y, z, diện tích S
( 0,5đ )
a

2S
x

b

 2 x 3 y 4 z 

2S
y

c

2S
z

(0,5đ)



a b c
2 S 2 S 2S
  


2 3 4
2x 3y 4z

x y z
  vậy x, y, z tỉ lệ với 6 ; 4 ; 3
6 4 3

Câu 4:
GT; KL; Hình vẽ (0,5đ)
a,
Góc AIC = 1200
(1 đ )
b,
Lấy H  AC : AH = AQ ..............  IQ  IH  IP
Câu5:
B ; LN B; LN  2 n  1 2  3 NN
Vì  n  1 2 0  2 n  1 2  3 3 đạt NN khi bằng 3 (0,5đ)

Dấu bằng xảy ra khi n  1 0  n 1

(0,5đ)

(1 đ )

(0,5đ)


1
3

vậy B ; LN  B  và n 1

(0,5đ)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
MÔN: TOÁN LỚP 7
Thời gian: 120 phút

ĐỀ 5

Câu 1 : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết :
a)  x  1 5 = - 243 .
b)

x2 x2 x2 x2 x2





11
12
13
14
15

c) x - 2
Câu 2 : (3đ)

x

=0

(x 0 )

a, Tìm số nguyên x và y biết :

5 y 1
 
x 4 8

b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là 1 số nguyên biết : A =

x 1
x 3

(x 0 )
Câu 3 : (1đ)

Tìm x biết :
2. 5 x  3 - 2x = 14
Câu 4 : (3đ)
a, Cho  ABC có các góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; 3 . Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào .
b, Cho  ABC cân tại A và Â < 900 . Kẻ BD vuông góc với AC . Trên
cạnh AB lấy điểm E sao cho : AE = AD . Chứng minh :
1) DE // BC
2) CE vuông góc với AB .
-----------------------------------Hết--------------------------------


ĐÁP ÁN
Câu 1 : 3 điểm . Mỗi câu 1 điểm
a)
(x-1) 5 = (-3) 5  x-1 = -3  x = -3+1
b)

1

1

1

(x+2)( 11  12  13 

1 1

)
14 15

1 1
1 1
1
  

0 
11 12 13 14 15

x+2 = 0



x=2

5 1 2 y
5 y 1 5 2y 1

 ,

  ,
x
8
x 4 8 x 8 8
2y) = 40  1-2y là ớc lẻ của 40

x(1 Đáp số :

x = -2

=0

c)
x - 2 x = 0  ( x )2 - 2 x = 0
hoặc x - 2 = 0  x = 2  x = 4
Câu 2 : 3 điểm . Mỗi câu 1,5 điểm
a)





x( x-

2) = 0



x

. Ước lẻ của 40 là :

1

=0



; 5 .

x = 40 ; y = 0

x = -40 ; y = 1
x = 8 ; y = -2
x = -8 ; y = 3

b) Tìm x z để A  Z.
A nguyên khi

4
x 3

A=
nguyên

x 1
x 3



1 

4
x 3

x  3 �Ư(4)

= -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4

Các giá trị của x là : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 .
Câu 3 : 1 điểm
2 5 x  3 - 2x = 14  5 x  3 = x + 7 (1)

ĐK: x �-7
(0,25 đ)
5x  3  x  7
�

 1 � �

5x  3    x  7 
�

….

(0,25 đ)

Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3
(0,25đ).
Câu4.
(1.5 điểm)
Các góc A, B , C tỉ lệ với 7, 5, 3

x=0


A B C A  B  C 180 0
  

12
7 5 3
15
15

 A= 840  góc ngoài tại đỉnh A là

960
B = 600  góc ngoài tại đỉnh B là 1200
C = 360  góc ngoài tại đỉnh C là 1440
 Các góc ngoài tơng ứng tỉ lệ với 4 ; 5 ; 6
b)
1) AE = AD   ADE cân
�D
�
 E

�  EDA
�
E
1

0
�
� = 180  A
E
1
2

(1)

0
�
� C = 180  A
AB

1
2

Từ (1) và (2)

 ABC

cân

� C
�
 B

(2)

�  ABC
�
 E
1

ED // BC
a)
Xét  EBC và  DCB có BC chung (3)
�  DCB
� (4)
EBC
BE = CD (5)
Từ (3), (4), (5)   EBC =  DCB (c.g.c)
�  CDB
� = 900  CE  AB .

 BEC


ĐỀ 6

Bài1( 3 điểm)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
MÔN: TOÁN LỚP 7
Thời gian: 120 phút


a, Tính:

1
1 176 12 10
10 (26 
)
(  1,75)
3
3 7
11 3
5
A=
(
60
91  0,25).  1
11

b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 +……+ 100 – 410)
Bài 2: ( 2điểm). Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng
bằng 2.
Bài 3: (2 điểm). Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234
trang.
Bài 4: ( 3 điểm) Cho  ABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn
của tam giác , biết EC – EA = AB.
-------------------------------------------- hết -------------------------------------------


ĐÁP ÁN
Bài 1: 3 điểm
31 183 176 12 10 175 31
12 475
(

)
( 
.1 
.
3 7
7
11 3 100  3
11 300
A=
5 1 60
 71 60
(  ).
. 1
91 4 11  1

364 11

a, Tính:
31

3
= 1056

1001

19
341  57
284 1001 284284
11  33

.

