Đề thi học sinh giỏi toán 6

Đề thi học sinh giỏi tốn 6

§Ị sè 1
Bài 1 (5,5đ):
1, Cho biểu thức:

A=

−5
n−2

a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên.
2, Tìm x biết:
a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500
b, (3x – 24). 73= 2. 74
c, x − 5 =16 + 2.(−3)
3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn
Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu
chữ số 0 ?
Bài 2 (2đ):
Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia BA
lấy điểm N sao cho AM = BN.
So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN.
Bài 3 (2,5đ):
Cho ·
XOY = 1000 . Vẽ tia phân giác OZ của góc XOY; vẽ tia OT nằm trong góc
·
XOY sao cho YOT = 250 .
1, Chứng tỏ rằng tia OT nằm giữa hai tia OZ và OY.
2, Tính số đo góc ZOT.

3, Chứng tỏ rằng tia OT là tia phân giác của góc ZOY.


Đề thi học sinh giỏi tốn 6

§Ị sè 2
Bài 1 (3đ):
1, Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596
a, Chứng minh: S M 126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
2, Chứng minh A = n(5n + 3) M n với mọi n ∈ Z
Bài 2 (2đ):
Tìm a, b ∈ N, biết: a + 2b = 48
ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14
Bài 3(1,5đ):
1, Chứng minh các phân số bằng nhau:
41
;
88

4141
414141
;
8888
888888
12n + 1
2, Chứng minh:
(n ∈ Z) tối giản
30n + 2

Bài 4 (2,5đ):
Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn.
a, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đó ?
b, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ?
Bài 5 (1đ):
Tính:
2
2
2
2
+
+
+ ..... +
1.3 3.5 5.7
99.101


Đề thi học sinh giỏi tốn 6

§Ị sè 3
Câu 1 (6đ):
1, Cho biểu thức B =

−7
n −2

a, Tìm n nguyên để B là phân số.
b, Tìm n nguyên đẻ B là số nguyên.
2, Tìm x biết:
a, x chia hết cho 12,25,30 và 0 < x < 500.

b, (3x – 24).73 = 2.74
c, | x – 5 | = 16 + 2.( –3 )
Câu 2 (4đ):
Đông nghĩ ra 1 số tự nhiên có 3 chữ số, nếu bớt số đó đi 8 đơn vị thì được số chia
hết cho 7, nếu bớt số đó đi 9 đơn vị thì được số chia hết cho 8, nếu bớt số đó đi 10
đơn vị thì được số chia hết cho 9
Hỏi Đơng nghĩ ra số nào ?
Câu 3 (5đ):
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa Ox vẽ các góc xOy bằng m độ, góc xOz bằng
n độ (m < n). Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy và tia phân giác Ok của góc xOz.
1, Tính góc tOk theo m và n.
2, Để tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oz thì giữa m và n phải có điều kiện gì ?
Câu 4 (3đ):
Cho x 1 + x2 + x3 + . . . + x50 + x51 = 0
và x 1 + x2 = x3 + x4 = x49 + x50 = x 50 + x51 = 1.
Tính x50 ?
Câu 5 (2đ):
Chứng minh :

n( n +1)
2

và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau với mọi n ∈ N.


thi hc sinh gii toỏn 6

đề số 4
Bài 1: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu P và 2P + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4P + 1 là hợp

số.
2) HÃy tìm BSCNN của ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 2: (2 điểm)
HÃy thay các chữ số vào các chữ cái x, y trong

N =20 x 0 y 04

để N chia hết cho 13.

Bài 3: (2 điểm)
Vòi nớc I chảy vào đầy bể trong 6 giờ 30 phút. Vòi nớc II chảy vào đầy bể trong
11 giờ 40 phút. Nếu vòi nớc I chảy vào trong 3 giờ; vòi nớc II chảy vào trong 5 giờ 25
phút thì lợng nớc chảy vào bể ở vòi nào nhiều hơn. Khi đó lợng nớc trong bể đợc bao
nhiêu phần trăm của bể.
Bài 4: (2 điểm)
Bạn Huệ nghĩ ra một số có ba chữ số mà khi viết ngợc lại cũng đợc một số có ba
chữ số nhỏ hơn số ban đầu. Nếu lấy hiệu giữa số lớn và số bé của hai số đó thì đ ợc 396.
Bạn Dung cũng nghĩ ra một số thoả mÃn điều kiƯn trªn.
Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chÊt trªn, hÃy tìm các số ấy.
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng: một số có chẵn chữ số chia hết cho 11 thì hiệu giữa tổng các chữ
số đứng ở vị trí chẵn và tổng các chữ số đứng ở vị trí lẻ, kể từ trái qua phải chia hết
cho 11.
(Biết 102 n −1 vµ 102 n −1 +1 chia hÕt cho 11)


