Chuyên đề bất đẳng thức

LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC & CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phần I: Kiến thức cần nhớ:
A. Vấn đề chung:
Khái niệm – Định nghĩa – Lý thuyết:
- Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự
giữa hai đối tượng.
+ Ký hiệu a < b có nghĩa là a nhỏ hơn b
+ Ký hiệu a > b có nghĩa là a lớn hơn b.
+ Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có
a ≤ b có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b
a ≥ b có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.
a ≥ a có nghĩa là |a| lớn hơn hoặc bằng a.
- Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một
đại lượng khác.
+ Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều
- Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây
ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.
- Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì
bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng
thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay
không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng
vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai
vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả
hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.
- Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là
- Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là
bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình.
Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến. Đó gọi là tìm cực trị.
Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức
- Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng
thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng.
- Ngược lại nếu ta áp vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt
thì lúc ấy ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng.
- Điều đó có nghĩa là:
+ Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) và
f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)) (không đảo chiều)
f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a) ≥ f(b) (hoặc f(a)≤f(b))(đảo chiều)
+ Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a < b (hoặc a > b) và
f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a) < f(b) (hoặc f(a)>f(b)) (không đảo chiều)
f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a) > f(b) (hoặc f(a)Kiểu ký hiệu ghép nối (Bất đẳng thức kép)
1


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

- Ký hiệu acũng bằng các tính chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này,
hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác không và tùy vào dấu của số nhân/chia
đó mà ta có đảo chiều bất đẳng thức hay không. Nhưng cần thận trọng vì bạn chỉ có thể làm
điều đó với cùng một số, tức là a < b + e < c tương đương với a - e < b < c - e.
- Tổng quát hơn, kiểu ký hiệu ghép nối này có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng
hạn a1 ≤a2 ≤...≤an có nghĩa là ai≤ai+1 với i = 1,2,...,n-1. Theo tính chất bắc cầu, điều này tương
đương với ai≤aj với mọi 1≤i≤j≤n.

- Đôi khi, kiểu ký hiệu ghép nối được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong
trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế
cận nhau. Cho ví dụ, a < b > c ≤ d có nghĩa là a < b, b > c và c ≤d. Thường trong toán học,
người ta ít xài kiểu ký hiệu này và trong ngôn ngữ lập trình, chỉ có một ít ngôn ngữ
như Python cho phép dùng ký hiệu này.
I. Định nghĩa:
A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0

A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0
II. Tính chất:
1. a > b và b > c ⇒ a > c (Tính chất bắc cầu)
2. a > b ⇔ a + c > b + c (Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)
ac > bc (c > 0)
3. a > b ⇔ 
và
ac < bc (c < 0)

⇔

(Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)

4. a > b ⇔ b < a
III. Hệ quả:
1. a > b và c > d ⇒ a + c > b + d
2. a + c > b ⇔ a > b - c
3. a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd
4. a > b ≥ 0 và n∈ N* ⇒ an > bn
5. a > b ⇒ an > bn (n: lẻ)
6. a > b ⇒ an > bn (n: chẵn)
7. m > n > 0 và A > 1 ⇒ Am > An

8. m > n > 0 và 0 < A < 1 ⇒ Am < An
9. a > b ≥ 0 ⇔ a > b
10. a > b ⇔ 3 a > 3 b
1 1
11. a < b và a.b > 0 ⇒ >
a b
a
a
>
12.
a + b a + b+ c
a a+ c
a
13. > 1 ⇒ >
b
b b+ c
2


