TONG HOP KIEN THUC TOAN LOP 12

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12
CÔNG THỨC LŨY THỪA
Cho các số dương a, b và m, n 


 a0  1

. Ta có:

a.a...........a với n 

an

*

n thừa số

 (a )  a
m n

mn

 (a n ) m

 a .a  a
m

n

m n

1
an



an 



am
 a mn
n
a
1

 a b  (ab)
n n

a a
 
bn  b 
n

n



n



m

an  a

 a  a2

n
m

1

 3 a  a3

CÔNG THỨC LOGARIT
Cho các số a, b  0, a  1. Ta có:
 log a b    a  b

 lg b  log b  log10 b

 ln b  log e b

 log a 1  0

 log a a  1

 log a a  b

 log a b  n log a b

 log am b n 

 log a (bc)  log a b  log a c

b
 log a    log a b  log a c
c

 log a b.logb c  log a c



a loga b  b
  log c
log a
a b  c b
1
 log a b 
logb a



 log am b 

1
log a b
m

b

n

log a c
 logb c
log a b

n
log a b
m

HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT
HÀM LŨY THỪA
 Dạng:

y  x
yu



với u là đa

ax

y

a

u

với

a

0

a

1

Nếu

ĐK

u

.

Nếu

ĐK

u

0.

ĐK

.

.

u

0.

ax

y

a x ln a

y

au

y

a x ln a. u

Đặc biệt:

Nếu a

y  x 
 y   x 1
 1

(e x )

ex

(eu )

eu . u

 Sự biến thiên: y

 Đạo hàm:

y  u 
 y   u

y

trên

. u

.

.

ax

1 thì hàm đồng biến
. Nếu 0

a

1 thì

hàm nghòch biến trên

 Dạng:

.

y

log a x

y

log a u

 Đặc biệt: a

a

 Đạo hàm:

 Tập xác đònh:



 Dạng:

y

HÀM SỐ LOGARIT

 Tập xác đònh: D

thức đại số.

Nếu

HÀM SỐ MŨ

10

y

e

với

y

log x

a

0

a

1

.

ln x ;
lg x .

 Điều kiện xác đònh: u 0 .
 Đạo hàm:
1
y log a x
y
x ln a
.
u
y log a u
y
u ln a
1
(ln x)
x
Đặc biệt:
.
u
(ln u)
u
 Sự biến thiên: y log a x
Nếu a
trên (0;

1 : hàm đồng biến
) . Nếu 0

a

hàm nghòch biến trên (0;

1:
)


ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT
ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ

 Ta thấy: a x

0

 Ta thấy: cx

c

a

1; bx

1; dx

ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

b

0

d

1.

1.

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ trái sang phải, trúng a x trước nên a b .
 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ trái sang phải, trúng c x trước nên c d.
 Vậy 0 b a 1 d c.

 Ta thấy: log a x

0

a

1; logb x

 Ta thấy: log c x

c

1; log d x

0
d

b

1.

1.

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ phải sang trái, trúng log b x trước: b a.
 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c.
 Vậy 0

a

b

1

c

d.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Phương trình mũ
 Dạng cơ bản: a

f ( x)

 a g ( x )  f ( x)  g ( x)

 Dạng logarit hóa:

Phương trình Logarit
 Dạng cơ bản:

log a f ( x)  log ag( x)  f ( x)  g ( x)  0
 Dạng mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  a

a f ( x )  b  f ( x)  log a b

b

(không cần điều kiện)

a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bất Phương trình mũ

Bất Phương trình Logarit
 Dạng cơ bản:

a 1

 Dạng cơ bản:

 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

a 1

 log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0

0 a 1

 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

0 a 1

 log a f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x)

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
 k  0
Với k là hằng số

 e   e

  e   e . u



x

x

u

u

 ( x )   x


 1


(u )   u 1. u

 a   a ln a

  a   a .ln a. u



x

x

u

u



 

   

 u   2uu

u
 1 


    2
u
u





 1 
 x

1

x 
2 x

 sin x   cos x


  sin u   u cos u



1
x2

 cos x    sin x


  cos u    u sin u

1
  1  cot 2 x 
2
sin x
u

  cot u    2   u 1  cot 2 u
sin u

 tan x  

1
 1  tan 2 x
2
cos x
u

  tan u  
 u 1  tan 2 u
2
cos u









 cot x   





CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM






k. f ( x)dx  k  f ( x)dx

1)



kdx  kx  C



f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)

  f ( x)  g ( x)dx  




x 1
x dx 
C
 1

f ( x)dx   g ( x)dx

2dx  2 x  C









kdx  kx  C

(3)dx  3x  C
3

x4
x dx   C
4

1
2

x2
2 3
 
2) 
C 
x C
  xdx   x dx 
3/ 2
3
1 (ax  b) 1
MR
1 (1  x)11
(1  x)11
10

  (ax  b) dx  .
C
.
C 
C
  (1  2 x) dx 
a
 1
2
11
22
1
1
1

1
1
MR
3)  dx  ln x  C 
 

dx  ln ax  b  C
dx 
ln 1  3x  C
x
ax  b
a
1  3x
3
1
1
1
1 1
1
1 1
1
MR

dx  .
C
dx  .
C  
C
4)  2 dx    C 
 

2
2
x
x
(ax  b)
a ax  b
(2 x  3)
2 2x  3
4x  6


3

x3
1
 2 1 1

x



10
dx

 ln x   10 x  C
  x x2 
3
x
1
MR

5)  e x dx  e x  C 
  eax b dx  eax b  C
a


ax
C
6)  a dx 
ln a
1 abx c
MR
bx  c

a
dx

.
C

b ln a
x


7)