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề Số 5
Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số

154 385
;
195 156

phân số ấy ta đợc kết quả là các số tự nhiên.
b) Cho a là một số nguyên có dạng: a = 3b + 7.
Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? tại sao ?
a = 11;
a = 2002;
a = 11570 ;
a = 22789;
a = 29563;
a = 299537.

;

231
130

cho

Câu 2: (6 điểm)
1) Cho A = 1 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100.
a) TÝnh A.
b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ớc tự nhiªn. Bao nhiªu íc nguyªn ?
2) Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22002
vµ

B = 22003
So sánh A và B.
3) Tìm số nguyên tố P ®Ĩ P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (4 điểm)
Có 3 bình, nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót hết lợng nớc đó vào hai bình
còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ đợc 1/3 dung tích. Nếu bình thứ
ba đầy thì bình thứ hai chỉ đợc 1/2 dung tích.
Tính dung tích mỗi bình, biết rằng tổng dung tích ba bình là 180 lít.
Câu 4: (4 điểm)
Cho ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM.
b) BiÕt BAM = 800, BAC = 600 . TÝnh CAM.
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (2 điểm)
Cho a = 1 + 2 + 3 + ... + n vµ b = 2n + 1 ( Víi n ∈ N, n ≥ 2 ).
Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cïng nhau.


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề Số 6
Câu 1: (4 điểm)
HÃy xác định câu nào đúng, câu nào sai trong các câu sau:
a) Nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 2 thì p. q là số lẻ.
b) Tổng hai số nguyên tố là hợp số.
c) Nếu a < 0 thì a2 > a.
d) Từ đẳng thức 8. 3 =12. 2 ta lập đợc cặp phân số bằng nhau là:
g) Nếu n là số nguyên tố thì

3

8
=
2 12

n
là phân số tối giản.
35

h) Hai tia CA và CB là hai tia đối nhau nếu A, B, C thẳng hàng.
k) Nếu góc xoy nhỏ hơn góc xoz thì tia ox nằm giữa hai tia oy và oz.
Câu 2: (6 ®iĨm)
1. Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + ...
a) BiÕt A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
2. Cho

A=

1
1
1
1
+
+
+ .... +
1.2 2.3 3.4
99.100

.

So s¸nh A với 1 ?
3. Tìm số nguyên tố p để p, p + 2 và p + 4 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (5 điểm)
1. Một lớp học có cha đến 50 học sinh. Cuối năm xếp loại học lực gồm 3 loại: Giỏi,
Khá, Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh
của lớp xếp loại giỏi, còn lại xếp loại khá.
Tính số học sinh khá của lớp.
2. Có thĨ rót gän

5n + 6
8n + 7

(n ∈ Z) cho những số nguyên nào ?

Câu 4: (3 điểm)
Trên tia Ax lÊy hai ®iĨm B, C sao cho AB = 5cm; BC = 2 cm.
a) Tính AC.
0
0
Ã
b) Điểm C nằm ngoài đờng thẳng AB biết Ã
AOB = 55 và BOC = 25 . Tính góc
AOC ?
Câu 5: (2 điểm)
Tìm số tự nhiªn n biÕt:

1 1 1
2
2003
+ +

+ ... +
=
3 6 10
n( n +1) 2004


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề Số 7
Câu 1: (2 ®iĨm)
A =

1) Rót gän
2) Cho

S=

7 . 9 + . 27 +21.36
14
21.27 +42.81 +63.108

3
3
3
3
+
+
+ +
n ∈N *
1.4 4.7 7.10

n(n + 3)

Chứng minh: S < 1
3) So sánh:

2003 .2004 1
2003.2004

và

2004 .2005 1
2004.2005

Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P +10 là số nguyên tố
2) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 cđa x vµ y sao cho 3x - 4y = - 21
3)Cho ph©n sè:

n −5
A=
n +1

( n ∈ ; n 1)
Z

a) Tìm n để A nguyên.
b) Tìm n để A tối giản .
Câu 3: (2 điểm)
Xếp loại văn hoá của lớp 6A có 2 loại giỏi và khá cuối học kì I tỉ số giữa học sinh
giỏi và khá là

3
2

cuối học kì II có thêm 1 học sinh khá trở thành loại giỏi. Nên tỉ số giữa

học sinh giỏi và khá là

5
3

.

