Dạy học toán trung học phổ thông theo hướng khai thác vẻ đẹp toán học góp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh (Luận án tiến sĩ)

B GIO DC V O TO
VIN KHOA HC GIO DC VIT NAM

NGUYN VN TH

DạY HọC TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG
THEO HƯớNG KHAI THáC Vẻ ĐẹP TOáN HọC GóP PHầN
TíCH CựC HóA HOạT ĐộNG HọC TậP CủA HọC SINH

LUN N TIN S KHOA HC GIO DC

H NI, 2019


B GIO DC V O TO
VIN KHOA HC GIO DC VIT NAM

NGUYN VN TH

DạY HọC TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG
THEO HƯớNG KHAI THáC Vẻ ĐẹP TOáN HọC GóP PHầN
TíCH CựC HóA HOạT ĐộNG HọC TậP CủA HọC SINH
Chuyờn ngnh: Lớ lun v Phng phỏp dy hc b mụn Toỏn
Mó s: 9.14.01.11

LUN N TIN S KHOA HC GIO DC

Ngi hng dn khoa hc:
1. TS. NG TH THU THY
2. PGS. TS. NGUYN THNH QUANG

H NI, 2019


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận án là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện dƣới
sự hƣớng dẫn của TS. Đặng Thị Thu Thủy và PGS. TS Nguyễn Thành Quang.
Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, có nguồn trích dẫn. Các kết
quả công bố chung đều đƣợc đồng nghiệp cho phép sử dụng đƣa vào luận án.
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Thà


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận án đƣợc thực hiện và hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của
TS. Đặng Thị Thu Thủy và PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, tại Viện Khoa
học Giáo dục Việt Nam.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đặng Thị Thu Thủy đã
đặt ra đề tài nghiên cứu và hƣớng dẫn tác giả hoàn thành bản luận án này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS Nguyễn Thành Quang đã tận
tình giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và viết luận án.
Tác giả trân trọng cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo thuộc Trung tâm Đào
tạo và Bồi dƣỡng - Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh và thực hiện
luận án.
Xin gửi tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp lời cảm ơn sâu sắc về những

quan tâm, chia sẻ, động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thực
hiện luận án.
Hà Nội, ngày … tháng …năm 2019
Tác giả luận án

Nguyễn Văn Thà


iii

MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan .................................................................................................. i
Lời cảm ơn .................................................................................................... ii
Mục lục ........................................................................................................ iii
Quy ƣớc về các chữ viết tắt sử dụng trong luận án ....................................... vi
Danh mục bảng ........................................................................................... vii
Danh mục biểu đồ ....................................................................................... vii
Danh mục hình ........................................................................................... viii
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ............................................................................. 1
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ...................................................................... 5
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU ......................................................................... 6
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC ..................................................................... 6
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ...................................................................... 6
6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................................................. 6
7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN .......................................................... 7
8. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ .............................................. 8
9. CẤU TRÚC LUẬN ÁN ............................................................................ 8
Chương 1. CƠ SỞ L LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 9

1.1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ............ 9
1.1.1. Tổng quan một số nghiên cứu ngoài nƣớc ....................................... 9
1.1.2. Tổng quan một số nghiên cứu trong nƣớc ...................................... 15
1.2. QUAN NIỆM VỀ VẺ ĐẸP TOÁN HỌC ............................................. 17
1.2.1. Vẻ đẹp toán học ............................................................................. 17
1.2.2. Những thành tố của vẻ đẹp toán học .............................................. 23
1.2.3. Những đặc điểm của vẻ đẹp toán học ............................................. 25


iv

1.2.4. Vẻ đẹp toán học đƣợc thể hiện trong chƣơng trình toán trung học
phổ thông ................................................................................................ 34
1.3. QUAN NIỆM VỀ DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT THEO
HƢỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC ............................................ 45
1.3.1. Thế nào là dạy học toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp?.......................... 46
1.3.2. Những cơ hội và định hƣớng dạy học toán hƣớng khai thác vẻ đẹp ..... 49
1.4. TÌNH HÌNH DẠY HỌC TOÁN THEO HƢỚNG KHAI THÁC VẺ
ĐẸP TOÁN HỌC Ở TRƢỜNG THPT ........................................................ 53
1.4.1. Tình hình dạy và học Toán THPT nói chung từ các nghiên cứu có
liên quan .................................................................................................. 53
1.4.2. Tìm hiểu tình hình dạy và học môn Toán ở trƣờng THPT hiện nay ..... 55
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ........................................................................... 64
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC
NHẰM TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH ..... 65
2.1. ĐỊNH HƢỚNG XÂY DỰNG CÁC BIỆN PHÁP ................................ 65
2.1.1. Định hƣớng 1. Phù hợp với đặc điểm, nguyên tắc dạy học môn Toán ..... 65
2.1.2. Định hƣớng 2. Phù hợp với định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy
học môn Toán, đặc biệt là yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập ............... 66