1 32 x 5
32 x 5
32 x 5 dx  .
C 
C
2 ln 3
2ln 3

cos xdx  sin x  C







1
sin(ax  b)  C
a

 3sin x  2cos x  dx  3cos x  2sin x  C











3 dx  

2 .3 dx  

9x
9 dx 
C
ln 9
x

1
1
6x
x
2 .3 . dx   6 dx 
C
3
3
3ln 6
x

x


1



sin  4 x   dx   cos  4 x    C
2
4
2



2

1






cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C
1  3
3


3

a 1; b 





2x

x 1

x

a  4; b 



1
dx   1  tan 2 x  dx  tan x  C
cos 2 x
1
1
MR


dx  tan  ax  b   C
2
cos  ax  b 
a

9)





sin xdx   cos x  C

MR

  cos(ax  b)dx 



5x
5 dx 
C
ln 5

1
MR

  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C
a
8)



x5  1
1
x5


dx    x 4   dx   ln x  C
x
x
5

1
e x dx  e x  C  e x  C
1

x

 ex1  2 ex dx    e2 x1  2ex  dx  12 e2 x1  2e x  C





3

sin 2 xdx  

1
1
1
1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   C
2
2
2


(hạ bậc)








1  2cos x
 1

dx   
 2  dx  tan x  2 x  C
2
2
cos x
 cos x

1
1
dx  tan 3x  C
2
cos 3x
3
2


1
MR


  1  tan 2  ax  b   dx  tan  ax  b   C
a







1  tan 2   2 x   dx  1 tan   2 x   C


2
a 2; b  


x sin 2 x  1
1 
x2

dx

x

dx

 cot x  C
 sin 2 x
  sin 2 x 

2
1
1
 
dx   cot 8 x  C
2
sin 8 x
8
1
1
MR
2
2

 1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C   1  cot 3x  dx   3 cot 3x  C
1
sin 2 x  cos 2 x
1 
 1
 
dx  
dx   
 2  dx  tan x  cot x  C
2
2
2
2
2
sin x cos x
sin x cos x

 cos x sin x 
1
2
 sin 2 x dx   1  cot x  dx   cot x  C
1
1
MR


dx   cot  ax  b   C
2
sin  ax  b 
a

10)



DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) ,

 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) ,

trục Ox , x  a, x  b thì có diện tích:

y  g ( x) , x  a, x  b thì có diện tích:

b

b

S   f ( x) dx

S   f ( x)  g ( x) dx

a

a

 y  f ( x)
 Khi xoay hình phẳng 
quanh Ox ,
 x  a, x  b
ta được khối trụ tròn có thể tích

 y  f ( x)

 Khi xoay hình phẳng  y  g ( x)
quanh Ox ,
 x  a, x  b

ta được khối trụ tròn có thể tích

b

V    f 2 ( x)dx

b

V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx

a

a

 Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng x  a, x  b . Khi cắt khối này ta được thiết diện có
diện tích S ( x) (là hàm liên tục trên [a;b]). Thể tích khối này trên  a; b là: V 



b

a

S ( x)dx .

CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG
Xét hàm quảng đường S (t ), hàm vận tốc v(t ) và hàm gia tốc a(t ) . Ba hàm này sẽ biến thiên theo t .
 S (t ) 



v(t )dt  v(t )  S (t )

 v(t ) 



a(t )dt  a(t )  v(t )

CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản:
 sin 2  cos2  1
2
 1  tan  

1
cos 2 

 tan  

sin 
cos 

 1  cot 2  

cos 
sin 
sin(  k 2 )  sin 
 
cos(  k 2 )  cos 
 cot  

1
sin 2 

 tan .cot  1

 tan(  k )  tan 
 

cot(  k )  cot 

2. Cung liên kết:
Đối:  và 

Bù:  và   

Phụ:  và



2

Khác pi:  ;   

Khác

Pi

: ; 
2
2




sin      cos 
2


sin( )   sin 

sin(   )  sin 

cos( )  cos 

cos(   )   cos 

tan( )   tan 

tan(   )   tan 

cot( )   cot 

cot(   )   cot 



cot      tan 
2


Sin Bù

Phụ Chéo

Cos Đối

sin(   )   sin 



cos      sin 
2



tan      cot 
2




sin      cos 
2



cos       sin 
2



tan       cot 
2


cos(   )   cos 
tan(   )  tan 



cot       tan 
2


cot(   )  cot 

Khác pi
Tang, Cotang

Khác pi chia 2
Sin bạn cos

3. Công thức cộng:

 sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
 sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
tan(a  b) 

 cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
 cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

tan a  tan b
1  tan a.tan b

tan(a  b) 

tan a  tan b
1  tan a.tan b

4. Công thức nhân đôi, nhân ba:

cos 2  cos 2   sin 2 

sin 2  2sin  .cos 

tan 2 

 2cos   1  1  2sin 
2

2

cos3  4cos3   3cos 

sin 3  3sin   4sin3 

tan 3 

2 tan 
1  tan 2 

3tan   tan 3 
1  3tan 2 

5. Công thức hạ bậc

1  cos 2
sin 2  

2

cos 2  

1  cos 2
2

tan 2  

1  cos 2
1  cos 2

6. Công thức biến đổi tổng thành tích:

ab
a b
.cos
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2sin
.cos
2
2
sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a.cos b





sin   cos   2.sin      2.cos    
4
4


cos a  cos b  2cos

ab
a b
.sin
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2cos
.sin
2
2
sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a.cos b

cos a  cos b   2sin






sin   cos   2 sin       2 cos    

4

4

7. Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos a.cos b 

1
cos(a  b)  cos(a  b)
2

Cos.Cos thì Cos cộng cộng Cos trừ



sin a.sin b 

1
cos(a  b)  cos(a  b)
2

Sin.Sin thì Cos trừ trừ Cos cộng

sin a.cos b 

1
sin(a  b)  sin(a  b)