Tính số học sinh của lớp ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB. Với
bờ là đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy sao cho : AOy > AOB. Chøng tá r»ng :
a) Tia OB n»m gi÷a 2 tia Ox, Oy
b) xOy = (AOy + BOy ) : 2
Câu 5: (1điểm)
Cho n z chứng minh r»ng: 5n -1 chia hÕt cho 4


thi hc sinh gii toỏn 6

đề số 8
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính

5.415.99 4.320.89

5.29.619 7.2 29.27 6

b) Tìm x biÕt:

1 3
1 −
1  1
1
1
 1  1
1 :  24 − 24 ÷ − 2 4 =  −1 ÷:  8 − 8 ÷
1
30  6
5
3
 15 5
4x
2

Bài 2: (2 điểm)
2
2
2
2
+
+ ... +
+
60.63 63.66
117.120 2003
5

5
5
5
+
+ ... +
+
và B =
40.44 44.48
76.80 2003

So sánh: A =

Bài 3: (2 ®iĨm)
Chøng minh r»ng sè:
222 222 00 333...333
  ... 
   
2001 c / s 2

2003 c / s 3

là hợp số.

Bài 4: (2 điểm)
Ba bạn Hồng, Lan, H chia nhau mét sè kĐo ®ùng trong 6 gãi. Gãi thø nhÊt cã 31
chiÕc, gãi thø hai cã 20 chiÕc, gãi thø ba cã 19 chiÕc, gãi thø t có 18 chiếc, gói thứ năm
có 16 chiếc, gói thứ 6 có 15 chiếc. Hồng và Lan đà nhận đợc 5 gói và số kẹo của Hồng
gấp đôi số kẹo của Lan.
Tính số kẹo nhận đợc của mỗi bạn.
Bài 5: (2 điểm)

Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz sao
cho góc xOz nhỏ hơn 900.
a) Vẽ các tia Om, On lần lợt là tia phân giác của các gãc xOz vµ gãc zOy. TÝnh gãc
MON ?
b) TÝnh sè đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOz b»ng 350.


thi hc sinh gii toỏn 6

đề số 9
Câu 1: (6 điểm)
Tính một cách hợp lí giá trị của các biÓu thøc sau:
A = 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 2007
B = 2.53.12 + 4.6.87 − 3.8.40
2006 2006 2006
2006
+
+
+ ... +
3
4
2007
C= 2
2006 2005 2004
1
+
+
+ ... +
1
2

3
2006

C©u 2: (5 điểm)
1) Tìm các giá trị của a để sè 123a5
a) Chia hÕt cho 15
b) Chia hÕt cho 45
2) Ba xe ô tô bắt đầu cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng, từ cùng một bến. Thời gian cả
đi vµ vỊ cđa xe thø nhÊt lµ 42 phót, cđa xe thø hai lµ 48 phót, cđa xe thø ba là 36 phút.
Mỗi chuyến khi trở về bến, xe thứ nhÊt nghØ 8 phót råi ®i tiÕp, xe thø hai nghØ 12 phót råi
®i tiÕp, xe thø ba nghØ 4 phút rồi đi tiếp.
Hỏi 3 xe lại cùng khởi hành từ bến lần thứ hai lúc mấy giờ ?
Câu 3: (3 điểm)
Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3 và 5p +1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng
7p +1 là hợp số.
Câu 4: (3 điểm)
Tia OC là phân giác của góc AOB, vẽ tia OM sao cho gãc BMO = 200. BiÕt gãc
AOB = 1440.
a) TÝnh gãc MOC.
b) Gọi OB là tia đối của tia OB, ON là phân giác của góc AOC. Chứng minh OA
là phân giác của góc NOB.
Câu 5: (2 điểm)
Thay các chữ số thích hợp (các chữ khác nhau thay bằng các chữ sè kh¸c nhau)
abc − cba = 6b3