2.1.3. Định hƣớng 3. Phù hợp với tâm sinh lí của lứa tuổi học sinh trung
học phổ thông ........................................................................................... 66
2.1.4. Định hƣớng 4. Đảm bảo tính khả thi trong điều kiện thực tế dạy
học toán hiện nay ở các trƣờng trung học phổ thông ................................ 67
2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP TRONG DẠY HỌC TOÁN THEO HƢỚNG KHAI
THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ............ 67
2.2.1. Biện pháp 1. Chú trọng khai thác nhiều cách giải hay và sáng tạo
cho mỗi bài toán, tổng hợp và phát triển thành các chùm bài tập ............. 67
2.2.2. Biện pháp 2. Tăng cƣờng khai thác tính thực tiễn của toán học thông
qua các mô hình hóa toán học những bài toán có nội dung thực tế ................ 97


v

2.2.3. Biện pháp 3. Tăng cƣờng cho học sinh tìm hiểu lịch sử của kiến
thức toán học trong SGK ....................................................................... 108
2.3. MỘT SỐ GỢI Ý SƢ PHẠM GIÚP GV SỬ DỤNG HỆ THỐNG
BIỆN PHÁP .............................................................................................. 125
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ......................................................................... 126
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 127
3.1. MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, NHIỆM VỤ, NGUYÊN TẮC VÀ NỘI
DUNG THỰC NGHIỆM .......................................................................... 127
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................. 127
3.1.2. Yêu cầu thực nghiệm ................................................................... 127
3.1.3. Nhiệm vụ thực nghiệm ................................................................ 127
3.1.4. Nguyên tắc tổ chức thực nghiệm .................................................. 128
3.1.5. Nội dung thực nghiệm ................................................................. 128
3.2. THỜI GIAN, ĐỐI TƢỢNG, QUY TRÌNH, PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH
GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .......................................... 129
3.2.1. Thời gian, đối tƣợng TNSP .......................................................... 129

3.2.2. Quy trình, cách thức triển khai nội dung thực nghiệm ................. 130
3.2.3. Phƣơng pháp ĐG kết quả thực nghiệm ........................................ 133
3.3. TIẾN TRÌNH THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ....................................... 136
3.3.1. Thực nghiệm sƣ phạm lần 1 ......................................................... 136
3.3.2. Thực nghiệm sƣ phạm lần 2 ......................................................... 139
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ........................................................................ 155
KẾT LUẬN .............................................................................................. 156
MỘT SỐ CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU SINH
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ĐƢỢC CÔNG BỐ .............................. 157
CÁC HỘI NGHỊ, HỘI THẢO KHOA HỌC TÁC GIẢ ĐÃ THAM
GIA BÁO CÁO HOẶC ĐỒNG BÁO CÁO ........................................... 158
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 159
PHỤ LỤC


vi

QUY ƢỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN
Viết tắt

Viết đầy đủ

BPSP

: Biện pháp sƣ phạm

DH

: Dạy học

ĐG

: Đánh giá

ĐC

: Đối chứng

GD

: Giáo dục

GD & ĐT

: Giáo dục và đào tạo

GDPT

: Giáo dục phổ thông

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

KN

: Kỹ năng

KT

: Kiến thức

NL

: Năng lực

PPDH

: Phƣơng pháp dạy học

SGK

: Sách giáo khoa

TTC

: Tính tích cực

TCH

: Tích cực hóa

THPT

: Trung học phổ thông

TN

: Thực nghiệm

TNSP

: Thực nghiệm sƣ phạm


vii

DANH MỤC BẢNG
Trang
Bảng 3.1. Thống kê các điểm số (Xi) bài kiểm tra đầu vào .....................................143
Bảng 3.2. Thống kê điểm số (Xi) bài kiểm tra (lần 2) .............................................148

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Phân bố điểm kiểm tra đầu vào của hai nhóm ĐC và TN lần 2 .........143
Biểu đồ 3.2. Lũy tích điểm kiểm tra đầu vào của hai nhóm ĐC và TN lần 2 .........144
Biểu đồ 3.3. Phân bố điểm bài kiểm tra số 1 của hai nhóm ĐC và TN lần 2 .........149
Biểu đồ 3.4. Lũy tích điểm kiểm tra số 1 của hai nhóm ĐC và TN lần 2 ...............149


viii

DANH MỤC HÌNH
Trang
Hình 1.1. Sự đối xứng của hoa và lá ............................................................................27
Hình 1.2. Bông tuyết Von Koch.................................................................................28
Hình 1.3. Quy luật sắp xếp thú vị của các con số ......................................................35