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

a a+ c c
a c
> ⇒ >
>
b d
b b+ d d
a a+ c

a
15. < 1 ⇒ <
b
b b+ c
16. 0 < a < b và 0 < c < d ⇒ 0 < ac < bd
IV. Một số hằng bất đẳng thức:
1. a2 ≥ 0 với mọi a. (Dấu = xảy ra khi a = 0)
2. an ≥ 0 với mọi a ( Dấu = xảy ra khi a = 0 )
3. a ≥ 0 với mọi a (dấu = xảy ra khi a = 0 )
4. - a ≤ a ≤ a
5. a+ b ≥ a + b ( dấu = xảy ra khi a.b > 0)
6. a− b ≤ a − b ( dấu = xảy ra khi a.b < 0)
V. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
1. - a ≤ a ≤ a a∈ R
2. x < a ⇔ -a < x < a (a > 0)
x < − a
3. x > a ⇔ 
(a > 0)
x > a
4. a − b ≤ a + b ≤ a + b (a,b∈ R)
* Một số bất đẳng thức nhỏ khác:
1. Bất đẳng thức tam giác:
|b-c| < a < b + c
|a-c| < b < a + c
|a-b| < c < b + a
a ≥ b ≥ c ↔ A ≥ B ≥ C ↔ sinA ≥ sinB ≥ sinC ↔ cosA ≤ cosB ≤ cosC
2. Bất đẳng thức vector:
a + b ≥ a + b Dấu “=” xảy ra khi a ↑↑ b
14.

a . b ≥ a.b

Dấu “=” xảy ra khi a || b

VI. Bất đẳng thức AM - DM (Trung bình cộng & Trung bình nhân):
1. Đối với hai số không âm:
- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có: a + b≥ 2 ab
- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: a = b
2. Đối với ba số không âm:
a + b+ c 3
- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có:
≥ abc
3
- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: a = b = c
3. Hệ quả:
- Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau.
3


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

- Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất và chỉ khi hai
số đó bằng nhau.
4. Ứng dụng:
- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Phần II: Chứng minh bất đẳng thức:

A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
1. Để chứng minh bất đẳng thức f(a, b,…, k) > g(a, b,…, k) đối với tập các giá trị của các chữa
a, b,…, k bằng các định nghĩa ta tực hiện các bước sau:
Bước 1: Lập hiệu f(a, b,…, k) > g(a, b,…, k)
Bước 2: Chứng minh hiệu trên tương đương với các giá trị đã cho của a, b,…, k.
2. Tương tự, kĩ thật này áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức:
f ≥ g, f < g, f ≤ g
I. Phương pháp dùng định nghĩa:
1. Để chứng minh a > b. Ta chứng minh a - b > 0.
2. Tương tự, kĩ thuật này áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức:
a<b;a ≤ b;a>b
3. Chú ý đến bất đẳng thức x2 > 0, x∈ R.
*Bước làm:
Bước 1: Ta xét hiệu: H = a - b
Bước 2: Biến đổi: H = (c + d)2 hoặc H = (c + d)2 +...+ (e + f)2
Bước 3: Kết luận a > b
II. Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương:
1. Lưu ý:
- Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng
thức đã được chứng minh là đúng.
III. Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc:
*Giới thiệu một số bất đẳng thức:
1. Bất đẳng thức Bunyakovsky
2. Bất đẳng thức Azuma
3. Bất đẳng thức Bernoulli
4. Bất đằng thức Boole
5. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
6. Bất đẳng thức cộng Chebyshev
7. Bất đẳng thức Chernoff
8. Bất đẳng thức Cramer-Rao

9. Bất đẳng thức Hoeffding
10. Bất đẳng thức Holder
11. Bất đẳng thức Jensen
12. Bất đẳng thức Markov
13. Bất đẳng thức Minkowski
14. Bất đẳng thức Nesbitt
4


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

15. Bất đẳng thức Pedoe
16. Bất đẳng thức tam giác
17. Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
1. Một số bất đẳng thức hay dùng:
a. Các bất đẳng thức phụ:
x2 + y2 ≥ 2xy
x2 + y2 ≥ xy (dấu “=” xảy ra khi x = y = 0)
(x + y)2 ≥ 4xy
a b
+ ≥2
b a
b. Bất đẳng thức Cô-si (Bất đẳng thức AM - GM):
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình
nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:
*Đối với hai số không âm:
- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có: a + b ≥ 2 ab
- Dấu bằng xảy ra khi a = b