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 10
Câu 1: (2 điểm)

Chọn những kết quả đúng trong các câu sau:
1) Sè 32450 cã sè íc lµ:
A. 18 ;
B. 24;
C. 75 ;
D. 42
2) Biết ƯCLN(a, b) = 7 và BCNN(a, b) = 210 thì tích a.b là:
A. 1470 ;
B. 217;
C. 2107 ;
D. 30
abc không chia hết cho 3. Hỏi phải viết số ngày liên tiếp nhau ít nhất bao
3) Cho
nhiêu lần để tạo thành một số chia hết cho 3 ?
A. 2 lÇn;
B. 3 lÇn;
C. 4 lÇn
4) Cho N = 1494. 1495. 1496 th× N chia hÕt cho:
A. 140 ;
B. 195 ;
C. 180
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho đẳng thức: 152 - 53 = 102
Đẳng thức trên đúng hay sai ? Nếu sai hÃy chuyển vị trí một chữ số để đợc đẳng
thức đúng ?
b) Tìm một số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 26 thì ta sẽ đợc số d bằng hai lần
bình phơng của số thơng.
Câu 3: (2 điểm)
a) Một ngời nói với bạn: Nếu tôi sống đến 100 tuổi thì
sẽ lớn hơn

tuổi ?

2
5

của

7
8

6
7

của

7
10

số tuổi của tôi

thời gian tôi còn phải sống là 3. Hỏi ngời ấy bây giê bao nhiªu

b) Mét sè tù nhiªn chia cho 4 thì d 3, chia cho 17 thì d 9 còn chia cho 19 d 13. Hái
sè ®ã chia cho 1292 thì d bao nhiêu ?
Câu 4: (2 điểm)
Ngời ta viết d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp: 4; 11; 18; 25….Hái:
a) Số 2007 có thuộc dÃy số trên không ? Vì sao ?
b) số thứ 659 là số nào ?
Câu 5: (2 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung

điểm cña OA, OB.
a) Chøng tá OA < OB.
b) Trong 3 điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
c) Chứng tỏ rằng độ dài của đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của
điểm O.


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 11
Câu 1: (6 ®iĨm)
TÝnh nhanh
a) 2. 3. 4. 5 .7. 8. 25. 125
b)

2004. 2004 + 3006
2005. 2005 −1003

c) 19001570. (20052005. 2004 − 20042004.2005)
Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị của x trong dÃy tÝnh sau:

( x + 2) + ( x + 7) + ( x + 12) + ... + ( x + 42) + ( x + 47) = 655

C©u 3: (3 điểm)
Hai bạn Trang và Giang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan.
Giang đa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và đợc trả lại 72000 đồng. Trang nói Cô
tính sai rồi. Bạn hÃy cho biết Trang nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN =

NB vµ P lµ điểm chia cạnh CD thành hai phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN. Biết
diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2.
HÃy tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các chữ số a và b để số

a459b

chia cho 2; 5 và 9 đều d 1.


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính

A=

b) So sánh:

1
1
1
1
1
1
+
+
+

+
+
10 40 88 154 238 340
200410 + 2004 9 và 200510

Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm các sè nguyªn x sao cho 4x - 3 chia hÕt cho x - 2.
b) Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mÃn

5a + 7b 29
=
6a + 5b 28

và (a, b) = 1

Câu 3: (2 điểm)
Số học sinh của một trờng học xếp hàng, nếu xếp mỗi hàng 20 ngời hoặc 25 ngời
hoặc 30 ngời đều thừa 15 ngời. Nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ.
Tính sè häc sinh cđa trêng ®ã biÕt r»ng sè häc sinh của trờng đó cha đến 1000.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hai góc xOy và xOz, Om là tia phân giác của góc yOz . Tính góc xOm trong
các trờng hợp sau:
a) Gãc xOy b»ng 1000; gãc xOz b»ng 600.
b) Gãc xOy b»ng α ; gãc xOz b»ng β (α > ).
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: A = 10 n + 18n − 1 chia hÕt cho 27 (n là số tự nhiên).


