ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN I.THÔNG TIN CHUNG VỀ HỌC PHẦN Tên học phần: Toán cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ HỌC PHẦN
-

Tên học phần: Toán cơ sở
Mã học phần: KI4004
Số tín chỉ: 02
Tổng số tiết tín chỉ: (LT/ThH/TH) 30/00/60
Học phần điều kiện: không

1. Mục tiêu học tập/Chuẩn đầu ra
A. Kiến thức
A1. Trình bày được các khái niệm Toán cơ bản phù hợp với trẻ mầm non như Tập hợp,
các phép toán trên tập hợp, ánh xạ và quan hệ;
A2. Vận dụng kiến thức về logic mệnh đề và các phép suy luận để dạy trẻ diễn đạt các
mệnh đề toán học cần thiết; kiến thức về hệ đếm thập phân;
A3. Liên hệ được kiến thức toán cơ cở với nội dung toán trong chương trình giáo dục
mầm non
B. Kỹ năng: Thành thạo giải các bài tập liên quan đến tập hợp, logic mệnh đề và hệ đếm
thập phân
C. Thái độ: Có ý thức chuẩn bị tốt kiến thức cơ sở để vận dụng vào bài dạy.
2. Tổng quan về học phần
Toán là một học phần cơ bản, là cơ sở cho mọi khoa học; việc dạy và học môn Toán phải
được thực hiện ngay từ khi trẻ có khả năng nhận thức; định hướng cho những lý giải khoa
học, những quy tắc hợp logic.

Toán cơ sở là tiền đề để nghiên cứu môn học làm quen với toán, là cơ sở khoa học để đối
chiếu soi sáng chương trình toán trong thực tế ở trường Mầm non, đồng thời định hướng tốt
cho quá trình dạy học sau này.
II. NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH
Nội dung

LT
10

Chương 1: Một số vấn đề về Logic Toán
1.1. Mệnh đề - Hàm mệnh đề
1.2. Các phép toán trên mệnh đề
1

Số tiết
ThH

TH
20


1.3. Công thức logic
Chương 2: Cơ sở lý thuyết tập hợp
2.1. Khái niệm về tập hợp
2.2. Các phép toán trên tập hợp
2.3. Ánh xạ
2.4. Quan hệ (quan hệ tương đương, tập thương
của 1 số quan hệ đơn giản)
Chương 3: Số tự nhiên
3.1. Hệ thống số tự nhiên

3.2. Các phép toán trên số tự nhiên
3.3. Hệ đếm và cách ghi số
TỔNG CỘNG

12

24

08

16

30

00

60

III. QUY ĐỊNH VỀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP
TT
1

Điểm thành phần
Bài tập trên lớp

2

Kiểm tra giữa kì

3

Thi kết thúc học phần

Quy định
Làm bài tập trên lớp
Bài kiểm tra, tự luận 60
phút
- Dự đủ 80% số tiết
- Tự luận, 90 phút
- Bắt buộc dự thi

Trọng số

Mục tiêu

10%

B

30%

A1, A2, A3, B

60%

A1, A2, A3, B

IV. TÀI LIỆU HỌC TẬP (Tài liệu có ở thư viện trường ĐHĐT, GV dạy bộ môn)
1. Tài liệu bắt buộc:
[1] Trần Diên Hiển, Giáo trình Toán cao cấp 1, NXBGD, 2001.

[2] Bài giảng Toán cơ sở, giảng viên giảng dạy
2. Tài liệu tham khảo:
[3] Phan Hữu Chân, Tập hợp và logic số học (Tài liệu đào tạo giáo viên tiểu học hệ
trung học sư phạm 9 + 3 và 9 + 4), NXBGD, 1997.
[4] Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học, tập 1, 2. NXBGD 1985.
[5] Đinh Thị Nhung, Toán và PP hình thành biểu tượng toán cho trẻ Mẫu giáo quyển
1, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006.
[6] Nguyễn Duy Thuận, Trịnh Minh Loan, Toán và PP cho trẻ làm quen với những
biểu tượng sơ đẳng về toán, NXB Giáo Dục.
V. PHƯƠNG PHÁP VÀ HÌNH THỨC TỔ CHỨC DẠY HỌC
1. Phương pháp: Giảng giải
2. Hình thức tổ chức: Lớp, cá nhân
3. Tổ chức học tập

2


Tuần
1

2-5

6-7

8-9

Nội dung
Giới thiệu ĐCCT; thông qua
chương trình môn học; hướng dẫn
tự học

Chương 1: Một số vấn đề về
Logic Toán
1.1 Mệnh đề, Hàm mệnh đề
1.1.1 Khái niệm
1.1.2 Ví dụ
1.2 Các phép toán trên mệnh đề
1.2.1 Phép phủ định
1.2.2 Phép tuyển
1.2.3 Phép hội
1.2.4 Phép kéo theo
1.2.5 Phép tương đương
1.3 Công thức logic