Hình 1.4. Năm khối đa diện trong không gian...........................................................35
Hình 1.5. Chứng minh không lời của Bất đẳng thức Cô-si .........................................38
Hình 1.6. Chứng minh không lời của một tổng vô hạn .............................................38
Hình 1.7. Chứng minh không lời của công thức lƣợng giác lớp 10 ..........................39
Hình 1.8. Chứng minh không lời của khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng ..39
Hình 1.9. Mối liên hệ giữa vectơ với thực tiễn ...........................................................42
Hình 1.10. Minh họa đề bài ví dụ 28 .........................................................................47
Hình 1.11. Chứng minh không lời công thức lƣợng giác ví dụ 28............................48
Hình 2.1. Tính tổng bằng phƣơng pháp vẽ hình ........................................................75
Hình 2.2. Minh họa lời giải ví dụ 35 ..........................................................................78
Hình 2.3. Chứng minh không lời Định lí côsin .........................................................83
Hình 2.4. Minh họa chứng minh tổng bằng vẽ hình ..................................................94
Hình 2.5. Minh họa khái niệm tích vô hƣớng ..........................................................101
Hình 2.6. Mô hình quả địa cầu và bóng rổ...............................................................102
Hình 2.7. Minh họa sự phân chia ký sinh trùng Amip..............................................103
Hình 2.8. Bồn nƣớc hình trụ minh họa ....................................................................105
Hình 2.9. Minh họa đề bài và lời giải ......................................................................107
Hình 2.10. Minh họa mối liên hệ giữa lƣợng giác và thực tế ..................................112
Hình 2.11. Vòng quay mặt trời Sun Wheel thuộc Thành Phố Đà Nẵng .................113
Hình 2.12. Năm khối đa diện đều ............................................................................115
Hình 2.13. Minh họa trò chơi “Ai nhanh mắt hơn” .................................................124


1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục sửa đổi, bổ sung năm 2010 xác định: “Mục tiêu giáo dục phổ
thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và
các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con ngƣời Việt Nam xã hội chủ

nghĩa, xây dựng tƣ cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Căn cứ vào bối cảnh tình hình trong và ngoài nƣớc cũng nhƣ yêu cầu phát
triển GD & ĐT, Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng
Cộng sản Việt Nam khóa XI khẳng định: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp
dạy và học theo hƣớng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận
dụng kiến thức, kỹ năng (KN) của ngƣời học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một
chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học,
tạo cơ sở để ngƣời học tự cập nhật và đổi mới tri thức, KN, phát triển năng lực.
Chuyển từ cách học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý
các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công
nghệ thông tin và truyền thông trong dạy học” [5].
Trên cơ sở đó, mục tiêu đổi mới của giáo dục phổ thông (GDPT) đƣợc Nghị
quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội quy định: “Đổi mới chƣơng trình, sách giáo
khoa (SGK) giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất
lƣợng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy ngƣời và định hƣớng
nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền
giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ
và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”.
Cuộc cách mạng 4.0 sẽ tạo ra những biến chuyển rộng lớn trong đời sống,
kinh tế - xã hội và đặt ra nhiều thách thức mới đối với ngành GD & ĐT. Hiện nay,
không chỉ ở Việt Nam mà nhiều nƣớc đang phát triển trong khu vực và thế giới đều
đang phải đối mặt với sự thiếu hụt lao động có trình độ cao và KN chuyên nghiệp. Để
tạo ra nguồn nhân lực chất lƣợng cao đáp ứng đƣợc yêu cầu phát triển đất nƣớc trong
bối cảnh mới, chúng ta cần chuyển đổi cách thức GD. Đối với quá trình DH, cần


2

chuyển từ truyền thụ KT sang hình thành phẩm chất và phát triển NL cho ngƣời học

với quan niệm thực học, thực nghiệp; chuyển từ quan niệm cứ có KT là có NL sang
quan niệm KT chỉ là một yếu tố quan trọng của NL. Còn với việc học, cần chuyển từ
học thuộc, nhớ nhiều sang hình thành NL vận dụng, thích nghi, giải quyết vấn đề, tƣ
duy độc lập. Không chỉ học trong sách vở, mà còn phải học qua nhiều hình thức
khác. Đặc biệt, với HS và sinh viên là ngƣời lao động chính trong tƣơng lai cần thay
đổi suy nghĩ học một lần cho cả đời bằng việc học cả đời để làm việc cả đời (xem
[8]).
Nền GDPT của mọi quốc gia trên thế giới đều coi toán học là một môn học
bắt buộc, có tầm quan trọng bậc nhất. Toán học đƣợc xem là một yếu tố không thể
thiếu trong học vấn phổ thông của mỗi công dân. Theo [8], “Giáo dục toán học
hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và
năng lực toán học với các thành tố cốt lõi là: năng lực tư duy và lập luận toán học,
năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao
tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển
kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng
toán học vào đời sống thực tiễn. Giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý
tưởng toán học, giữa Toán học với các môn học khác và giữa Toán học với đời
sống thực tiễn”. Do đó, GD toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong
nhà trƣờng.
Ở nƣớc ta, việc đầu tƣ của xã hội cho bộ môn Toán trong các nhà trƣờng
ngày càng đƣợc chú trọng và quan tâm hơn, với lý do chủ yếu là giáo dục toán học
sẽ giúp HS phát triển tƣ duy toàn diện, giúp các em trở nên thông minh, tự tin và
năng động, từ đó biết cách giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Học toán là một
trong những cách tốt nhất để phát triển tƣ duy, mở mang tri thức cho con ngƣời lao
động sáng tạo. Sự quan tâm và hỗ trợ của Đảng và Nhà nƣớc đối với khoa học cơ
bản trong đó có toán học đã thực sự có tác dụng tích cực trong việc bồi dƣỡng đội
ngũ giảng viên, GV trong nghiên cứu, giảng dạy và ứng dụng toán học.
Trả lời phỏng vấn báo Le Figaro ngày 07/12/2004, Lafforgue cho rằng:
“Trình độ toán học của học sinh Pháp đang giảm đi một cách đáng lo ngại trong

