Sáng kiến kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU...................................................trang 02

I.

Lí do chọn đề tài......................................trang 02

II.

Đối tượng nghiên cứu............................trang 03

III.

Phạm vi nghiên cứu................................trang 03

IV.

Phương pháp nghiên cứu........................trang 03
B. NỘI DUNG.................................................trang 06

I.

Cơ sở lí luận.............................................trang 06

II.

Cơ sở thực tiễn........................................trang 07

III.

Giải quyết vấn đề................................trang 09
C. KẾT LUẬN.................................................trang 21

Người thực hiện: Lê Trúc Linh
1


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử

A- MỞ ĐẦU
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
- Toán học là một môn khoa học nếu học giỏi toán thì
sẽ có điều kiện để học tốt các môn khác. Tuy nhiên
toán học đặc trưng là môn học tự nhiên rất khó học vì
vậy không phải học sinh nào cũng hiểu, cũng học tốt
được toán.
- Thực tế trong những năm gần đây, từ khi chính phủ
ta cho triển khai đại trà sách giáo khoa và phương pháp
giảng dạy mới thì từ năm 2002 đến nay chất lượng giáo
dục nước ta từng bước được nâng lên. Tuy nhiên bên
cạnh đó chúng ta không thể chối bỏ một đều là hiện
nay số lượng học sinh yếu kém của nước ta nói chung
của tỉnh ta nói riêng vẫn còn chiếm số lượng rất đông
. Vậy điều đó là do đâu?
- Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa
yhức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng,
việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú đa dạng

cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng
mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,… Qua quá
trình giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài
kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa
thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn
nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được. Nguyên
nhân học sinh học yếu là do học sinh chưa nắm vững các
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
2


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi một

cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán
cụ thể.
- Vì vậy là một giáo viên giảng dạy toán, tôi nhận
thấy bên cạnh việc trang bò vốn kiến thức cần thiết cho
công tác giảng dạy của mình thì cũng cần phải thường
xuyên nghiên cứu tìm ra phương pháp dạy học thích hợp
để chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng cao
nhằm giảm bớt số lượng học sinh yếu kém, nâng cao số
lượng học sinh khá giỏi. Vì vậy tôi quyết đònh chọn đề
tài nghiên cứu là: “ Giải pháp rèn kỹ năng giải bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử ” ở lớp 8a2
trường THCS Tân Đông.
II- ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU:
Các giải pháp rèn kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử.

III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
-Không gian : Học sinh lớp 8A2 Trường THCS Tân Đông
-Thời gian : 3 giai đoạn trong năm học 2008 – 2009
Giai đoạn 1: Từ tháng 9 đến khảo sát chất lượng
đầu năm
Giai đoạn 2: Từ tháng 11/ 2009 đến thi học kì I
Giai đoạn 3: Từ tháng 01/ 2009 đến giữa học kì II.
IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn
có liên quan
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
3


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập, vở

bài tập.
+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ
thông.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.
+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.
+ Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS.
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8.
 Chọn lọc kiến thức phù hợp với đơn vò. Học hỏi các
giải pháp hay đã áp dụng để tích lũy kinh nghiệm.
2. Điều tra:
a.Dự giờ:
- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.

- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua
đó, tôi luôn chú ý đến phương pháp giảng dạy cũng
như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó
giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của
việc đổi mới phương pháp dạy học .
b.Đàm thoại:
-Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học
sinh để tìm ra các nguyên nhân học sinh chưa có phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng
toán cụ thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần
nào học sinh chưa biết cách trình bày để có biện pháp
xử lí kòp thời.
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
4


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
-Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà

trường cùng bàn biện pháp nâng cao chất lượng, tìm
hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác.
c.Thăm dò:
-Nắm lại tình hình chất lượng môn Toán lớp 8A2 trong
năm học trước.
TSHS : 42/ 28
Trong đó: HS dân tộc : 1/ 1
TSH
S
42

GIỎI
SL TL

KHÁ
SL
TL

TR. BÌNH
SL
TL

YẾU
SL
TL

KÉM
SL
TL

4

2

17

16

3

9.