*Đối với ba số không âm:
a + b+ c 3
- Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có:
≥ abc
3
- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: a = b = c
*Đối với n số không âm:
a1+ a 2 + ... + a n
≥ n a1a 2 ... a n (a > 0)
n
- Dấu bằng xảy ra khi: a1 = a2 = a3 = … = an
Chú ý:
* Trung bình có hệ số
Cho n số x1, x2, ..., xn ≥ 0 và các hệ số α1, α2, ..., αn > 0.
Đặt
.
- Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ
số, như sau:
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
- Với các loại trung bình khác
Đẳng thức khi và chỉ khi
c. Bất đẳng thức Bunhiacopski:
*Đối với hai cặp số thực:
- Với hai cặp số thực: (a,b) và (x,y) ta có:
(ax + by)2 ≥ (a2 + b2)(x2 + y2)
- Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành:
(ay - bx)² ≥ 0
5

LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

- Dấu bằng xảy ra khi & chỉ khi: ay = bx
Chú ý:
a b
- Khi xy khác 0, điều kiện ay = bx còn được viết dưới dạng x = y
*Đối với hai bộ ba số thực:
- Với hai bộ ba số thực: (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) ta có:
(a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ≤ (a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32)
a1 a 2 a 3
- Nếu b1b2b3 khác 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: b = b = b
1
2
3
*Đối với n bộ số thực, mỗi bộ số có n số không âm:
(a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn)2 ≤ (a12 + a22 + a32 +...+ an2)(b12 + b22 + b32 +...+ bn2)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
với quy ước nếu một số bi nào đó (i = 1, 2, 3,...,
n) bằng 0 thì ai tương ứng bằng 0.
d. Bất đẳng thức Trê-bư-sép:
*Đối với 2 dãy số, mỗi dãy có 3 số:
a ≤ b ≤ c
aA+ bB+ cC a + b+ c A+ B+ C
⇒
≥
.
- Nếu 
3

3
3
A ≤ B ≤ C
a ≤ b ≤ c
aA+ bB+ cC a + b+ c A+ B+ C
⇒
≤
.
- Nếu 
3
3
3
A ≥ B ≥ C
a = b = c
- Dấu “=” xảy ra khi 
A = B = C
*Đối với 2 dãy số, mỗi dãy có n số:
a1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
a b + a b + ... + a n b n a1 + a 2 + ... + a n b1+ b 2 + ... + b n
- Nếu 
thì 1 1 2 2
≥
.
n
n
n
b1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
a ≤ a ≤ ... ≤ a
a b + a b + ... + a n b n a1 + a 2 + ... + a n b1+ b 2 + ... + b n
1

2
n
- Nếu 
thì 1 1 2 2
≤
.
n
n
n
b1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n
a = a = ... = a
1
2
n
- Dấu “=” xảy ra khi & chỉ khi: 
b1 = b 2 = ... = b n


e. Bất đẳng thức Bernouli
Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy
thừa của 1 + x.
1. Dạng nguyên thủy:
- Cho a ≥ -1 , 1 < n ∈ Z thì (1 + a)n ≥ 1 +na
a = 0
- Dấu “=” xảy ra khi & chỉ khi: 
n = 1
Nếu số mũ n làchẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực a.
2. Dạng mở rộng:
- Cho a ≥ -1 , α ≥ 1 thì (1 + a)n ≥ 1 + na
6

LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức
n

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

- Cho a ≥ -1 , 0 < α < 1 thì (1 + a) ≤ 1 + na
a = 0
- Dấu “=” xảy ra khi & chỉ khi: 
α = 1
Chú ý:
Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.
* Các bất đẳng thức liên quan:
Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất
kỳ, r > 0, chúng ta có
với e = 2.718.... Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 +
1/k)k < e.
f. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
- Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích
trong thực hay phức thì
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là
chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúngtrực giao (hay
nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký
hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong
g. Bất đẳng thức cộng Chebyshev
Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty

Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho
và
thì
Tương tự, nếu
và
thì
h. Bất đẳng thức Fano
- Trong lý thuyết thông tin, bất đẳng thức Fano liên hệ lượng thông tin bị mất trên một kênh
nhiễu với xác suất phân loại sai. Nó được tìm ra bởi Robert Fano đầu thập niên 1950 khi đang
dạy một semina tiến sĩ về lý thuyết thông tin tại MIT, và sau đó được đưa vào cuốn sách năm
1961 của ông.
- Nó được dùng để tìm ra một chặn dưới cho xác suất lỗi của bất kì bộ giải mã nào.
*Bất đẳng thức Fano
Đặt các biến ngẫu nhiên X và Y đại diện cho thông điệp vào và ra (trong số r+1 thông điệp có
thể) với xác suất hợp
. Bất đẳng thức Fano là
7


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

trong đó
là entropy có điều kiện,
là xác suất lỗi, và
là entropy nhị phân tương ứng.
i. Bất đẳng thức Golden–Thompson
Trong toán học, bất đẳng thức Golden–Thompson, chứng minh độc lập bởi Golden
(1965) và Thompson (1965), khẳng định rằng với mọi ma trận Hermit A và B,

trong đó tr là vết của ma trận, và eA là lũy thừa ma trận.
k. Bất đẳng thức Harnack
Bất đẳng thức Harnack là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích.
Cho
là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên D sao cho f(z) không âm
với mọi
. Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi
:

Đối với miền tổng quát
bất đẳng thức được phát biểu như sau: Nếu
là hàm khả vi hai
lần, điều hòa và không âm, là một miền bị chặn với
, thì sẽ có một hằng số không
phụ thuộc vào sao cho
.
l. Bất đẳng thức Hölder
Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Hölder, đặt theo tên của nhà toán họcĐức Otto Hölder,
là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian Lp: giả sử S là mộtkhông gian đo, với
1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc Lp(S) và g thuộc Lq(S). Khi đó fg thuộc L1(S)
và
Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.
Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không
gian Lp, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh Lp là đối ngẫu với Lq.
Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý
·
Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
·
Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1,...,n} với một độ đo kiểu đếm,
chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong Rn (Cn)

·
Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder cho các
dãy từ không gian lp
8


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

.
·

Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có

·
Trong trường hợp không gian xác suất
,
là các ký hiệu để chỉ
không gian của các biến ngẫu nhiên với momentp hữu hạn,
, trong đó là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành
.
Trường hợp tổng quát
Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp
Giả sử

Giả sử

sao cho

. Khi đó ta có

m. Bất đẳng thức Jensen
Với mọi hàm lồi trên
có
Với mọi hàm lõm

và

và mọi

ta
.

trên

và mọi

ta

có
.
Lưu ý: là hàm lồi khi ta có
> 0 trên
và là hàm lõm khi ta có
<0
trên
Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.
n. Bất đẳng thức Newton
Bất đẳng thức Newton được đặt theo tên của nhà toán học và vật lý học thiên tài người

Anh Isaac Newton.
Nếu cho a1,.........,an là các số thực và cho σk là hàm đối xứng cơ bản thứ k trong các
số a1,.........,an thì các giá trị trung bình đối xứng cơ bản, được tính bởi
Sk = σk/(nk)
thỏa mãn bất đẳng thức
Sk-1Sk+1 ≤ S2k
(Trường hợp xảy ra đẳng thức: khi và chỉ khi các số thực a1,.........,an đều bằng nhau)
9


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

o. Bất đẳng thức Schur
Trong toán học, bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với
thực không âm và một số dương , ta có bất đẳng thức sau:

là các số

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại
bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a,
b, và c.
p. Bất đẳng thức tam giác
Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều
dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.
Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không
gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất
hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích
hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric.