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 13
Câu 1: (2 ®iĨm)
a) TÝnh tỉng:

1
1
1
+
+... +
1.2.3 2.3.4
98.99.100
11 1
1
1  57
A=  +
+
+ ... +
>
2  6 24 60
9240  462

S=

b) Chøng minh:

Câu 2: (2 điểm) Cho A = n 3 + 3n 2 + 2n
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 với mọi số nguyên n.
b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho 15.
Câu 3: (2 điểm)
a) Có hay không một số K nguyên dơng sao cho khi chia cho 1993 có các chữ số

tận cùng là 0001.
b) Vòi nớc thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 4 giờ 30 phút và vòi thứ hai chảy
một mình đầy bể trong 6 giờ 45 phút. Lúc đầu ngời ta mở vòi thứ nhất cho chảy trong một
thời gian bằng thời gian cần thiết để hai vòi cùng chảy đầy bể, rồi sau đó mở vòi thứ hai.
Hỏi bao nhiêu phút sau khi mở vòi thứ nhất thì bể đầy nớc.
Câu 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng AB và M2 là trung
điểm của M1B.
a) Chứng tỏ rằng M1 nằm giữa hai điểm A, M2. Tính độ dài đoạn thẳng AM2 .
b) Gọi M1, M2 , M3 , M4 , lần lợt là trung điểm của các đoạn AB, M1B, M2B,
M3B,
Tính độ dài của đoạn thẳng AM8 .
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 tho¶ m·n:
1 1 1 4
+ + =
a b c 5


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 14
Câu 1: (2 ®iĨm)
a) TÝnh tỉng: S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001
b) Cã bao nhiªu sè tù nhiên có bốn chữ số trong đó có đúng hai chữ số 3.
Câu 2: (2 điểm)
120
...
a) Tìm x, y, z sao cho: x 20041..........113 yz M
2004 c / số

b) Tìm hai số nguyên tố a và b sao cho:

3a −13 = b( a − 3)

C©u 3: (2 điểm)
a) Cho 25 số tự nhiên đợc lập nên từ bèn ch÷ sè: 6, 7, 8, 9.
Chøng minh r»ng: trong các số này ta tìm đợc hai số bằng nhau.
b) Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi
chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm
1
14

1
9

, đạt điểm khá chiếm

1
3

, đạt điểm yếu chiếm

tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình.
Tính số học sinh mỗi loại.

Câu 4: (3 ®iĨm)
Cho gãc xOy b»ng 1000 , gãc yOz bằng 1300.
a) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy, Oz của góc yOz.
b) Tính góc tOv.

Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh r»ng: A = 10 n + 18n − 1 chia hết cho 81 (n là số tự nhiên).


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 15
Câu 1: (2 ®iĨm)
10  1
3 5
− 6 − 5  :
a) TÝnh 3  7 7  7 + 5 .1 1
8 + 0,375 : 0,5625
8 5
1 1 1
2
2003
b) T×m x biÕt 1 + 3 + 6 + 10 + ... + x( x +1) = 1 2005

Câu 2: (3 điểm)
1. Cho A = 3 + 32 + 33 + .... + 32004
a) TÝnh tæng A.
130
b) Chøng minh r»ng A M .
c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ?
2) Tìm n Z để n 2 +13n 13 Mn +3
Câu 3: (2 điểm )
QuÃng đờng AB gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc. Một ô tô đi từ A đến
B hết 2,5 giờ và ®i tõ B ®Õn A hÕt 4 giê. Khi lªn dốc (cả lúc đi và lúc về) vận tốc của ô tô
là 20 km/h. Khi xuống dốc (cả lúc đi lẫn về), vận tốc của ô tô là 30 km/h.

Tính quÃng đờng AB.
Câu 4: (2 điểm)
Cho hai tia Oz và Ot là hai tia nằm giữa hai cạnh của góc xOy sao cho xOz = yOt =
0
40 .
a) So s¸nh gãc xOt vµ yOz.
b) Cho gãc zOt = 200 . Tính góc xOy.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 14 số tự nhiên cã 3 ch÷ sè. Chøng minh r»ng trong 14 sè đó tồn tại 2 số mà
khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ số chia hết cho 13.


