Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

BË GI•O DÖC V€ €O T„O
TR×ÍNG „I HÅC VINH

L– V‹N HIšN

MËT SÈ K˜T QUƒ V— T•NH D×ÎI
CH•NH QUY M–TRIC TRONG GIƒI
T•CH BI˜N PH…N V€ ÙNG DÖNG

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

NGH› AN - 2019


BË GI•O DÖC V€ €O T„O
TR×ÍNG „I HÅC VINH

L– V‹N HIšN

MËT SÈ K˜T QUƒ V— T•NH D×ÎI
CH•NH QUY M–TRIC TRONG GIƒI
T•CH BI˜N PH…N V€ ÙNG DÖNG
Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½ch
M¢ sè: 9 46 01 02
LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC

1. TS. Nguy¹n Huy Chi¶u
2. PGS. TS. inh Huy Ho ng

NGH› AN - 2019


LI CAM

OAN

Tổi xin cam oan luên Ăn tián sắ Mởt số kát quÊ vã tẵnh dữợi chẵnh
quy mảtric trong giÊi tẵch bián phƠn v ựng dửng l cổng trẳnh nghiản
cựu cừa riảng tổi, dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS. Nguyạn Huy Chiảu

v PGS. TS. inh Huy Ho ng. CĂc kát quÊ viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc
 ữủc sỹ cho php cừa ỗng tĂc giÊ khi ữa v o luên Ăn. CĂc kát quÊ ữủc
trẳnh b y trong luên Ăn l mợi v chữa cổng bố trong bĐt kẳ cổng trẳnh
nghiản cựu n o tứ trữợc án nay.

TĂc giÊ

Lả Vôn Hin


LI CM èN

TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng cÊm ỡn sƠu s-c nhĐt án cĂc thƯy hữợng
dăn. TS. Nguyạn Huy Chiảu l ngữới  t b i toĂn v tên tẳnh ch bÊo tĂc
giÊ trong suốt quĂ trẳnh nghiản cựu. PGS. TS. inh Huy Ho ng l ngữới Â
hữợng dăn, ởng viản v tÔo iãu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ trong suốt
quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng Ôi hồc Vinh.
TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn quỵ thƯy cổ trong Bở mổn ToĂn GiÊi
tẵch, Hởi ỗng khoa hồc ng nh ToĂn, Viằn Sữ phÔm Tỹ nhiản, Trữớng Ôi

hồc Vinh  tÔo iãu kiằn thuên lủi tĂc giÊ ho n th nh nhiằm vử cừa
nghiản cựu sinh.
Xin chƠn th nh cÊm ỡn TS. TrƯn ThĂi An Nghắa ( Ôi hồc Oakland,
M) Â chia s kinh nghiằm nghiản cựu v õng gõp nhiãu ỵ kián quỵ bĂu
cho tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên Ăn.
TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn Ban giĂm hiằu, Ban chừ nhiằm khoa v cĂc
thƯy cổ, anh ch em v bÔn b ỗng nghiằp Trữớng Ôi hồc H Tắnh,
Khoa Sữ phÔm  quan tƠm ởng viản cụng nhữ tÔo mồi iãu kiằn thuên
lủi trong cổng viằc cho tĂc giÊ têp trung hồc têp v ho n th nh luên Ăn.
Cuối cũng, tĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c tợi cĂc th nh viản
trong gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  luổn ởng viản, chia s v giúp ù tĂc
giÊ trong suốt quĂ trẳnh d i hồc têp v nghiản cựu.
Nghằ An, ng y 03 thĂng 6 nôm 2019
TĂc giÊ

Lả Vôn Hin


1

MệC LệC

M Ưu
Chữỡng 1. Kián thực chuân b

7
21

1.1. Mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt bờ trủ . . . . . . . . . . . . .

21

1.2. Tẵnh chĐt chẵnh quy v iãu kiằn chuân hõa . . . . . . . . .

25

1.3. Kát luên Chữỡng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Chữỡng 2. Ôo h m cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán vợi iãu
kiằn dữợi chẵnh quy mảtric

32

2.1. Tẵnh toĂn Ôo h m cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán . . . . . . .

32

2.2. p dửng v o lỵ thuyát phữỡng trẳnh suy rởng . . . . . . . .

52

2.3. Kát luên Chữỡng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Chữỡng 3. ấn nh xiản thổng qua Ôo h m cừa Ănh xÔ
dữợi vi phƠn cho mởt lợp b i toĂn tối ữu vợi giÊ thiát chẵnh
quy gƯn kã

62

3.1. c trững bêc hai cừa tẵnh ờn nh xiản cho mởt lợp b i toĂn
tối ữu khổng r ng buởc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.2. ấn nh xiản trong quy hoÔch phi tuyán vợi giÊ thiát dữợi chẵnh
quy mảtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74


2

3.3. K¸t luªn Ch÷ìng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

K¸t luªn chung v ki¸n nghà

104

Danh möc cæng tr¼nh cõa NCS câ li¶n quan ¸n luªn ¡n

106

T i li»u tham kh£o

107


3

MậT Sẩ K HIU DềNG TRONG LUN N

9x

tỗn tÔi x

8x

vợi mồi x

f:X!Y
F:X Y
gphF

Ănh xÔ ỡn tr tứ X v o Y
Ănh xÔ a tr tứ X v o Y
ỗ th cừa Ănh xÔ F : X Y

domF

miãn hỳu hiằu cừa Ănh xÔ F : X Y

rgeF

Ênh cừa Ănh xÔ F : X Y

Br(x)
B

hẳnh cƯu õng tƠm x bĂn kẵnh r > 0

rf(x) : X ! Y

Ôo h m cừa f tÔi x

()

h m ch cừa têp

R
R

têp số thỹc
têp số thỹc khổng dữỡng

R

têp số thỹc suy rởng R [ f 1g
têp tĐt cÊ cĂc ma trên thỹc ối xựng cĐp n
khổng gian èclit n chiãu

hẳnh cƯu ỡn v õng

n

S
n
R
R+
n
R

n

têp hủp cĂc vctỡ vợi tồa ở khổng Ơm trong R

n

têp hủp cĂc vctỡ vợi tồa ở khổng dữỡng trong R
têp rộng

;
n

x2R
n
C R
h:; :i

x l phƯn tỷ cừa têp R

n

n

C l têp con cừa R

tẵch vổ hữợng trong R

n

n


4

k:k
int

chuân èclit trong R
phƯn trong cừa têp

conv

bao lỗi cừa têp

n

C ?

