Đề thi đáp án thi học sinh giỏi toán 6

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 6
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2 điểm): Tính nhanh
A= 3.136.8 + 4. 14.6 -14.150
11 5 4 4 � 8
�
B� �  : �
�
�4 9 9 11 �33
C

1 1 1
1
  �
�
�

10 15 21
120

Câu 2. (2 điểm): So sánh
a) 2711 và 818
b)536 và 1124
c) 339 và 1121
Câu 3. (1 điểm): Chứng minh
Cho A = 999111 + 51234

Chứng tỏ chia A 2 và A 5
Câu 4. (1,5 điểm):
Bạn An nghĩ ra một số có 3 chữ số, nếu bớt số đó đi 8 đơn vị thì được một số chia hết cho
7, nếu bớt số đó đi 9 đơn vị thì được một số chia hết cho 8, nếu bớt số đó đi 10 đơn vị thì
được 1 số chia hết cho 9. Hỏi bạn An nghĩ ra số nào?
Câu 5: (3,5 điểm):
a) Cho 3 điểm A,B,C biết AB= 18 cm; AC= 13 cm; BC= 30 cm. Ba điểm A,B,C có thẳng
hàng hay không? Vì sao?
b) Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác 3 điểm A,B,C cho trước. Hỏi có tất cả bao nhiêu
đoạn thẳng.
c) Nếu có tất cả 1770 đoạn thẳng thì phải lấy thêm bao nhiêu điểm phân biệt khác 3 điểm
A,B,C cho trước
--------------- HẾT ------------


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 6
Đáp án

A= 24.136 + 24.14 - 14.150

Điểm
0,25

= 24.(136 + 14)- 14.150

Câu 1
(2điểm)

= 24.150 - 14.150

0,25

= 150. (24- 14)=150.10 =150

0,25
0,25

11 5 4 11 � 8
�
B� �  � �
�
�4 9 9 4 �33
11 �5 4 � 8
 �
�
�  �
4 �9 9 �33
11
8 2
 �
1� 
4
33 3
2

2
2
2
C
 
�
�
�

20 30 42
240
1
1
1 �
�1
 2. � 

�
�
�

�
15.16 �
�4.5 5.6 6.7
1 1 �
�1 1 1 1 1 1
 2. �       �
�
�
  �

15 16 �
�4 5 5 6 6 7
�1 1 � 3 3
 2. �  �
 2. 
�4 16 � 16 8

Câu 2
(2điểm)

Câu 3
(1điểm)

Câu 4

0,25
0,25

0,25
0,25

a) 2711 = (33)11=333

0,25

818 = (34)8 = 332

0,25

Vì 333 > 332 nên 2711 > 818

b) 536 = (53)12=12512

0,25
0,25

1124 = (112)12=12112

0,25

Vì 12512>12112 nên 536>1124
c) 339<340= (34)10= 8110 và 1121>1120=(112)10=12110

0,25
0,25

Vì 12110>8110 nên 1121>339
999111 =...9

0,25
0,25

51234 = ...1

0,25

A=999111 + 51234 = ...9 + ...1 = ... 0

0,25

Vì A có tận cùng là 0 nên A 2 và A 5

Gọi số bạn An nghĩ ra là A

0,25

(1,5điểm Vì (A-8) 7  (A-1) - 7  7 (A-1)  7

0,25


)

Vì (A-9) 8  (A-1) - 8  8 (A-1)  8

0,25

Vì (A-10) 9  (A-1) - 9  9 (A-1)  9

0,25

Do đó: (A-1) là bội chung của 7,8,9 và A là số có 3 chữ số nên 99
0,25

1000
Từ đó giải và tìm được A-1 = 504
Câu 5

Suy ra :A= 505
a) Ta có: 18+13 = 31 ≠ 30 hay AB+AC≠ BC

(3,5điểm)  A không nằm giữa B và C

0,25
0,25
0,5

-Bằng cách tương tự cũng chỉ ra được B không nằm giữa A và C;

0,5

C không nằm giữa A và B.

0,5

Trong 3 điểm A; B; C không có điểm nào nằm giữa 2 điểm còn lại

0,25

 A, B,C không thẳng hàng
b) Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác 3 điểm A,B,C cho trước thì có tất

0,25

cả 17+3=20 điểm phân biệt.

0,25

-Chọn 1 điểm trong số 20 điểm, nối điểm đó với 19 điểm còn lại ta
được 19 đoạn thẳng. làm như thế với tất cả 20 điểm, ta được: 19.20

0,25

đoạn thẳng.
Như thế mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần. do đó số đoạn thẳng vẽ được
là

19.20
 190 đoạn thẳng
2

0,25
0,25

(nếu Hs kết luận số đoạn thẳng là 20.19 thì cho 0,5 điểm)
c)-Gọi số điểm để vẽ được 1770 đoạn thẳng là n
Ta có: n.(n-1):2=1770 , tìm được n= 60. Số điểm thêm vào là 57 điểm

0,5


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 6


Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5đ)

a) Rút gọn phân số sau:
b) Tính B = 14: ( 4

23.33.53.7.8
3.24.53.14

1
5
1 2
 2 ) + 14. �
12
8
4 3

Bài 2: (2đ): Tìm x biết:
a/ 3 + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)]
b/ (x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 205550
c/ x  5 = 18 + 2.(-8)
d/ (3x – 24 ) .75 = 2.76.
Bài 3: (1đ):

1
20090

Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :
(2x+1)(y-5) = 12

Bài 4: (1đ):
Tính tổng: S=

2



2



2

1.2 2.3 3.4

 ....... 