2

Sin.Cos thì Sin cộng cộng Sin trừ

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
u  v  k 2
u  v  k 2
sin u  sin v  
(k  )
 cos u  cos v  
k 
u    v  k 2
u  v  k 2




sin u  1  u 
Đặc biệt:


2

 k 2

sin u  1  u  
sin u  0  u  k




2

cos u  1  u  k 2

k  

 k 2

cos u  1  u    k 2

Đặc biệt:

cos u  0  u 

tan u  tan v  u  v  k

k  




2

k  

 k

k  

cot u  cot v  u  v  k

TỔ HP – XÁC SUẤT
QUY TẮC CỘNG

QUY TẮC NHÂN

Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp,
ta sẽ cộng các kết quả lại.
HOÁN VỊ
 Sắp xếp (đổi chỗ) của n phần
tử khác nhau, ta có số cách
xếp là Pn  n ! với n 

CHỈNH HP
 Chọn k phần tử từ n phần tử
(không sắp xếp thứ tự), ta có

TỔ HP
 Chọn k phần tử từ n phần tử
(có sắp xếp thứ tự), ta được số

số cách chọn là Cnk .

.

 Cách tính: Cnk 

 Cách tính:

n!  1.2.....  n  1 n .
với

 Quy ước sốc: 0!  1.

 Công thức: P( X ) 
XÁC SUẤT

Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn
bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai
đoạn ấy.

n, k
0

k

n

cách chọn là Ank .

n!
 n  k  !k !

 Cách tính: Ank 
với

.

n( X )

n ( )

n, k
0

k

n

n!
 n  k !

.

 Tính chất:

0  P( X )  1 .

Trong đó: n( X ) : số phần tử của

P()  0; P()  1 .

tập biến cố X ; n() : số phần tử
không gian mẫu . P( X ) là xác suất

P( X )  1  P( X ) với X là biến cố đối của X .

để biến cố X xảy ra với X   .

KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN


Khai triển dạng liệt kê:
Trong các công thức bên,
ta luôn có n  , n  2.

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2  .........  Cnn1abn1  Cnnbn .

 Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  .........Cnn1 x n1  Cnn x n (*).
n

 Hệ quả 1: Cn0  Cn1  Cn2  .........Cnn1  Cnn  2n (tức là thay x  1 vào (*)).
 Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x  1 vào (*), ta có:

Cn0  Cn1  Cn2  .........  Cnn1  Cnn  0  Cn0  Cn2  Cn4 ......  Cnn  Cn1  Cn3  ......Cnn1
Khai triển tổng quát:
Trong các công thức bên,
ta luôn có n  , n  2.

 Khai triển:

n

 a  b    Cnk a nk bk . Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk
n

k 0

 Phân biệt hệ số và số hạng: Cnk ( 1)k a n kbk . x .
HỆ SỐ
SỐ HẠNG

Nhớ rằng số hạng không chứa x ứng với

0.

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
CẤP SỐ CỘNG

CẤP SỐ NHÂN


1. Đònh nghóa:
1. Đònh nghóa:
 Dãy số  un  được gọi là cấp số cộng khi và
 Dãy số  un  được gọi là cấp số nhân khi và
chỉ khi un1  un  d với n 

*

.

chỉ khi un 1  un .q với n 

 Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u1 ,

*

.

 Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u1 ,
công bội q .

công sai d .
2. Số hạng tổng quát:
 un  u1  (n  1)d với n 

2. Số hạng tổng quát:
*

 un  u1.q n 1 với n 

.

3. Tính chất các số hạng:
 uk 1  uk 1  2uk với k  và k  2.

*

.

3. Tính chất các số hạng:
 uk 1.uk 1  uk2 với k 

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

và k  2.

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

(u  un )n
 Sn  u1  u2  ...  un  1
.
2

 Sn  u1  u2  ...  un 

u1 (1  q n )
với q  1.
1 q

KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN
HÀM BẬC BA

XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
 Bước 1: Tìm tập xác đònh D .
 Bước 2: Tính y  f ( x) ; cho

y  0

Tìm nghiệm

x1 , x2 ...

 Bước 3: Lập bảng biến thiên.
(Nên chọn giá trò x đại diện cho
từng khoảng thay vào y  để tìm

dấu của y  trên khoảng đó).
 Bước 4: Dựa vào bảng biến
thiên để kết luận về sự đồng
biến, nghòch biến của hàm số.
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ
 Hàm số có điểm cực trò là

 y( x0 )  0
( x0 ; y0 )  
.
 y ( x0 )  y0

 Nếu

0

f ( x0 )

0

thì hàm số

f ( x) đạt cực đại tại x
 Nếu

f ( x0 )

0

f ( x0 )

0

x0 .

thì hàm số

f ( x) đạt cực tiểu tại x

 Đạo hàm y  3ax  2bx  c .

x0 .

y

ax  b
(ad  bc  0)
cx  d

2

 Hàm số đồng biến trên tập
xác đònh
 y  0, x 

a  0

.
  0

 Đạo hàm y 

ad  bc
.
(cx  d )2

 Hàm số đồng biến trên
từng khoảng xác đònh

 Hàm số nghòch biến trên
tập xác đònh  y  0, x 

a  0

.
  0

 ad  bc  0.
 Hàm số nghòch biến
trên từng khoảng xác
đònh  ad  bc  0.