n

phƯn bũ trỹc giao cừa C trong R , tực l
?
n

C := u 2 R j hu; xi = 0 vợi mồi x 2 C nõn
n
cỹc cừa C trong R , tực l

Co

posC

o

n

C := u 2 R j hu; xi

0 vợi mồi x 2 C
n

tờ hủp tuyán tẵnh dữỡng cừa C trong R , tực l
n

posC :=
{xi}
'

x!x
x!x
"#0
[ ]+
d (x)
o(t)

P := Q
lim inf '
lim sup '
Nb (x)
N (x)
T (x)

Db F
DF
@'b
@'

P

k

i=1

ici

j

i

0; ci 2 C [ f0g;
o

i = 1; : : : k; k 2 N
dÂy vctỡ

x ! x v '(x) ! '(x)
x!xv x2
"!0v " 0
phƯn dữỡng cừa , tực l [ ]+ := maxf ; 0g
khoÊng cĂch tứ x án
h m ch cừa têp
vổ cũng b bêc cao hỡn t (tực l lim o(t) = 0)
t!0

t

P ữủc nh nghắa bơng Q
kát thúc chựng minh
giợi hÔn dữợi cừa h m số '
giợi hÔn trản cừa h m số '
nõn phĂp tuyán Frchet cừa

tÔi x

nõn phĂp tuyán qua giợi hÔn cừa tÔi x nõn
tiáp tuyán Bouligand-Severi cừa tÔi x ối Ôo
h m Frchet cừa Ănh xÔ F
Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ F dữợi vi
phƠn Frchet cừa h m ' dữợi vi phƠn
qua giợi hÔn cừa h m '


5

I (x)

+

I ( ) (x; x
) (x; x ; v)
K(x; x )
L(x; )
g

têp ch số hoÔt tÔi x
têp cĂc ch số bũ cht
têp cĂc nhƠn tỷ KKT tữỡng ựng vợi (x; x )
têp nhƠn tỷ nhƠn tỷ theo hữợng v
nõn tợi hÔn cừa tÔi (x; x )

L (x; ; )
LP(v)

h m Lagrange

DP(v)

b i toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh phử thuởc tham số v

subregF (x; y)

b i toĂn ối ngău cừa LP(v)

tilt(f; x)

mổ un tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric cừa F tÔi (x; y)

h m Lagrange suy rởng

mổ un chẵnh xĂc cừa tẵnh ờn nh xiản cừa f tÔi x


6

DANH MệC CC CH VIT TT

BEPP

tẵnh chĐt im cỹc biản b chn

CPLD

chuân hõa r ng buởc ởc lêp tuyán tẵnh dữỡng

CRCQ

chuân hõa r ng buởc hÔng hơng

KKT

Karush-Kuhn-Tucker

LICQ

chuân hõa r ng buởc ởc lêp tuyán tẵnh

MFCQ

chuân hõa r ng buởc Mangasaria-Fromivitz

MSCQ

chuân hõa r ng buởc dữợi chẵnh quy mảtric

CPLD

chuân hõa r ng buởc ởc lêp tuyán tẵnh dữỡng nợi lọng

RCQ

chuân hõa r ng buởc Robinson

RUSOSC

iãu kiằn

ừ bêc hai ãu nợi lọng

SSOSC

iãu kiằn

ừ bêc hai mÔnh

USOSC

iãu kiằn

ừ bêc hai ãu


7

Mé U

1. Lỵ do chồn

ãti

Nhơm bờ sung cổng cử khÊo sĂt cĂc b i toĂn tối ữu v b i toĂn liản
quan, Ưu nhỳng nôm 1960, R. T. Rockafellar v J.-J. Moreau ã xuĐt
v nghiản cựu khĂi niằm dữợi vi phƠn cho h m lỗi. Giỳa thêp niản 1970,
F. H. Clarke v B. S. Mordukhovich ởc lêp ữa ra cĂc khĂi niằm dữợi vi
phƠn cho h m cõ th khổng lỗi. Ôo h m v ối Ôo h m cừa Ănh xÔ
a tr xuĐt hiằn v o

Ưu thêp niản 1980. Bản cÔnh

õ, nhiãu khĂi niằm

vi phƠn suy rởng khĂc ( Ôo h m theo hữợng, dữợi Ôo h m, dữợi vi phƠn
bêc hai, dữợi Ôo h m bêc hai,...) cụng  ữủc giợi thiằu v nghiản cựu.
Nôm 1998, R.T. Rockafellar v R. J.-B. Wets xuĐt bÊn cuốn sĂch
chuyản khÊo Variational Analysis ([70]) trản cỡ s tờng hủp, hằ thống
hõa v bờ sung nhỳng kát quÊ cỡ bÊn theo hữợng nghiản cựu n y, Ănh
dĐu sỹ ra ới cừa GiÊi tẵch bián phƠn.

án nay, giÊi tẵch bián phƠn bêc nhĐt  khĂ ho n thiằn, trong khi õ
giÊi tẵch bián phƠn bêc hai ang ữủc nghiản cựu mÔnh m v phĂt trin
nhanh ([21], [55], [56], [70]). Lắnh vỹc n y thu hút ữủc sỹ chú ỵ cừa
nhiãu nh toĂn hồc trong thới gian gƯn Ơy ([6], [8], [55], [70]).
Vi phƠn suy rởng õng vai trỏ trung tƠm trong giÊi tẵch bián phƠn v
ựng dửng ([55]). Hỡn nỳa, ối vợi bĐt ký cĐu trúc vi phƠn suy rởng n o,
luổn cõ hai vĐn ã cỡ bÊn ữủc t ra mởt cĂch tỹ nhiản: thự nhĐt l cĐu
trúc õ phÊn Ănh

ữủc tẵnh chĐt n o cừa h m số, Ănh xÔ hay têp hủp;

thự hai l l m thá n o

tẵnh toĂn hoc ữợc lữủng cĐu trúc

õ theo dỳ


8

liằu ban Ưu cừa b i toĂn. Thỹc tá l

giÊi quyát thĐu

Ăo mội vĐn ã

n y ngữới ta ãu cƯn án thổng tin vã tẵnh chẵnh quy n o õ cừa h m số,
Ănh xÔ hay têp hủp cõ liản quan ([21], [44], [55], [70]). Chẵnh vẳ vêy,
cĂc tẵnh chĐt chẵnh quy l nhỳng ối tữủng nghiản cựu quan trồng
trong giÊi tẵch bián phƠn ([21], [44], [55], [65], [70]).

Tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric l mởt trong nhỳng tẵnh chĐt chẵnh
quy Ăng chú ỵ trong giÊi tẵch bián phƠn bêc nhĐt ([15], [21], [36], [43],
[51]). GƯn Ơy, Â cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu vã tẵnh dữợi chẵnh
quy mảtric trong giÊi tẵch bián phƠn bêc hai ([25], [52]). Tuy vêy, vai
trỏ cừa tẵnh chĐt n y trong giÊi tẵch bián phƠn bêc hai văn l mởt vĐn ã
thú v cƯn ữủc khÊo sĂt thảm.
Vợi cĂc lỵ do nhữ thá, chúng tổi lỹa chồn ã t i luên Ăn cừa mẳnh l
Mởt số kát quÊ vã tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric trong giÊi tẵch bián
phƠn v ựng dửng .
2. Mửc

ẵch nghiản cựu

Mửc ẵch cừa luên Ăn l thiát lêp cĂc kát quÊ nghiản cựu mợi dỹa v o
viằc khÊo sĂt hai vĐn ã cỡ bÊn nảu trản, gõp phƯn l m ró vai trỏ cừa
tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric trong giÊi tẵch bián phƠn v ựng dửng.
3.

ối tữủng nghiản cựu

ối tữủng nghiản cựu cừa luên Ăn l cĂc tẵnh chẵnh quy trong giÊi
tẵch bián phƠn, Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ dữợi vi phƠn (cỏn ữủc gồi l Ôo
h m ỗ th dữợi gradient), tẵnh ờn nh xiản (tilt stability) v tẵnh chĐt
tắnh lng cổ lêp (isolated calmness).
4. PhÔm vi nghiản cựu
- ối vợi vĐn ã thự nhĐt, luên Ăn têp trung nghiản cựu khÊ nông cừa Ôo
h m ỗ th dữợi gradient trong viằc nhên biát tẵnh ờn nh xiản cho


9

cĂc b i toĂn tối ữu khổng r ng buởc vợi h m mửc tiảu chẵnh quy gƯn kã.
ỗng thới, luên Ăn cụng quan tƠm án cĂc b i toĂn quy hoÔch phi tuyán r ng
buởc bĐt ng thực thọa mÂn iãu kiằn dữợi chẵnh quy mảtric vợi h m
mửc tiảu v cĂc h m r ng buởc khÊ vi liản tửc hai lƯn.
- ối vợi vĐn ã thự hai, luên Ăn têp trung v o viằc tẵnh Ôo h m ỗ th
dữợi gradient cho mởt lợp Ănh xÔ nõn phĂp tuyán vợi iãu kiằn dữợi chẵnh
quy mảtric v sỷ dửng kát quÊ tẵnh toĂn n y khÊo sĂt tẵnh chĐt tắnh
lng cổ lêp cừa Ănh xÔ nghiằm cho mởt lợp phữỡng trẳnh suy rởng.
5. Phữỡng phĂp nghiản cựu
Trong luên Ăn n y, chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp tiáp cên bián phƠn

v cĂc kắ thuêt cừa giÊi tẵch h m, giÊi tẵch lỗi, giÊi tẵch a tr, giÊi
tẵch bián phƠn, lỵ thuyát tối ữu.
6. ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn
Luên Ăn gõp phƯn l m phong phú thảm vã quy t-c tẵnh toĂn trong
giÊi tẵch bián phƠn; ỗng thới, luên Ăn cụng ã xuĐt cĂch tiáp cên mợi
nghiản cựu tẵnh ờn nh xiản, cÊi thiằn ữủc mởt số kát quÊ vã tẵnh ờn
nh xiản trong quy hoÔch phi tuyán; qua õ l m ró hỡn vai trỏ cừa tẵnh
dữợi chẵnh quy mảtric trong giÊi tẵch bián phƠn v ựng dửng. Luên Ăn l
t i liằu tham khÊo tốt cho nhỳng ai quan tƠm nghiản cựu lắnh vỹc giÊi
tẵch bián phƠn, lỵ thuyát tối ữu v ựng dửng.
7. Tờng quan v cĐu trúc cừa luên Ăn
7.1. Tờng quan mởt số vĐn

ã liản quan

án luên Ăn

CĂc tẵnh chĐt chẵnh quy õng vai trỏ quan trồng trong giÊi tẵch

bián phƠn v ựng dửng ([55], [56], [70]). Mởt mt, nhỳng tẵnh chĐt n y
ữủc dũng thiát lêp iãu kiằn cỹc tr v nghiản cựu vĐn ã ờn nh cho cĂc


10

b i toĂn tối ữu v cĂc b i toĂn liản quan. Mt khĂc, chúng ữủc sỷ dửng
phĂt trin hằ thống quy t-c tẵnh toĂn trong giÊi tẵch bián phƠn. Ngo i
ra, tẵnh chĐt chẵnh quy cụng ữủc dũng khÊo sĂt sỹ hởi tử cừa cĂc
thuêt toĂn trong tối ữu số ([29], [54], [55], [57], [58]).
Trong giÊi tẵch bián phƠn, ngữới ta  ã xuĐt v nghiản cựu nhiãu khĂi
niằm chẵnh quy khĂc nhau cho cÊ têp hủp, h m giĂ tr thỹc m rởng
v Ănh xÔ a tr. ối vợi têp hủp, têp chẵnh quy Clarke v têp chẵnh quy
gƯn kã l hai khĂi niằm rĐt Ăng chú ỵ, bi vai trỏ quan trồng cừa chúng
trong viằc nghiản cựu lỵ thuyát vi phƠn suy rởng v ựng dửng. Nhỳng
khĂi niằm n y cụng cõ th ữủc dũng nh nghắa tẵnh chẵnh quy cho
h m giĂ tr thỹc m rởng v Ănh xÔ a tr. Chng hÔn, h m giĂ tr thỹc
m rởng l chẵnh quy dữợi vi phƠn náu trản ỗ th cừa nõ l chẵnh quy
Clarke ([70, Definition 7.25]); Ănh xÔ a tr l chẵnh quy ỗ th náu ỗ th
cừa nõ l chẵnh quy Clarke ([70, Definition 8.38]); h m giĂ tr thỹc m
rởng l chẵnh quy gƯn kã náu v ch náu trản ỗ th cừa nõ l chẵnh quy
gƯn kã ([65, Theorem 3.5]). ối vợi Ănh xÔ a tr, cĂc khĂi niằm chẵnh quy
kiu mảtric nhữ chẵnh quy mảtric, chẵnh quy mảtric mÔnh, dữợi
chẵnh quy mảtric v dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh cõ vai trỏ quan trồng
cÊ trong lỵ thuyát lăn ựng dửng ([21], [44], [70]). Ngo i ra, khĂ nhiãu m
rởng v bián th cừa cĂc khĂi niằm chẵnh quy ã cêp trản cụng  xuĐt
hiằn trong giÊi tẵch bián phƠn v tẳm ữủc nhỳng ựng dửng nhĐt nh.
PhƯn tiáp theo cừa tờng quan s têp trung v o tẵnh chẵnh quy gƯn kã v
mởt số tẵnh chĐt chẵnh quy kiu mảtric, bi Ơy l cĂc khĂi niằm chẵnh
quy liản quan trỹc tiáp án õng gõp cừa luên Ăn n y.

