ĐỀ TUYỂN SINH 10 CHUYÊN TOÁN (08-09)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2009-2010
Khóa ngày: 23/6/2009
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức Q =
2
2
1
1
x x x x
x x x
− −
− −
+ +
với x > 0
1. Rút gọn biểu thức Q.
2. Tìm x để Q = 4.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi x bằng bao nhiêu ?
Câu 2 (1,5 điểm)
Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
Câu 3 (2,0 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1.

2
2
3 2 1
4
2 1
x x
x x
+
+ =
+
2.
2
2
1 2 12
1 16
x y
y x

+ + =


+ =


Câu 4 (1,0 điểm)
Cho phương trình:
2
2 sin cos 1 0x x− α + α − =
với 0° < α < 90°.
1. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
, x
2
của phương trình không phụ thuộc vào
tham số
α
.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R) có hai đường chéo AC và BD vuông
góc với nhau. Chứng minh AB
2
+ CD
2
= 4R
2
.
Câu 6 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB, gọi S là điểm đối xứng của O qua A. Từ S vẽ
hai tiếp tuyến SM, SN với đường tròn (O) (M và N là hai tiếp điểm).
1. Chứng minh tứ giác SMBN là hình thoi.
2. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt cắt SM, SN tại C và D. Chứng minh
SA
2
= AC.SM.
3. Gọi (O’) là đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD và I là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ
»
SC
của (O’). Trên đoạn ID lấy điểm E sao cho IS = IE. Chứng minh khi I di động trên cung
nhỏ

»
SC
thì E luôn thuộc một cung tròn cố định.
4. Xác định vị trí điểm I sao cho tổng IS + IC có giá trị lớn nhất và tính giá trị này theo
R.
--------HẾT--------
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ CẦN THƠ MÔN: TOÁN
(Hệ chuyên)
Năm học: 2009 – 2010
CÂU 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức Q =
2
x x 2x x
1
x x 1 x
− −
− −
+ +
với x > 0
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để Q = 4.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q và khi đó giá trị của x là bao nhiêu?

a) Q =
x( x 1)(x x 1) x(2 x 1)
1
x x 1 x

− + + −
− −
+ +
=
x x 2 x 1 1− − + −
=
x 3 x−
(+ +)
b) Q = 4
x 3 x 4⇔ − =

x 3 x 4 0⇔ − − =

( x 1)( x 4) 0⇔ + − =

x 16⇔ =
(+ +)
c) Q =
x 3 x−
=
2
3 9 9
( x )
2 4 4
− − ≥ −
Giá trị nhỏ nhất của Q là
9
4
−
xảy ra khi x =

9
4
(+ +)
CÂU 2. (1,5 điểm )
Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh :
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
3
x y z 3 xyz+ + ≥
( + )
3
1 1 1 1
3
x y z xyz
+ + ≥
( + )
3
1 1 1 xyz
(x y z)( ) 9
x y z xyz
⇒ + + + + ≥
1 1 1
(x y z)( ) 9
x y z
⇔ + + + + ≥
1 1 1 9

x y z x y z
⇔ + + ≥
+ +
(+ + + +)
CÂU 3. ( 2 điểm )
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)
2
2
3x 2x 1
4
2x 1 x
+
+ =
+
b)
2
2
x 1 2y 12
y x 1 16

+ + =


+ =


2
a).(1đ)
ĐK: x

≠
0 (+)
Đặt:
2
x
t
2x 1
=
+
(1)
Thay vào ta có pt:
2
1
3t 4 3t 4t 1 0
t
+ = ⇔ − + =
Giải tìm đ ược: t
1
= 1 ; t
2
=
1
3
(+)
Thay t
1
= 1 vào (1) có :
2
2
x

1 2x x 1 0
2x 1
= ⇔ − + =
+
(vô nghiệm)
Thay t
2
=
1
3
vào (1) có :
2
2
x 1
2x 3x 1 0
2x 1 3
= ⇔ − + =
+
Giải tìm được : x
1
= 1 ; x
2
=
1
2
(+ +)
b).(1đ )

2 2
2 2

x 1 2y 12 x 1 2y 12
y x 1 16 2y x 1 32
 
+ + = + + =
 
⇔
 
+ = + =
 
 

