Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số

1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung
ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định:
... Phải đổi mới phơng pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục
lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo
cho ngời học ....
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
(năm 1998) quy định: ... Phơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của
học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn ....
Dự thảo chơng trình (năm 1989) quy định những
nhiệm vụ của môn Toán trờng phổ thông trung học: ... Góp
phần phát triển năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, t duy biện
chứng, ..., đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy nh
linh hoạt, độc lập, sáng tạo ....
Chơng trình môn Toán (Thí điểm) trờng Trung học phổ
thông (năm 2002) cũng đã chỉ rõ: ... Môn Toán phải góp
phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình
thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học cần thiết
cho cuộc sống; ...; rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức
đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn;
phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những


2

tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn
đề một cách chính xác ....
1.2. Nhận định về phơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ
thông trong giai đoạn hiện nay, các nhà toán học Hoàng Tụy
và Nguyễn Cảnh Toàn viết: ... Kiến thức, t duy, tính cách
con ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay
trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đi trong kiến
thức ... [128, tr. 7]. ... Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy
đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng
minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung
định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng
các công thức, các định lý để tính toán, để chứng minh ...
[127, tr. 4]. ... Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo,
chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho
học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ... [138,
tr. 38].
1.3. Nhà giáo dục học Nga vĩ đại K. Đ. Usinxki [52, tr. 53]
và nhiều công trình nghiên cứu về Giáo dục học, Tâm lí
học, Lôgic học, Triết học, Phơng pháp dạy học bộ môn, ... đã
khẳng định sự cần thiết phải phát triển t duy lôgic cho học
sinh. Tuy nhiên, trong số đó, không phải tài liệu nào cũng đa
ra một cách hiểu tơng đối cụ thể về khái niệm t duy lôgic.
Nhiều tài liệu về phơng pháp giảng dạy Toán của các tác
giả trong nớc và ngoài nớc, bên cạnh việc nhấn mạnh yêu cầu
phát triển t duy lôgic cho học sinh (hoặc t duy lôgic và ngôn
ngữ chính xác - tuỳ theo quan điểm của từng tác giả) nh


3

một trong các nhiệm vụ quan trọng của dạy học Toán ở trờng
phổ thông, đã nêu lên những thành tố của loại hình t duy
này [18], [21], [22], [48], [75], [80], [133], [156], [162], ... .
Tuy nhiên, cha phải đã có một quan điểm thống nhất về
những thành tố của nó. Hơn nữa, do tính khái quát trong
cách trình bày, các tài liệu cũng cha có dịp đi sâu để xem
xét những hình thái của loại hình t duy này trong từng cấp
học và trong từng phân môn (của môn Toán).
Lời chỉ giáo của V. I. Lênin: Không có chân lý trừu tợng,
chân lý bao giờ cũng cụ thể [90] là một tiền đề rất quan
trọng để chúng ta có thể đi vào việc nghiên cứu sâu hơn
vấn đề phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ
thông trong dạy học Đại số.
1.4. Đại số ở bậc Trung học phổ thông nói chung, Đại số 10
nói riêng là môn học có nhiều chủ đề thích hợp với việc phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học cho học sinh. Chẳng hạn, chủ đề phơng trình, bất
phơng trình chứa trị tuyệt đối hoặc chứa tham số thích
hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân chia các trờng hợp riêng; phơng trình, bất phơng trình vô tỷ thích hợp
với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi tơng đơng;
bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thích hợp với việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng phối hợp giữa suy đoán và suy
diễn; các thuật ngữ và ký hiệu của lôgic toán thích hợp với
việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biểu đạt vấn đề một
cách ngắn gọn và chính xác; hệ bất phơng trình bậc nhất


4

thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá
tình huống thực tiễn; ... . Tuy nhiên - nh thực tiễn s phạm đã
cho thấy - năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn
ngữ toán học của học sinh trong Đại số nhìn chung cha đạt tới
mức độ mà nó có thể đạt tới (điều này sẽ đợc phân tích kỹ
trong phần nội dung của Luận án). Nguyên nhân dẫn đến
điều này phải chăng vì giáo viên cha ý thức đợc tầm quan
trọng, hoặc cha có những biện pháp s phạm thích hợp để
phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn
ngữ toán học cho học sinh?.
Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến t duy
lôgic, chẳng hạn luận án Tiến sĩ của Nguyễn Đinh Hùng
(1996): Bồi dỡng t duy lôgic cho học sinh trờng trung học cơ
sở Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập Đại số lớp
7 [70], nhng cha có công trình nào nghiên cứu việc phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong
dạy học Đại số.
Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên
cứu của Luận án là:
Góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử
dụng chính xác

ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu

cấp Trung học phổ thông trong
số.

