Tài liệu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOAN 9 NAM 2009-2010(CO DAP AN)

PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ
TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học : 2009-2010
MÔN : Toán
Thời gian: 150 phút
(Đề thi này gồm 06 câu, 01 trang)
Câu 1.(3 điểm) Cho biểu thức:
( )
2 2
2 2
1 1 2
: ; 0; 1; 1
2 1 1
x x x x
P x x x
x x x x x x
 
+ + −
= − + ≠ ≠ ≠ −
 ÷
− + − −
 
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x >1.
Câu 2. (3 điểm) Rút gọn biểu thức:
a)
1 1 1 1
: ( 0; 1 1)
1 1 1 1
a a a a

A a a
a a a a
   
+ − + −
= + − ≠ − < <
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− + − +
   
b)
1
1 ( 1) . ( 0)
a
B a a a a a
a
−
= − + − + <
Câu 3. (3 điểm) Cho ba số dương a,b,c.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
+ + ≤
+ + +
Câu 4. (3 điểm) Giải phương trình:
2
2

1 7
1 4
x x x
x x x
+ +
+ =
+ +
Câu 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 60 cm. Trên đoạn BC lấy điểm D cách B một khoảng 20 cm.
Đường trung trực của AD cắt AB tại E, cắt AC tại F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF.
Câu 6. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, có trực tâm là H. Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB, AC lần
lượt tại D và E sao cho HD = HE. Qua H vẽ đường thẳng khác vuông góc với DE và cắt BC tại M.
a) Chứng minh
BM HM
AH HE
=
b) Chứng minh M là trung điểm của BC.
--------------------------HẾT-----------------------------
Mã ký hiệu
T-DH01-HSG9-09
PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ
TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học : 2009-2010
MÔN : Toán
(Hướng dẫn chấm gồm 02 trang)
Câu Cách giải, đáp số Điểm TP
1
(3 điểm)

a) 1 điểm
2
2
( 1) ( 1)( 1) 2
:
( 1) ( 1)
x x x x x x
P
x x x
+ + − + + −
=
− −
0,5

2
2
( 1) ( 1)
( 1) 1 1
x x x x x
x x x
+ −
= × =
− + −
0,5
b) 2 điểm
Ta có:
2
1
1 2
1 1

x
P x
x x
= = − + +
− −
0,5
Với
1x >
thì x-1;
1
1x −
dương suy ra:
0,25
1 1
1 2 2. ( 1) 2 4
1 1
P x x
x x
= − + + ≥ − + =
− −
( Theo bất đẳng thức cô-Si) 0,5
đẳng thức xảy ra
0( )
1
1
2( )
1
x ktm
x
x tm

x
=

⇔ − = ⇔

=
−

0,5
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi
2x
=
. 0,25
2
(3 điểm)
a) 1,5 điểm
2 2 2 2
2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
:
1 1 1 1
a a a a
A
a a a a
   
+ − + −
 ÷  ÷
= + −
 ÷  ÷
− − − −

   
0,5
Do
0; 1 1a a≠ − < <
nên
2 2
1 1 1 1 1
:
1 1
a a a a
A
a
a a
+ + − + − +
= =
− −
1
b) 1,5 điểm
2
1
1 ( 1) .
a
B a a a a
a
−
= − + − −
0,5

1 ( 1) ( 1) 1a a a a a a= − + − − − = −
1

3
(3 điểm) Với a,b,c dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
2 2
2
1 1
2 2
2
a bc a bc a bc
a bc
a bc
+ ≥ = ⇒ ≤
+
0,25
Tương tự ta có:
2 2
1 1 1 1
;
2 2
b ca c ab
b ca c ab
≤ ≤
+ +
0,5
2 2 2
1 1 1 1 1 1
(1)
2
2 2 2
bc ca ab
a bc b ca c ab abc

a bc b ca c ab
+ +
⇒ + + ≤ + + =
+ + +
1
Cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta lại có:
; ;
2 2 2
a b b c c a
ab bc ca ab bc ca a b c
+ + +
≤ ≤ ≤ ⇒ + + ≤ + +
(2)
1
Từ (1);(2) suy ra
Mã ký hiệu
T-DH01-HSG9-09
2 2 2
1 1 1
2
a b c
a bc b ca c ab abc
+ +
+ + ≤
+ + +
Điều phải chứng minh. 0,25
4
(3 điểm)
Do
0x >

. Áp bất đẳng thức Cô-si ta có vế trái của phương trình là:
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
x x x x x x
x x x x x x
+ + + +
+ ≥ × =
+ + + +
(1)
1
Mặt khác về phải của phương trình là :
7
2
4
<
(2) 1
Từ (1) và (2) suy ra: VT
>
VP. Vậy phương trình vô nghiệm. 1
5
(4 điểm)
• Vẽ hình đúng
0,25
• Đặt EA = ED = x(cm); Dựng
DH
⊥
AB tại H. Ta có

∆
BHD vuông tại H;
µ
0
60 ; 20B BD cm= =
0,25
10 ; 10 3
50 ; 50 ( ).
BH cm DH cm
AH cm EH x cm
⇒ = =
⇒ = = −
0,25
0,25
Và
∆
EHD vuông tại H
2 2 2
2 2 2
(50 ) (10 3)
28( ) 28( )
ED HE HD
x x
x cm DE cm
⇒ = +
⇒ = − +
⇒ = ⇒ =
0,5
• Tương tự ta tính được DF = 35(cm)
1,25

• Dựng EI
⊥
AC tại I.
∆
AIE vuông tại I;
µ
0
60 ; 28( )A AE cm= =
0,25
14( ); 14 3( )AI cm EI cm⇒ = =
0,25
21( )IF AF AI DF AI cm⇒ = − = − =
0,25
∆
EIF vuông tại I
2 2 2
FE IE FI⇒ = +
0,25
Từ đó ta tính được
7 21( )FE cm=
0,25
6
(4 điểm)
a) 2 điểm
Xét
∆
BMH và
∆
AHE có
·

·
HBM HAE=
( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh)
·
·
BMH AEH=
( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh)
( )BMH AHE g g⇒ ∆ ∆ −:
0,5
0,5
0,5
BM HM
AH HE
⇒ =
(1) 0,5
b) 2 điểm
Xét
∆
CMH và
∆
ADH có
·
·
HCM DAH=
( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh)
0,5
·
·
CHM ADH=
( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh) 0,5

CHM ADH
⇒ ∆ ∆
:
0,25
CM HM
AH HD
⇒ =
(2) 0,25
Từ (1);(2) Và HD = HE
BM CM
BM CM
AH AH
⇒ = ⇒ =
Hay M là trung điểm của BC 0,5