Đặt:
x 1 u+ =
(
u 0
≥
)
2y
2
= v (
v 0≥
)
Thay vào ta có hệ:

u v 12
uv 32
+ =


=



Giải hệ nầy tìm được: (u = 4; v = 8) , (u = 8; v = 4) (+)
Với (u = 4; v = 8) tìm được:

x 15
y 2
=


= ±

(+)
Với (u = 8; v = 4) tìm được:

x 63
y 2
=



= ±


(+)
Trả lời: Hệ có bốn nghiệm:

x 15
y 2
=



=

;
x 15
y 2
=


= −

;
x 63
y 2
=



=


;
x 63
y 2
=



= −



(+)
CÂU 4. ( 1 điểm )
Cho phương trình :
2
x 2x sin cos 1 0− α + α − =
, (
0 0
0 90< α <
)
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b)Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
, x
2
của phương trình không phụ thuộc vào
tham số
α
.
a).(0,25đ)
Ta có:
2 2
' sin cos 1 sin (1 cos )∆ = α − α + = + − α
> 0 (+)
Vậy pt luôn có hai nghiệm x
1
và x
2
.

b).(0,75đ)
3
B'
D
C
B
A
O
I
D
C
S
N
M
B
A
E
OO'

1 2
1 2
x x 2sin
x .x cos 1
+ = α


= α −

(+)
1 2

1 2
x x
sin
2
cos x .x 1
+

α =

⇔


α = +

(+)
2
2
1 2
1 2
x x
(x .x 1) 1
2
+
 
⇒ + + =
 ÷
 
( do
2 2
sin cos 1α + α =

) (+)
2 2
1 2 1. 2
(x x ) 4(x x 1) 4⇔ + + + =
CÂU 5. (1 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau. Chứng minh rằng: AB
2
+ CD
2
= 4R
2
.
Kẻ đường kính BB’. Nối B’A, B’D, B’C. Ta có tứ
giác ACB’D là hình thang (AC // B’D vì cùng
vuông
góc với BD). Hình thang nầy nội tiếp đường tròn
(O)
nên là hình thang cân, suy ra: CD = AB’. Do đó:
AB
2
+ CD
2
= AB
2
+ AB’
2
= BB’
2
(

ABB'∆
vuông ở
A).
Vậy AB
2
+ CD
2
= 4R
2
(+ + + +)
CÂU 6. (3 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ), đường kính AB, gọi S là điểm đối xứng của O qua A.
Từ S vẽ hai tiếp tuyến SM, SN với đường tròn (O) ( M và N là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác SMBN là hình thoi.
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt cắt SM, SN tại C và D.
Chứng minh: SA
2
= AC . SM.
c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD và I là điểm bất kỳ thuộc cung
nhỏ

»
SC
. Trên đoạn ID lấy điểm E sao cho IS = IE. Chứng minh khi I di động trên cung
nhỏ
»
SC
thì E luôn thuộc một cung tròn cố định.
d) Xác định vị trí điểm I sao cho tổng IS + IC có giá trị lớn nhất và tính giá trị nầy theo
R.

4
a).(0,75đ)
Lập luận chứng minh được
MSN & MBN
∆ ∆
là hai tam giác đều,
suy ra SM = SN = BM = BN
suy ra tứ giác SMBN là hình thoi. (+ + +)

b).(0,75đ)
sin
· ·
0
OM R 1
OSM OSM 30
OS 2R 2
= = = ⇒ =

·
0
CSD 60⇒ =
Tiếp tục lập luận suy ra được tam giác SCD là tam giác đều
từ đó suy ra AC =
SC
2
SA
2
= SC
2

– AC
2
= SC
2
– CM
2
= (SC + CM)(SC – CM)
= SM(SC – AC) = SM . AC (+ + +)
c).(0,75đ)
Lập luận được tam giác ISE là tam giác đều (+)
Suy ra số đo
·
0
SED 120=
(+)
Suy ra E thuộc cung chứa góc 120
0
dựng trên đoạn SD cố định. (+)
Vậy E luôn thuộc một cung tròn cố định.
d).(0,75đ)
Lập luận chứng minh được : IS + IC = ID (+)
Suy ra tổng IS + IC lớn nhất khi ID là đường kính của đường tròn (O’) (+)
Suy ra vị trí của điểm I bằng cách vẽ đường kính DI
( hay I là điểm chính giữa của cung SC )
Lập luận tính được giá trị lớn nhất của tổng IS + IC =
4R
3
(+)
------------------------------------HẾT----------------------------------
Ghi chú:

- Mỗi dấu + tương ứng với 0,25 điểm.
- Mỗi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số.
5