KhĂi niằm h m chẵnh quy gƯn kã ữủc Poliquin v Rockafellar ([65])
giợi thiằu nôm 1996. Ngo i cĂc h m lỗi chẵnh thữớng nỷa liản tửc dữợi,
lợp h m chẵnh quy gƯn kã cỏn bao gỗm nhiãu h m số quan trồng khĂc
trong giÊi tẵch bián phƠn v lỵ thuyát tối ữu, nhữ h m khÊ vi cõ Ôo h m
2

Lipschitz a phữỡng, h m dữợi-C ; hủp cừa h m lỗi chẵnh thữớng nỷa


11

liản tửc dữợi vợi Ănh xÔ khÊ vi liản tửc hai lƯn thọa mÂn iãu kiằn chuân hõa
chẵnh quy mảtric, h m ch (indicator function) cừa têp r ng buởc cừa b i
toĂn quy hoÔch phi tuyán vợi chuân hõa r ng buởc dữợi chẵnh quy mảtric
([1], [15], [65]). Bao Moreau (Moreau envelope) cừa h m chẵnh quy gƯn
kã l khÊ vi v cõ Ôo h m Lipschitz a phữỡng, trong khi Ănh xÔ gƯn kã
(proximal mapping) liản kát vợi nõ l ỡn iằu, ỡn tr v Lipschitz a phữỡng
([70, Proposition 13.37]). Ơy l nhỳng tẵnh chĐt Ăng chú ỵ xt tứ gõc ở tối
ữu số. Tẵnh chẵnh quy gƯn kã ữủc dũng nhiãu trong cĂc nghiản cựu vã vi
phƠn suy rởng bêc hai ([65], [70]). Nõ cỏn ữủc sỷ dửng trong nghiản cựu
quĂ trẳnh qut (sweeping process), tẵnh khÊ vi cừa h m khoÊng cĂch v
tẵnh trỡn cừa php chiáu mảtric lản têp khổng lỗi ([5], [16], [27], [67]).
Thổng tin chi tiát vã nhiãu ựng dửng khĂc nhau cừa khĂi niằm chẵnh quy
gƯn kã cõ th tẳm thĐy trong t i liằu [15].
Tẵnh chẵnh quy kiu mảtric cừa Ănh xÔ xuĐt hiằn lƯn Ưu v o cuối thêp
niản 1970. Nõ ữủc sỷ dửng nghiản cựu nhiãu vĐn ã khĂc nhau trong giÊi
tẵch bián phƠn v lỵ thuyát tối ữu, nhữ thiát lêp qui t-c tẵnh toĂn cho cĂc
cĐu trúc vi phƠn suy rởng, nghiản cựu iãu kiằn cỹc tr, tẵnh ờn nh v
phữỡng phĂp giÊi cho cĂc b i toĂn tối ữu v b i toĂn liản quan. KhĂi niằm
chẵnh quy mảtric l mởt vẵ dử in hẳnh vã chẵnh quy kiu mảtric. KhĂi

niằm n y cõ nguỗn gốc tứ nh lỵ Ănh xÔ m Banach-Schauder trong giÊi
tẵch h m v nh lỵ Lyusternik-Graves trong giÊi tẵch phi tuyán. Thuêt ngỳ
chẵnh quy mảtric ữủc Borwein ([9]) ã xuĐt nôm 1986. Borwein v Zhuang
([10]) cũng vợi Penot ([64]) cho thĐy rơng Ănh xÔ a tr l chẵnh quy mảtric
náu v ch náu nõ l m tuyán tẵnh, hỡn nỳa cĂc tẵnh chĐt n y tữỡng ữỡng
vợi tẵnh chĐt Aubin cừa Ănh xÔ ngữủc. Nôm 1993, Mordukhovich ([54]) Â
thiát lêp ữủc c trững ối Ôo h m cho cĂc Ănh xÔ a tr chẵnh quy mảtric v
tiảu chuân Mordukhovich cho tẵnh chĐt Aubin ([70, Theorem 9.40]).
Nôm 2003, nghiản cựu vĐn ã bÊo tỗn tẵnh chẵnh quy mảtric cừa Ănh
xÔ a tr dữợi tĂc ởng cừa nhiạu,


12

Dontchev v cĂc cởng sỹ ([22]) Â giợi thiằu khĂi niằm bĂn kẵnh chẵnh quy
mảtric (the radius of metric regularity) cừa Ănh xÔ a tr, ỗng thới ữa ra
cổng thực tẵnh Ôi lữủng n y thổng qua ối Ôo h m cừa Ănh xÔ a tr ữủc
xem xt. Kát quÊ n y l mởt m rởng cừa nh lỵ Eckart-Young nời tiáng
trong giÊi tẵch số. ị tững bĂn kẵnh chẵnh quy mảtric sau õ ữủc Ăp
dửng nghiản cựu tẵnh chẵnh quy mảtric mÔnh v mởt số khĂi niằm
khĂc, dăn án sỹ hủp nhĐt cừa nhiãu kát quÊ cỡ bÊn cừa giÊi tẵch bián
phƠn. Thổng tin chi tiát vã tẵnh chẵnh quy mảtric cõ th tẳm thĐy trong
cĂc b i bĂo tờng quan vã vĐn ã n y cừa Ioffe (xem [40], [41], [42]).
Mởt tẵnh chĐt chẵnh quy kiu mảtric khĂc cụng rĐt quan trồng trong
cĂc nghiản cựu iãu kiằn tối ữu v quy t-c tẵnh toĂn cừa cĂc cĐu trúc vi phƠn
suy rởng l tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric. Nõ l mởt tẵnh chĐt yáu hỡn nhiãu
so vợi tẵnh chẵnh quy mảtric. Nôm 1979, Ioffe sỷ dửng tẵnh chĐt n y
nh nghắa khĂi niằm im chẵnh quy ([39]) v thiát lêp iãu kiằn cƯn tối ữu
bêc nhĐt cho mởt lợp b i toĂn tối ữu ([38]). Thuêt ngỳ dữợi chẵnh quy
mảtric ữủc ã xuĐt nôm 2004 bi Dontchev v Rockafellar ([20]). Tẵnh dữợi