3

những năm gần đây. Lý do vì chính sách “giảm tải” môn Toán trong chƣơng trình:
Ngƣời ta để học sinh biết các định lí mà không hiểu các chứng minh của chúng, các
định nghĩa, khái niệm trình bày thiếu chính xác hơn trƣớc và kết quả là học sinh học
thuộc công thức, định lí mà không nắm vững đƣợc lôgic nội tại, điều quan trọng
hàng đầu trong việc học toán” (xem [60, tr. 214]).
Theo Nguyễn Bá Kim [58]: “Thuật ngữ dạy học đƣợc hiểu theo nghĩa rộng:
nó không chỉ có nghĩa là dạy cho HS chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo,
phát triển năng lực mà còn bao hàm cả việc hình thành thế giới quan, nhân sinh
quan, phẩm chất đạo đức, khả năng thẩm mỹ,…”. Cũng theo ông: “Toán học góp
phần phát triển năng lực sáng tạo và tƣ duy hình tƣợng, cho nên môn Toán có tác
dụng giáo dục thẩm mỹ”. Vì vậy, GD thẩm mỹ nói chung và GD thẩm mỹ toán học
nói riêng là một phần quan trọng của GD toán học. Chúng đƣợc thâm nhập vào
giảng dạy toán học theo nhiều cách khác nhau. Không chỉ giúp HS thiết lập một
quan điểm đúng đắn về học tập và cuộc sống mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn
diện và cải thiện suy nghĩ, niềm đam mê của HS về toán học.
Nguyễn Thị Mỹ Lộc [62] cho rằng: Lớp học không chỉ là một không gian vật
chất mà còn là một không gian tâm lý mang nặng dấu ấn của ngƣời dạy và ngƣời
học. Cảm xúc khu trú tại vùng limbic tác động đến hành vi của ngƣời học và của
ngƣời dạy trong DH. Hệ limbic có nhiệm vụ phân tích đối tƣợng kiến thức thu nhận
đƣợc và ĐG ích lợi của chúng. Nếu thấy cần thiết, vùng limbic khơi dậy hứng thú
tiếp thu, ngƣợc lại nó sẽ thờ ơ, hoặc từ bỏ. Ví dụ, thầy luôn làm cho HS thấy rõ sự
cần thiết và vẻ đẹp của toán học trong cuộc sống hàng ngày thì HS sẽ biểu lộ hứng
thú của mình đối với môn Toán (vùng limbic đã thấy đƣợc ích lợi của đối tƣợng
kiến thức).
Thông qua cuốn sách Toán học và nghệ thuật [23], Nguyễn Tiến Dũng nhấn
mạnh: “Các thầy cô giáo ở trƣờng phổ thông, nếu đƣa đƣợc thêm nghệ thuật vào lớp
học, và đƣa đƣợc các ví dụ về nghệ thuật vào trong môn Toán, thì sẽ là điều may mắn

lớn cho các em học sinh. Ở nhiều nơi trên thế giới ngƣời ta đã và đang làm nhƣ vậy”.
Tại hội thảo khoa học “Phát triển tƣ duy toán học trong lớp học” tổ chức vào
năm 2017 tại Hà Nội. Khi bàn về thái độ học tập môn Toán của HS Việt Nam, ông


4

Isoda Masami, Giám đốc Viện Hợp tác Quốc tế về Phát triển GD thuộc Trƣờng Đại
học Tsukuba (Nhật Bản) cho rằng: thái độ của ngƣời học toán rất quan trọng, ảnh
hƣởng đến quá trình tiếp thu và kết quả học tập. Ngƣời dạy toán cần cho ngƣời học
thấy “Vẻ đẹp toán học” và hứng thú với lĩnh vực này.
Theoni Papas [94, tr. 12] đã chỉ rõ: “Toán học không chỉ là việc thực hiện
các phép tính, giải phƣơng trình, chứng minh các định lí, nghiên cứu đại số, hình
học hay vi phân và tích phân; cũng không chỉ là một cách suy luận…. Tuy nhiên khi
toán học đƣợc nhìn nhận một cách tổng thể, tính sáng tạo và vẻ đẹp toán học của nó
mới hiện ra rõ ràng”.
Đồng quan điểm, Alfred S. Posamentier [4] cho rằng, để thuyết phục mọi
ngƣời (đặc biệt là các bạn trẻ) học toán, tìm hiểu về toán ta nên nhấn mạnh vào vẻ
đẹp của toán học thay vì sự hữu ích của nó. Trẻ em cũng nhƣ ngƣời lớn yêu thích
cái gì, tò mò muốn biết cái gì, thì sẽ học cái đó rất nhanh. Muốn cho một bé học giỏi
toán, thì điểm quan trọng đầu tiên là phải làm cho bé yêu toán.
Với quan điểm học toán là phải tìm thấy vẻ đẹp đích thực của toán học, phải
khuyến khích và nuôi dƣỡng niềm say mê toán học ở con trẻ khi còn nhỏ thay vì
luôn luôn đặt câu hỏi đầy “thực dụng” là học toán để làm gì. Để nuôi dƣỡng sự học
ở mỗi ngƣời và toàn xã hội, chúng ta cần đặt mục tiêu khám phá, tìm hiểu vẻ đẹp
thật sự của khoa học chứ không thể coi KT là công cụ hay phƣơng tiện (xem [143]).
Toán học có một vẻ đẹp rất đặc sắc thể hiện ở tính lôgic, chính xác của nó.
Cùng với tri thức của khoa học, môn Toán có tiềm tàng những khả năng để giáo dục
thẩm mỹ cho HS. Tuy nhiên, dƣới nhãn quan của khá nhiều ngƣời, toán học trong
nhà trƣờng hiện nay bị coi là một môn học khô khan, chỉ giới hạn trong những bài

tập, những công thức và con số (xem [94, tr. 6]). Để góp phần khắc phục thực trạng
này, khai thác vẻ đẹp toán học trong DH môn Toán là một đề tài đã thu hút đƣợc
nhiều nhà khoa học và nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu dƣới nhiều góc độ và
quan điểm khác nhau.
Bên cạnh đó, những hạn chế khá phổ biến trong giảng dạy môn Toán ở các
trƣờng THPT dẫn tới hệ quả là tồn tại các thực trạng: Thầy đọc trò chép trong dạy


5

và học, công tác ĐG chƣa thật sự khách quan; HS phàn nàn phải học toán quá
nhiều và khó; GV phản ánh HS lƣời học toán; nhà quản lý ĐG hiệu quả và chất
lƣợng DH môn Toán chƣa cao; cha mẹ HS lo lắng cho con em của họ học toán bị
nhiều áp lực. Nguyên nhân của sự hạn chế có thể đến từ rất nhiều lý do: Áp lực về
điểm số, thi cử và thành tích ảo từ phía ngƣời dạy, ngƣời học và phụ huynh; thiên
về dạy toán vì toán, mà chƣa chú trọng phát triển phẩm chất và NL đƣợc hình thành
thông qua học toán; chƣa khơi dậy đƣợc khát vọng học tập, sáng tạo; chƣa khơi gợi
đƣợc niềm vui và niềm say mê khám phá của HS,...
Tiếp cận từ quan điểm của các tác giả Alfred S. Posamentier, Nguyễn Bá
Kim, Theoni Papas, Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Nguyễn Tiến Dũng, Isoda Masami và
thực tế dạy học môn Toán ở trƣờng THPT hiện nay, chúng tôi nhận thấy sự cần
thiết giáo dục vẻ đẹp toán học trong DH môn Toán ở nhà trƣờng THPT.
Thu thập tài liệu nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy rằng chƣa có công trình nào
nghiên cứu một cách đầy đủ, có hệ thống về khai thác vẻ đẹp của toán học và tìm tòi
các ứng dụng của chúng trong DH toán, nhằm TCH hoạt động học tập cho HS THPT.
Nhƣ vậy, nội hàm của khái niệm này xem nhƣ vẫn còn yếu tố mới. Chúng ta có thể
đặt vấn đề nghiên cứu làm sáng tỏ nội hàm của nó cũng nhƣ minh chứng khả năng
cần và có thể bồi dƣỡng PPDH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học trong DH
toán ở các lớp bậc THPT. Điều đó kích thích, thôi thúc chúng tôi mạnh dạn đi sâu
nghiên cứu theo hƣớng đặt ra của đề tài với mong muốn giúp HS cảm nhận vẻ đẹp

toán học qua đó tạo cho HS niềm hứng thú, say mê học toán, góp phần nâng cao hiệu
quả dạy học môn Toán ở trƣờng THPT.
Từ những lý do nhƣ đã phân tích ở trên, chúng tôi quyết định lựa chọn và
thực hiện đề tài nghiên cứu: “Dạy học toán trung học phổ thông theo hướng khai
thác vẻ đẹp toán học góp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh”.
2. MỤC Đ CH NGHIÊN CỨU
Thiết kế các biện pháp DH môn Toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp của
toán học góp phần TCH hoạt động học tập của HS, qua đó góp phần nâng cao
hiệu quả DH môn Toán ở trƣờng THPT.


6

3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Vẻ đẹp toán học và biểu hiện trong chƣơng trình toán THPT;
- Biện pháp sƣ phạm trong DH toán THPT theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán
học nhằm TCH hoạt động học tập cho HS (minh họa thông qua DH các chủ đề Đại
số, Giải tích và Hình học thuộc chƣơng trình môn Toán THPT Việt Nam).
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu tổ chức tốt việc DH môn Toán ở trƣờng THPT theo hƣớng khai thác vẻ
đẹp toán học thì sẽ TCH đƣợc hoạt động học tập của HS, từ đó góp phần nâng cao
chất lƣợng DH môn Toán.
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
5.1. Tổng quan cơ sở lý luận và thực tiễn về vẻ đẹp toán học và nghiên cứu
các cơ sở và thành tựu mới về DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học.
5.2. Đƣa ra quan niệm về vẻ đẹp toán học (nội dung, đặc điểm và biểu hiện),
DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học.
5.3. Đề xuất một số biện pháp DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học.
5.4. Tổ chức TNSP để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp
DH và các phƣơng án ĐG đã đề xuất.