2



2

98.99 99.100

Bài 5: (1,5đ):
Cho biểu thức A =

5
n2

a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b, Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A là số nguyên.

Bài 6: (3đ):
Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt là
phân giác của góc xMy.
a. Tính góc AMy.
b. Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt.
––––– Hết –––––


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu
1
(1,5điểm
)

2
(2 điểm)

3
(1 điểm)

Đáp án

Điểm

a/ Kết quả : 18
0,75đ
14
b/ Kết quả : 11

15

0,75đ

a) 3 + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)]
3 + 2x-1 = 24 – 42 + 3
2x-1 = 24 – 42
2x-1 = 22
x -1 = 2
x =3
b, ( x +1)+ (x + 2) + (x + 3) + ...+ (x +100) = 205550
x + x + x +...+ x+1+2+3+...+100 = 205550
100x + 5050 = 205550
100x = 200500
x = 2005
c/ x = 7 hoặc x = 3;

0,5đ

0,5đ
0,5đ

d/ x = 30

0,5đ

Ta có 2x+1; y-5 là ước của 12
12= 1.12=2.6=3.4
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3
 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17

Hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9
Vậy (x,y) = (0,17); (1,9)

0,25đ

S=

4
(1 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 6

2



2

1





2

1



1.2 2.3 3.4

= 2(

 ....... 
1

1.2 2.3 3.4
1 1
1 2

1 1 1 1
2 3 3 4

2

2



1



1

98.99 99.100

1 1

1
1
  
)
98 99 99 100

1 1
99
99
49
) = 2.
= 1
1 100
100 50
50

=2( 

0,25đ
0,25đ
0,25đ

98.99 99.100

 ....... 

= 2 (       ... 

0,25đ

)

0,25đ
0,25đ
0,25đ


5
(1,5điểm
)

a/ n �Z và n �2
b/ (n - 2 ) Ư( -5) =  �1; �5

0,5đ
0,25đ

n  2  1 �n  1�N
�
�n  2  1
�n  3 �N
�
�
��
�
�
n  2  5
n  3 �N
�
�

�n  2  5
�n  7 �N

0,5đ
0,25đ

Vậy n = 1;3;7

6
(3 điểm)

0,5đ

C

y

t

600
A

x
M

a) Tia Mx là tia đối của tia MA, gócAMx là góc bẹt: Góc
�
AMx  1800 => MC nằm giữa MA và Mx
� �
�  1800 =>góc

nên:góc �
AMC  CMx
AMx thay số: 600  CMx
�  1800  600  1200
CMx

My là phân giác của góc CMx nên: My nằm giữa MC và Mx và
1�
1
� �
yMC  xMC
 1200  600
góc xMy
2

2

Tia Mx là tia đối của tia MA, góc AMx là góc bẹt:
�
AMx  1800 => My nằm giữa MA và Mx
nên:góc �
AMy  �
yMx  �
AMx thay số: 600  �
yMx  1800 =>góc
�
yMx  1800  600  1200

b) Do My là phân giác của góc CMx nên Mx và MC nằm trên
hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia My. Mt là phân giác

của góc yMx nên Mt nằm trên cùng nửa mặt phẳngbờ chứa tia
My. Vậy Mt và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ
chứa tia My hay My nằm giữa MC và Mt nên:góc
� �
� (*)
CMy
yMt  CMt

0,25đ
0,25đ
0,5đ

0,5đ

0,5đ

Lại có tia Mt là phân giác của góc xMy nên: góc
�
�  1 xMy
�  1 600  300 thay số vào(*) ta có: góc
xMt  tMy
2
2
0
0
0
�
CMt  60  30  90 hay MCvuông góc với Mt. (đpcm)

0,5đ

0,5đ


------------- HẾT ---------------

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 6
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1:( 2 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý



 



2
2
2
2
2
a) 10  11  12 : 13  14 .

b) 1.2.3...2013  1.2.3...2012  1.2.3....20122
4
�5

�5
b) �  1  0,25�:  0,75
�12 3
�8

c)

1 1 1 1
1
1
    ... 