chẵnh quy mảtric cừa Ănh xÔ a tr tữỡng ữỡng vợi tẵnh chĐt tắnh lng
(calmness) cừa Ănh xÔ ngữủc ([21, Theorem 3H.3]). Nôm 2008, Ioffe v
Outrata ([43]) Â thiát lêp ữủc hằ thống quy t-c tẵnh toĂn cho cĂc cĐu trúc
vi phƠn suy rởng bêc nhĐt dÔng ối ngău vợi iãu kiằn dữợi chẵnh quy
mảtric. Cổng trẳnh n y cụng cho thĐy rơng iãu kiằn chuân hõa dũng
trong hằ thống quy t-c tẵnh toĂn chuân cho cĂc cĐu trúc vi phƠn suy
rởng bêc nhĐt dÔng ối ngău, ữủc trẳnh b y trong cĂc cuốn sĂch chuyản
khÊo [55] v [70], thỹc chĐt l tữỡng ữỡng vợi tẵnh chẵnh quy mảtric cừa
Ănh xÔ a tr thẵch hủp. Ngo i cĂc quy t-c tẵnh toĂn cho

vi phƠn suy rởng bêc nhĐt, gƯn Ơy, cĂc nh nghiản cựu cụng  thiát lêp
ữủc nhiãu quy t-c tẵnh toĂn cho cĂc cĐu trúc vi phƠn suy rởng bêc hai
vợi giÊ thiát dữợi chẵnh quy mảtric. Tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric cụng
cõ vai trỏ quan trồng trong lỵ thuyát h m phÔt chẵnh xĂc v chn sai số


13

([11], [40], [38], [39], [45], [72], [74]) cụng nhữ trong tối ữu số ([46]).
Ôo h m ỗ th (graphical derivative) cừa Ănh xÔ a tr tÔi im thuởc
ỗ th l Ănh xÔ a tr cõ ỗ th l nõn tiáp tuyán cừa ỗ th Ănh xÔ a tr  cho
tÔi im ữủc xem xt. KhĂi niằm n y ữủc Aubin ([3]) ã xuĐt nôm 1981 vợi
tản gồi l Ôo h m contingent. Thuêt ngỳ Ôo h m ỗ th  ữủc sỷ dửng
trong cuốn sĂch chuyản khÊo Variational Analysis xuĐt bÊn nôm 1998
cừa Rockafellar v Wets ([70]) v hiằn nay nõ l thuêt ngỳ thổng dửng
ch khĂi niằm trản. Ôo h m ỗ th l cổng cử mÔnh trong giÊi tẵch bián
phƠn ([4], [21], [70]). Nõ Â ữủc dũng nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa cĂc
hằ r ng buởc, hằ bián phƠn v tờng quĂt hỡn l cĂc phữỡng trẳnh suy rởng
([4], [21], [44], [47], [48], [49], [70]). Ôo h m ỗ th cỏn cõ th sỷ dửng
c trững mởt số tẵnh chĐt tốt cừa Ănh xÔ a tr nhữ tẵnh chẵnh quy

mảtric, tẵnh chĐt Aubin ([4], [21], [23]), tẵnh chĐt tắnh lng cổ lêp v
tẵnh dữợi chẵnh quy mảtric mÔnh ([21], [47], [48]). Ngo i ra, ỗ th cừa
Ôo h m ỗ th cụng  õng vai trỏ trung gian trong viằc tẵnh toĂn cĂc
cĐu trúc kiu Ôo h m ối ngău ([18], [29], [37]). Mc dũ
l chẳa khõa giÊi quyát nhiãu vĐn ã quan trồng trong giÊi tẵch bián
phƠn, tẵnh toĂn Ôo h m ỗ th nõi chung l b i toĂn khõ. Nõ Â ữủc nhiãu
ngữới nghiản cựu trong thới gian d i v nhiãu kát quÊ thú v theo hữợng n
y  ữủc thiát lêp ([4], [21], [35], [37], [47], [48], [49], [70], [73]).
Xt têp

cho bi cổng thực
n

:= x 2 R j q(x) 2 ;
n

m

trong õ q : R ! R , q(x) = (q1(x); q2(x); :::; qm(x)); l Ănh xÔ khÊ vi liản
m

n

tửc hai lƯn v R l têp õng khĂc rộng. t Mq(x) := q(x) vợi x 2 R : Náu =
m

R thẳ l miãn r ng buởc cừa quy hoÔch phi tuyán v , trong trữớng hủp n
y, chuân hõa r ng buởc Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) úng tÔi x 2
khi v ch khi Ănh xÔ Mq chẵnh quy mảtric quanh (x; 0): Hỡn nỳa, náu
n

thảm giÊ thiát qi : R ! R; i = 1; 2; :::; m; l


14

cĂc h m lỗi, thẳ iãu kiằn Slater úng khi v ch khi M q chẵnh quy mảtric.
Náu l nõn lỗi õng thẳ chẵnh l miãn r ng buởc cừa quy hoÔch nõn
v khi õ chuân hõa r ng buởc Robinson (RCQ) l tữỡng ữỡng vợi tẵnh
chẵnh quy mảtric cừa Mq: iãu kiằn Slater, MFCQ v RCQ ãu l cĂc chuân
hõa r ng buởc rĐt quan trồng trong lỵ thuyát tối ữu v ựng dửng. Nhỳng iãu
kiằn n y vã bÊn chĐt chẵnh l tẵnh chẵnh quy mảtric cừa Ănh
xÔ a tr Mq ([8], [29]). Do õ, cõ th gồi chung cĂc iãu kiằn n y l chuân

hõa r ng buởc chẵnh quy mảtric. Nôm 2015, vợi l miãn r ng buởc cừa
quy hoÔch phi tuyán, Gfrerer v Mordukhovich ([29]) Â giợi thiằu khĂi
niằm chuân hõa r ng buởc dữợi chẵnh quy mảtric (MSCQ), õ l iãu kiằn
Mq l dữợi chẵnh quy mảtric. Sau õ, khĂi niằm n y  ữủc m rởng mởt
cĂch tỹ nhiản cho l têp õng bĐt ký ([12], [31], [34]).
Trong luên Ăn n y, chúng tổi quan tƠm vĐn ã tẵnh Ôo h m ỗ th DN
n