CỰC TRỊ HÀM BẬC BA

CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN

y  ax  bx  cx  d (a  0)

y  ax4  bx2  c (a  0)

3

2

 Đạo hàm y  3ax  2bx  c .
2

 Hàm số có hai cực trò

(giả thiết là hàm số liên tục
tại x0 ).
f ( x0 )

y  ax3  bx2  cx  d (a  0)

HÀM NHẤT BIẾN

a  0

(*) .
 y  0

f ( x)

TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN
Tìm Max-Min của f ( x) trên đoạn  a; b

3

 Điều kiện cực trò

Ba cực trò
Một cực trò

 Để tìm điều kiện cho hàm số
không có cực trò: Bước 1:
làm theo công thức (*).
Bước 2: phủ đònh kết quả.
 Phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trò:
y

 Đạo hàm y  4ax  2bx .

f ( x). f ( x)
18a

ab  0
ab  0
 2 2
a  b  0
a 2  b2  0

Có cực trò
 Cho A, B, C là ba điểm cực
trò, ta có: cos BAC 

SABC 

b3  8a
b3  8a

b5
.
32a 3

TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG
Tìm Max-Min của f ( x) trên khoảng (a; b)


 Bước 1: Tính y

 Bước 1: Tính y

f ( x) .

Tìm các nghiệm xi

(a;b) khi cho f ( x)

Tìm các nghiệm xi

0.

x

(nếu có).
 Bước 3: So sanh tất cả giá trò trong bước 2 để
kết luận về giá trò lớn nhất, nhỏ nhất.
 Nếu hàm f ( x) đồng biến trên [a; b] thì

a

f (a)

min f ( x)

f (a)

min f ( x)

f (b)

x [a;b]

x [a;b]

TIỆM CẬN ĐỨNG

x

x0

TIỆM CẬN NGANG

(x hữu hạn, y vô hạn),

y

ta có tiệm cận đứng x

x0 . Lưu ý: điều kiện

x0 có thể được thay bằng x

hạn bên trái) hoặc x

ax
cx

x0 là một nghiệm

b
với (c
d

0, ad

x
y

bc

(x vô hạn, y hữu hạn),

y0

ta có tiệm cận ngang y

Bước 2: CALC

CALC

của mẫu số mà không phải là nghiệm của
tử số thì x x0 chính là một TCĐ của đồ thò.
 Đồ thò hàm số y

 Đònh nghóa:

y0 .

 Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO
Bước 1: Nhập hàm số vào máy.

x0 (giới

x0 (giới hạn bên

phải).
 Cách tìm TCĐ: Nếu x

b

 Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trò
lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng.
 Nếu hàm f ( x) nghòch biến trên [a; b] thì
max f ( x)

 Đònh nghóa:

x

x 

f (b)

x [a;b]

0.

bằng (; ) thì ta tính thêm lim y ).

max f ( x)
x [a;b]

x

(a;b) khi cho f ( x)

 Bước 2: Cần tính lim y, lim y . (Nếu thay (a; b)

 Bước 2: Tính các giá trò f (a), f (b) và f ( xi ),...

ĐẶC
BIỆT

f ( x) .

NEXT

X

10 ^ 10

10 ^ 10

NEXT

NEXT

X

NEXT

Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức
là y0 ) thì ta kết luận TCN: y y0 .
0) có một TCĐ: x

d
, một TCN: y
c

a
.
c

 Nên nhớ, đồ thò có thể có nhiều tiệm cận đứng, nhưng chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang.
TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ
f (x ) và (C 2 ) : y g(x ) .
Xét hai đồ thò (C1 ) : y
 Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm

của (C1 ) & (C2 ) : f ( x)

g( x) .

(*)

 Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các
nghiệm x1 , x2 ,... (nếu có), suy ra y1 , y2 ...

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1
Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thò (C ) : y  f ( x) tại

DẠNG 2
Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thò (C ) : y  f ( x) biết tiếp

DẠNG 3
Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thò (C ) : y  f ( x) biết tiếp

điểm M ( x0 ; y0 )  (C )

tuyến có hệ số góc k.

tuyến đi qua A( xA ; y A ) .

 Bước 1: Tính đạo hàm y , từ

 Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp

 Bước 1: Tiếp tuyến có dạng :
y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) với

đó có hệ số góc k

y ( x0 ).

 Bước 2 : Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thò dạng
y

k( x

x0 )

y0 .

điểm và tính đạo hàm y .
 Bước 2: Cho y ( x0 )

k , từ đó

tìm được tiếp điểm ( x0 ; y0 ).
 Bước 3: Viết phương trình
tiếp tuyến :

y0  f ( x0 ).
 Bước 2: Thay tọa độ điểm A

vào (*) để tìm được x0 .
 Bước 3: Thay x0 tìm được vào


y

k( x

(*) để viết phương trình tiếp
tuyến.

y0 .

x0 )

SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN
Số phức có dạng: z

a

a, b

bi với

i2

Thành phần

1

(i: là đơn vò ảo). Ký hiệu tập số phức:

Hình học

 Phần thực: a.
Nếu a 0 thì z bi được gọi là
số thuần ảo.
 Phần ảo: b.
Nếu b 0 thì z a là số thực.
 Khi a b 0 thì z 0 vừa là số
thuần ảo vừa là số thực.
Số phức liên hợp – Số phức
nghòch đảo
Cho z a bi . Khi đó:
 Số phức liên hợp của nó
là z a bi .
 Số phức nghòch đảo là
1
1
z 1
z
a bi
a
b
i.
2
2
2
a
b

a
b2

.