2 6 12 20
2352 2450

Bài 2 : (2 điểm) Tìm x biết:





2
2
a) 19x  2.5 :14   13  8   4
2

b) x   x  1   x  2   ...   x  30   1240
b) x là số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số mà khi chia cho 56; 64; 88 đều dư 31.
c) Tìm x, y  N biết: 2x + 624 = 5y
Bài 3 : (1,5 điểm) Cho S = 1+3+32 +33+.........+348 +349

a ) Chứng tỏ S chia hết cho 4
b) Tìm chữ số tận cùng của S
350  1
c) Chứng tỏ S =
2
Bài 4: (3,5 điểm)
1.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của
OA, OB.
a) Chứng tỏ rằng OA < OB.
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O
2. Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù . Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB.
a) Tính số đo mỗi góc.
b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD.
c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006
tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao
nhiêu góc?
Bài 5: ( 1 điểm ) Cho C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100


a) Tính giá trị của biểu thức C
b) Dùng kết quả của câu a , tính giá trị của biểu thức D = 22+42+62+…+982
--------------- HẾT ---------------

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 6

a)  10  11  12  :  13  14
2

2

2

2

Đáp án
2



  100  121  144  :  169  196 

 365 : 365  1
b) 1.2.3...2013  1.2.3...2012  1.2.3....2012 2
 1.2.3...2012. 2013  1  2012 
 1.2.3...2012.0  0
Bài 1
( 2 điểm)

Bài 2
( 2 điểm)

�5 7 1 �5 3 5  28  3 8 3
c)�   �:  =
. 

12 3 4 �8 4
12
5 4
�
15 8 3 19
.  = .
=
6 5 4 4
1 1 1 1
1
1
d )     ... 

2 6 12 20
2352 2450
1
1
1
1
1



 ... 

1.2 2.3 3.4
48.49 49.50
1 1 1 1 1 1
1
1

       ... 

1 2 2 3 3 4
49 50
1 49

 1
50 50





2
2
a) 19x  2.5 :14   13  8   4

(19x + 50) : 14
19x + 50
19x
x

Điểm

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

2

=9
= 126
= 76
= 4

0,25
0,25

b) x   x  1   x  2   ...   x  30   1240
0,25


�
�
x

x

...

x
�1 44 2 4 43 �  1  2  ...  30   1240
�

�
30. 1  30 
31x 
 1240
2
31x  1240  31.15
775
x
 25
31

0,25

0,25
0,25

c)Ta có x-31 chia hết cho cả 56; 64; 88.
Mà BCNN(56; 64; 88) = 4928
nên x-31 = 4928k (k là số tự nhiên)
=> x = 4928k +31 99999 => k lớn nhất là 20 khi đó x = 98591
d)Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54  y = 4 (y  N)
Nếu x  0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y  N (vô lý)
Vậy: x = 0, y = 4
a )Ta có: S = (1+3)+(32+33)+.......+(348+349)
= 4+32(1+3)+......+ 348(1+4) 4
b) S = (1+3+32 +33)+(34+35+36+37)+.....+348 +349
Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10 . do đó có tận cùng bằng 0
Mặt khác 338 + 349 = 34.12 + 348 .3 = .....1 + ....1 .3 = .............4
Bài 3
Vậy S có chữ số tận cùng bằng 4

(1,5điểm) c) S = 1+3+32 +33+.........+348 +349
3S = 3 +3+32 +33+.........+348 +349+ 350
3S – S = 350 – 1
2S = 350 – 1
Bài 4
1.( 1,5điểm)
( 3,5điểm)

o

Suy ra S =

m

a

350  1
2

n

OA
OB
; ON 
2
2

b

Vì OA < OB, nên OM < ON.

Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M
nằm giữa hai điểm O và N.
Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :

� OM  MN  ON � MN  ON  OM
OB  OA AB
� MN 

2
2

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B
suy ra : OA < OB.
Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

� OM 

0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25


Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài
đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối
của tia AB).
2.(2 điểm)
Vẽ hình
đúng
B
D
C
A

0,25

O

a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =180 0
mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800
Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500
1
2

b)Vì OD là tia phân giác của BOC nên BOD = DOC = BOC =750.
Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800

Do đó AOD =1800 – DOC = 1800- 750 = 1050
c)Tất cả có 2010 tia phân biệt.
Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc.
Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc
được tính hai lần .Vậy có tất cả

Bài 5
( 1 điểm)

2010.2009
=2 019 045 góc
2

a)C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100
3C = 3.1.2+3.2.3+…+ 3.99.100
=(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + …+ (99.100.101- 98.99.100)
= 99.100.101
C= (99.100.101) : 3
C= 33.100.101= 36300
b)C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100
= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) +...+ (97.98 + 98.99) + 99.100
= (1+3)2 + (3+5)4+...+(97+99)98 + 99.100
= 2.2.2 + 2.4.4 + ...+ 2.98.98 + 9900
= 2(22 + 42+…+ 962+ 982) + 9900
Vây 2(22 + 42+…+ 962+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400
 22 + 42+…+ 962+ 982= 13200

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,5

0,25
0,25

0,25
0,25
10.0
điểm

Tổng
* Chú ý : Trong quá trình chấm, giáo viên cần chú ý đến sự sáng tạo của học sinh, nếu
đúng, hợp lý vẫn cho điểm tối đa, không căn cứ quá cứng vào hướng dẫn chấm.