n

cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán N : R R ; x 7!N (x); vợi l têp lỗi a diằn. Vẳ
nõn phĂp tuyán N (x) l dữợi vi phƠn cừa h m ch liản kát vợi nản Ôo h m ỗ
th cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán l trữớng hủp c biằt cừa Ôo h m ỗ th cừa
Ănh xÔ dữợi vi phƠn v vĐn ã nghiản cựu Ơy thuởc lắnh vỹc giÊi tẵch bián
phƠn bêc hai. Kát quÊ Ưu tiản vã tẵnh Ôo h m DN ữủc thiát lêp v o nôm
1996 bi Dontchev v Rockafellar ([18]), õ cĂc tĂc giÊ n y  mổ tÊ ữủc

chẵnh xĂc ỗ th cừa DN ; vợi giÊ thiát l têp lỗi a diằn, theo dỳ liằu Ưu v o
cừa b i toĂn. Kát quÊ n y sau õ Â ữủc dũng tẵnh dữợi vi phƠn bêc hai qua
giợi hÔn cừa h m ch cừa ([55]). Ơy l khƠu quan trồng thu ữủc c trững
tẵnh chẵnh quy mảtric mÔnh cừa bĐt ng thực bián phƠn trản têp lỗi a
diằn trong [18]. Tẵnh lỗi a diằn cừa têp õng vai trỏ cốt yáu trong k thuêt
xỷ lỵ cừa Dontchev v Rockafellar ([18]). Dỹa v o mởt số quy t-c tẵnh
toĂn cõ sđn cừa giÊi tẵch bián phƠn, nôm 2013, Henrion cũng cĂc cởng
sỹ ([35]) Â giợi thiằu cổng thực tẵnh Ôo h m DN vợi giÊ thiát Mq(x) := q(x)
chẵnh quy mảtric quanh im ữủc xem xt. Hỡn nỳa,


15
m

náu := R v cÊ MFCQ v chuân hõa r ng buởc hÔng hơng (CRCQ) ãu
thọa mÂn thẳ cổng thực n y tr nản ỡn giÊn hỡn nhiãu ([35]). Nôm
2014, Gfrerer v Outrata ([28]) Â chựng minh ữủc cổng thực tẵnh Ôo h
m ỗ th cừa Henrion cũng cĂc cởng sỹ ([35]) văn úng náu := R

m

v iãu kiằn chẵnh quy mảtric ữủc thay bi iãu kiằn yáu hỡn l tẵnh dữợi
chẵnh quy mảtric úng tÔi im ữủc xem xt v mởt tẵnh chẵnh quy
mảtric ãu úng quanh im n y. Mởt õng gõp rĐt quan trồng cừa Gfrerer v
Outrata ([28]) l viằc ã xuĐt ữủc lữủc ỗ chựng minh trỹc tiáp cổng thực
tẵnh Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ nõn phĂp, m ữớng giÊi
quyát mởt cĂch thọa Ăng b i toĂn tẵnh Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ nõn
mm

1

phĂp tuyán. Sỷ dửng lữủc ỗ n y cho trữớng hủp := f0 Rm1 g R
vợi chuân hõa r ng buởc dữợi chẵnh quy mảtric, nôm 2015, Gfrerer v
Mordukhovich ([29]) Â chựng tọ rơng kát quÊ tữỡng tỹ văn úng náu thay
iãu kiằn chẵnh quy mảtric ãu bi iãu kiằn yáu hỡn, õ l tẵnh chĐt im cỹc
biản b chn (BEPP) ữủc thọa mÂn.

Kát quÊ tẵnh toĂn Ôo h m ỗ th cừa Dontchev v Rockafellar ([18]) v
cĂc kát quÊ thiát lêp vã sau nõi chung l ởc lêp vợi nhau theo nghắa l tứ
kát quÊ cừa Dontchev v Rockafellar ([18]) khổng suy ra ữủc cĂc kát
quÊ vã sau v ngữủc lÔi. Tuy nhiản, vã bÊn chĐt, chúng ãu cõ giÊ thiát
l thọa mÂn chuân hõa dữợi chẵnh quy mảtric v mởt tẵnh chĐt n o õ
thảm v o. iãu n y dăn tợi cƠu họi tỹ nhiản nhữ sau: Liằu chúng ta cõ th
hủp nhĐt cĂc kát quÊ tẵnh toĂn Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán
bơng cĂch bọ tẵnh chĐt thảm v o ữủc khổng? Nõi cĂch khĂc, cĂc
cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán  ã cêp trản
cõ cỏn úng khổng náu ch giÊ thiát Mq dữợi chẵnh quy mảtric?
Trong Chữỡng 2, vợi giÊ thiát Mq dữợi chẵnh quy mảtric tÔi im ữủc
xem xt v l têp lỗi a diằn, bọ tẵnh chĐt thảm v o, chúng tổi chựng
minh ữủc cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán nhữ
trản văn úng v nhữ vêy trÊ lới ữủc mởt cĂch khng nh cho cƠu


16

họi nảu trản. thiát lêp cổng thực n y, chúng tổi  sỷ dửng lữủc ỗ
chựng minh cừa Gfrerer v Outrata ([28]) kát hủp vợi mởt ỵ tững cừa
Ioffe v Outrata ([43]). Nhớ cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ
nõn phĂp tuyán, chúng tổi thu ữủc cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th cừa
Ănh xÔ nghiằm v c trững ữủc tẵnh chĐt tắnh lng cổ lêp cừa Ănh xÔ
nghiằm cho mởt lợp phữỡng trẳnh suy rởng. Kát quÊ cừa chúng tổi