Minh họa

 Điểm M (a;b) biểu diễn
cho z trên hệ trục Oxy.
 Mô-đun:
z

OM

b2 .

a2

Căn bậc hai
 Căn bậc hai của a
 Căn bậc hai của a

Phương trình bậc hai
 Phương trình z2

a.

0 là
0 là

w

x

x
y
2 xy b

yi với

2

0 có

hai nghiệm phức z
 Phương trình z

a

a.
a

2

i a.
 Căn bậc hai của số phức
z a bi là hai số phức dạng
2

a

hai nghiệm phức z

0 có

i

a.

 Phương trình az
bz c 0
0 sẽ có hai nghiệm
với
2

.

phức là: z1,2

b

i
2a

.

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
I. MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN:
1. Tam giác vuông:
A

AC

▪ AC2

CH.BC

▪
B

C

H

AC
(đối/huyền) ▪ cos B
BC

▪ sin B

1
AH 2

A

BC2

1
AB2

AB
(kề/huyền)
BC

1
AC2

▪ tan B

▪ Đường cao: AH

a
a

K

▪ AG

G

H

2

▪ AB2

BH.BC

▪ AH 2

BH.CH

AB.AC

AH

AB 2

AC 2

AC
(đối/kề)
AB

▪ cot B

AB
(kề/đối)
AC

Giả sử tam giác ABC đều có cạnh a; trọng tâm G; các đường
cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK .

2. Tam giác đều:

B

Pitago

▪ AB2

C
a

3. Tam giác thường:

2
AH
3

BK

2 a 3
.
3 2

(cạnh)
2
a 3
; GH
3

(cạnh)2
ABC
4
Giả sử tam giác ABC có a
▪ Diện tích: S

3

a 3
.
2
1
AH
3

1 a 3
.
3 2

a2 3
.
4
BC, b AC, c

a 3
.
6

3

AB ; các đường

cao ha , hb , hc lần lượt ứng với cạnh a, b, c. Ký hiệu R, r lần lượt
là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆.


a
sin A

▪ Đònh lí Cô-sin: a2

b
c
2R .
sin B sin C
b2 c2 2bc.cos A ;

▪ Đònh lí Sin:

b2
▪ Diện tích: S
S

ABC

ABC

a2

c2

2ac.cos B; c2

a2

b2

2ab.cosC.

1
1
1
1
1
1
ha .a
hb .b
hc .c ; S ABC
ab.sin C
ac.sin B
bc.sin A ;
2
2
2
2
2
2
abc
a b c
(nửa chu vi).
pr ; S ABC
p( p a)( p b)( p b) với p
4R
2
Công thức Hê Rông

Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N lần lượt là

4. Hình vuông:

trung điểm của CD, AD; I là tâm hình vuông.
▪ Đường chéo:

IA

IB

AC

BD

AC

BD

IC

(cạnh)

ABN

a2 ; chu vi: p

4a.

ADM , ta chứng minh được: AM

Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB

5. Hình chữ nhật:

.

a 2
nên I là tâm đường tròn đi qua
2

ID

bốn đỉnh hình vuông.
▪ Diện tích: SABCD (cạnh)2
▪ Vì

a 2

2

BN.

a, AD

b.

▪ Đường chéo: AC

BD
a2 b2 .
1 2
IA IB IC ID

a
b2 nên I là tâm đường tròn đi
2
qua bốn điểm A, B, C, D.

▪ Diện tích: SABCD

a.b ; chu vi: p

2(a

b).

Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh bằng a.

6. Hình thoi:

▪ Đường chéo: AC
▪ Diện tích: SABCD

BD; AC 2 AI
1
AC.BD ; SABCD
2

2 AB.sin ABI
2S

ABC

2S

2a.sin ABI.
ACD

2S

ABD

.

Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 ( A C 1200 ) thì
ACD.
ta chia hình thoi ra làm hai tam giác đều: ABC

AC

a và S

ABC

S

ACD

a2 3
; SABCD
4

2S

a2 3
.
2

ABC

II. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
7. Hình chóp:

7.1. Hình chóp tam giác đều

S

h

▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau.
▪ Đáy là tam giác đều cạnh a.
▪ SH ( ABC) với H là trọng tâm
∆ ABC.

D

▪

A

H

Sđ

SH

Sđ

a2 3
4
h

Thể tích

V

1 a2 3
h.
3
4

C

B

V

1
h.Sđ
3

Góc giữa cạnh bên và mặt

Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

7.2. Tứ diện đều:
▪ Đây cũng là hình chóp tam
giác đều, đặc biệt là cạnh
bên bằng cạnh đáy. Thể
tích: V

a3 2
.
12

đáy: SA,( ABC)

SAH

(SAB),( ABC)
SCH .

SC,( ABC)

(SBC),( ABC)

▪

Góc giữa cạnh bên và mặt

7.4. Hình chóp có cạnh bên
SA vuông góc với mặt
phẳng đáy.

a2

SO

h

h

SA

Sđ

S

Thể tích

SBO .

1
SA.S
3

V

ABC

SBA

SC,( ABC)

SCA

ABC

.

.

▪ Đường cao h SH cũng là
đường cao của ∆SAB.
▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
SAH

SC,( ABC)

SCH

.

SMO
SNO .

Đáy là tứ giác đặc biệt

Đáy là tam giác

SA,( ABC)

1

h.a2 .
3

V

(SBC),( ABCD)

▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
SB,( ABC)

Thể tích

(SAB),( ABCD)

Đáy là tam giác

▪

7.5. Hình chóp có mặt bên
(SAB) vuông góc với mặt
phẳng đáy.

Sđ

Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

SAO

SB,( ABCD)

SNH .

▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau.
▪ Đáy là hình vuông cạnh a.
▪ SO ( ABCD) với O là tâm hình
vuông ABCD.

7.3. Hình chóp tứ giác đều:

đáy: SA,( ABCD)

SMH

▪

h
Sđ

SA
SABCD

Thể tích

1
SA.SABCD .
3

V

▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

SB,( ABCD)

SBA

SC,( ABCD)

SCA

.

Đáy là tứ giác đặc biệt

▪ Đường cao h SH cũng là
đường cao của ∆SAB.
▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
SA,( ABCD)

SAH

SC,( ABCD)

SCH

.


III. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
1. Hình lăng trụ thường:
 Hai đáy là hai hình giống
nhau và nằm trong hai mặt

phẳng song song.
 Các cạnh bên song song và
bằng nhau. Các mặt bên là
các hình bình hành.
 Thể tích: V

Đáy là tam giác

Đáy là tứ giác

h.Sđ .
V

2. Hình lăng trụ đứng:
 Các cạnh bên cùng vuông góc
với hai mặt đáy nên mỗi
cạnh bên cũng là đường cao
của lăng trụ.
 Lăng trụ tam giác đều:
Là lăng trụ đứng và có hai
đáy là hai tam giác đều
bằng nhau.

AH.S

ABC

h

 Thể tích: V

AA

h.Sđ với

BB

CC .

AH.SABCD

AH.SA B C D

Đáy là tứ giác

Thể tích: V
h

AA

h.Sđ với

BB

CC

DD .

3.1 Hình hộp chữ nhật:
 Là lăng trụ đứng có đáy là

hình chữ nhật.

3.2. Hình lập phương:
 Là hình hộp chữ nhật có tất cả
các cạnh bằng nhau.

 V

 V

abc với a,b, c là ba kích

thước khác nhau của hình hộp
chữ nhật.

h.Sđ .

V

ABC

Đáy là tam giác

 Thể tích: V
3. Hình hộp:
 Là lăng trụ có tất cả các mặt
là hình bình hành.

AH.S

a3 với a là cạnh của hình

lập phương.

MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU
MẶT NÓN

Các yếu tố mặt nón:
 Đường cao: h

S

l

h
l

SO . ( SO

cũng được gọi là trục của hình
nón).
 Bán kính đáy:
l

r

OA

OB

OM .

Một số công thức:
 Chu vi đáy: p

 Diện tích đáy: Sđ
 Thể tích: V

 Đường sinh:
A

r

O

B

M

Hình thành: Quay

vuông

l

SA

SB

2 r.

1
h.S
3 đ

r2 .

1
h. r 2 .
3

(liên tưởng khối chóp).

SM .

 Góc ở đỉnh: ASB .

 Diện tích xung quanh:
Sxq

rl .


SOM quanh trục SO , ta được
mặt nón như hình bên với:

h

SO

r

OM

.

 Thiết diện qua trục: SAB
cân tại S.
 Góc giữa đường sinh và mặt
đáy: SAO

MẶT TRỤ

SBO

 Diện tích toàn phần:
Stp

 Đường cao: h

OO .

 Đường sinh: l

AD

OA

BC .

h.

OB

OC

O D.

 Thiết diện qua trục: Là hình
chữ nhật ABCD.

Một số công thức:

IA

IB

Sxq

Stp

Là đường tròn tâm I , bán

4 R3
3

Sxq

2Sđ

2 r.h

2 r2 .

 Mặt cầu nội
tiếp đa diện là
mặt cầu tiếp
xúc với tất cả
các mặt của đa
diện đó.

kính R .

 Thể tích khối cầu: V

2 r.h .

 Mặt cầu
ngoại tiếp đa
diện là mặt
cầu đi qua tất
cả đỉnh của đa
diện đó.

 Thiết diện qua tâm mặt cầu:

4 R2

h. r2 .

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện

2R .

 Diện tích mặt cầu: S

h.Sđ

 Diện tích toàn phần:

IM .

 Đường kính AB

Hình thành: Quay đường
tròn tâm I , bán kính
AB
quanh trục AB , ta có
R
2
mặt cầu như hình vẽ.

r2 .

 Diện tích xung quanh:

 Tâm I , bán kính

R

2 r.

 Diện tích đáy: S đ
V

hai điểm O, O .

MẶT CẦU

r2 .

 Thể tích khối trụ:

 Trục (∆) là đường thẳng đi qua
Hình thành: Quay hình chữ
nhật ABCD quanh đường
trung bình OO , ta có mặt trụ
như hình bên.

rl

Một số công thức:
 Chu vi đáy: p

 Bán kính đáy:

r

Sđ

SMO .

Các yếu tố mặt trụ:

Ta có: l

Sxq

CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP
1. Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh
dưới một góc vuông.

 Xét hình chóp có
SA ( ABC) và

 Xét hình chóp có
SA ( ABCD) và
ABCD là hình chữ

2. Hình chóp đều.

 Xét hình chóp tam
giác đều có cạnh bên
bằng b và đường cao

 Xét hình chóp tứ giác
đều có cạnh bên bằng
b và chiều cao SO h

ABC
 Ta có

nhật hoặc hình vuông.

900 .

 Ta có: SAC

SAC SBC 90
nên mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp có tâm
I là trung điểm SC ,
0

bán kính R

SC
.
2

SBC

SDC 900
Suy ra mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp có tâm
I là trung điểm SC ,

 Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp

SH h .
 Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
b2
.
2h

trên là R

b2
.
2h

trên là R

SC
.
2

bán kính R

3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với
mặt phẳng đáy.
 Khi đó mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp có bán
h
2

kính R

4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với
mặt đáy.