2. mục đích nghiên cứu

dạy học Đại


5

Mục đích của Luận án là nghiên cứu để xác định những
thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện
trong Đại số, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện
pháp nhằm góp phần phát triển năng lực này cho học sinh lớp
10 trong dạy học Đại số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Tổng hợp quan điểm của một số nhà khoa học về t
duy toán học, năng lực toán học, t duy lôgic, ngôn ngữ toán
học - nhằm hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc trng
đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số. Phân tích,
so sánh, đối chiếu các quan điểm đó để rút ra những nhận
định cần thiết;
3.2. Đề xuất những căn cứ làm cơ sở để xác định các
thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện
trong Đại số;
3.3. Đề xuất một cách quan niệm về năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10
thể hiện trong Đại số thông qua việc làm rõ những thành tố
đặc trng của năng lực này;
3.4. Xác lập những định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc
xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm;

3.5. Xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm nhằm
góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác
ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số;


6

3.6. Thực nghiệm s phạm.
4. Giả thuyết khoa học
Dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể xác
định các thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và
sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh đầu cấp
THPT thể hiện trong Đại số. Trên cơ sở đó, trong dạy học Đại số
10, nếu xây dựng đợc một số biện pháp thích hợp thì có
thể phát triển cho học sinh năng lực này, góp phần quan
trọng vào việc nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở trờng
Trung học phổ thông.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
trong và ngoài nớc về các vấn đề có liên quan đến đề tài
luận án;
5.2. Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10
trong Đại số;
5.3. Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm
để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp s
phạm đã đề xuất.
6. Cái mới và đóng góp của luận án
6.1. Về mặt lý luận
6.1.1. Đã xác định đợc (kèm theo những lý giải xác đáng)

nội dung của khái niệm năng lực t duy lôgic và sử dụng chính
xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại
số thông qua việc làm rõ những thành tố đặc trng của năng
lực này;


7

6.1.2. Đã nêu lên đợc một cách tơng đối hệ thống và khái
quát (kèm theo sự phân tích nguyên nhân) những khó khăn,
những sai lầm phổ biến của học sinh khi đứng trớc những
vấn đề toán học - mà việc giải quyết những vấn đề đó đòi
hỏi một sự thể hiện về năng lực t duy lôgic và sử dụng chính
xác ngôn ngữ toán học của học sinh;
6.1.3. Đã đa ra đợc những định hớng và những biện
pháp s phạm nhằm góp phần phát triển năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh trong
dạy học Đại số 10. Không chỉ dừng lại ở việc đề xuất mà còn
hiện thực hoá việc thực hiện các biện pháp (theo hớng tích
cực hoá hoạt động của học sinh - phù hợp với định hớng đổi
mới phơng pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay), nói
cách khác, Luận án rất quan tâm đến phơng thức dẫn dắt,
lôi cuốn một cách hợp lý để học sinh tham gia tích cực vào
quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
6.2. Về mặt thực tiễn
6.2.1. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học môn Toán ở trờng Trung học phổ thông;
6.2.2. Phân tích, đề xuất cách trình bày hợp lý hơn
đối với một khái niệm cơ bản của Đại số 10 (việc nắm vững

khái niệm này cũng nh hiểu rõ các vấn đề liên quan đến
khái niệm ấy có ảnh hởng quan trọng đến sự phát triển năng
lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của
học sinh).
7. những luận điểm đa ra bảo vệ


8

7.1. Cách quan niệm về những thành tố đặc trng đối với
năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học
của học sinh lớp 10 trong Đại số nh Luận án của chúng tôi, là
một trong những cách quan niệm mang ý nghĩa lý luận và
thực tiễn. Phát triển năng lực này vừa là một điều kiện, vừa
là một kết quả của dạy học Đại số;
7.2. Các biện pháp góp phần phát triển năng lực t duy
lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh
lớp 10 trong dạy học Đại số (đề xuất trong Luận án) là khả thi
và hiệu quả;
7.3. Trong khi thực hiện các biện pháp, đã quan tâm hợp
lý đến việc tăng cờng hoạt động, bồi dỡng năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề cho

học sinh;