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0,25

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI


MÔN: TOÁN 6
Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu 1( 2 điểm ): Tính nhanh:
A = 35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45
2

5
B= 7
5

2 2
+
9 11 :
7 7
+
9 11

1
3
7
6

1 1
+
4 5
7 7
+
8 10

C = 4 + 22 + 23 + 24 +……+ 220
Câu 2 ( 2 điểm ): Tìm x biết :
a) 5x = 125
b) (x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3 ) + …. + (x + 100) = 5750
c) 261x chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1.
Câu 3 (2 điểm):
a) So sánh phân số

A=

20122012 +1
2012 2011 +1
B
=
và
20122013 +1
2012 2012 +1

b) Tìm số tự nhiên n để giá trị của phân số :
C=

8n +193
là một số tự nhiên ?
4n + 3

Câu 4 ( 3 điểm):
� = 1000 .Vẽ tia Oz sao cho zOy
� = 35o . Tính xOz
� ?
a) Cho xOy
b) Trên đoạn thẳng AB lấy 2013 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B
là : A, A1,A2,A3, ... , A2011,B.Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB , ta
nối M với các điểm A, A1,A2,A3, ... , A2011,B . Tính số tam giác được tạo
thành ?
Câu 5 ( 1 điểm ): Chứng minh rằng :
1 1 1 1
1
1

1
- + + <
2 4 8 16 32 64 3

----------------------------------HẾT -------------------------------UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 6


Bài
1
2 điểm

Đáp án
A = 35.( 34 + 86 ) + 65 .( 75 + 45 ) = 35.120 + 65 .120
= 120.( 35 + 65) = 120 . 100 = 12 000
�
1
2.�
�
�
�
5
B = �1
7.�
�
�
5

2
2 điểm

3
2 điểm

�
1 1�
1
+ �
2�
�
�
�
�
9 11� �
6
:
�
1 1�
1
�
�
+ �
7.
�
� �
9 11�
6

1 1�
+ �
�
� 2 2
8 10 �
= : =1
1 1�
7 7
�
+ �
�
8 10 �

20122013 + 2012
2011
=1 +
2013
2012 +1
20122013 +1
20122012 + 2012
2011
2012.B =
=1+
2012
2012 +1
2012 2012 +1
2011
2011
<

Từ (1) và (2) ta thấy :
2013
2012 +1 2012 2012 +1

Suy ra : 2012.A < 2012.B .Vậy A < B

0,5 đ
0.75 đ

C = 4 + 22 + 23 + 24 +……+ 220
2C = 8 + 23 + 24 + 25 + … + 220 + 221
2C – C = 8 – ( 4 + 22 ) + ( 23 – 23 ) + ( 24 – 24 ) + …
+( 220 – 220 ) + 221
C = 221
a) 5x = 125
5x = 53
x=3
b) x + 1 + x + 2 + x + 3 + …. + x + 100 = 5750
(1 + 2 + 3 + …+ 100) + (x + x + x + …+ x) = 5750
101. 50
+
100.x
= 5750
5050
+
100. x
= 5750
100 .x
= 5750 –
5050

100.x
= 700
x
=7
c) + 261x M2 thì x �{ 0; 2; 4;6;8}
Số 261x có tổng các chữ số là : 2 + 6 + 1 + x = 9 + x
+ Để 261x chia cho 3 dư 1 thì ( 9 + x ) chia cho 3 cũng dư
1
Nên x �{1; 4;7}
+ Để 261x chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì x = 4
a) Ta có : 2012.A =

Điểm

0,75 đ

0,5 đ

0,75 đ

0,75 đ

(1)
(2)

0,5 đ

0,5 đ

b) C =

8n +193 2(4n + 3) +187
187
=
=2+
4n + 3
4n + 3
4n + 3

Để C là số tự nhiên thì 187 phải chia hết cho 4n + 3 hay
4n + 3 là ước của 187. Suy ra 4n + 3 �{1;11;17;187}

0,5 đ

1
�N (loại)
2
Nếu 4n + 3 = 11 � n = 2 �N
7
nếu 4n + 3 = 17 � n = �N
2
nếu 4n + 3 = 187 � n = 46 �N
Vậy n �{ 2; 46}

Nếu 4n + 3 = 1 � n =

4
3 điểm
x

z

a)- Trường hợp 1: tia Oz
nằm giữa hai tia Ox và Oy
x

0,5 đ
- Trường hợp 2:tia Oy nằm 0.75 đ
giữa hai tia Ox và Oz.

z
0,75 đ

O

O

yy

� = 65o
Tính được xOz

� = 135o
Tính được xOz

b)Trên đoạn thẳng B có các điểm A, A1,A2,A3, ... ,
A2011,B .
do đó , tổng số điểm trên đoạn thẳng AB là 2013 điểm ,
như vậy sẽ có 2013 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm
0,5 đ