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 16
Bài 1: (2 ®iĨm)
a) Cho A = 3 + 32 + 33 + ... + 3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b) Cho số 123456789. HÃy đặt một số dấu + và - vào giữa các chữ số để kết
quả của phép tính bằng 100.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 14 là số nguyên tố.
b) Cho n ∈ N vµ n > 3. Chøng minh r»ng nÕu 2 n =10a + b (0< b <10) th× a. b chia
hết cho 6.
Bài 3: (1,5 điểm)
a) Tìm hai số tự nhiên có ƯCLN bằng 12, ƯCLN của chúng, BCNN của chúng là
bốn số khác nhau và đều có hai chữ số.
b) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.
Chøng minh r»ng A - B lµ mét sè chÝnh phơng.
Bài 4: (3 điểm)

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bê chøa tia Ox vÏ c¸c tia Oy, Oz, Ot sao cho
xOy < xOz < xOt . Chøng tá r»ng:
a) yOz < yOt
b) C¸c tia Oz, Ot thuéc cïng mét nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy.
c) Tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 là hai số nguyên tè cïng
nhau.


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 17
Câu 1: (2 ®iĨm)
2
2
2
4
4
4
+
−
4−
+
−
29 41 2005
a) Rót gän: A = 19 43 2004 :
3
3
3

5
5
1
3− +
−
5−
+
−
19 43 2005
29 41 401
2 1
b) TÝnh x biết: + : x = 1
3 3
2

Câu 2: (2,5 điểm)
Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + ....
a) BiÕt A cã 40 sè hạng. Tính giá trị của A.
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.
Câu 3: (2, 5 điểm)
Hai xe ô tô đi từ hai địa điểm A và B về phía nhau, xe thø nhÊt khëi hµnh tõ A lóc 7
giê, xe thø hai khëi hµnh tư B lóc 7 giê 10 phút. Biết rằng để đi cả quÃng đờng AB xe thø
nhÊt cÇn 2 giê, xe thø hai cÇn 3 giờ.
Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ.
Câu 4: (2 ®iÓm)
Cho 3 tia chung gèc OA, OB, OC. TÝnh BOC biÕt r»ng:
a) AOB = 130 ;

AOC = 300

b) AOB = 1300 ; AOC = 800
Câu 5: (1 điểm)
Viết thời gian trong một ngày(tính bằng giây) bằng cách dùng chữ số La M·.


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 18
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm chữ số tận cùng của số A = 2 2005 + 3 2005
b) So s¸nh: A =

2004 2003 + 1
2004 2004 + 1

; B=

2004 2004 + 1
2004 2005 + 1

Bài 2: (2 điểm)
a) Một số A nếu chia cho 64 th× d 38, nÕu chia cho 67 thì d 14. Cả hai lần chia đều
có cùng một thơng số.
Tìm thơng và số A đó.
b) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau dạng ab sao cho ba cũng là số
nguyên tố và hiệu ab ba là số chính phơng.
Bài 3: (2 điểm)
Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc (theo
chiều (AB). Khi lên dốc ngời ®ã ®i víi vËn tèc 10 km/h vµ xng dèc víi vËn tèc 15
km/h. Lóc ®i hÕt 3h 30’ , lúc về hết 4 h.

Hỏi quÃng đờng AB dài bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm)
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AM. Từ một điểm O thuéc AM.
VÏ c¸c tia OB, OC, OD sao cho; MOC = 115 0 ; BOC = 700 ; AOD = 450 (D nằm trong
nửa mặt phẳng đối với B, C qua bờ là AM).
a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? Vì sao ?
b) Tính góc MOB, AOC.
c) Chỉ rõ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.
Bài 5: (1 ®iĨm)
1
2

1
3

1
4

Cho P = 1 + + + + ... +

1
2

100

−1

.