7.4. Có thể trình bày khái niệm Hai phơng trình tơng
đơng trên D một cách hợp lý hơn so với sách giáo khoa hiện
hành, nhằm đáp ứng các yêu cầu: tính lôgic, tính chính xác,
tính s phạm.
8. Cấu trúc của luận án

Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham
khảo, có 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quá trình t duy.
1.2. Một số quan điểm về những thành phần của t duy
toán học và năng lực toán học.
1.3. Sơ lợc về ngôn ngữ.
1.4. Ngôn ngữ toán học.


9

1.5. Năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học.
1.6. Kết luận.
Chơng 2: Một số biện pháp nhằm góp phần phát
triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn
ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số
2.1. Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực
t duy lôgic

và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho

học sinh lớp 10 trong dạy học

Đại số.

2.3. Kết luận.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.


10

Chơng 1

cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Quá trình t duy
1.1.1. Khái niệm về t duy
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống
tâm lý của con ngời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động
tâm lý cao hơn. Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra
những vấn đề mà bằng cảm tính, con ngời không thể nhận
thức và giải quyết đợc. Muốn cải tạo thế giới, con ngời phải
đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính
(hay còn gọi là t duy).
Trong Tâm lý học, một trong những nghiên cứu đầy đủ
nhất về t duy đã đợc trình bày trong các công trình của X.
L. Rubinstêin. Những công trình này đã thúc đẩy mạnh mẽ
việc giải quyết hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đến việc
nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lý phức tạp. Theo cách
hiểu của X. L. Rubinstêin: T duy - đó là sự khôi phục trong ý
nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn,
toàn diện hơn so với các t liệu cảm tính xuất hiện do tác
động của khách thể (dẫn theo [43, tr. 246]).
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về t duy,

chẳng hạn: T duy là quá trình nhận thức phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật
của sự vật và hiện tợng trong hiện thực khách quan [57, tr.
117], hoặc: T duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt
chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính
yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát


11

thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. T duy sinh ra
trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vợt
xa giới hạn của nó [163, tr. 290].
T duy con ngời mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá
tính ngôn ngữ. Trong quá trình phát triển, t duy con ngời
không dừng lại ở trình độ t duy bằng thao tác tay chân,
bằng hình tợng mà con ngời còn đạt tới trình độ t duy bằng
ngôn ngữ, t duy trừu tợng, t duy khái quát - hình thức t duy
đặc biệt của con ngời [57, tr. 119]. Trong quá trình t duy,
con ngời sử dụng phơng tiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã
hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hành
các thao tác t duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng
hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán
đoán, suy lý, những quy luật - những sản phẩm khái quát của
t duy.
1.1.2. Đặc điểm của t duy
Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính - t duy
có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác.
T duy có những đặc điểm cơ bản sau [57, tr. 119-125]:
* T duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn

đề;
* T duy có tính khái quát;
* T duy có tính gián tiếp;
* T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ:
t duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách
rời nhau nhng cũng không đồng nhất với nhau. Sự thống nhất


12

giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả
của quá trình t duy.
Đặc điểm điển hình của t duy của con ngời là mối liên
hệ không thể chia cắt đợc giữa t duy và ngôn ngữ. Nhận
thức, t duy của con ngời chỉ có thể thực hiện thông qua
ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của t duy của
con ngời khác với tính chất thuần tuý sinh vật của sự hoạt
động tâm lý của động vật [115, tr. 874-875].
* T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: t
duy thờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính, dù t duy có khái
quát và trừu tợng đến đâu thì nội dung của t duy vẫn chứa
đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình
tợng trực quan, ). X. L. Rubinstêin khẳng định rằng: Nội
dung cảm tính bao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ
nh làm thành chỗ dựa cho t duy (dẫn theo [57, tr. 122]).
* T duy là một quá trình: t duy đợc xét nh một quá trình,
nghĩa là t duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình
t duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau đợc minh hoạ
bởi sơ đồ (do K. K. Plantônôv đa ra):