hủp nhĐt ữủc nhiãu kát quÊ liản quan theo hữợng nghiản cựu n y.
ấn nh xiản (tilt stability) l mởt tẵnh chĐt cừa cỹc tiu a phữỡng
Êm bÊo im n y s dch chuyn kiu Lipschitz khi h m mửc tiảu cừa
b i toĂn tối ữu chu nhiạu tuyán tẵnh nhọ. KhĂi niằm ờn nh xiản ữủc
Poliquin v Rockafellar ([66]) giợi thiằu cho b i toĂn tối ữu khổng r ng
buởc vợi h m mửc tiảu l h m giĂ tr thỹc m rởng. Khi xt cĂc b i toĂn tối
ữu cõ r ng buởc ngữới ta kát hủp cĂc r ng buởc v o h m mửc tiảu thổng
qua h m ch cừa têp im chĐp nhên ữủc v sỷ dửng tữỡng tỹ nhữ b i toĂn
tối ữu khổng r ng buởc ta cõ tẵnh ờn nh xiản cừa b i toĂn tối ữu cõ r
ng buởc. Tẵnh ờn nh xiản vã cỡ bÊn tữỡng ữỡng vợi iãu kiằn tông
trững bêc hai ãu cụng nhữ tẵnh chẵnh quy mảtric mÔnh cừa Ănh xÔ
dữợi vi phƠn ([8], [24], [57]). CĂc tẵnh chĐt n y ữủc nghiản cựu rĐt nhiãu
trong nhỳng nôm gƯn Ơy.
c trững Ưu tiản cừa tẵnh ờn nh xiản bơng cĂch dũng vi phƠn
suy rởng bêc hai ữủc Poliquin v Rockafellar ([66]) thiát lêp v o nôm
1998. Khi õ, cĂc tĂc giÊ n y  chựng minh ữủc rơng ối vợi b i toĂn tối ữu
khổng r ng buởc m h m mửc tiảu chẵnh quy gƯn kã v liản tửc dữợi vi
phƠn, mởt im dứng l cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản náu v ch náu dữợi
vi phƠn qua giợi hÔn bêc hai cừa h m mửc tiảu l xĂc nh dữỡng tÔi im
ữủc xem xt. Hỡn nỳa, sỷ dửng kát quÊ n y cũng vợi cổng thực cừa
Dontchev v Rockafellar ([18]) vã tẵnh dữợi vi phƠn qua giợi hÔn bêc hai
cừa h m ch cừa têp lỗi a diằn, Poliquin v Rockafellar  thu ữủc c
trững bêc hai cho tẵnh ờn nh xiản cừa b i toĂn quy hoÔch phi tuyán


17

vợi r ng buởc tuyán tẵnh ([66, Theorem 4.5]). Khõ khôn lợn nhĐt trong
viằc Ăp dửng c trững ờn nh xiản cừa Poliquin v Rockafellar ([66]) cho
b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc phi tuyán l tẵnh toĂn dữợi vi phƠn bêc hai

theo dỳ liằu ban Ưu cừa b i toĂn.
Nôm 2012, nhớ thiát lêp cĂc cổng thực tẵnh dữợi vi phƠn bêc hai
mợi, Mordukhovich v Rockafellar ([62]) Â thu ữủc c trững bêc hai cừa
cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản cho mởt số lợp b i toĂn tối ữu cõ r ng
buởc. c biằt, cĂc tĂc giÊ n y  cho thĐy rơng mởt im dứng cừa quy
hoÔch phi tuyán thọa mÂn chuân hõa r ng buởc ởc lêp tuyán tẵnh
(LICQ) l cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản náu v ch náu iãu kiằn ừ bêc hai
mÔnh (SSOSC) úng. Cụng trong nôm 2012, vợi quy hoÔch phi tuyán
thọa mÂn cÊ MFCQ v CRCQ, Mordukhovich v Outrata ([59]) Â chựng
minh SSOSC l iãu kiằn ừ mởt im dứng l cỹc tiu a phữỡng ờn nh
xiản. Nôm 2015, Mordukhovich v Nghia ([57]) Â cho thĐy SSOSC
khổng phÊi l iãu kiằn cƯn cho tẵnh ờn nh xiản v sau õ Â giợi thiằu iãu
kiằn ừ bêc hai ãu (USOSC) c trững tẵnh ờn nh xiản khi cÊ MFCQ v
CRCQ úng. GƯn Ơy, Gfrerer v Mordukhovich ([29]) Â thu ữủc mởt số iãu
kiằn ừ bêc hai cho cỹc tiu ờn nh xiản cừa b i toĂn quy hoÔch phi
tuyán thọa mÂn MSCQ v BEPP. Hỡn nỳa, khi thảm iãu kiằn khổng suy
thoĂi hoc 2-chẵnh quy v o thẳ hồ Â thu ữủc c trững bêc hai cho cỹc
tiu a phữỡng ờn nh xiản. c trững tẵnh ờn nh xiản thổng qua
tẵnh xĂc nh dữỡng ãu cừa dữợi vi phƠn bêc hai kát hủp, thiát lêp bi
Mordukhovich v Nghia ([57]), l cổng cử thiát yáu cho cĂc nghiản cựu
trong [29].
Thay vẳ sỷ dửng cĂc dữợi vi phƠn bêc hai, trong luên Ăn n y chúng
tổi sỷ dửng Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ dữợi vi phƠn, cỏn ữủc gồi l Ôo
h m ỗ th dữợi gradient ([70]), c trững tẵnh ờn nh xiản. Ơy l cĂch
tiáp cên nghiản cựu ờn nh xiản chữa tứng ữủc sỷ dửng bi cĂc tĂc giÊ
khĂc. Trản thỹc tá, Ôo h m ỗ th dữợi gradient v dữợi vi phƠn bêc


18

hai l cĂc khĂi niằm ởc lêp; tuy nhiản, dữợi cĂc iãu kiằn bờ sung, giĂ tr
cừa Ôo h m ỗ th dữợi gradient cõ th ỗng nhĐt vợi mởt têp con cừa
giĂ tr cừa dữợi vi phƠn bêc hai ([70], [71]). Lủi thá cừa cĂch tiáp cên n y
l hiằn nay  cõ sđn cĂc cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th dữợi gradient
trong nhiãu trữớng hủp vợi giÊ thiát khĂ nhà ([12], [28], [32], [61]). Hỡn
nỳa, mởt số kát quÊ vã tẵnh ờn nh xiản, chng hÔn [29], Â ữủc thiát
lêp dỹa trản tẵnh toĂn Ôo h m ỗ th dữợi gradient nhữ l mởt bữợc trung
gian. CĂc quan sĂt n y dăn án cĂc cƠu họi tỹ nhiản nhữ sau:
Liằu chúng ta cõ th sỷ dửng Ôo h m ỗ th dữợi gradient c trững
tẵnh ờn nh xiản cừa cỹc tiu a phữỡng cừa b i toĂn tối ữu khổng r
ng buởc vợi h m mửc tiảu chẵnh quy gƯn kã v liản tửc dữợi vi phƠn ữủc
khổng? Náu cõ thẳ c trững n y cõ th giúp chúng ta cÊi thiằn cĂc kát
quÊ Â thiát lêp vã tẵnh ờn nh xiản cho b i toĂn quy hoÔch phi tuyán
ữủc khổng? GiÊ thiát chẵnh quy gƯn kã cõ bọ ữủc khổng?
Chữỡng 3 cừa luên Ăn s trÊ lới cĂc cƠu họi trản mởt cĂch Ưy ừ, cử th
nhữ sau: Chúng tổi thiát lêp ữủc c trững tẵnh ờn nh xiản cừa cỹc
tiu a phữỡng cừa b i toĂn tối ữu khổng r ng buởc thổng qua Ôo
h m ỗ th dữợi gradient; Ăp dửng kát quÊ n y v o quy hoÔch phi tuyán
thọa mÂn MSCQ, chúng tổi thu ữủc cĂc iãu kiằn ừ v cĂc c trững cho
cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản. c biằt, chúng tổi cho thĐy rơng
SSOSC l iãu kiằn ừ mởt im dứng thọa mÂn MSCQ l cỹc tiu
a phữỡng ờn nh xiản. Kát quÊ n y cÊi thiằn kát quÊ tữỡng ựng cừa
Mordukhovich v Outrata ([59]) õ cĂc tĂc giÊ n y giÊ thiát cÊ MFCQ
v CRCQ ãu ữủc thọa mÂn. Vợi b i toĂn quy hoÔch to n phữỡng cõ mởt r
ng buởc to n phữỡng dÔng bĐt ng thực thọa mÂn MSCQ, nhớ khai thĂc
cĐu trúc c thũ cừa b i toĂn, chúng tổi thu ữủc c trững tẵnh ờn nh
xiản mởt cĂch ỡn giÊn v tữớng minh hỡn.


