Đề cương ôn tập học kì 2 toán 9

Ôn tập HK II toán 9
học 2012 - 2013

Năm

CNG ễN TP HKII TON 9
I S
Chủ đề: Hệ phơng trình.
A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
áp dụng phơng pháp cộng đại số hoặc phơng pháp thế
sao cho phù hợp
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ
bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình
3x 2y =4
4x 2y =3
2x +3y =5
1)
;
2)
;
3)
2x +y =5
6x 3y =5
4x +6y =10
3x 4y +2 =0
2x +5y =3
4x 6y =9
4)
;
5)

;
6)
10x 15y =18
5x +2y =14
3x 2y =14

Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:
1)

(3x +2 )(2y 3) =6xy

;

(4x +5 )(y 5 ) =4xy


2y - 5x
y +
27

+
5 =

2x

3
4
3)
;
x +

1
6y
5x

+y =

7
3

(2x - 3)(2y +4 ) =4x (y 3) +54

;

(x +1)(3y 3) =3y(x +1)
12

7x +
5y - 2

=
8

x
+
3y

4)
6x - 3y +
10

=
5
5x +6y

2)

Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
2
3x
x +1
1
2
3y
+
=3

=4
+
=7



x + 2y y + 2x
x +1 y + 4
x 1 y + 2
1)
;
2)
;

3)
;
4
3
2x
5
2
5




=1

=9

=4
x + 2y y + 2x
x +1 y + 4
x 1 y + 2



Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả
mãn điều kiện cho trớc
Bài 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
2mx ( n + 1) y = m n

( m + 2 ) x + 3ny = 2m 3

b) Định a và b biết phơng trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm
là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x y = m ;
x = y = 2m ;
mx (m 1)y = 2m 1
2
b) mx + y = m + 1 ; (m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ;(2 - m)x 2y = m2 + 2m 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình
mx+ 4y = 10 m
(m là thamsố)

x + my= 4
a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 .
b) Giải và biện luận hệ theo m.


Ôn tập HK II toán 9
học 2012 - 2013

Năm

c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y)
sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số
nguyên dơng.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x 2 y2 đạt
giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm
M(x ; y) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá

trị khác nhau.

Chủ đề: Phơng trình bậc hai và định lí Viét.
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu
gọn sao cho phù hợp
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x2 6x + 14 = 0 ;
2) 4x2 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;
4) -30x2 + 30x 7,5 = 0
;
5) x2 4x + 2 = 0 ;
6) x2 2x 2 = 0 ;
7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ;
8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x
+ 1) ;
9) x2 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
Sử dụng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0. Hoặc dùng
tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm
1) 3x2 11x + 8 = 0 ;
2) 5x2 17x + 12 = 0 ;
3) x2 (1 + 3 )x + 3 = 0 ;
4) (1 - 2 )x2 2(1 + 2 )x +
1+3 2 =0;
5) 3x2 19x 22 = 0 ;
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ;
8) x2 11x + 30 = 0 ;

9) x2 12x + 27 = 0 ;
10) x2 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm của phơng
trình bậc hai
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x2 2(m - 1)x 3 m = 0 ;
2) x2 + (m +
1)x + m = 0 ;
3) x2 (2m 3)x + m2 3m = 0 ;
4) x2 + 2(m
+ 2)x 4m 12 = 0 ;
5) x2 (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;
6) x2 2x
(m 1)(m 3) = 0 ;
7) x2 2mx m2 1 = 0 ;
8) (m + 1)x2 2(2m
1)x 3 + m = 0


Ôn tập HK II toán 9
học 2012 - 2013

Năm

9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình
bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.
áp dụng định lý Vi-et thuận về tổng hai nghiệm và
tích hai nghiệm

Sử dụng định lý Vi-et đảo về hai số có tổng là S và có
tích là P
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 3x 7 = 0.
Tính:
2

A = x1 + x 2
C=

2

1
1
+
x1 1 x 2 1
3

E = x1 + x 2

3

B = x1 x 2
D = ( 3x 1 + x 2 )( 3x 2 + x 1 )
4

F = x1 + x 2

4

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có

nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Sử dụng điều kiện của
đen ta khi phơng trình có 2 nghiệm, nghiệm kép và vô
nghiệm
Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m 1)x m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính
nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
a) Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính
nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a 3)x2 2(a 1)x + a 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: a. Cho phơng trình:

4x 2
2( 2m 1) x

+ m2 m 6 = 0 .
4
2
2
x + 2x + 1
x +1

Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b. Cho phơng trình: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 4(2m + 1)x(x2 + 4)
+ 16x2 = 0.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.

Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph ơng trình
bậc hai thoả mãn điều kiện cho trớc.
Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với điều kiệm bài
cho
Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm
kép đó.


Ôn tập HK II toán 9
học 2012 - 2013

Năm

2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính
nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng
dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng
dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 x2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12
+ 2x22 x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ
ra:
a) (m + 1)x2 2(m + 1)x + m 3 = 0 ;
(4x1 + 1)(4x2

+ 1) = 18
b) mx2 (m 4)x + 2m = 0 ;
2(x12 + x22) =
5x1x2
c) (m 1)x2 2mx + m + 1 = 0 ;
4(x12 + x22) =
5x12x22
d) x2 (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;
3x1x2 5(x1 + x2)
+ 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ
ra:
a) x2 + 2mx 3m 2 = 0 ;
2x1 3x2 = 1
2
2
b) x 4mx + 4m m = 0 ;
x1 = 3x2
2
c) mx + 2mx + m 4 = 0 ;
2x1 + x2 + 1 = 0
2
2
d) x (3m 1)x + 2m m = 0 ;
x1 = x22
e) x2 + (2m 8)x + 8m3 = 0 ;
x1 = x22
f) x2 4x + m2 + 3m = 0 ;
x12 + x2 = 6.
Bài 4:

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 (2m 1)x 3 + m = 0. Tìm
điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 mx + m 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức
R=

2x1x 2 + 3
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
2
x1 + x 2 + 2(1 + x1x 2 )
2

c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx2 (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai
nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.