13

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hoá

Khẳng định

Phủ định

Giải quyết vấn đề

Hoạt động t duy mớ i

Hình 1.1
* Quá trình t duy là một hành động trí tuệ: quá trình t
duy đợc diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác
trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia
vào một quá trình t duy cụ thể với t cách một hành động trí
tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát
hoá, ...
1.1.3. Tác dụng của t duy
T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Ngời ta

dựa vào t duy để nhận thức những quy luật khách quan của
tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt
động thực tiễn của mình [115, tr. 876].
1.1.4. Về sự phân loại t duy
Có nhiều cách phân loại t duy.
Theo [57], [117], [143] có ba loại t duy:


14

a) T duy trực quan, hành động: đó là loại t duy bằng các
thao tác cụ thể tay chân hớng vào việc giải quyết một số
tình huống cụ thể, trực quan.
b) T duy trực quan hình tợng: là loại t duy phát triển ở
mức độ cao hơn, ra đời muộn hơn so với loại t duy trực quan
hành động, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà việc giải
quyết vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật, hiện tợng.
c) T duy trừu tợng (t duy ngôn ngữ, lôgic): là loại t duy phát
triển ở mức độ cao nhất, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà
việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan
hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm
phơng tiện.
Theo A. V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại t duy: t duy
hình tợng, t duy thực hành, t duy khoa học và t duy lôgic.
Trong đó, t duy lôgíc đợc hiểu là: T duy thay thế các
hành động với các sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái
niệm theo quy tắc của Lôgic học [105, tr. 126-130].
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki, ông có nói
đến: t duy tích cực, t duy độc lập, t duy sáng tạo, t duy lý
luận [30, tr. 112-117].

Các thuật ngữ t duy lý luận, t duy kinh nghiệm đã đợc V.
V. Đavđôv sử dụng trong cuốn Các dạng khái quát hoá trong
dạy học [43, tr. 247].
J. Piaget thờng nói đến 2 loại t duy: t duy cụ thể và t duy
hình thức.
Trên đây là một số cách phân loại t duy, qua đó có thể
nhận thấy rằng: cách phân loại t duy là hết sức đa dạng.


15

1.2. Một số quan điểm về những thành phần
của t duy toán học và năng lực toán học
Phần này không nhằm mục đích đi sâu nghiên cứu về
năng lực toán học hay t duy toán học, mà chỉ nhằm hỗ trợ cho
việc xác định các thành tố đặc trng của năng lực t duy lôgic
và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của HS trong Đại số
(sẽ đợc trình bày trong những phần về sau) mà thôi.
Qua phần này chúng ta sẽ thấy rằng:
- Cha có sự thống nhất hoàn toàn giữa các quan điểm
của các nhà

khoa học;

- Chỉ có sự độc lập tơng đối giữa các thành phần đợc
tách ra từ năng lực toán học hoặc t duy toán học;
- Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình t
duy là cha thống nhất, một loại hình t duy nào đó theo cách
hiểu của tác giả này có thể không đồng nhất với loại hình t
duy ấy theo cách hiểu của tác giả kia, và cũng không nhất

thiết phân biệt hoàn toàn với loại hình t duy có tên

gọi

khác;
Việc tham khảo quan điểm của các nhà khoa học về
những thành phần của t duy toán học hay năng lực toán học
nh là một trong những điểm tựa hỗ trợ cho việc xác định
các thành tố đặc trng của năng lực t duy lôgic và sử dụng
chính xác ngôn ngữ toán học, sẽ góp phần khẳng định tính
giá trị của việc phát triển năng lực này trong giáo dục Toán
học, bởi: dẫu có khác nhau về quan điểm cũng nh cách sử
dụng thuật ngữ, nhng tựu trung lại, những thành tố có mặt
trong các quan điểm ấy đều cần thiết và tác động đến


16

chất lợng học tập môn Toán của HS. Hơn nữa, nó thể hiện
Quan điểm tiếp cận hệ thống trong nghiên cứu Khoa học
Giáo dục (đã đợc các tác giả Trần Thúc Trình, Nguyễn Bá Kim
trình bày trong [56, tr. 92-95] v [77, tr. 24-26]).
1.2.1. Vai trò của t duy toán học và một số hớng
nghiên cứu về t duy toán học
Giáo dục Toán học cho HS là một quá trình phức tạp, nhằm
đạt các mục tiêu [156, tr. 130-131]:
a) Truyền thụ cho HS một hệ thống nhất định những
kiến thức cơ bản của Toán học;
b) Rèn luyện cho HS những kỹ năng và kỹ xảo toán học;
c) Phát triển t duy toán học của HS.

Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn
đề thứ nhất và vấn đề thứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ
tự nó kéo theo việc giải quyết vấn đề thứ ba. Có nghĩa là
cho rằng, sự phát triển t duy toán học diễn ra một cách tự
phát trong quá trình giảng dạy Toán. Trong một chừng mực
nào đó, điều này có thể đúng, nhng chỉ trong một chừng
mực nào đó mà thôi [156, tr. 131], [162, tr. 105].
T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng
trong quá trình hoạt động toán học của HS, nó còn là thành
phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng hớng
thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho
HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học [156, tr.
131].
Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn nhận xét: Làm khoa học gì
thì cũng đụng chạm đến kiến thức, t duy và tính cách con


17

ngời một cách sâu đậm. Kiến thức, t duy, tính cách con ngời
chính là mục tiêu của giáo dục [128, tr. 7]. Nhận xét đó đợc
Ông nhắc lại trong bài Văn hoá Toán học (Tạp chí Giáo dục,
số 38, tr. 41).
Nhà tâm lý học A. N. Lêônchiev trong Hoạt động, ý thức,
nhân cách có nhận định tơng tự [91, tr. 350].
Tới nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ
khác nhau) đến các khía cạnh xung quanh vấn đề t duy toán
học: [66], [75], [17], [137], [73], [128], [97], [94], [125], [16],
[156], [157], [162], [171], [158], ...
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của

t duy toán học và năng lực toán học
Trong số những công trình có đề cập về t duy toán học,
trớc hết có thể kể đến Phơng pháp giảng dạy Toán ở trờng
phổ thông của nhóm tác giả:

Iu. M. Kôliagin, V. A.

Ôganhexian, V. Ia. Xannhinxki và G. L. Lukankin.
Cuốn sách này đợc ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975
[156] và đợc tái bản lần thứ nhất vào năm 1980 [162].
Trong các cuốn sách này, tác giả đã trình bày rất cụ thể
về những thành phần của t duy toán học. ít thấy tài liệu nào
đề cập đến t duy toán học một cách chi tiết nh vậy.
Khẳng định về sự đa dạng của những quan điểm về t
duy toán học, tác giả viết: Tuỳ theo những quan điểm giáo
học pháp khác nhau, việc phân chia các thành phần t duy
toán học có thể có và có thể còn hợp lý hơn nữa [162, tr.
131].


18

Trớc khi nêu ra các thành phần của t duy toán học, tác giả
lý giải: T duy toán học có những nét, những đặc điểm
đặc trng của mình, mà những đặc điểm này đợc quy
định bởi tính đặc thù của các đối tợng nghiên cứu và đợc
quy định bởi tính đặc thù của các phơng pháp nghiên cứu
[156].
Về cấu trúc t duy toán học, theo [156, tr. 136-151], các
thành phần chủ yếu của t duy toán học gồm:

1)

T duy cụ thể;

2)

T duy trừu tợng;

3)

T duy trực giác;

4)

T duy hàm;

5)

T duy biện chứng;

6)

T duy sáng tạo;

7)

Các phong cách toán học của t duy.

Đặc biệt, t duy trừu tợng có thể đợc tách thành:
* T duy phân tích;

* T duy lôgic;
* T duy lợc đồ không gian.
Điều thú vị là: [162] đợc chỉnh lý có bổ sung từ [156]
của cùng một nhóm tác giả. Tuy nhiên, trong [162] quan điểm
về t duy toán học không hoàn toàn đồng nhất với [156].
Trong [162], các tác giả quan niệm rằng, t duy toán học
bao gồm các thành phần chủ yếu sau đây:
1)

T duy cụ thể;

2)

T duy trừu tợng;

3)

T duy trực giác;


19

4)

T duy hàm [162, tr. 116].