đó .
Mỗi đoạn thẳng có thể kết hợp với 2012 đoạn còn lại và
0,5 đ
các đoạn thẳng tương ứng trên đoạn thẳng Ab để tạo
thành 2012 tam giác .
Như vậy 2013 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2012.2013 = 4 050
156 tam giác , nhưng mỗi tam giác được tính hai lần .Do
đó số tam giác thực có là : 4 050 156 :2 = 2 025 078 tam 0,5 đ
giác
Vậy số tam giác tạo thành là : 2 025 078
5
1 điểm

Đặt A=
1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
- + + = - 2+ 3- 4+ 5- 6
2 4 8 16 32 64 2 2
2
2
2
2
1 1
1

1
1
� 2.A = 1 - + 2 - 3 + 4 - 5
2 2
2
2
2
1
� A + 2A = 1 - 6
2

0,5 đ


1
1
26 - 1
=
< 1 Suy ra A <
6
6
3
2
2
1 1 1 1
1
1
1
+ <
Vậy : - + 2 4 8 16 32 64 3

3A = 1 -

0,5 đ
---------------------HẾT-------------------UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 6
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1:( 2,75 điểm) Thực hiện phép tính
a, ( 12 + 22 + 32 + ...+ 20122)(91 – 273 : 3)
b, (- 284).172 +( - 284 ).( - 72)
c,

1 1 1 1 1 1 1 1 1
       
5 6 7 8 9 8 7 6 5

Bài 2:( 2 điểm)
a, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư
1 nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư
b, Tìm các chữ số x, y biết rằng số 71x1ychia hết cho 45
Bài 3. ( 2,25 điểm)
a, Cho a, b �N nếu 7.a + 3.b M
23 thì 4a + 5b M
23, điều ngược lại có đúng không
b, Cho S = 3 + 32 + 33 + ...+ 31997 + 31998
Chứng minh rằng S M26

Bài 4:( 1,5 điểm) Cho góc xOy =700 . Vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 400. Tính số đo góc
yOz
Bài 5:( 1,5 điểm)
a, Vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây.
b, Cho 2012 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song và không có
ba đường thẳng nào đồng quy. Tìm số giao điểm của các đường thẳng ấy./.
============= HẾT ==============


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu
a
b

1

c

a
2

b

a
3
b

4

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 6

Đáp án
( 1 + 2 + 3 + ...+ 2012 ).0 = 0

Điểm
0,75

(-284).(172 – 72) = (-284).100 = - 28400

0,75
0,75

2

2

2

2

�1 1 � �1 1 � �1 1 � �1 1 � 1 1
� �
 
�  � �  � �  �
�5 5 � �6 6 � �7 7 � �8 8 � 9 9
- Gọi x là số phải tìm (ĐK: x �N )

0,25

Theo bài: x – 1 chia hết cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6
� x – 1 �BC (2;3; 4;5; 6)
Ta có: BCNN(2;3;4;5;6) = 60

0,25

� x � 1;61;121;181; 241;301;...

0,25

� x  1 �BC (2;3; 4;5;6)  B(60)   0;60;120;180; 240;300;...

Mặt khác: x là số nhỏ nhất chia hết cho 7
Do đó x = 301
Vì 45 = 5.9 và (5;9) = 1 nên 71x1 y M45 khi 71x1 y M5 và 71x1 y M9
Ta có: 71x1 y M5 � y � 0;5
* Với y = 0 ta đựơc số 71x10
71x10 M9 � x M9 nên x � 0;9
khi đó ta được các số 71010 và 71910 chia hết cho 45
* Với y = 5 ta tìm được x = 4
khi đó ta được các số 71415 chia hết cho 45
Vậy ta tìm được các số 71010; 71910; 71415
Vì 6.(7a + 3b) + (4a + 5b) = 46a +23b = 23(2a + b) M23
Do đó:
Nếu (7a + 3b) M23 thì 4a + 5b M23
Nếu 4a + 5b M23 thì (7a + 3b) M23
S = (3 + 32) + (33 + 34) +...+(31997 + 31998)
= 12(1 + 32 + 34 + ...+ 31996) M2

S = (3 + 32 +33) +...+ (31996 + 31997 +31998)
= 39(1+ ...+ 31995) M13
Vì 26 = 13.2 và (2; 13) = 1
do đó S M26
TH1: Tia Ox và Oy cùng thuộc một nmp có bờ chứa tia 0x.
Vì tia Ox và Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox
� > xOz
� (700 > 400) nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy
mà xOy
� = xOy
�
� + zOy
� xOz
� = 300
Thay số tính được zOy

TH2: Tia Oz và Oy thuộc hai nmp đối nhau có bờ chứa tia Ox nên
tia Ox nằm giữa hai tia Oz và Oy

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0, 5
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25


� = zOy
�
� + xOy
ta có xOz

� = 1100
Thay số tính được zOy

a
5

b

có ba cách , mỗi cách cho 0,25 điểm
- Mỗi đường thẳng cắt 2011 đường thẳng còn lại tạo thành 2011
giao điểm.
- Có 2012 đường thẳng nên có 2012.2011 giao điểm
Mặt khác: mỗi giao điểm được tính hai lần nên chỉ có:
2012.2011: 2 (giao điểm)
Vậy có tất cả 2012.2011: 2 (giao điểm)