6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
- Tìm hiểu cơ sở triết học, tâm lý học về các hoạt động của GV và HS trong
dạy và học toán ở trƣờng THPT theo hƣớng khai thác vẻ đẹp của toán học.
- Phân tích và chọn lựa một số nội dung có thể khai thác vẻ đẹp toán học
trong SGK toán THPT hiện hành của Việt Nam.
- Tìm hiểu các ý tƣởng và nội dung khai thác vẻ đẹp toán học thể hiện trong
SGK toán của một số nƣớc trên thế giới.
- Phân tích, ĐG và lựa chọn các nội dung phù hợp với đề tài của luận án
trong các tài liệu về hƣớng dẫn giảng dạy toán cho GV THPT.
6.2. Phƣơng pháp điều tra, quan sát
- Kết hợp cả hai loại quan sát khoa học là quan sát trực tiếp và quan sát gián
tiếp. Đối tƣợng chủ yếu trong quan sát là GV và HS trong dạy và học toán theo chủ
đề đã nêu ở các trƣờng THPT.


7

- Thu thập phiếu hỏi, phiếu quan sát, thông tin phản hồi về các vấn đề liên
quan của luận án từ các đối tƣợng GV, HS, nhà khoa học, nhà GD.
6.3. Phƣơng pháp chuyên gia
Sử dụng trí tuệ của đội ngũ chuyên gia để xem xét nhận định bản chất của
đối tƣợng nghiên cứu, tìm ra giải pháp tối ƣu. Cụ thể:
- Phỏng vấn, xin ý kiến các chuyên gia đầu ngành, GV và HS về lĩnh vực liên quan.
- Liên hệ trao đổi với các nhà khoa học, nhà giáo đã, đang và sẽ tham gia viết
chƣơng trình và SGK của Việt Nam tại các trƣờng đại học sƣ phạm, Viện Khoa học
Giáo dục, Viện Toán học, Viện nghiên cứu Cao cấp về Toán, các sở Giáo dục và
Đào tạo, các trƣờng THPT,...
- Tham dự các hội nghị, hội thảo khoa học trong và ngoài nƣớc để lắng nghe,
tiếp thu, trình bày báo cáo các nội dung có liên quan.

6.4. Phƣơng pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm
Nghiên cứu và xem xét lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra
kết luận bổ ích cho thực tiễn và khoa học. Cụ thể là, tổ chức các TNSP để tìm ra
những khó khăn, chƣớng ngại và bất cập của SGK, của thầy và của trò trong việc
triển khai dạy và học theo các biện pháp sƣ phạm mà luận án đã chỉ ra.
6.5. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
- Tổ chức các TNSP theo các đề xuất của đề tài.
- Tổ chức các TNSP để ĐG tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sƣ
phạm đề ra.
6.6. Phƣơng pháp thống kê
Tính toán và xử lý những số liệu thu thập đƣợc trong thực tế và tài liệu lý
thuyết bằng công cụ và phƣơng pháp thống kê toán học.
6.7. Phƣơng pháp nghiên cứu trƣờng hợp
Đƣợc sử dụng trong TNSP lần 1 nhằm điều chỉnh và hoàn thiện các BPSP đã
đề xuất.
7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
a) Về mặt lí luận
- Quan niệm về vẻ đẹp toán học và DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp
toán học.


8

- Làm rõ yêu cầu và cơ hội khai thác vẻ đẹp toán học trong quá trình dạy và
học môn Toán ở trƣờng THPT của GV và HS.
b) Về mặt thực tiễn
- Những biện pháp DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học góp phần
tích cực hóa hoạt động học toán cho HS.
- Gợi ý sử dụng các biện pháp và những ví dụ minh họa trong DH khái niệm,
định lí, bài tập, ôn tập trong chủ đề Đại số, Giải tích và Hình học ở trƣờng THPT.

- Kết quả nghiên cứu có thể làm tài liệu tham khảo cho GV và HS.
8. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ
- Quan niệm về vẻ đẹp toán học và DH toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp
toán học ở trƣờng THPT.
- Những biện pháp DH Toán THPT theo hƣớng khai thác vẻ đẹp toán học đã
đề xuất có tính khả thi và hiệu quả, góp phần giáo dục vẻ đẹp toán học cho HS và
tích cực hóa hoạt động học tập môn Toán của HS.
9. CẤU TRÖC LUẬN ÁN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, các công trình đã công bố, tài liệu tham khảo
và phần phụ lục. Bố cục nội dung chính của Luận án gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn;
Chƣơng 2. Một số biện pháp dạy học toán trung học phổ thông theo hƣớng
khai thác vẻ đẹp toán học;
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.