Nói riêng, t duy trừu tợng có thể đợc tách thành [162, tr.
120]:
* T duy phân tích;
* T duy lôgic;

* T duy không gian.
Có thể lu ý một đặc điểm nữa của [156], [162]: khi đề
cập đến loại hình t duy nào, đều mô tả tơng đối cụ thể
bằng cách chỉ ra những đặc trng của loại hình t duy ấy.
Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về
giáo dục Toán học (ở trờng phổ thông), không thấy Ông nói
đến những thành phần của t duy toán học hay cấu trúc của
năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ những
yêu cầu đối với t duy toán học của học sinh. Những yêu cầu
đó là:
1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình
suy luận, thấy đợc sự thiếu sót của những điều cần thiết
trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các ký hiệu;
4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;
5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic [152], [153], [154].
Nhà toán học nổi tiếng A. Ia. Khinshin, Giáo s A. I.
Marcusêvich, cũng không nói rõ rằng t duy toán học; năng lực
toán học bao gồm những thành phần nào mà có cách sử dụng
khác về thuật ngữ.


20

Theo A. Ia. Khinshin, những nét độc đáo của t duy toán
học là:
1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế;
2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất dẫn đến
mục đích;

3) Phân chia rành mạch các bớc suy luận;
4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có
một ý nghĩa xác định chặt chẽ);
5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [176], [66, tr.
127].
Theo A. I. Marcusêvich, những kỹ năng cần phải đợc bồi dỡng cho HS trong dạy học Toán là:
1) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ
giữ lại những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng
trừu tợng hoá;
2) Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho;
3) Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những trờng hợp
riêng, phân biệt khi nào đã bao quát đợc mọi khả năng, khi
nào chỉ là ví dụ chứ cha bao quát hết mọi khả năng;
4) Kỹ năng khái quát hoá các kết quả nhận đợc và đặt ra
những vấn đề mới ở dạng khái quát;
5) Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tợng, sao cho, trong
đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích
vấn đề về mặt Toán học;
6) Kỹ năng vận dụng các kết luận đợc rút ra từ các suy
luận, biết đối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự


21

kiến; kỹ năng đánh giá ảnh hởng của việc thay đổi các
điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả (dẫn theo [93]).
Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn trong Phơng pháp luận duy vật
biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học có đề cập
bảy loại t duy: t duy lôgic hình thức, t duy biện chứng, t duy
quản lý, t duy kỹ thuật, t duy kinh tế, t duy thuật toán, t duy

hình tợng [128, tr. 146-149].
Một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về cấu trúc
năng lực toán học là công trình Tâm lý năng lực toán học của
học sinh của V. A. Cruchetxki.
Theo V. A. Cruchetxki: Những năng lực toán học đợc hiểu
là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là những
đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của
hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững
chắc nh nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong
việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với t cách là một
môn học, đặc biệt nắm vững tơng đối nhanh, dễ dàng,
sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực
Toán học [158, tr. 91].
Theo Ông, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học
ở lứa tuổi học sinh là nh sau:
1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:
Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực
nắm đợc cấu trúc hình thức của bài toán;
2) Về mặt chế biến thông tin toán học:


22

a) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng
và các quan hệ không gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu
số; năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học;
b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tợng,
quan hệ, các phép toán của Toán học;
c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ
thống các phép toán tơng ứng; năng lực suy nghĩ với những

cấu trúc đợc rút gọn;
d) Tính mềm dẻo của các quá trình t duy trong hoạt động
toán học;
e) Khuynh hớng vơn tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết
kiệm và tính hợp lý của lời giải;
f) Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hớng suy
nghĩ, dạng t duy thuận chuyển qua t duy ngợc.
3) Về mặt lu trữ thông tin toán học:
Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ
toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy
luận và chứng minh).
4) Về thành phần tổng hợp khái quát:
Khuynh hớng toán học của trí tuệ [66, tr. 129], [158, tr.
385-386].
Theo Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv, trong thành phần của
năng lực toán học có:
1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ
phức tạp, năng lực tìm con đờng giải các phơng trình không
theo quy tắc chuẩn, hoặc nh các nhà toán học quen gọi là
năng lực tính toán hay năng lực angôritmic;


23

2) Trí tởng tợng hình học hay là trực giác hình học;
3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bớc đợc phân chia
một cách đúng đắn. Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng
đắn nguyên lý quy nạp toán học (trích theo [158, tr. 71]).
So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng
lực toán học của học sinh, E. L. Thorndike đã đi sâu hơn vào

lĩnh vực Đại số. Theo E. L. Thorndike, những thành tố của
năng lực Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
2) Năng lực biểu diễn các tơng quan số lợng thành công
thức;
3) Năng lực biến đổi các công thức;
4) Năng lực thiết lập các phơng trình biểu diễn các quan
hệ số lợng