|b-c| < a < b + c
a ≥ b ≥ c ↔ A ≥ B ≥ C ↔ sinA ≥ sinB ≥ sinC ↔ cosA ≤ cosB ≤ cosC
q. Giới hạn Singleton
Trong lý thuyết mã hóa, giới hạn Singleton, đặt theo tên của Richard Collom Singleton, là một
giới hạn trên cho kích thước của mã khối với độ dài , kích thước , và khoảng cách (mỗi
mã tự có độ dài , dùng để biểu diễn một thông điệp có độ dài , và hai mã tự khác nhau có ít
nhất kí hiệu khác nhau).
Phát biểu của giới hạn Singleton
Khoảng cách của một tập bao gồm các mã tự có độ dài được định nghĩa như sau:
trong đó
là khoảng cách Hamming giữa và . Biểu thức
biểu diễn số lượng
mã tự tối đa của một mã khối có độ dài , khoảng cách , và sử dụng kí hiệu trong một bảng
chữ cái kích thước .
Giới hạn Singleton khẳng định rằng
s. Bất đẳng thức Minkowski
Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các không gian Lp là
các không gian vector định chuẩn. Giả sử S là một không gian đo, giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, đồng
thời f và g là các phần tử của Lp(S). Khi đó f + g cũng thuộc Lp(S), và chúng ta có
dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi f và g phụ thuộc tuyến tính.
Bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác trong Lp(S). Có thể chứng minh nó
bằng cách dùng bất đẳng thức Holder.
Cũng như bất đẳng thức Holder, có thể đưa bất đẳng thức Minkowski về các trường hợp đặc
biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được:

với mọi số thực (hay số phức) x1, ..., xn, y1, ..., yn và n là số chiều của S.
10


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

r. Bất đẳng thức Nesbitt
Trong toán học, bất đẳng thức Nesbitt là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi
số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau:
Cho a,b,c là ba số thực dương. Khi đó ta có:
z. Bất đẳng thức Azuma
Trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Azuma–Hoeffding (đặt tên theoKazuoki
Azuma và Wassily Hoeffding) là một bất đẳng thức về sự tập trung của giá trị
một martingale có gia số bị chặn.
Giả sử { Xk : k = 0, 1, 2, 3, ... } là một martingale (hoặc super-martingale) và
gần như chắc chắn. Khi đó, với mọi số nguyên dương N và mọi số thực dương t,

Nếu X là một martingale, thì bằng cách áp dụng bất đẳng thức Azuma cho cả martingale X và X ta có bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức Azuma áp dụng cho martingale Doob chính làphương pháp gia số bị chặn thường
được dùng để phân tíchthuật toán ngẫu nhiên.
w. Bất đẳng thức Hoeffding
Trong lý thuyết xác suất, bất đẳng thức Hoeffding cho một chặn trên của xác suất một tổng
các biến ngẫu nhiên sai lệch với giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Hoeffding được chứng minh
bởi Wassily Hoeffding.
Giả sử
là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử
mọi
ta có

gần như chắc chắn bị chặn; nghĩa là, với

Giá trị trung bình thực nghiệm của các biến đó là

Ta có các bất đẳng thức sau (Hoeffding 1963, định lý 2):

cho mọi giá trị t dương. Ở đây
là giá trị kỳ vọng của .
Các bất đẳng thức này là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Azuma–Hoeffding và của một
bất đẳng thức tổng quát hơn nữa là bất đẳng thức Bernstein trong lý thuyết xác suất, chứng
minh bởi Sergei Bernstein năm 1923. Chúng cũng là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức
11


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

McDiarmid.
Các bất đẳng thức này cũng đúng khi
được chọn không thay thế; trong trường hợp này
chúng không còn độc lập. Bài báo của Hoeffding cũng chứa một chứng minh của mệnh đề này.
Bài báo của Serfling chứa một chặn trên chặt hơn một chút trong trường hợp lấy mẫu không
thay thế.
x. Bất đẳng thức Markov
Trong lý thuyết xác suất, Bất đẳng thức Markov cho một chặn trên cho xác suất một hàm
số không âm của một biến ngẫu nhiên nhận giá trị lớn hơn một hằng số dương. Nó được đặt tên
theo nhà toán học Nga Andrey Markov, mặc dù nó đã xuất hiện trong nghiên cứu của Pafnuty
Chebyshev (thầy của Markov), và có nhiều nguồn, đặc biệt là trong giải tích, gọi nó là bất đẳng
thức Chebyshev hoặc bất đẳng thức Bienaymé.
Bất đẳng thức Markov liên hệ xác suất với giá trị kỳ vọng, và cho một giới hạn (thường không
chặt) cho giá trị của hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên.
Phát biểu
Nếu X là một biến ngẫu nhiên và a > 0, thì