2

rđ 2 .

 Nếu đáy là tam giác
đều cạnh a thì
 Xét hình chóp có
(đáy) và
SA
SA h ; bán kính
đường tròn ngoại tiếp
của đáy là rđ .

a 3
.
3
 Nếu đáy là hình vuông
rđ

a 2
.
2
 Nếu đáy là hình chữ
nhật cạnh a, b thì
cạnh a thì rđ

a2

rđ

b2
2

 Xét hình chóp có mặt bên (SAB)

(đáy), bán

kính ngoại tiếp đáy là rđ , bán kính ngoại tiếp

SAB là rb , d

AB

(SAB)

(đáy).

 Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
R

.

rđ 2

rb2

d2
.
4

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau.
 Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vò i
 Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vò j
 Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vò k

(1;0;0) .
(0;1;0) .

(0;0;1).

 Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u
Cho a
 a
 ka
 a

 a.b

b (a1

b1 ; a2

b2 ; a3

(a1 ; a2 ; a3 ), b

b3 )

b

b1

a2

b2

a3

b3

a1 .b1

a2 .b2

a3 .b3

yj

zk

 a

a12

a22

a22

( x; y; z) .

u

(b1 ;b2 ;b3 ) . Ta có:

 a cùng phương b

(ka1 ; ka2 ; ka3 )
a1

xi

a1

kb1

a2

kb2

a3

kb3

a1
b1

 a2

a

kb (k

a2

a3

b2

b3

a

2

R)

, (b1 , b2 , b3

a12

a22

0).

a32


 a

b

a.b

a1b1

0

a2b2

3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z)
 AB

( xB

xA ; yB

a3b3

zA )

 AB

xA

2

xB yA
;

2

yB zA
;

2

zB

a

a1b1

a2b2

a

a . b

2
2

2

3

a3b3
b22

2
1

b32

( xB

x A )2

( yB

yA )2

( zB

zA ) 2

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x
xB xC yA yB yC zA zB zC
G A
;
;
.
3

3
3

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
M

a.b

2
1

( x; y; z) . Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta có:

OM

yA ; zB

a.b

 cos(a, b)

0

.

4. Tích có hướng của hai vectơ:
 Đònh nghóa: Cho a

(a1 , a2 , a3 ) , b

(b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
a2
b2

a, b

[a, b]

 Tính chất:

a3 a3
;
b3 b3

[a, b]

a

 Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
a, b

0 với 0

a1 a1
;
b1 b1

a2
b2

a2b1 .

a . b .sin a, b

0.

 Diện tích tam giác ABC:

 Diện tích hình bình hành ABCD:

 Thể tích khối hộp: VABCD. A'B'C'D'

a1b3 ; a1b2

[a, b]

b

là [a, b].c

ABCD

a3b2 ; a3b1

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a, b và c

(0;0;0).

S

a2b3

S

AB, AD .

[ AB, AD]. AA'.

ABC

 Thể tích tứ diện: VABCD

1
AB, AC .
2

1
AB, AC . AD .
6

5. Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: (S) : ( x
Mặt cầu ( S) có

a)

2

(y

b)

2

(z

c)2

R2

Dạng 2: (S) : x2

I (a; b; c)
R

Mặt cầu ( S) có

R2

 Phương trình x2

z2

2ax

2by

2cz

d

Bài toán 5.1. Viết phương trình mặt cầu tâm
I và đi qua điểm M.
 Bước 1: Tính bán kính R  IM .

2ax

b2

c2

2by

2cz

d

0

a2

d

0 là phương trình mặt cầu  a 2  b2  c 2  d  0 .
Bài toán 5.2. Viết phương trình mặt cầu có
đường kính AB.
 Bước 1: Tìm tâm I là trung điểm AB. Bán kính

R

 Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1.

z2

I (a; b; c)
R

y2

y2

AB
 IA  IB .
2

 Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1.

6. Phương trình mặt phẳng:
 Mặt phẳng ( P)
trình ( P) : a( x
 Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt
phẳng là vectơ khác 0 nằm trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đó.
Bài toán 6.1. Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.

qua M ( x0 ; y0 ; z0 )
VTPT n

x0 )

b( y

(a; b; c)

y0 )

thì phương
c( z

z0 )

0 .

 Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương
trình dạng ax by cz d 0 , mặt phẳng
này có VTPT n

(a;b; c) .

Bài toán 6.2. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm A, B, C.


 Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn AB và tính

 AB, AC  .



tọa độ AB .
 Bước 2: Phương trình mp( P)

 Bước 1: Tính tọa độ AB, AC và suy ra

qua I
VTPT n  AB

.

Bài toán 6.3. Viết phương trình mặt phẳng
qua M và chứa đường thẳng d với M d .

 Bước 2: Phương trình mp( P)





 Bước 2: Phương trình mp( P)

ax0  by0  cz0  d
a 2  b2  c 2

.

 Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:

( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0


(Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0
 Góc giữa ( P) & (Q) được tính:

nP . nQ



1.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
 Cho hai mặt phẳng 

Góc giữa hai mặt phẳng



z
c

( P) : ax  by  cz  d1  0
.
(Q) : ax  by  cz  d 2  0

 M ( x0 ; y0 ; z0 )
.
mp( P) : ax  by  cz  d  0

nP .nQ

y

b

VTPT n   AM , ud 

 Cho 

cos  ( P), (Q)  

x
a

qua M

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khi đó: d  M , ( P)  

0.