Chøng tá r»ng P > 50

thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 19
Bài 1: (2 ®iĨm)
a) TÝnh:

M =

1 1 1
1
2
+ +
+
+ .... +
3 6 10 15
2004.2005

b) Có tồn tại a, b hay không để 55a + 30 b = 3658.
Bài 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu P và 2P +1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4P + 1 là số
hợp số.
b) Tìm một số tự nhiên chia hết cho 5 vµ chia hÕt cho 27 mµ chØ cã 10 ớc.
Bài 3: (2 điểm)
Ba vòi nớc cùng chảy vào một bể. Nếu vòi I và vòi II cùng chảy thì
nếu vòi II và vòi III cùng chảy thì sau

10

2
7

7

1
5

giờ đầy bể;

giờ thì đầy bể, còn vòi I và vòi III cùng chảy

thì sau 8 giờ đầy bể.
Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu đầy bể.
Bài 4: (3 điểm)
Cho gãc xoy cã sè ®o b»ng 1200 . VÏ tia oz sao cho yoz = 300.
a) TÝnh sè ®o gãc xoz.
b) Một đờng thẳng a cắt Ox, Oy, Oz lần lợt tại các điểm A, B, C . Biết AB = 8cm;
BC = 5 cm. TÝnh AC ?
Bµi 5: (1 ®iĨm)
1
2

So s¸nh: A = 1 + +

1
1
1
+ 3 + ... + 100 vµ B = 2.
2

2
2
2


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 20
Bài 1: (2 ®iĨm)
a) TÝnh nhanh:

5 5 5
5
5− + −
+
1003.2005 − 1002
11 7 17 2004
A=
.
13 13 13
1003 + 2005.1002 13
−
+
−
+ 13
2004 17 7 11

b) So sánh: 2002 303 và 303 202 ; 3111 và 1714 .
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho A = 1 − 3 + 3 2 − 33 + ... − 3 2003 + 3 2004

Chøng minh r»ng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.
b) Tìm x, y nguyên tố biÕt: 59 x + 46 y = 2004
Bµi 3: (2 ®iĨm)
Trong mét héi nghÞ häc sinh giái, sè häc sinh nữ chiếm 2/5, trong đó 3/8 số nữ là
học sinh líp 6. Trong sè häc sinh nam dù héi nghÞ 2/9 lµ sè häc sinh líp 6. BiÕt sè häc
sinh dự hội nghị khoảng từ 100 đến 150.
Tính số học sinh nam, số học sinh nữ lớp 6.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là điểm nằm giữa M và B.
a) Biết ABC = 850 , ACM = 500 , BCN = 200 . TÝnh BCM vµ MCN.
b) BiÕt AN = a, BN = b. Tính MN.
Bài 5: (1 điểm)
Tính S = 12 + 2 2 + 3 2 + ... + 99 2 + 100 2


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 21
Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh:
a)
b)

2.4 + 2.4.8 + 4.8.16 + 8.16.32
3.4 + 2.6.8 + 4.12.16 + 8.24.32
4
4
4
+
+ ... +
5.7 7.9

59.61

C©u 2: (2 điểm)
a) Viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho 5, 7, 9.
b) Mét sè chia cho 4 d 3; chia cho 17 d 9; chia cho 19 d 13. Hái sè đó chia cho
1292 d bao nhiêu ?
Câu 3: (2 điểm)
Đờng từ A đến b gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Một ngời đi xe
đạp lên dốc víi vËn tèc 10 km/h vµ xng dèc víi vËn tèc 15 km/h. BiÕt r»ng ngêi Êy ®i tõ
A ®Õn B rồi lại từ B về A thì hết tất cả 3 giờ.
Tính quÃng đờng AB.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hai gãc kÒ nhau xoy, xoz sao cho xoy = 1000 , xoz = 1200
a) Tia ox cã n»m gi÷a hai tia oy ; oz kh«ng ?
b) TÝnh yoz
c) TÝnh xoy + yoz + zox
Câu 5: (1 điểm)
Số 5100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số.


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 22
Câu 1: (2 ®iĨm)
a) TÝnh

 1

 6 − 8  : 0,05
2


M = 
3
 1

− 5,65 .6 + 1
7
5
 20


b) Chøng minh r»ng A lµ mét l thõa cđa 2 víi
A = 4 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + ... + 2 2003 + 2 2004

C©u 2: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên tố P sao cho P + 6 , P + 12, P + 34, P + 38 là các số nguyên tố.
b) Tìm các số tự nhiªn a, b, c, d nhá nhÊt sao cho:
a 3
=
b 5