0,25
0,25
0,25

0,75
0,25
0,25
0,25

--------------- HẾT --------------UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN : TOÁN 6
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm) :
Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể)
A = 21 . 72 – 11 . 72 + 90 . 72 + 49 . 125 . 16
2
2
2
2
2
B



 ... 
15 35 63 99
899
C = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + 99 . 100
Bài 2 (1,5 điểm) : Tìm x, biết
a) x  3 

27 22
.
11 9

b) (x – 3).(2x – 7) = 0
c) (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) + … + (x – 100) = 4950
Bài 3 (1,5 điểm) :
Tìm số tự nhiên n để phân số M 

8n  193
4n  3

a. Có giá trị là số tự nhiên
b. Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số M rút gọn được.
Bài 4 (1,5 điểm) :
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 5 dư 4, chia cho 7 dư 5, chia cho 11
dư 6 ?
Bài 5 (2,75 điểm) :
Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM =
3 cm.
a. Tình độ dài BM
b. Cho biết BAM = 800 , BAC = 600 . Tính CAM.
c. Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của BAC và CAM. Tính xAy.
Bài 6 (0,75 điểm) :


Chứng minh rằng

1

1
1
1
1
1
 2  2  2  ... 

1
2
2
2
3
4
5
2011
20122

------------------------------- Hết --------------------------------

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN : TOÁN 6

A = 72.(21 – 11 + 90 + 125.16)
= 49.(21 – 11 + 90 + 2000)
= 49 . 2100 = 102900

0,25đ

2
2
2
2
2



 ... 
3.5
5.7
7.9
9.11
29.31

0,25đ

=

1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
        ...  
3 5 5 7 7 9 9 11
29 31

0,25đ

=

1
1
28

=
3 31
93

0,25đ

B

Bài 1
(2,0đ)

0,25đ

3.C = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100).3
= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 99.100.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 99.100.(101 – 98)
= 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + 3.4.5 – ... – 98.99.100 +
99.100.101
= 99.100.101
Suy ra C = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300
a) x  3  6
x + 3 = 6 hoặc x + 3 = -6 suy ra x = 3 hoặc x = -9
b)
x
– 3 = 0 hoặc 2x – 7 = 0
Bài 2

Suy ra x = 3 hoặc x = 7/2
(1,5đ)
c) 100x – (1 + 2 + 3 + … + 100) = 4950
100x – 5050 = 4950
100x = 10000 suy ra x = 100
8n  193 2(4n  3)  187
187
Bài 3
M

 2
(1,5đ) a)
4n  3
4n  3
4n  3
Để M  N thì 187  4n + 3 => 4n + 3 {1, 11, 17, 187}
+) 4n + 3 = 1 => n = -1/2 (loại)
+) 4n + 3 = 11 => n = 2
+) 4n + 3 = 17 => 4n = 14 => không có n  N (loại)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ


+) 4n + 3 = 187 => n = 46
Vậy n = 2; 46

0,25đ

1441 131

627
57
1513 89

n = 165 => M 
663 39
1529 139

n = 167 => M 
671
61

b) n = 156 => M 

0,25đ
0,25đ
0,25đ

Vì a chia cho 5 d 4, chia cho 7 d 5, chia cho 11 d 6 nên

(a + 16) 5; 7; 11
Bài 4 => a + 16  BC(5; 7; 11)
(1,5đ) BCNN(5; 7 ; 11) = 5.7.11 = 385
=> BC(5; 7; 11) = {0; 385; 770, 1155; …}
Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 16 = 385 => a = 369
Vẽ hình đúng

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

A

0,5đ
B

x

C

M
y

Bài 5 a) Do M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM => C nằm giữa B và M
(2,75đ Ta có BC + CM = BM thay số 5cm + 3cm = BM
)
=> BM = 8cm
b) Do điểm C nằm giữa hai điểm B,M => Tia AC nằm giữa hai tia

AB và AM
nên BAC + CAM = BAM
Thay số 600 + CAM = 800 => CAM = 200
1
1
BAC + CAM
2
2
1
1
1
= (BAC + CAM) = BAM = .80 = 400
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1

Ta có 2 
; 2 
; 2 
;…;
2
2

1.2 3
2.3 4
3.4
2012
2011.2012

c. Có xAy = xAC + CAy =

Bài 6
(0,75đ
)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ

1
1
1
1
1
1
1
1

1
 2  2  ... 




 ... 
2
2
2
2
3
4
2011
2012
1.2 2.3 3.4
2011.2012
0,25đ
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
 2  2  ... 

       ... 


2
2
2
2
3
4
2011
2012
1 2 2 3 3 4
2011 2012
1
1
1
1
1
1
1
2011
 2  2  ... 