19

7.2. CĐu trúc luên Ăn
Nởi dung luên Ăn ữủc trẳnh b y trong 3 chữỡng. Ngo i ra, luên Ăn
cỏn cõ Lới cam oan, Lới cÊm ỡn, Mửc lửc, M Ưu, Kát luên v kián ngh,
Danh mửc cĂc cổng trẳnh khoa hồc cừa nghiản cựu sinh liản quan
trỹc tiáp án luên Ăn v Danh mửc t i liằu tham khÊo.
Chữỡng 1 ữủc d nh trẳnh b y cĂc kián thực chuân b, l m cỡ s
cho viằc giợi thiằu cĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn trong hai chữỡng sau.
Chữỡng n y gỗm cõ 2 mửc. Mửc 1.1 trẳnh b y mởt số khĂi niằm, kẵ
hiằu liản quan án Ănh xÔ a tr, h m giĂ tr thỹc m rởng v cĂc cĐu trúc
vi phƠn suy rởng. Mửc 1.2 nh-c lÔi tẵnh chĐt chẵnh quy mảtric, dữợi
chẵnh quy mảtric, chẵnh quy mảtric mÔnh, dữợi chẵnh quy mảtric
mÔnh, tẵnh chĐt Aubin cừa Ănh xÔ a tr; ỗng thới trẳnh b y cĂc iãu kiằn
chuân hõa quan trồng dũng trong luên Ăn v mởt số kát quÊ cũng hữợng
nghiản cựu vợi luên Ăn, ữủc sỷ dửng trong nhỳng chữỡng tiáp theo.
Chữỡng 2 têp trung nghiản cựu cổng thực tẵnh Ôo h m ỗ th cừa
Ănh xÔ nõn phĂp tuyán cho trữớng hủp l têp lỗi a diằn vợi M q l dữợi chẵnh
quy mảtric v cĂc Ăp dửng cừa cổng thực n y. Mửc 2.1 ữủc d nh thiát
lêp cổng thực tẵnh toĂn Ôo h m ỗ th cừa Ănh xÔ nõn phĂp tuyán. Mửc
2.2 cung cĐp cĂc kát quÊ vã tẵnh Ôo h m ỗ th v c trững tẵnh tắnh
lng cổ lêp cừa Ănh xÔ nghiằm cho mởt lợp phữỡng trẳnh suy rởng
chựa tham số.
Chữỡng 3 ữủc d nh trẳnh b y cĂc kát quÊ vã tẵnh ờn nh xiản cho
b i toĂn tối ữu vợi giÊ thiát chẵnh quy gƯn kã. Mửc 3.1 nghiản cựu c
trững tẵnh ờn nh xiản cừa b i toĂn tối ữu khổng r ng buởc thổng qua
Ôo h m ỗ th dữợi gradient. Dỹa v o kát quÊ thu ữủc mửc 3.1, mửc 2.1
v mởt số kát quÊ cừa cĂc tĂc giÊ khĂc, mửc 3.2 thiát lêp cĂc iãu kiằn cƯn,
ừ mởt im dứng cừa b i toĂn quy hoÔch phi tuyán vợi chuân hõa dữợi
chẵnh quy mảtric l cỹc tiu a phữỡng ờn nh xiản.

20

CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn  ữủc trẳnh b y tÔi seminar cừa Bở
mổn GiÊi tẵch thuởc Viằn Sữ phÔm Tỹ nhiản - Trữớng Ôi hồc Vinh, cĂc
Hởi thÊo Tối ữu v Tẵnh toĂn Khoa hồc lƯn thự 15 (Ba Vẳ, 2022/04/2017) v lƯn thự 16 (Ba Vẳ, 19-21/04/2018) v cĂc Hởi ngh NCS
cừa Trữớng Ôi hồc Vinh. Nhỳng kát quÊ n y  ữủc cổng bố trong 02 b i
bĂo trản tÔp chẵ toĂn hồc quốc tá thuởc danh mửc SCI uy tẵn (SIAM
Journal on Optimization) v 01 b i  gỷi ông.
TĂc giÊ

Lả Vôn Hin


21

CHìèNG 1
KIN THC CHUN B

Trong luên Ăn n y, náu khổng giÊi thẵch gẳ thảm, cĂc khổng gian
n

ữủc sỷ dửng l khổng gian èclit R vợi tẵch vổ hữợng h ; i v chuân èclit
k k thổng thữớng.

1.1

Mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt bờ trủ

Mửc n y trẳnh b y mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt trong giÊi tẵch

bián phƠn ữủc sỷ dửng trong cĂc chữỡng tiáp theo, cĂc kát quÊ n y chừ
yáu ữủc trẵch tứ [55], [56] v [70].
n

1.1.1 nh nghắa. ([70, Chapter 5]) nh xÔ F bián mội x 2 R th nh mởt
v ch mởt têp F (x) R
n m
hiằu bi F : R R .

m

n

ữủc gồi l Ănh xÔ a tr tứ R v o R

m

n

v ữủc kẵ
m

Náu vợi mồi x 2 R têp F (x) ch cõ úng mởt phƯn tỷ trong R thẳ ta
n

nõi F l Ănh xÔ ỡn tr tứ R v o R
n

m

v khi õ ngữới ta sỷ dửng kẵ hiằu

m

thổng thữớng F : R ! R .
n

Nhữ vêy, vợi mội x 2 R , F (x) R

m

v khổng loÔi trứ trữớng hủp F (x)

= ;.
Miãn hỳu hiằu, Ênh v

ỗ th cừa Ănh xÔ

a tr F

ữủc

nh nghắa