;

b 12
=
c
21

;

c
6
=
d 11

Câu 3: (2 điểm)
Tuổi anh hiện nay gấp ba lÇn ti em, lóc ti anh b»ng ti hiƯn nay cđa ngêi em.
§Õn khi ti em b»ng ti hiƯn nay cđa ngêi anh th× tỉng sè ti cđa hai anh em là 35.
Tính tuổi anh, tuổi em hiện nay.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hai tia Ox, Oy đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vÏ
c¸c tia Oz, Ot sao cho gãc xOz = 300 ; gãc yOt = 750
a) TÝnh gãc zOt
b) Chøng tá tia Ot là tia phân giác của góc zOy.
c) Tính gãc zOt nÕu gãc xOz = α , gãc yOt =
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
<
2
2
2
2
4
6

4010

(α + β ≠ 180 0 )


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 23
Bài 1: (2 ®iĨm)
3

a) TÝnh:

2

2
2 5
+ 3  −  
3
3 6
A=
7  35
35
105
35 
:
+
+
+


60  31.37 37.43 43.61 61.67 

b) T×m chữ số x để (12 + 2 x3 ) M 3
Bài 2: (2 điểm)
Tổng 1 +

1 1
1
1
+ + ... +
+
2 3
17 18

Chứng minh rằng:

b M2431 .

bằng

a
b

với

a
b

là phân số tối giản.

Bài 3: (2 điểm)
Hai địa điểm A và B cách nhau 72 km. Một ô tô đi từ A về B và một xe đạp đi từ B
về A gặp nhau sau 1 giê 12 phót (hai xe cïng khëi hµnh). Sau đó ô tô tiếp tục đi về B rồi
lại quay vỊ A ngay víi vËn tèc cị, « t« gặp xe đạp sau 48 phút kể từ lúc gặp nhau lần trớc.
Tính vận tốc ô tô và xe đạp.
Bài 4: (3 điểm)
Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz sao
cho gãc xOz < 900.
a) VÏ c¸c tia Om, On lần lợt là các tia phân giác của các góc xOz và zOy. Tính góc
On.
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOZ = 350
c) Vẽ (O; 2 cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lợt tại các điểm A, B, C, D, E
với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng phân biệt đi qua các cặp
điểm ? Kể tên những đờng thẳng đó.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số nguyên dơng tuỳ ý. Tổng sau có thể là số nguyên dơng không ?
a
b
c
+
+
a+b b+c c+a


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 24
Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh
a)

A=

101 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
101 − 100 + 99 − 98 + ... + 3 − 2 + 1

423134. 846267 − 423133

b) B = 423133. 846267 + 423134

C©u 2: (2 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng: 10 28 + 8 chia hÕt cho 72.
b) Cho A = 3 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 2001 + 2 2002 vµ B = 2 2003
So sánh A và B.
c) Tìm số nguyên tố p để p + 6, p + 8, p + 12 , p + 14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (2 điểm)
Ngời ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn
nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thc tia ®èi cđa tia CB sao cho CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM.
b) Biết BAM = 800 ; BAC = 600 . Tính CAM
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng:

1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +

<1
2
2
3
4
100 2


thi hc sinh gii toỏn 6

Đề số 25
Câu 1: (2 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau bằng phơng pháp hợp lí:
a)
b)

4
4
4
+
+ ... +
5.7 7.9
59.61
3 3
3
3
3+ +

24.47 23
7 11 1001 13

.
9
9 9 9
24 + 47.23
−
+ − +9
1001 13 7 11

Câu 2: (2 điểm)
Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 60
Chøng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
Câu 3: (2 điểm)
Hai lớp 6A và 6B trồng cây. Số cây lớp 6A trồng bằng

4
5

số cây lớp 6B trồng. Nếu
2

mỗi lớp đều trồng thêm đợc 15 cây nữa thì số cÊy líp 6B trång b»ng 1 9 sè c©y líp 6A.
Hỏi mỗi lớp trồng đợc bao nhiêu cây ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho đờng thẳng xx và một điểm O thuộc ®êng th¼ng Êy. Hai ®iĨm A, B n»m trong
cïng mét nửa mặt phẳng bờ xx và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt
phẳng bờ xx và có chứa điểm A. Biết xOB =1150 ; AOB = 750 ; x’OC = 400
a) TÝnh c¸c gãc xOA, xOB.
b) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các số nguyên x, y sao cho:

( x − 2) 2 .( y − 3) = −4