 
=
<1
0,25đ
2
2
2
2012
2
3

4
2011
2012
1 2012

(HS làm đúng theo các khác vẫn cho điểm tối đa)


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán 6
Thời gian: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)Tính nhanh:
A = 6.4.57 + 12.29.2 + 3.14.8
� 1�
� 1�
� 1� � 1 �
1 �
1 �
1 �
�
�
�
1
B= �
�

�
�
�
� 2�
� 3�
� 4 � � 100�
10 10 10
10


�
�
�

C=
56 140 260
1400
Bài 2: (2,0điểm)Tìm số tự nhiên x biết:
a) 3x + 17x = 340
b) 2x  1  3
c) 3x  3x1  3x2  1053
Bài 3:( 2,0điểm)
1. Cho abc chia hết cho 27. Chứng minh bca chia hết cho 27
31 32 60
� �
�
�  1.3.5...59
2. Chứng tỏ
2 2
2

Bài 4:(3,0 điểm)
1) Trên đường thẳng xy cho m điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tia trên hình vẽ.
�  500 . Trên nửa mặt phẳng bờ xy
2) Cho hai góc kề bù xOt và góc yOt sao cho xOt
�  800
có chứa tia Ot vẽ tia Oz sao cho yOz
a) Tia Oz có nằm giữa hai tia Oy và Ot không. Vì sao.
b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc xOz.
1 1 2
Bài 5:(1,0 điểm) : Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng  
và b - a = 2
a b 143
...........................................Hết.........................................


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu

Nội dung

A = 24.57 + 24.29 + 24.14
= 24(57 + 29 + 14)
1a
= 24 . 100
= 2400

0,25
0,25
0,25

1 2 3 99
���
�
�
2 3 4 100
1.2.3...99
1b 
2.3.4...100
1

100
5 5
5
5
C
 
�
�
�

28 70 130
700
1�3
3
3
3 �
 5� � 

�
�

�

3�4.7 7.10 10.13
25.28�
�
1c
5�1 1 �
= � �
3�4 28�
5 3 5
= � 
3 14 14
B=

3x + 17x = 340
 x.(3 + 17) = 340
2.a
 20x= 340
 x = 17

0,25

0,25

0.25
0.25

z

0.25

0.25

3.a abcM27 � 10abcM27
� 1000a  bc0M27

O

0,25

0.25
0.25

3x  3x1  3x2  1053
� 3x  1 3 9  1053

x

0,25

0.25

 2x+ 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3
2b Nếu 2x+ 1 = 3  2x = 2  x = 1
Nếu 2x+ 1 = - 3  2x = -4  x = -2
Vậy x � 1;2

� 3x.13  1053
t
� 3x  81 34
�x 4

0,25

0.25

2x  1  3

2c

§iểm

0.25

y


� 999a  bcaM27
mà 999a = 9.111.a=37.27.aM27
Suy ra bcaM27
Ta có

3.b



31 32 60 31.32...60
� �
�
� 
2 2

2
230

 31.32...60  1.2.3...30
230. 1.2.3...30

1.2.3...60
2.4.6...60
 1.3.5...59  2.4.6...60  1.3.5...59
=
 2.4.6...60

=

4.1

Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau. Trên
đường thẳng xy có m điểm phân biệt nên trong hình vẽ có 2m tia

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
1

0.25
4.2.

a
�  1300
Tính được yOt

0. 5

�  yOt
�  80  130
Trên nửa mặt phẳng bờ Oy có yOz

0.5

 Tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy
0.25
�  100
Tính xOz
�  500
Tính tOz

0

4.2.
b

5

�  tOz
�  1 xOz
�
Suy ra xOt

2
 Tia Ot là phân giác góc xOz
1 1 2
 
a b 143
b a 2
2
2
�

�

ab 143 ab 143
� ab  143
Lại có 143 = 1.143 = 11. 13
 a = 1, b = 143 hoặc a = 11, b = 13 (vì a < b)
Nếu a = 1, b = 143 thì b - a = 142 ≠ 2
Nếu a = 11, b = 13 thì b - a = 2 thoả mãn

0.25
0.25
0.25

0.25

0.25


0.25
0.25

Vậy a = 11, b = 13.

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 6
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
*****************
Bài 1 (1,0 điểm): Tính giá trị của biểu thức (Tính nhanh nếu có thể).
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21.
5
4
3
1
13
+
+
+
+
b)
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Bài 2(1,5 điểm):
1.Tìm x, biết:
1
5

3 7

5 10
2.Tìm x, y để 56x3 yM90

2012
b) x  2  (1)

a) 3  x  1 

2009 2008  1
Bài 3(2 điểm): So sánh: a) A =
2009 2009  1

với

2009 2009  1
B=
2009 2010  1

b) 3111 và 1714
Bài 4(2 điểm):a) Cho A = 1 + 32 + 34 + 36 + ...+32004 + 32006.
Chứng minh A chia 13dư 10
b) Chứng tỏ rằng 2n + 1 và 2n + 3 ( n �N) là hai số nguyên tố cùng nhau
�
�  5�
Bài 5 (2,5 điểm): Cho �
là hai góc kề bù . Biết BOC
AOB và BOC
AOB .
� .
a) Tính số đo �

AOB và BOC
� . Tính số đo �
b) Gọi OD là tia phân giác của BOC
AOD .