đã cho;

5) Năng lực giải các phơng trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng
nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của
hai đại luợng (dẫn theo V. A. Cruchetxki trong [158, tr. 47]).
Các tác giả: A. A. Stôliar [171]; E. L. Gingulixơ [151]; X. B.
Xuvôrôva [173]; A. S. Krgôvxcaia [159]; X. I. Xvacxbua
[177]; ... cũng đề cập đến một số khía cạnh liên quan đến
vấn đề t duy toán học; năng lực toán học hoặc hoạt động
toán học.
Bên cạnh các tác giả nớc ngoài, một số loại hình của t duy
toán học đã đợc các tác giả Việt Nam nghiên cứu.


24

Trong [66, tr. 60-61], tác giả cho rằng: Để nhận thức mặt
nội dung của hiện thực cần có t duy biện chứng, để nhận
thức mặt hình thức của hiện thực cần có t duy lôgic, nên t

duy toán học cũng phải là sự thống nhất biện chứng giữa t
duy lôgic và t duy biện chứng.
Trong [75], tác giả đã chỉ rõ những thành phần của t duy
thuật toán (thuật giải) [75, tr. 201-202]; tác giả cũng đề xuất
một số hớng có thể thực hiện để rèn luyện t duy lôgic và
ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy đoán và tởng tợng, rèn luyện những thao tác t duy cho học sinh qua môn
Toán [75, tr. 30-33].
Những đặc trng của t duy hàm và bốn T tởng chủ đạo
để phát triển t duy hàm đã đợc tác giả Nguyễn Bá Kim trình
bày trong [76, tr. 122-149]. Theo đó, t duy hàm đợc đặc trng bởi các hoạt động:
- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng;
- Nghiên cứu những sự tơng ứng;
- Lợi dụng những sự tơng ứng [76, tr. 123].
1.2.3. Một số nhận xét đợc rút ra từ việc tham khảo
các quan điểm của các tác giả về t duy toán học và
năng lực toán học
Có thể nhận thấy rằng:
* Hai thành phần có tên gọi nh nhau theo quan điểm của
hai tác giả có thể không đồng nhất về nội hàm. Chẳng hạn,
t duy hàm theo quan điểm của tác giả Nguyễn Bá Kim [76, tr.
123-124] với t duy hàm theo quan điểm của tác giả Iu. M.


25

Kôliagin, V. A. Ôganhexian [162, tr. 127] không là đồng nhất
với nhau;
* Giữa các thành phần có sự giao thoa. Xin dẫn chứng bởi
nhận xét của V. A. Cruchetxki: Các thành phần của cấu trúc
năng lực toán học liên quan mật thiết với nhau tạo thành một

hệ thống duy nhất, một tổ chức toàn vẹn. Sự liên quan chặt
chẽ giữa chúng trong quá trình giải toán đã đợc thấy qua rất
nhiều ví dụ. Chẳng hạn thành phần năng lực rút gọn quá
trình suy luận là hệ quả của thành phần năng lực khái quát
hoá [158, tr. 385-388], và Iu. M. Kô- liagin: Biểu đồ những
thành phần t duy của toán học ở trên chỉ là gần đúng và đơng nhiên, không là đầy đủ và bao quát mọi khía cạnh.
Trong thực tế của quá trình t duy toán học, tất cả những
thành phần t duy ở trên tác động qua lại một cách hữu cơ với
nhau, kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác t duy
này hay khác. Sự phân chia diễn ra ở trên cho một quá trình
phức tạp nh t duy toán học, bằng cách xét các thành phần
riêng rẽ của nó, chẳng qua là do muốn nghiên cứu các biểu
hiện riêng biệt của t duy toán học trong quá trình giảng dạy
Toán mà thôi. Chỉ có nh vậy ngời giáo viên mới có điều kiện
thúc đẩy sự phát triển nếu không đợc toàn diện thì cũng là
sự phát triển từng phần t duy toán học cho học sinh [156, tr.
136].
Xin nêu thêm một dẫn chứng nữa, đó là nhận xét: Chúng
tôi quan niệm rằng, t duy hàm thể hiện một phần của t duy
lôgic hình thức và t duy biện chứng của tác giả Trần Thúc
Trình trong bài báo Trao đổi thêm về t duy hàm trong dạy