9

Chương 1
CƠ SỞ L LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
1.1.1. Tổng quan một số nghiên cứu ngoài nƣớc
Từ đầu thế kỷ XVIII, đã có nhiều công bố về các phƣơng pháp tiếp cận lý
thuyết thẩm mỹ một cách đầy đủ của vẻ đẹp trong khoa học và toán học. Năm 1735,
A. G. Baumgarten đã giới thiệu thuật ngữ thẩm mỹ để miêu tả những vấn đề liên
quan đến cái đẹp mà bây giờ chúng ta coi là cách tiếp cận triết học về vẻ đẹp và
nghệ thuật. Sự kiện này đã đánh dấu cho sự ra đời của thẩm mỹ học hiện đại.
Shaftesbury và Hutchenson là hai đại diện của trƣờng phái thẩm mỹ lúc bấy giờ đã
cho rằng toán học có vẻ đẹp đặc sắc (xem [135]).
Nhà triết học ngƣời Scotland, Francis Hutcheson (1694-1785), có công trình

nghiên cứu về nguồn gốc của những ý tƣởng về vẻ đẹp và đức hạnh. Ông đã xác
định các đặc điểm sau của vẻ đẹp thẩm mỹ trong khoa học (xem [135]), đó là:
- Thống nhất trong đa dạng;
- Lý tƣởng về sự phổ quát của các sự thật khoa học;
- Tìm ra sự thật không bị chệch hƣớng, phán đoán về những gì cần phải
chứng minh.
Nhà toán học Pháp H. Poincaré (1854-1912) nói: “Nhà khoa học không
nghiên cứu tự nhiên vì mục đích vị lợi. Ông ta nghiên cứu vì tìm thấy trong công
việc sự thích thú và tìm thấy sự thích thú bởi tự nhiên rất đẹp. Nếu tự nhiên khôn�� n  2
3
1
C. un  n 
3
1
D. un  n 2 
3
Câu hỏi 9. Xác định x để 3 số 2 x  1; x; 2 x  1 lập thành một CSN?
B. S  n  

A. x  

1
3

B. x   3
C. x  

1
3

D. Không có giá trị nào của x .

1
Câu hỏi 10. Cho CSN có u2  ; u5  16 . Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN?
4
1
1
A. q  ; u1 
2
2
1
1
B. q   , u1  
2
2
C. q  4, u1 

1
16

D. q  4, u1  

1
16

D. Hoạt động vận dụng khai thác vẻ đẹp toán học
I. Bài toán có nội dung thực tế


47PL

Bài toán 1. Hiệu ứng Domino Khi xếp các quân cờ Domino đứng cạnh nhau với khoảng
cách giữa hai quân cờ không quá xa, ta có thể đẩy đổ một quân cờ domino đầu tiên, quân
cờ đó sẽ đổ vào quân cờ đứng cạnh khiến nó đổ theo, quá trình này tiếp diễn đến khi toàn
bộ loạt quân cờ domino đều đổ. Các thay đổi đối với những quân cờ là giống nhau, vì vậy
chúng tạo ra một chuỗi thay đổi tuyến tính, điều này có đƣợc khi ta coi hệ quân cờ Domino
là độc lập và sự thay đổi của hệ chỉ gây ra bởi tác động tới quân cờ đầu tiên, điều này khác
với hiệu ứng cánh bƣớm khi thay đổi của hệ còn phụ thuộc nhiều điều kiện khác và vì thế
chúng là phi tuyến tính.

Bài toán 2. (Bài toán con thỏ)
Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ đƣợc một đôi thỏ
con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi
tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi n tháng bao nhiêu
đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?

Trong hình vẽ trên, ta quy ƣớc:


48PL
- Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
- Cặp thỏ đƣợc đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
 Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
- Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
- Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
- Tháng Tƣ: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
- Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ đƣợc sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh
con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
- Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ đƣợc sinh ra ở tháng Tƣ) cùng sinh
con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
 Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f  n  là số đôi thỏ có ở tháng thứ n , ta

có:
- Với n  1 ta đƣợc f 1  1 .
- Với n  2 ta đƣợc f  2   1 .
- Với n  3 ta đƣợc f  3  2 .

 Do đó với n  3 ta đƣợc: f  n   f  n  1 + Số đôi thỏ ở tháng thứ n  2 .
Điều đó có thể đƣợc giải thích nhƣ sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n  1 không thể
sinh con ở tháng thứ n , và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n  2 sinh ra một đôi thỏ con nên
số đôi thỏ đƣợc sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f (n  2) .
II. Tìm hiểu thêm về lịch sử toán học
Những nhà toán học đã đặt nên móng cho sự phát triển và Phƣơng pháp quy nạp
toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

Fermat (1601-1665)

Fibonacci (1170-1250)
----- HẾT -----

H.von Koch (1879-1924)


49PL

PHỤ LỤC 3
ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM LẦN 2
Phụ lục 3.1
Đề kiểm tra đầu vào (trƣớc TN)
Môn Toán 11, thời gian: 45 phút
(Hình thức tự luận kết hợp với trắc nghiệm khách quan)
Họ tên: ............................................................... Lớp:...............................

I. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)
Học sinh khoanh tròn vào câu trả lời đúng
Câu 1. Phƣơng trình: sin3x  cos2x  1 2sinx.cos2x tƣơng đƣơng với phƣơng trình
1
A. sinx  0  sinx  .
B. sinx  0  sinx  1.
2
1
C. sinx  0  sinx  1.
D. sinx  0  sinx   .
2
2
Câu 2. Giải phƣơng trình: 1  5sinx  2cos x  0 .