Ôn tập HK II toán 9
học 2012 - 2013

Năm

Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0). Chứng
minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà
nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là
kb2 = (k + 1)2.ac

HèNH HC

Bi 1: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB cú bỏn kớnh R, tip tuyn Ax. Trờn tip
tuyn Ax ly im F sao cho BF ct ng trũn ti C, tia phõn giỏc ca gúc ABF
ct Ax ti E v ct ng trũn ti D.
1. Chng minh OD // BC.
2. Chng minh h thc: BD.BE = BC.BF
3. Chng minh t giỏc CDEF ni tip.
4. Xỏc nh s o ca gúc ABC t giỏc AOCD l hỡnh thoi. Tớnh din
tớch hỡnh thoi AOCD theo R.
x
F
BI GII CHI TIT
1. Chng minh OD // BC.
ã
ã
BOD cõn O (vỡ OD = OB = R) OBD
= ODB
ã
ã
ã
ã
M OBD
(gt) nờn ODB
. Do ú: OD // BC.
= CBD
= CBD
C
//
E
D
2. Chng minh h thc: BD.BE = BC.BF.

=
ãADB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn (O) AD BE
A
ãACB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn (O) AC BF
O
EAB vuụng A (do Ax l tip tuyn ), cú AD BE nờn:
AB2 = BD.BE (1)
FAB vuụng A (do Ax l tip tuyn ), cú AC BF nờn:
AB2 = BC.BF (2)
hỡnh 7
T (1) v (2) suy ra: BD.BE = BC.BF
3. Chng minh t giỏc CDEF ni tip:
Ta cú:
ã
ã
CDB
= CAB
(hai gúc ni tip cựng chn cung BC)

ã
ã
ã
ã
ã
( cựng ph FAC
)
CDB
= CFA
= CFA
CAB

Do ú t giỏc CDEF ni tip.

Cỏch khỏc:

à chung
DBC v FBE cú : B
BD BC
=
v
(suy t BD.BE = BC.BF) nờn chỳng ng dng (c.g.c)
BF BE
ã
ã
Suy ra: CDB
. Vy t giỏc CDEF l t giỏc ni tip.
= EFB
4. Xỏc nh s o ca gúc ABC t giỏc AOCD l hỡnh thoi :
ã
ằ
Ta cú: ãABD = CBD
(do BD l phõn giỏc ãABC ) ằAD = CD

T giỏc AOCD l hỡnh thoi OA = AD = DC = OC

B


¤n tËp HK II to¸n 9
häc 2012 - 2013

N¨m
» = 600 ⇔ »AC = 1200
⇔ AD = DC = R ⇔ »AD = DC
⇔ ·ABC = 600

Vậy ·ABC = 600 thì tứ giác AOCD là hình thoi.
Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:
»AC = 1200 ⇒ AC = R 3

1
1
R2 3
Sthoi AOCD = OD. AC = .R.R 3 =
(đvdt)
2
2
2
x
F

E

A

D

C

O

B

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của
nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với
AB , đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao
Điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMQI nội tiếp.
b) ·AQI = ·ACO .
c) CN = NH.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh)
x

BÀI GIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:
Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau)
OA = OC (bán kính đường tròn (O))
·
Do đó: MO ⊥ AC ⇒ MIA
= 900
·AQB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ MQA
·
= 900
Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới một góc vuông nên tứ giác

M
Q
I
A

C

N

O

H

Hình 5

B


¤n tËp HK II to¸n 9
häc 2012 - 2013

N¨m

AMQI nội tiếp được trong một đường tròn.
x
b) Chứng minh: ·AQI = ·ACO .
Tứ giác AMQI nội tiếp nên ·AQI = ·AMI (cùng chắn cung AI). (1) K
·AMI = CAO
·
·
(cùng phụ MAC
)
(2)
·
∆AOC có OA = Oc nên cân ở O ⇒ CAO
(3)
= ·ACO

Từ (1), (2), (3) suy ra: ·AQI = ·ACO
M
c) Chứng minh CN = NH.
Q
C
Gọi K là giao điểm của BC và tia Ax.
I
Ta có: ·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))
N
⇒
AC ⊥ BK , AC ⊥ OM
OM // BK.
A
H
O
⇒
Tam giác ABK có: OA = OB , OM // BK MA = MK.
Hình 6
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho ∆ABM có NH // AM (cùng ⊥ AB) ta được:
NH BN
=
AM BM

B

(4)

Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho ∆BKM có CN // KM (cùng ⊥ AB) ta được:
CN
BN

=
KM BM
NH CN
=
Từ (4) và (5) suy ra:
AM KM

(5)

Mà KM = AM nên CN = NH (đpcm)
Bài 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K
nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ CD (E không trùng C và D), AE cắt
BD tại H.
a) Chứng minh tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
b) Chứng minh AD2 = AH. AE.
c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tính chu vi hình tròn (O).
·
d) Cho BCD
= α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác
MBC cân tại M. Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).
Bài 4: làm bt 15, 16 17- tr.136 ôn tập cuối năm - sgk