4.8

5

40.
5

38.
1

7.
1

-Tìm hiểu trong năm học này, giáo viên lập danh sách
học sinh yếu, cập nhật vào sổ kế hoạch bộ môn, tìm
hiểu nguyên nhân học sinh yếu bằng phương pháp vấn
đáp, kiểm tra phân loại học sinh yếu . Từ đó tìm biện
pháp khắc phục phù hợp với từng đối tượng học sinh.
d. Thực nghiệm:
- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi
học sinh phải thực hành ngay tại lớp, để thực hiện được
điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiến
thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm
giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản một cách
sâu sắc từ đó hình thành kó năng giải toán cho học sinh.
Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
5

Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức

đã học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói
quen tự học cho học sinh.
e.Theo dõi các bài kiểm tra:
- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học
sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ

điểm

riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho
từng đối tượng học sinh.
g.Giả thiết khoa học.
- Qua các nội dung chương trình Sách giáo khoa, nếu tổ
chức dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận
thức của học sinh và kết hợp với các tiết luyện tập,
ôn tập khắc sâu bằng bài học kinh nghiệm hợp lí có
thể góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.

Người thực hiện: Lê Trúc Linh
6


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử

B- NỘI DUNG
I- CƠ SỞ LÍ LUẬN:
- Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính,
môn học cơ sở, là công cụ cho các môn học khác và
giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học. Các bài toán trong chương trình phổ thông là một
phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát
triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụng
toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả
việc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập toán có
vai trò quyết đònh trong việc nâng cao chất lượng học tập
của học sinh.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến
thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng và không
đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được đưa
vào chương trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề
cập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng tích
chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
trên các tập hợp số. Với lượng thời gian phân phối chỉ
có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ
sở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong các
phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
7


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,

…”
- Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh
giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một
cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để
thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải
xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận
xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giải
toán, vận dụng bài toán. Tuỳ theo từng đối tượng học
sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên
cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng
thêm các cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học
tập bộ môn của học sinh.
II- CƠ SỞ THỰC TIỄN:
- Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo
phân phối chương trình chỉ có 6 tiết từ tuần 5 cho đến
tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn rất
lúng túng trong việc áp dụng phương pháp, đối với học
sinh khá giỏi còn nhiều vấn đề chưa được đề cập đến.
Do đó kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh còn
thấp, còn nhiều học sinh yếu, kém, số lượng học sinh
giỏi thấp.
- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của
học sinh khi giải toán như sau:

Người thực hiện: Lê Trúc Linh
8


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa

thức thành nhân tử
+ Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì?

Không biết đi theo hướng nào ? Không biết liên hệ
những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
+ Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp
đã học vào từng dạng toán khác nhau.
+ Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic.
- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan
dẫn đến đa số học sinh chưa có kỹ năng giải bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử như sau :
Đối với giáo viên :
Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương
pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội
dung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45
phút nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể
cho từng loại đối tượng học sinh.
Đối với phụ huynh:
Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em
mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học của học
sinh. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường,
không kiểm tra được việc học ở nhà cũng như việc
chuẩn bò bài trước khi đến lớp.
Đối với học sinh :
+ Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập
trung chú ý trong giờ học.
+ Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát
nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Nguyên
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
9

Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới

cộng thêm việc không chủ động trong học tập ngay từ
đầu năm học dẫn đến chay lười trong học tập.
+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học
vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó.
+ Không có thói quen tự học ở nhà : không làm bài,
học bài , soạn bài trước khi đến lớp.
+ Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi.
- Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm
sao để học sinh có kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh
yếu kém bộ môn. Để giải quyết các vấn đề trên
trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phương
pháp cơ bản, phương pháp đặt biệt thông qua những bài
tập cụ thể giúp các em hiểu rõ và vận dụng các
phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho
học sinh.

III- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
10

Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán

cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa
thức thành nhân tử.
1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ
bản
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển
kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp ( các phương pháp
trên)
Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải
toán.
Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện
các kỹ năng thực hành.
Tìm cách giải hay, khai thác bài toán.
3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy
+ Phương pháp tách hạng tử
+ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ
I- Các phương pháp cơ bản: Củng cố kiến thức cơ
bản
1) Phương pháp đặt nhân tử chung:
Người thực hiện: Lê Trúc Linh

11


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.

A.B + A.C = A ( B + C).
Cách làm:
+ Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các
hệ số).
+ Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ
nhỏ nhất).
+ Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần
đổi dấu các hạng tử.
VD1: Phân tích đa thức 14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 thành
nhân tử.
Gv: Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong
các hạng tử trên?
Hs: 7 vì ƯCLN (14, 21, 28) = 7.
Gv: Tìm nhân tử chung của các biến x2y, xy2, x2y2 ?
Hs: xy
Gv: Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã
cho là gì?
Hs: 7xy
Giải:
14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 = 7xy. 2x – 7xy. 3y + 7xy. 4xy
= 7xy. (2x – 3y + 4xy).
VD2: Phân tích đa thức 10x( x – y) – 8y( y – x) thành
nhân tử.

Gv: Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?
Hs: 2
Gv: Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
12


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
Hs: ( x – y) hoặc ( y – x).

Gv: Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y –
x) để có nhân tử chung ( x – y) hoặc ( y – x)?
Hs: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x)
Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y).
Giải:
10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y)
= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y
= 2( x – y)( 5x + 4y).
VD3: Phân tích đa thức 9x( x – y) – 10( y – x) 2 thành nhân
tử.
Cách giải sai:
9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2
= ( x – y) [9x + 10( x – y)]
= ( x – y)(19x – 10y).
Sai lầm:
- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x) 2 = 9x( x – y)
+ 10( x - y)2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x) 2
của tích – 10( y – x)2

Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x).
Cách giải đúng:
9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2
= ( x – y) [9x - 10( x – y)]
= ( x – y)(10y – x).

Người thực hiện: Lê Trúc Linh
13


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức

cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.
- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân
tử trong một tích.
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng
đẳng thức.
* Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng
nhớ sau:
1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)

VD4: Phân tích đa thức ( x + y ) 2 – ( x – y )2 thành nhân
tử.
Gv: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
Hs: Có dạng A2 - B2
Cách giải sai:
( x + y ) 2 – ( x – y )2 = ( x + y + x – y ) – ( x + y – x – y ) =
2x.0 = 0.
Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.
Cách giải đúng:
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
14


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
2
2
( x + y ) – ( x – y ) = [( x + y ) + ( x – y )].[( x + y ) - ( x –

y )]
= ( x + y + x – y ).( x + y – x + y )
= 2x.2y = 4xy.
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo
viên có thể cho bài tập dưới dạng phức tạp hơn.
+ Phân tích đa thức ( x + y )3 – ( x – y )3 thành nhân tử.
+ Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử.
VD5: Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử.
Giải:
a6 – b 6 = ( a 3 ) 2 – ( b 3 ) 2
= ( a3 + b3 ) ( a 3 - b3 )

= ( a + b )( a2 + ab + b2 )( a – b )( a2 - ab + b2 ).
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức
cơ bản cho học sinh:
- Quy tắc dấu ngoặc.
- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán
dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử để
sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác.
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa
thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được
hằng đẳng thức.
Cách làm:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở
từng nhóm.
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
15


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung

hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
VD6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử.
Cách 1: ( x2 – xy ) + ( x – y )
Cách 2: ( x2 + x ) - ( xy + y )
Cách giải sai:
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
= x( x – y ) + ( x – y )

= ( x – y )( x + 0)
Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.
Cách giải đúng:
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
= x( x – y ) + 1.( x – y )
= ( x – y )( x + 1)
VD7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân
tử.
Giải:
x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2
= ( x – 1 )2 – ( 2y )2
= ( x – 1 + 2y ) ( x – 1 – 2y )
VD8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân
tử.
Cách giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
16


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )

Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ
hai.
Cách giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )

= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức
cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các
hạng tử của đa thức.
II- Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng
và phát triển kỹ năng
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ
bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
VD9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân
tử.
Gv: Xét từng phương pháp
Hs: Thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh như
sau:
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
17


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
3
= x ( x – 9 ) + x( x – 9 )

= ( x – 9 )( x3 + x )

Cách giải đúng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )
= x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]
= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]
= x( x – 9 )(x2 + 1)
VD10: Phân tích đa thức A = ( x + y + z ) 3 – x3 – y3 – z3
thành nhân tử.
Gợi ý: p dụng hằng đẳng thức:
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
= A3+ B3 + 3AB( A + B)
� A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)

Giải:
A = ( x + y + z ) 3 – x3 – y3 – z 3
= [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3
= ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
= [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )
= 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( y + z )( x + z )
Khai thác bài toán:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z
nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz
Hướng dẫn:
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
18


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa

thức thành nhân tử
3
3
3
x + y = ( x + y ) – 3xy( x + y )

x + y + z = 0 �x + y = - z
III- Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy
1)Phương pháp tách hạng tử:
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay
được ba phương pháp cơ bản đã học để giải.
Cách làm:
Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác một
cách thích hợp rồi áp dụng các phương pháp cơ bản
để giải.
VD11: Phân tích đa thức f(x) = 3x 2 – 8x + 4
tử.
Gợi ý: Có nhiều cách phân tích.
Giải:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 4x2 – 8x + 4 – x2
= ( 2x – 2 )2 – x2
= ( 2x – 2 + x )( 2x – 2 – x )
= ( 3x – 2 )( x – 2 )
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )

- Cách 3: Tách hạng tử 4
f(x) = 3x2 – 8x + 4
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
19

thành nhân


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
2
= 3x – 12 – 8x + 16

= 3( x2 – 22 ) – 8( x – 2 )
= 3( x + 2 )( x – 2 ) – 8( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x + 6 – 8 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )
* Nhận xét:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất hiện hằng đẳng
thức hiệu của hai bình phương.
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ
số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau từ đó xuất hiện
nhân tử chung ( x – 2 ).
- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng
thức và nhân tử chung.
Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử
khác nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như
đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều
hạng tử là khâu quan trọng và cần thiết đối vối học
sinh trong việc giải bài toán phân tích đa thức thành

nhân tử.
Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x
Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 có các hệ số ở các số
hạng là: 3, -6, -2, 4 tỉ lệ với nhau
và (-6) + (-2) = -8
f(x) = 3x2 – 8x + 4
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
20

6 4

hay (-6).(-2) = 3.4
3 2


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
Đặt a = 3, b = -8, c = 4 và phân tích a.c = b 1.b2 ( b = b1 +

b2 )
Ta có: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2)
= -8.
Tổng quát:
+ Tìm tích ac.
+ Phân tích ac thành tích hai số nguyên.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
VD12: Phân tích đa thức f(x) = - 6x 2 + 7x – 2 thành nhân
tử.
Đặt a = -6, b = 7, c = -2
+ a.c = (-6).(-2) = 12;

+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ;
+b=7=3+4
Giải:
f(x) = - 6x2 + 7x – 2
= (- 6x2 + 4x ) + ( 3x – 2 )
= -2x( 3x – 2 ) + ( 3x – 2 )
= ( 3x – 2 )( -2x + 1 )
* Lưu ý:
Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất
hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ
số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm
vận dụng được các phương pháp phân tích cơ bản đã
học.
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
21


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
4
VD13: Phân tích đa thức f(x) = x – 30x2 + 31x – 30 thành

nhân tử.
Gợi ý:
Tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
Giải:
f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30
= x4 + x – 30x2 + 30x – 30
= x( x3 + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
= x( x + 1 )( x2 – x + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )

= ( x2 – x + 1 )( x2 + x – 30 )
= ( x2 – x + 1 )( x – 5 )( x + 6 ).
2)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay
được ba phương pháp cơ bản đã học để giải.
Cách làm:
Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa
thức chuyển về dạng hiệu hai bình phương hoặc áp
dụng phương pháp nhóm.
VD14: Phân tích đa thức f(x) = x4 + 4 thành nhân tử.
Giải:
f(x) = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= ( x2 + 2 )2 – ( 2x )2
= ( x2 + 2 + 2x ) ( x2 + 2 – 2x ).
Khai thác bài toán:
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
22


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
4
- Thay “ 4 ” thành “ 64y ”, ta có bài toán mới: f(x) = x 4

+ 64y4
Hướng dẫn:
f(x) = x4 + 64y4
= (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) - 16 x2y2
= ( x2 + 8y2 )2 – ( 4xy )2

= ( x2 + 8y2 + 4xy )( x2 + 8y2 – 4xy ).
- Thay “ 4 ” thành “ 64 ”, ta có bài toán mới: f(x) = x 4 +
64
Hướng dẫn:
f(x) = x4 + 64
= x4 + 16x2 + 64 – 16x2
= ( x2 + 8 )2 – ( 4x )2
= ( x2 + 8 + 4x )( x2 + 8 – 4x ).
VD15: Phân tích đa thức f(x) = x 4 + x2 + 1

thành nhân

tử.
Giải:
f(x) = x4 + x2 + 1
= x4 – x + x 2 + x + 1
= ( x4 – x ) + ( x 2 + x + 1 )
= x( x3 – 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= x( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= ( x2 + x + 1 ) ( x2 – x + 1 ).
PHẦN 3: BIỆN PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN
1)Biện pháp:
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
23


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử
- Để thực hiện tốt kỹ năng giải bài toán phân tích

đa thức thành nhân tử giáo viên cần củng cố các
kiến thức cơ bản sau cho học sinh :
+ Các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và
quy tắc dấu ngoặc ở lớp 6,7.
+ Đầu chương trình lớp 8 là phép nhân: Đơn thức với
đa thức, đa thức với đa thức, các hằng đẳng thức
đáng nhớ.
- Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
học sinh cần:
+ Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan
hệ giữa các hạng tử trong bài toán.
+ Nhận dạng bài toán: Bài toán thuộc dạng nào?
p dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp.
* Lưu ý:
° Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường
hay bỏ sót hạng tử.
° Trong phương pháp nhóm các hạng tử học sinh thường
nhóm chưa hợp lý và đặt sai dấu.
- Việc giải bài toán theo các đònh hướng trên tạo
cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát và nhận
dạng bài toán, có cách nhận xét bài theo quy trình nhất
đònh từ đó biết lựa chọn phương pháp giải thích hợp vận
dụng cho từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng
giải tóan, rèn khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo.
2)Kết quả:
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
24


Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa

thức thành nhân tử
Các biện pháp trên góp phần nâng cao chất lượng

học tập của học sinh được thống kê qua các giai đoạn như
sau:

THỜI ĐIỂM
Từ tháng 9 đến
KSCL đầu năm
Từ tháng 11 đến
thi HKI
Từ tháng 01- 2009
đến giữa HKII

Học sinh có kỹ
năng giải bài
toán
SL
TL

Học sinh chưa
có kỹ năng
giải bài toán
SL
TL

19

45,2%

23

54,8%

25

59,5%

17

40,5%

33

78,6%

9

21,4%

Tóm lại:
Trước khi áp dụng phương pháp trên tôi nhận thấy
nhiều học sinh nhìn nhận giải quyết bài toán chưa đúng,
chưa biết quan sát để thấy được đặc điểm của đề bài,
chưa nắm được phương pháp giải từng dạng toán. Cho
nên nhiều học sinh làm bài còn mơ hồ, trình bày không
khoa học thiếu tính logíc, kỹ năng biến đổi còn hạn chế
và chưa biết tự kiểm tra kết quả.
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp
này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn,

hiểu rõ cách giải toán ở dạng bài tập này. Phương
pháp này giúp cho các học sinh yếu, học sinh trung bình
nắm vững chắc về cách phân tích đa thức thành nhân
Người thực hiện: Lê Trúc Linh
25