2
A. x    k 2
B. x   k 2 , x 
 k 2
6
3
3

5

C. x   k 2 , x 
D. x    k 2
 k 2
6
6

3
tan x  sin x
1
Câu 3. Giải phƣơng trình:
.

3
cos x
sin x

k
A. x   k
B. x  k2
C. Vô nghiệm.
D. x 
2
2
2
Câu 4. Giải phƣơng trình: sin2 x. cotx  tan2 x   4cos x .
A. x 
C. x 


2



 k , x  
 k , x  


6



 k

B. x 

 k 2

D. x 

2
3
2
Câu 5. Giải phƣơng trình: 3  4cos x  sinx  2sinx 1 .
5
 k 2
2
6
6


5
 k 2
B. x   k 2 , x    k 2 , x  
2
6
6



5
 k 2
C. x    k 2 , x   k 2 , x 
2
6
6


2
 k 2
D. x    k 2 , x    k 2 , x  
2
3
3

A. x 



 k 2 , x 



 k 2 , x 


2



2

 k , x  
 k , x  


6



3

 k 2
 k


50PL

Câu 6. Tập xác định của hàm số: y 

B. x  k 2

A. x  k
C. x 



1

là
sin x  cos x

 k

D. x 



2
4
Câu 7. Phƣơng trình: cos x  m  0 vô nghiệm khi m là:
 m  1

 k

A. 
m  1

B. m  1

C. 1  m  1

D. m  1

Câu 8. Tập xác định của hàm số: y 
A. x 


2

C. x  

 k 2


2

B. x 


6


2

 k

D. x  k

 k 2

Câu 9. Phƣơng trình lƣợng giác:
A. x 

1  sin x
là
cos x

 k 2


C. x    k 2

cos x  3 sin x
 0 có nghiệm là :
1
sin x 
2
7
B. x 
 k 2
6

D. Vô nghiệm

6

Câu 10. Điều kiện để phƣơng trình: m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
 m  4

A. 
m  4

B. 4  m  4

C. m  34

D. m  4

II. TỰ LUẬN (5,0 điểm)
1) Giải phƣơng trình sau bằng ba cách

cos6x.cos 2x 1  0 (Tối đa 2,0 điểm: HS giải đúng một cách đƣợc 1,0 điểm,
giải thêm đƣợc một cách khác đƣợc 0,5 điểm).
2) Hãy nêu hai ứng dụng của Lƣợng giác trong thực tế mà em biết (Câu này
tối đa 1,0 điểm: HS nêu đƣợc mỗi ứng dụng đƣợc 0,5 điểm).
3) Chứng minh công thức lƣợng giác sau bằng hai cách
sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y (Câu này tối đa 2,0 điểm: HS chứng minh

mỗi cách đƣợc 1,0 điểm).
---Hết---


51PL

Phụ lục 3.1
Đề kiểm tra sau TN lần 2
Môn Toán 11, thời gian: 60 phút (Hình thức tự luận)
u1  2

Bài 1. (1 điểm). Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 
1 .
u


2

n


1

un


Bài 2. (HS giải 1 cách được 1,0 điểm, giải hai cách được 1,5 điểm).
Tính tổng Sn  1  2  3  ..........  n . Bằng hai cách
Bài 3. (HS giải 1 cách được 1 điểm, giải hai cách được 1,5 điểm).
Tính tổng S  n   12  22  ...............  n2 . Bằng hai cách
Bài 4. (HS giải 1 cách được 1,0 điểm, giải hai cách được 1,5 điểm).
Tính tổng S  n  

1
1
1
1
. Bằng hai cách


 ......... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1

1
2

Bài 5. (1 điểm). Tìm công bội của cấp số nhân có u1   , u7  32 .
Bài 6. (1 điểm). Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân có u1  1, u6  0,00001.
Bài 7. (HS giải đúng bài toán được 1 điểm, ra đề 1 bài toán được cộng thêm 0,5
điểm).

Bài toán (Xây dựng tòa tháp)
Thành Phố X dự định xây một tòa tháp 11 tầng, theo cấu trúc mặt sàn tầng
trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dƣới biết diện tích mặt đáy tháp là 12,28m2,
ngƣời ta dự định sẽ lát nền nhà bằng gạch men có kích thƣớc 30x30. Hãy tính số
lƣợng gạch men dùng để lát hết sàn của cả tòa tháp? (1,0 điểm)
Em hãy tự ra đề một bài toán có nội dung thực tế liên quan đến kiến thức cấp
số cộng hoặc số nhân. (0,5 điểm)
Bài 8. (1,0 điểm).
a) Em hãy cho biết dãy số un   3

n 1

có phải là cấp số nhân không?

b) Cấp số nhân có những ứng dụng gì trong thực tế?
Bài 9. (0,5 điểm).
Em hãy cho biết dãy số Phi-bô-na-xi là gì? Và lịch sử ra đời của dãy số này.
---Hết---