 Phương trình mặt
phẳng được viết
theo đoạn chắn
( P) :

Tính  AM , ud  .

VTPT n   AB, AC 

Bài toán 6.4. Viết phương trình mặt phẳng
cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0),

C (0; 0; c) với a, b, c

 Bước 1: Chọn điểm A  d và một VTCP ud .

qua A

a1a2  b1b2  c1c2
a  b12  c12 . a22  b22  c22
2
1



0
0
 Chú ý: 0  ( P), (Q)  90 .

 Khi đó: d  ( P), (Q)  

d1  d 2
a 2  b2  c2

với d1  d 2 .

Vò trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:

( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0
. Ta có:


(Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0
a
b c
d
 ( P) (Q)  1  1  1  1 .
a2 b2 c2 d2
a
b c
d
 ( P)  (Q)  1  1  1  1 .
a2 b2 c2 d 2
 ( P) & (Q) cắt nhau  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2 .
 ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2  0 .
 Lưu ý: Các tỉ số trên có nghóa khi mẫu khác 0.

Ví trò tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 và mặt cầu ( S ) có tâm I và bán kính R.
 Trường hợp 1: d  I , ( P)   R  ( P) và ( S ) không có điểm chung.
 Trường hợp 2: d  I , ( P)   R  ( P) và ( S ) có

 Trường hợp 3: d  I , ( P)   R  ( P) cắt ( S )


một điểm chung. Khi đó ta nói ( P) tiếp xúc

theo giao tuyến là một đường tròn.

( S ) hoặc ( P) là tiếp diện của ( S ).

Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm
AB), bán kính r  R 2  IH 2 với IH  d  I ,( P)  .

Ta có: IM  ( P) với M là tiếp điểm.

7. Phương trình đường thẳng:
 Đường thẳng d

qua A( xA ; y A ; z A )
VTCP u  (u1; u2 ; u3 )

 x  x A  u1t

 Phương trình tham số d :  y  y A  u2t với
z  z  u t
A
3


có:

t là tham số.
 Phương trình chính tắc

d:

 Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d là
vectơ khác 0 , có giá nằm trên d hoặc song song với d.

x  xA y  y A z  z A



u1
u2
u3
a  d

 Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác 0 không cùng phương sao cho 

b  d

với u1.u2 .u3  0 .

thì d có VTCP là: ud   a, b  .





7.1. Ví trò tương đối giữa hai đường thẳng:
Xét vò trí tương đối của hai đường thẳng d1 , d2 với d1
Bước I
 u1 , u2

0

Hai đường thẳng

d1 , d2 song song hoặc trùng nhau.
 u1 , u2

0

Hai đường thẳng d1 , d2

cắt nhau hoặc chéo nhau.

qua M
VTCP u1

Bước II
 u1 ; MN

0

 u1 ; MN

0

qua N

, d1

VTCP u2

.

Kết luận

d1

d2

(Hai đường thẳng trùng nhau)

d1

d2

 u1 ,u2 .MN

0

d1 cắt d2

 u1 ,u2 .MN

0

d1 & d2 chéo nhau

7.2. Ví trò tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

x

x0

u1t

Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d : y

y0

u2 t và mặt phẳng (P) : ax

z

z0

u3 t

Bước I:
 Thay phương trình tham số d vào

Bước II:Giải PT (*), ta gặp
1 trong 3 trường hợp sau
 PT (*) vô nghiệm

by

cz

d

Kết luận
d ( P)

0 .

phương trình ( P) , ta được PT (*):
a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t)

d

 x  x0
0  PT (*) có 1 nghiệm 
 y  y0
z  z
0


d cắt ( P) tại điểm

có tọa độ ( x0 ; y0 ; z0 ) .
d

 PT (*) có vô số nghiệm

(P)

7.3. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
 Bước 1: Chọn điểm A  d và một VTCP ud .
 Cho điểm M và đường thẳng d (có
phương trình tham số hoặc chính tắc).

 Bước 2: d  M , d  

ud , AM 



.
ud

7.4. Góc giữa hai đường thẳng:
 Cho hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt có VTCP là u1 , u2 .






 Ta có: cos d1 , d 2 

u1.u2

.

u1 . u2

7.5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
 Cho đường thẳng d có VTCP u và măt phẳng ( P) có VTPT n .






 Ta có: sin d , ( P) 

u.n
u.n

8. Hình chiếu và điểm đối xứng:
Bài toán
 Tìm hình chiếu
của điểm A trên
mặt phẳng (P ) .

Phương pháp
 Gọi d là đường thẳng

qua A
( P)

Viết pt tham

số của d với VTCP của d cũøng là VTPT của (P).
 Gọi H  d  ( P) . Thay pt tham số của d vào pt
mp (P) ta tìm được tọa độ H.

 Tìm điểm A
đối xứng với A qua
(P ) .

 xA  2 xH  xA

 Ta có H là trung điểm AA   y A  2 yH  y A .
z  2z  z
H

A
 A
Cách I

 Tìm hình chiếu
của điểm A trên
đường thẳng d.

 Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số của d).

 Tìm được t
 AH  d  AH .ud  0 
 Gọi ( P)

Cách II

qua A
( P)

d

Viết pt mp( P) .

 Gọi H  d  ( P) . Thay pt tham số của
d vào pt mp (P) ta tìm được tọa độ H.

 Tìm điểm A
đối xứng với A qua
đường thẳng d.

 xA  2 xH  xA

 Ta có H là trung điểm AA   y A  2 yH  y A .
z  2z  z
H
A
 A

Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn
Email góp ý:

....... 
 Tọa độ H.

.