Dưới dạng ngôn ngữ của lý thuyết độ đo, bất đẳng thức Markov khẳng định rằng nếu (X, Σ, μ)
là một độ đo, ƒ là một hàm đo được nhận giá trị thực, và
, thì

Hệ quả: bất đẳng thức Chebyshev
Bất đẳng thức Chebyshev sử dụng phương sai để chặn trên xác suất một biến ngẫu nhiên sai
khác nhiều so với giá trị kỳ vọng. Cụ thể là:
với mọi a>0. Ở đây Var(X) là phương sai của X, định nghĩa như sau:
Có thể thu được bất đẳng thức Chebyshev bằng cách áp dụng bất đẳng thức Markov cho biến
ngẫu nhiên
. Theo bất đẳng thức Markov,
w. Áp dụng định lý Lagrange (lớp 12) (Tr.13/Cẩm nang kiến thức môn Toán)
v. Áp dụng dấu tam thức bậc hai:
Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì: af(x) ≥ 0 ∀ x ↔ ∆ = b2 - 4ac ≤ 0
x. Áp dụng phương pháp khảo sát hàm số (Lớp 12) (Tr.14/Cẩm nang kiến thức môn Toán)
IV. Phương pháp dùng tính chất của tỉ số:
a a+ c
a
 b > 1 ⇒ b > b+ c
1. Cho a, b, c là các số dương thì:  a
 < 1 ⇒ a < a+ c
 b
b b+ c
12


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

a c
a a+ c c
<
2. Nếu b, d > 0 thì từ  < ⇒ <
b b+ c d
b d
V. Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác:
- Nếu a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác thì a,b,c > 0
và b− c < a < b+ c; a − c < b < a + c; a − b < c < b+ a
VI. Phương pháp làm trội:
- Dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa ra một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng
hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
* Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 + u2 +…+ un
- Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp.
uk = ak - ak+1
$ Khi đó: S = (a1 - a2) + (a2 - a3) +...+ (an - an+1) = a1 - an+1
* Phương pháp chung về tính tích hữu hạn:
P = u1u2...un
- Biến đổi các số hạng uk về thương của hai số hạng liên tiếp nhau.
a
k
uk = a
k +1
a
a1 a 2 a n
1
.
...
=
Khi đó: P = a a

a
2 3
n +1 a
n+ 1

VII. Phương pháp dùng tính chất bắc cầu:
a > b , b > c thì a > c
VIII. Phương pháp sử dụng hình học & tọa độ:
IX. Phương pháp đổi biến số:
X. Phương pháp dùng tam thức bậc hai:
1. Định lí 1:
- Cho f(x) = ax2 + bx + c
a > 0
f(x) > 0, x ⇔ 
Δ < 0
a > 0
f(x) ≥ 0, x ⇔ 
Δ ≤ 0
a < 0
f(x) < 0, x ⇔ 
Δ < 0
a < 0
f(x) ≤ 0, x ⇔ 
Δ ≤ 0
2
∆ = b - 4ac và ∆ ’ = b’2 - ac là biệt thức & biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx
+c
2. Định lí 2:
f(x) = 0 có hai nghiệm x1 < a < x2 ⇔ a.f.(a) < 0
f(x) = 0 có hai nghiệm:

XI. Phương pháp dùng quy nạp toán học:
13


LHTN - Trường THPT Chyên ND - Tài liệu lý thuy ết bất đẳng th ức

Giáo trình chuyên sâu - Bồi dưỡng HSG

- Đề chứng minh bất đẳng thức n > n0 ta thực hiện các bước sau:
XII. Phương pháp phản chứng:
Để chứng minh A > B. Ta giả sử A ≤ B, bằng lập luận và vận dụng kiến thức phổ thông suy ra A
≤ sai và suy ra đpcm

14