Hieu nhu the nao ve diem hoi tu cua day

TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI QUANH TA
Bài toán 1: Đề thì giải tích 2006:
Cho tập
*
1
|
n
n
n
 
Α = ∈Ν
 
 
.Tìm tập điểm tụ của A
Giải :
Có nhiều định nghĩa cho điểm tụ , ta sẽ chọn lựa điều nào trong đó ?
Qua một bài toán khởi đầu và vài bài toán khác :
1/Tìm tập điểm tụ của :
1 1 1
A= 1, , ,..., ,....
2 3 n
 
 
 
( thầy Đạt )
2/ Tập hợp bài toán cùng yêu cầu của một bạn TT1
a)
*
( 1)
A= |
n

n
n
 
−
∈Ν
 
 
b)
A=Ν
c)
{ }
1
A= 0 [ ,1]
2
U
d)
*
2
1
A= ,| n
n
 
∈Ν
 
 
Bây giờ bắt đầu với bài toán 1:
Qua việc suy nghĩ , giải bài toán 2, ta rút ra : nên chọn định nghĩa :
#* là điểm tụ
( ) { }
0, , \θa a A a

ε ε ε
⇔ ∀ > − + ≠U
(*)
Việc tìm điểm tụ , bao gồm các thao tác sau:
1/ Cm một giá trị nào đó là điểm tụ : ( Vấn đề này ta chứng minh theo con
đường : a là điểm tụ khi và chỉ khi:
0 : : 0 | |y A y a
ε ε
∀ > ∃ ∈ < − <
)
2/CM một điểm không là điểm tụ , ta chọn theo ý (*), tức là
( ) { }
0, , \θa a A a
ε ε ε
∃ > − + =U
( quá trình này là quá trình chọn lựa , việc làm này , liên hệ với thủ thuật ,
dùng ngôn ngữ
,
ε δ
trong các bài toán giới hạn )
TH1:a<0. Khi đó ta chọn :
0 a
ε
< < −
. Khi đó :
( )
sup , 0a a
ε ε
− + ≤
Suy ra

( ) { }
0, , \θa a A a
ε ε ε
∃ > − + =U
Suy ra trong th này a (<0) không là điểm tụ
TH2:
a>
1
4
: Ta chọn
1
, 0
4
a
ε ε
− > >
chẳn hạn :
1
1
4
, 0, = 0
4 2
a
a
ε ε ε
−
− > > >
TH3: 0<a
1
4

≤
0 0
1 1
0 : : ,0 | |
n m
N n m N
n m
ε ε
∀ > ∃ ∀ > > < − <
( định lí cauchy , do dãy
hội tụ )
Điều này có tác dụng gì ?
Nếu a là điểm tụ thì : với
0 : : 0 | |y A y a
ε ε
∀ > ∃ ∈ < − <
.
Hay:
{ }
1
0 : \ 0,1 : 0 | |
m
m N a
m
ε ε
∀ > ∃ ∈ < − <
(1)
(1)
1
m

a a
m
ε ε
⇔ − < < +
Vời mỗi giá trị
ε
ta sẽ có một phần tử m như trên , như vậy ta xây dựng một
dãy
{ }
, 0
n n
ε ε
>
và có một dãy ( xây dựng sau)
1
m
y m
−
=
( ứng với
1
0const
ε
= >
,) sau đó chọn tiếp
+ Nếu
1
m
a
m

<
, với m là giá trị khởi tạo! Khi ấy :ta chọn :
2 2
1
: 0
m
a
m
ε ε
< < −
Ta có thề xây dựng :
2
1
0
2
m
a
m
ε
−
< =
, khi đó :
2
1
,
k
y k m
k
= ≥
( giá trị k ờ đây có

thể không xác định rỏ ràng , mà đó chỉ là dạng mà thôi!)
Lúc đó: ta lại có:
2 2
1 1
1
2 2
m m
k
a a
m m
a a a
k
ε ε
− +
− < < + = + =
…………….
Bài 1:
Gọi a là một điểm tụ của A
*a<0 và chọn
0 a
ε
< < −
thì mâu thuẩn
*a=0 thì cm nó l2 điểm tụ!
*1>a>0:
1
0, : 0 | |y a
y
ε ε
∀ > ∃ ∈Ν < − <

1
a a
y
ε ε
− < < +
Chọn:
1 1
0 a y
a a
ε
ε ε
< < ⇒ < <
+ −
2 2 2
2 2
2 1 1
1 2 0 1 1a a
a a a
ε
ε ε ε
ε ε ε
− = − < ⇔ + < ⇔ < < + −
− − +
___+++++____
Nếu a>0 thì luôn tồn tại m sao cho :

2
1
0
1

0
1
0
n
a
n
a
n
a
n
> >
> >
> >
Xem như g(n):
a>g(n)>0
g(n) đơn điệu giảm !
a-g(n)<a-g(n+k),k>0
Nên: chỉ việc chọn
0 ( )a g n
ε
< < −
, suy ra :
Không thể chọn …n>…
Với những giá trị nhỏ hơn !?
**a=g(k) thì sao ?
Nếu a>g(k), mọi k thì ổn
g/s: điều này không đúng!!!
Vậy tồn tại : g(l)>a>g(l+1), điều này suy ra a không là điểm tụ chọn
epsilon=min(g(l)-a),a-g(l+)
*a>1 không là điểm tụ