LT chuyên:BĐT Côsi-Ứng dụng

Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
1. Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
( )
1 1 1
9.a b c
a b c

+ + + +
ữ


*Phân tích:
Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất
đẳng thức Côsi.
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và
1 1 1
, ,
a b c

ta có:
3
3
3
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c abc
+ +
+ +

Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta đợc:
( )
1 1 1
9a b c
a b c

+ + + +
ữ

(đpcm).
Cách 2:
( )
1 1 1
3 3 2 2 2 9
b a c a b c
a b c
a b c a b a c c b

+ + + + = + + + + + + + + + =
ữ ữ ữ ữ

Dấu "=" xảy ra
a b c = =
Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức:
a.
3
a b c
b c a
+ +
(a, b, c > 0)

b.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng:
a.
2
2
2
2
1
x
x
+

+

x R
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x
2
+1 và 1.
b.
8
6
1
x
x
+

x

> 1.
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 và 9.
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
c.
( ) ( )
1 4a b ab ab+ +

, 0a b

áp dụng BĐT Côsi ta có
2
1 2
a b ab
ab ab
+
+
Nhân từng vế của 2 BĐT trên ta suy đợc đpcm.
Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng:
a.
( ) ( ) ( )
8a b b c c a abc+ + + , , 0a b c
b.
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 6a b b c c a abc
+ + + + +
áp dụng BĐT Côsi cho 6 số

2 2 2 2 2 2 2 2 2
, , , , ,a a b b b c c c a
.
Bài toán số 1.4
a. n số dơng a
1
, a
2
, ..., a
n
. Chứng minh rằng:
1 2
1 2
...
1 1 1
n
n
n
n
a a a
a a a

+ + +L
b.Nếu a
1
, a
2
,...., a
n
dơng và a

1
a
2
...a
n
= 1 thì a
1
+ a
2
+...+ a
n
n
áp dụng BĐT Côsi cho n số dơng trên)
Bài toán số 2 . Chứng minh bất đẳng Netbit
3
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +

, ,a b c
> 0.
Giải.
Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b
Khi đó x, y, z > 0 và
, ,
2 2 2
y z x x z y x y z
a b c

+ + +
= = =
Ta có:
( )
1
2 2 2 2
1 1 3
3 2 2 2 3 .
2 2 2
a b c y z x x z y x y z
b c a c a b
x y x z y z
y x z x z x
+ + +

+ + = + +
ữ
+ + +


= + + + + + + + =
ữ

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z.
Cách khác:
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
( ) ( )
1
6

2
1 1 1 1 1 3
6 9 6
2 2 2
a b c x y z x y z x y z
b c a c a b x y z
x y z
x y z

+ + + + + +
+ + = + +
ữ
+ + +



= + + + + =

ữ


Khai thác bài toán:
Bằng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau: với a, b, c dơng ta có:
2
.2
9222
.1
222
cba
ba

c
ac
b
cb
a
cbabaaccb
++

+
+
+
+
+
++

+
+
+
+
+
Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng
yxyx
+
+
411
(1)
Phân tích:
Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu.
Giải
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dơng x, y:

( )
yxyx
yxxy
yx
xyyx
xyyx
+
+
+

+

+
+
411
4
4
2
2
Cách 2. Xét hiệu của 2 vế:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
00
4
0
411

1
2

+


+
+++

+
+
yxxy
yx
yxxy
xyyxxyxy
yxyx
(2)
Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng.
Vậy (1) luôn đúng. (đpcm)
Khai thác bài toán:
Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT
sau:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:






++

+

+

cbacpbpap
111
2
111
trong đó
2
cba
p
++
=
Bài tập tơng tự:
Bài 1. Chứng minh rằng:








++
++

+
+

+
+
+
+
+
+
cba
cba
ca
ca
bc
cb
ba
ba
222222222
3
Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
22
2
22
4