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB và OD, vẽ thêm n
tia phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC,OD ). Trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu
góc?
Bài 6 (1,0 điểm): Tính tổng: S = 12 + 22 + 32 + ...+ 1002
----------------HẾT---------------------


UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 6

Ký hiệu mã HDC:
Bài

Lời giải
a) 53(39– 21) +47.(39 – 21)
= 18(53 + 47) = 18.100 = 1800

1
(1,0đ)

5
4

3
1
13




)
2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
13
1
 7.(          )  7.(  )   3
2 7 7 11 11 14 14 15 15 28
2 28
4
4

b)  7.(

1 3 7
x  3 1 
5 5 10
a)
3 7 8 7 16 7
9
x 1      
5 10 5 10 10 10 10

2
(1,5đ)

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

b) x  2  1
� x – 2 = 1 hoặc x – 2 = - 1
� x = 3 hoặc x = 1

0,25
0,25

56x3 y M90 � 56x3 y M9và 56x39M
10
56x3 y M
10 � y  0
56x3 y M9 � (5  6  x  3  0) M9 � (14  x) M9

Mà x là chữ số nên x = 4. Vậy x = 4;y = 0
a) Thực hiện qui đồng mẫu số:

3
(2,0 đ)

0,25
0,25

A=

(20092008  1)(20092010  1) 20094018  20092010  20092008  1

(20092009  1)(20092010  1)
(20092009  1)( 20092010  1)

0,25

B=

(20092009  1)(20092009  1) 20094018  20092009  20092009  1

(20092010  1)(20092009  1)
(20092010  1)(20092009  1)

0,25

2009 2010  2009 2008 2009 2008 (2009 2  1)
2009 2009  2009 2009 2009 2008 (2009  2009)
Do (2009 2  1) > (2009  2009) nên A > B

(Có thể chứng tỏ A - B > 0 để kết luận A > B).
b) Ta có 3111< 3211= (25)11=255
255< 256= (24)14 =1614< 1714
Vậy 3111< 1714
4

a) A có (2006 – 0):2 + 1 = 1004 ( số hạng) mà 1004 chia 3 dư 2
(2,0 đ) A =(1 + 32)+( 34 + 36 + 38) +(310 + 312 + 314)+ ...+(32002 +32004+32006)
A = 10 + 34( 1 + 32 + 34) + 310( 1 + 32 + 34) + .... + 32002(1 + 32 + 34)
A = 10 + 34.91 + 310.91 + ... + 32002.91
A = 10 + 34. 7. 13 + 310. 7. 13 + ....+ 32002.7.13
A = 10 + 13.(34 + 310 + ... + 32002) � A :13 dư10

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

0,5
0,25
0,25


b) Gọi d = ƯCLN(2n + 1,2n + 3)
Ta có d là số lẻ vì 2n + 1 và 2n + 3 lẻ
Và d � Ư(2n + 1) và d � Ư(2n + 3)
Mà (2n + 3) – ( 2n + 1) = 2
Do đó d �Ư(2); d lẻ nên d = 1.
Vậy 2n + 1; 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Vẽ hình đúng
B

0,25
0,25
0,25

0,25

D

0,25
A

C
O

�  1800 ( �
�
a) Ta có: �
là hai góc kề bù )
AOB  BOC
AOB và BOC
�
�
mà BOC  5 AOB

5
(2,5đ)

�  1500
� 6�
AOB  1800 � �
AOB  300 ; BOC

0,25
0,25

� D  DOC
�  1 BOC
�  750 ( OD là tia phân giác � )
b)Ta có: BO
BOC

0,25
0,25
0,25

c)Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n + 4 tia đó tạo với
n + 4 – 1 = n + 3 tia còn lại tạo thành n + 3 góc. Có n + 4 tia nên tạo
thành ( n + 4)( n+ 3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần.

0,25
0,25

2
0 �
�
�
�
mà AOD  DOC  180 ( AOD và DOC
là hai góc kề bù )
0
0
0
0
�  180  75  105

��
AOD  180  DOC

 n  4   n  3 góc.

0,5

S = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) +4(3 + 1) + …+ 100( 99+ 1)
= 1 + 1.2+2 + 2.3 + + 3 + 3.4 + 4+…+ 99.100 + 100
= ( 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100)+ (1 + 2 + 3 + 4 + …+ 100)
6
(1,0 đ) Đặt M = 1.2 +2.3 + 3.4 + …+99.100
3M = 1.2.3 + 2.3.( 4 – 1) +3.4.( 5 – 1) + …+ 99.100.(101 – 98)
3M = 99.100.101 nên M = 333300
Do đó A = 333300 + 5050 =338350
----------------HẾT---------------------

0,25

Vậy có tất cả

2

0,25
0,25
0,25