1001
55
33 55
1815
1001
1001

b, 1,5 điểm Ta có:
+) 1 + 4 +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 . 34 =
1434
34 cặp
+) 1434 – 410 = 1024
+) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 )

= 18 . 5869 = 105642
Vậy A = 105642 : 1024  103,17
Bài 2: 2 Điểm
Giọi số cần tìm là x, y, z. Số nhỏ là x , số lớn nhất là z. Ta có: x y  z (1)
1

1

1

Theo giả thiết: x  y  z 2

1

(2).
1

1

1

3

Do (1) nên z = x  y  z  x
1

2

Vậy: x = 1. Thay vào (2) , được: y  z 1  y
Vậy y = 2. Từ đó z = 2. Ba số cần tìm là 1; 2; 2.

Bài 3:
2 Điểm
Có 9 trang có 1 chữ số. Số trang có 2 chữ số là từ 10 đến 99 nên có tất cả 90 trang.
Trang có 3 chữ số của cuốn sách là từ 100 đến 234, có tất cả 135 trang. Suy ra số
các chữ số trong tất cả các trang là:
9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594
Bài 4 : 3 Điểm
Trên tia EC lấy điểm D sao cho ED = EA.
Hai tam giác vuông  ABE =  DBE ( EA = ED, BE chung)
�  BDA
� .
Suy ra BD = BA ; BAD
Theo giả thiết: EC – EA = A B


Vậy EC – ED = AB
Hay CD = AB
(2)
Từ (1) và (2) Suy ra: DC = BD.
Vẽ tia ID là phân giác của góc CBD ( I  BC ).
Hai tam giác:  CID và  BID có :
ID là cạnh chung,
CD = BD ( Chứng minh trên).
�
�
( vì DI là phân giác của góc CDB )
CID
= IDB
� =
Vậy  CID =  BID ( c . g . c)  C

�
� + IBD
�
= 2  C� = 2
BDA
= C
� = D
� ( Chứng minh trên) nên A
�
mà A
� = 600
Do đó ; C� = 300 và A
----------------------------------------------

�
� là 
IBD . Gọi C



 ( góc ngoài của  BCD)
= 2   2   = 900   = 300 .

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ

MÔN: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút

Bài 1: (6 điểm) Tính:

�
�
�
�

1�

��1

�3
�

�
1�

1

2  2 �.0,75 ��
3  0,5 : �   �
a) �
�
3
2
5 3 2 �
�

�
�2

��

3 � 193 33 � �
�7

�
�

11 �1931 9 �


:�


b) �
� 
�.
�
�.
193 386 � 17 34 �
1931 3862 � 25 2 �
�
�
�
��
�

c) 3. 2 1

1
�3 �

 3 � � 2.  4,025  2,885 
14
�7 �

Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm các số x, y, z biết:
x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100


b) Cho

a b c
a 3b 2c1930
= = và a + b + c �0. Tính
b c a
a1935

Bài 3: (3 điểm)
a) So sánh: 910 và 89 + 79 + 69 + 59 + ... + 29 + 19
b) Chứng minh: (3636 - 910) M45
Bài 4: (3 điểm)
Ba đống khoai có tổng cộng 196 kg. Nếu lấy đi

1
số khoai ở đống thứ nhất,
3

1
1
số khoai ở đống thứ hai và số khoai ở đống thứ ba thì số khoai còn lại của ba

4
5

đống bằng nhau. Tính số khoai ở mỗi đống lúc đầu.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M, N sao cho
BM=MN=NC.
a) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.
b) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB), NK vuông góc với AC (K thuộc
AC). MH và NK cắt nhau tại O. Tam giác OMN là tam giác gì? Tại sao?
c) Cho góc MAN = 600. Tính số đo các góc của tam giác ABC. Khi đó tam
giác OMN là tam giác gì?
Họ tên thí sinh: …………………………………………. số báo danh: ………..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.



HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bài 1: (6 điểm)
Tính: (mỗi phần cho 2 điểm)
�
�

1�

��1

�3

1

� �
13 3 ��
7
1�

1 13 �

2  2 �.0,75��
3  0,5 : �   �
 : �
a) �
�
�= �3 . 4 ��
3
2
5
3
2
2
2 30 �
�
�
�
�
�
��
�
��
�

=

13 �
7 15 �

�
4�
2 13 �
�

(0,5 điểm)

=

13 61 61
. 
4 26 8

(0,75 điểm)

(0,75 điểm)

�
3 �193 33 ��
11 �1931 9 �
�2
�7

.

 �
:�

.
 �=
�
�
�
193
386
17
34
1931
3862
25
2�
�
�
�
�
�
��
�1 193 33 ��25 1931 9 �
.

:
.

�
386 17 34 �

3862 25 2 �
�
��
�
�

b) �
�

(0,75 điểm)
�1

33 ��1

9�

:  �
=�  �
34 34 ��
�
�2 2 �

c) 3. 2 1


 1: 5 

(0,75 điểm)

1

13 9
�3 �
 3 � � 2.  4,025  2,885  = 3.   2.1,14
14
14 7
�7 �

39 9
  2, 28
14 7

(0,75 điểm)

 1,5  2, 28  0,78

1
5

(0,75 điểm)
(0,5 điểm)

Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm các số x, y, z biết: (2,5 điểm)
x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100
Theo đầu bài ta có:
x y z
 
3 4 5

x2 y2 z 2




9 16 25

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)


=>
-100)

2 x 2 2 y 2 3z 2 2 x 2  2 y 2  3z 2 100




 4 (theo đầu bài 2x2 + 2y2 - 3z2 =
18
32
75
18  32  75
25

(0,5 điểm)

=> x = �6; y = �8;
điểm

z = �10

Tìm đúng mỗi giá trị x, y cho 0,25 điểm. => 1,5

a b c
a 3b 2c1930
b) Cho = = và a + b + c �0. Tính
(1,5 điểm)
b c a
a1935

Theo bài ra ta có

a b c
= =
b c a

=

a+b+c
=1
b+c+a

(0,5 điểm)

=> a = b = c
=>

(0,5 điểm)

a 3b 2c1930
=1
a1935

(0,5 điểm)

Bài 3: (3 điểm)
a) So sánh: 910 và 89 + 79 + 69 + 59 + ... + 29 + 19

(1,5 điểm)

Ta có 910 : 99 = 9
9

9

9

9

�8 � �7 � �6 �
�1 �
Và (8 + 7 + 6 + 5 + ... + 2 + 1 ) : 9 = � � � � � � ...  � � (0,5 điểm)
�9 � �9 � �9 �
�9 �
9

9

9

9

9

9

9

9

9

�8 �
�1 �
1....... � ��
1
Mà � ��
�9 �
�9 �
9

9

9

(0,5 điểm)
9

�8 � �7 � �6 �

�1 �
=> � � � � � � ...  � �< 9
�9 � �9 � �9 �
�9 �

(0,5 điểm)

Vậy 910 > 89 + 79 + 69 + 59 + ... + 29 + 19

(0,5 điểm)

b) Chứng minh: (3636 - 910) M45

(1,5 điểm)

- (3636 - 910) chia hết cho 9 vì 36 và 9 chia hết cho 9 => 3636 và 910 cũng chia hết cho
9 (0,5 điểm)


- 3636 có tận cùng là chữ số 6 nên chia cho 5 dư 1 và 9 10 cũng có tận cùng là chữ
số 1 nên chia cho 5 dư 1 => (3636 - 910) chia hết cho 5
(0,5 điểm)
Vì 45 = 5. 9 mà (5,9) = 1 nên (3636 - 910) M45

(0,5 điểm)

Bài 4: (3 điểm)
Gọi số khoai của mỗi đống lúc đầu lần lượt là x, y, z (kg)
Theo bài ta có x + y + z = 196

(0,25 điểm)

1
1
1
số khoai ở đống thứ nhất,
số khoai ở đống thứ hai và số khoai ở
3
4
5
2x 3y
4z
;
và
đống thứ ba thì số khoai còn lại của 3 đống lần lượt là:
3 4
5

Lấy đi

(0,5 điểm)
Theo đầu bài ta có

2x 3y 4z


3
4
5

(0,25

điểm)
=>

12 x 12 y 12 z 12 x  12 y  12 z 12( x  y  z ) 12.196





 48
18
16
15
49
49
49

(0,75 điểm)

Tính đúng x = 72 ; y = 64; z = 60 mỗi giá trị cho 0,25 điểm
điểm

=>

Trả lời đúng :

(0,5 điểm)

Bài 5: (4 điểm)
A

K

H

B

M

N
O

C

0,75


- Không cho điểm vẽ hình và ghi GT, KL nhưng nếu vẽ hình sai không chấm bài.
a) Chứng minh đúng tam giác AMN là tam giác cân.
- Chỉ ra được tam giác ABM = tam giác ACN (c.g.c)
điểm)
- Suy ra AM = AN

(0,5
(0,25 điểm)

- Suy tam giác AMN cân.
điểm)

(0,5

b) Khẳng định tam giác OMN là tam giác cân.
điểm)

(0,25

- Chỉ ra được tam giác BHM = tam giác CKN (trường hợp đặc biệt tam giác
vuông)
(0,25 điểm)
- Suy ra góc BMH = góc CNK

(0,25 điểm)

- Suy ra góc OMN = góc ONM

(0,25 điểm)

- Suy ra tam giác OMN cân.

(0,25 điểm)

c) Tính số đo các góc của tam giác ABC. Khi đó tam giác OMN là tam giác gì?
- Tính được mỗi góc cho 0,25 điểm =>
điểm

0,75

(góc B = góc C = 300 , góc A = 1200)

- Chỉ ra được 1 góc của tam giác OMN = 600
điểm)

(0,25

- Suy ra được tam giác OMN là tam giác đều
điểm)

(0,5