22
4
22
4
dcba
adad
d
dcdc
c
cbcb
b
baba
a
+++

++
+
++
+
++
+
++
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
Bài 3. Cho
1,,0

cba
. Chứng minh rằng:
accbbacba

222222
1
+++++
Bài 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh:







+++
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
2
Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
x
zy
zy
x

+
+
+
4
2

Bài 6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
a
b
ba
b
a

Bài 7. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng:
3
2
22
3
yx
yxyx
x


++
Bài 8. Cho x, y 0. Chứng minh rằng:
2
6
2
6
44
x
y
y
x
yx
++

Bài 9. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
4
2
ab
ba
ab

+
áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác

Bài toán số 3 . Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
.3

+
+
+
+
+
cba
c
bca
b
acb
a
Giải:
Cách 1.
đặt x = b + c a; y = a + c - b; z = a + b c.
Khi đó x, y, z > 0 và
.

2
,
2
,
2
zy
c
zx
b
yx
a
+
=
+
=
+
=
Vế trái:

( )
3222
2
1
2
1
2
1
=++

+++++=








+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
y
z
z
y

x
z
z
x
x
y
y
x
y
xz
x
zy
z
yx
cba
c
bca
b
acb
a
Dấu bằng xảy ra
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
.
2
2
2
cbazyx
y
z

z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
====









=+
=+
=+
Cách 2.
Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có:
a + b - c > 0; a + c b > 0; b + c - a > 0
áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dơng:
( )( )
( )( )
( )

bcbaacb
cacbbca
a
bcacba
bcacba
++
++
=
+++
++
)(
2
Nhận thấy các vế của BĐT trên là các số dơng và 3 BĐT này cùng chiều, nhân từng vế
của chúng ta đợc:

( )( )( )
.abcacbbcacba
+++
Ta có:
( )( )( )
33
3
3
3
=
+++

+
+
+

+
+
abc
abc
cbabcaacb
abc
cba
c
bca
b
acb
a
Bài tập 3.1 . Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC,
.cba

Chứng minh rằng:
( )
.9
2
bccba
++
(*)
Giải
Vì
( ) ( ) ( )
.2
222
cbcbbcbaba
+=++++
để chứng minh (*) ta cần chứng minh:

( )
.92
2
bccb
+
(1)
Thật vậy:

( )
( )
bccb
bccbcb
bccbcb
bccb

+
++
+
2
22
22
2
2
44
944
92
Ta có:

( )
bccb

ccccb
bbbcb




=<
=<
2
2
220
220
(đpcm)
Bài tập 3.2 . Chứng minh rằng
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
3
3
22
3
22
3
22
4.2
<
+
+
+
+
+

ba
c
ac
b
cb
a
(*)
Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Giải
Ta có
( )
2
33
4
1
cbcb
++
Thật vậy:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
3341
2

22
22
2233
223333
+


+
++++
cbcb
cbcb
cbccbb
bccbcb
bccbcbcb
Luôn đúng suy ra (1) đúng
Tơng tự:
( )
2
33
4
1
caca
++

( )
2
33
4
1
baba

++
Do đó:
)3(4
3
3
22
3
22
3
22






+
+
+
+
+
<
+
+
+
+
+
ba
c
ca

b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
Mà:
2
222
)(2
2
)(2
2
)(2
2
=
++
+
++
+
++
<
<
+
+
+
+

+
=






+
+
+
+
+
cba
c
cba
b
cab
a
ba
c
ca
b
cb
a
ba
c
ca
b
cb

a
(4)
Do:





>+
>+
>+
bca
acb
cba
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Các bài tập khác:
Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2. Chứng minh
rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
abccbacbcabacba 3
222
+++++
Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

Chứng minh rằng:
( )
6
111
3333
333

++









++++
abc
cba
cba
cba
Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
Chứng minh rằng
( )
( )( )( )
9
3111

+






++++
abc
accbba
cba
cba
Bài tập 3.7. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:

32
+++++++++++
adcadbdcbcba
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải