Tuyển sinh 10 chuyên toán 04 (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
LÂM ĐỒNG
Năm học: 2003 - 2004


ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài I: (6 điểm)
1. Cho a > 0, chứng minh nếu ta có
a
1
a
a
1
a
+=−
thì ta cũng có a +
3
a
1
=
.
2. Giải hệ phương trình:
9 8
1
2 3
3 4
2
2 3
x y x y

x y x y

− =

+ − − +



+ =

+ − − +


3. Cho phương trình: x
4
– (m
2
– 4)x
2
– (m
2
+ 3) = 0. (1) (x là ẩn, m là tham số)
Chứng minh: phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Bài II: (7 điểm)
1. Người ta muốn dùng các thanh sắt có độ dài bằng nhau để xếp thành mạng ô vuông
hình chữ nhật như hình vẽ (1). Nếu chiều dài hình chữ nhật gồm 120 thanh và chiều rộng
hình chữ nhật gồm 20 thanh thì phải dùng bao nhiêu thanh sắt để tạo thành mạng như
trên.
2. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của y =
2

3
1
x
x x
−
+ +
.
3. Cho phương trình bậc hai (x là ẩn, m là tham số):
(m+2)x
2
+ 2(3m – 2)x + m + 2 = 0.(m
≠
–2) (*).
Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa:
)( 1xx21xx2
21
2
2
2
1
+=++
.
4. Với mỗi số thực m và số nguyên dương n ta đònh nghóa (m n) như sau:
(m n)
( 1)( 2)( 3)...( 1)
1.2.3...

m m m m m n
n
− − − − +
=
. Hãy tính (
1
2
−
2003) : (
1
2
2003)
Bài III: (7 điểm)
1. Cho tam giác ABC, AM trung tuyến (M∈ BC).
a. Chứng minh : AB + AC > 2AM
b. I là một điểm thuộc đoạn BM (I≠B, I≠M), qua I kẻ đường thẳng song song với AM cắt
AB, AC lần lượt tại E và D. Chứng minh IE+ ID = 2AM .
2. Trên đường tròn (O) lấy dây cung AB cố đònh, M là một điểm tùy ý trên cung AB
( với M≠A, M≠B) . Gọi K là trung điểm của đoạn MB. Chứng minh đường thẳng
qua K và vuông góc với AM luôn đi qua một điểm cố đònh khi M chạy trên cung AB.

Họ và tên thí sinh: ................................……………….Số báo danh: .................Chữ ký Giám thò 1: ……………………….
120
20
Hình vẽ (1)
ĐÁP ÁN Môn TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán)
Bài I: (6 điểm)
1. Chứng minh: a +
3
a

1
=
. (2điểm)
+/ Từ đề bài =>
1 1 1
( )( )a a a
a a a
− + = +
. (0,5điểm)
+/ =>
1
( ) 1a
a
− =
. (0,5điểm)
+/ =>
2
1
( ) 1a
a
− =
(0,5điểm)
+/ => a +
3
a
1
=
(0,5điểm)
2. Giải hệ phương trình:
9 8

1
2 3
3 4
2
2 3
x y x y
x y x y

− =

+ − − +



+ =

+ − − +

(2điểm)
+/ Điều kiện: x + y ≠ 2 và x – y ≠ – 3. (0,5điểm)
+/ Đặt U =
3
2x y+ −
và
4
3
V
x y
=
− +

. Ta có hệ:
3 2 1
2
U V
U V
− =


+ =

. (0,5điểm)
+/ Tìm được U = V = 1 (0,5điểm)
+/ Giải hệ ta có x = 3 và y = 2. (0,5điểm)
3. Chứng minh: phương trình luôn có nghiệm với mọi m. (2điểm)
+/ Đặt x
2
= X (X ≥ 0) Ta có phương trình: X
2
– (m
2
– 4)X –(m
2
+ 3) = 0.(2) (0,5điểm)
+/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm. (0,5điểm)
+/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm trái dấu (0,5điểm)
+/ Từ nghiệm dương của phương trình (2) => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Bài II: (7 điểm) (0,5điểm)
1. Số thanh sắt (1,5điểm): mỗi ý cho 0,5điểm
+/ Có 121 cột, mỗi cột có 20 thanh suy ra số thanh xếp theo cột dọc: 121.20 = 2420
+/ Có 21 dòng, mỗi dòng có 120 thanh suy ra số thanh xếp theo cột dọc: 21.120 = 2520.

+/ Số thanh sắt phải dùng: 2420 + 2520 = 4940.
2. Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của y =
2
3
1
x
x x
−
+ +
. (2điểm)
*/ Giá trò lớn nhất: (1điểm)
+/ Ta có y
2
2
3( 1)
3 3
1
x
x x
+
= − ≤
+ +
. (0,5điểm)
+/ Khi x = –1 thì y đạt GTLN là 3 (0,5điểm)
*/ Giá trò nhỏ nhất: (1điểm)
+/ Ta có y
2
2
( 1)
1 1

1
x
x x
−
= − + ≥ −
+ +
. (0,5điểm)
+/ Khi x = 1 thì y đạt GTNN là –1. (0,5điểm)
3. Phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa:
)( 1xx21xx2
21
2
2
2
1
+=++
.(2điểm)
+/ Biến đổi hệ thức đã cho thành
2 2
1 2 1
( ) ( 1) 0x x x− + − =
(0,5điểm)
+/ Vậy:
1 2
1x x= =
hay phương trình (1) có nghiẹm kép là 1. (0,5điểm)

+/ Thế x = 1 vào phương trình suy ra m = 0. (0,5điểm)
+/ Kiểm tra m = 0 phương trình (1) có nghiệm kép vậy chọn m = 0. (0,5điểm)
4. Với mỗi số thực m và số nguyên dương n ta đònh nghóa (m n) như sau: (1,5điểm)
+/ (
1
2
−
2003)
1 3 5 7 4005
( )( )( )...( )
2 2 2 2 2
1.2.3...2003
− − − − −
=
. (0,5điểm)
+/ (
1
2
2003)
1 1 3 5 7 4003
( )( )( )( )( )...( )
2 2 2 2 2 2
1.2.3...2003
− − − − −
=
. (0,5điểm)
+/ (
1
2
−

2003) : (
1
2
2003) = – 4005. (0,5điểm)
Bài III: (7 điểm)
1. (4điểm)

a. Chứng minh : AB + AC > 2AM (1,5đ)
+/ Lấy N đối xứng với A qua M.=> NC = AB. (0,75điểm)
+/ AB + AC = CN +AC > MN = 2AM (0,75điểm)
b. Chứng minh EI + ID = 2AM . (2,5 điểm)
+/ Từ IE // AM suy ra:
IE BI
AM BM
=
. (0,75điểm)
+/ Từ ID // AM suy ra:
ID CI
AM CM
=
. (0,75điểm)
+/ Suy ra:
2
IE ID
AM AM
+ =
(0,5điểm)
+/ Vậy IE + ID = 2AM. (0,5điểm)
2. Chứng minh đi qua một điểm cố đònh.(3điểm)
+/ Gọi A

/
đối xứng A qua tâm O.=> A
/
B cố đònh. (1điểm)
+/ Suy ra KP // MA
/
(với P là chân đường vuông góc của K xuống AM) (1điểm)
+/ Mà KM = KB suy ra PK đi qua trung điểm của A
/
B suy ra đpcm (1điểm)
M
A
B C
N
I
E
D
A
B
M
K
P
A
/
O