Chương 2: Cơ sở lý thuyết tập
hợp
2.1 Khái niệm về tập hợp
2.2. Các phép toán trên tập hợp

2.3 Quan hệ
2.3.1 Khái niệm, ví dụ
2.3.2 Tính chất của 1 quan hệ
2.3.3 Quan hệ tương đương
(định nghĩa, ví dụ)

2.4 Ánh xạ
2.4.1 Định nghĩa (ĐN, CM 1
10-11 tương ứng là ánh xạ)
2.4.2 Các loại ánh xạ (đơn ánh,
toàn ánh, song ánh)

Tổ chức học tập

TLHT

GV giới thiệu ĐCCT học phần
HD PP tự học môn học

ĐCCT
[1]

- Sinh viên chỉ ra các định nghĩa
1.1.1, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4,
1.2.5. Nêu ví dụ minh họa
- GV cùng sv phân tích các ví dụ,
giải đáp thắc mắc
- Các nhóm giải bài tập: lập bảng
chân trị, tìm miền đúng,..
- Sv làm Bt[1]; tìm các BT liên
quan trong toán mầm non (BT sưu
tầm)
- SV hoạt động theo theo yêu cầu,
liên hệ thực tế. GV tổng hợp

Tr 64 90, TL
[1], BT
tr 99,
TL [1]

- Sv chỉ ra các khái niệm: tập
hợp, kí hiệu tập hợp, phần tử thuộc

tập hợp, tập con, hai tập bằng
nhau, kí hiệu, cho các ví dụ thực tế
trong toán mầm non để minh họa
- Tương tự cho các phép toán
trên tập hợp
- Làm BT theo nhóm (trên lớp +
về nhà)
- SV xem giáo trình: Đn quan
hệ, các tính chất, quan hệ tương
đương, lớp tương đương và các kí
hiệu. GV giải thích Đn và cho ví
dụ
- SV làm BT theo nhóm:
- Xác định 1 quan hệ trên tập
- Chứng minh quan hệ tương
đương, tìm tập thương
- Lý thuyết quan hệ được thể
hiện như thế nào trong toán mầm
non, nêu ví dụ, bài tập minh họa.
- SV chỉ ra Đn ánh xạ, làm thế
nào chứng minh ánh xạ là đơn ánh,
toàn ánh, song ánh
- GV nêu ví cùng Sv làm rõ
- SV làm BT theo yêu cầu
- Vận dụng lý thuyết ánh xạ được
thể hiện như thế nào trong toán mầm
non, minh họa qua bài tập
3

Tr 3 15, TL

[1]; BT
1 - 13,
tr 45 47,
TL [1]

Tr 15 27, TL
[1]; BT
14 - 27,
tr 47 49,
TL [1]

Tr 27 37, TL
[1]; BT
28 - 37,
tr 49 51,
TL [1]


Tuần

Nội dung

Tổ chức học tập

TLHT

Chương 3: Số tự nhiên
3.1 Hệ thống số tự nhiên
3.1.1 Nguồn gốc
3.1.2 Số tự nhiên theo quan điểm

12-13
bản số của tâp hợp.
3.2 Các phép toán trên số tự nhiên
3.2.1 Phép cộng
3.2.2 Phép nhân
3.2.3 Phép trừ, phép chia

- Bài tập chương 1,2
- GV hướng dẫn SV thảo luận;
liên hệ thực tế để tổng hợp kiến
thức. GV thuyết giảng kiến thức
mới.

Tr 22 27, TL
[2]

3.3 Hệ đếm và cách ghi số
3.3.1 Hệ g- phân
14-15
3.3.2 Các hệ ghi thông thường
(1
- GV thuyết giảng, Sv giải bài tập
và sữa bài tập theo mhóm;
- Thực hành tính toán trên hệ gphân

Tr 29,
TL [2],
BT 1 10, tr
29, TL

[2]

VI. GIẢNG VIÊN THAM GIA GIẢNG DẠY
1. Phạm Thị Hiệp
- Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên, Thạc sĩ - chuyên ngành PPGD Toán
- Đơn vị công tác: Bộ môn toán - Khoa THMN
- Điện thoại: 0919.155.680
1. Lê Thị Tuyết Trinh
- Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên, Thạc sĩ - chuyên ngành PPGD Toán
- Đơn vị công tác: Bộ môn toán - Khoa THMN
- Điện thoại: 0918.365.121
2. Nguyễn Thị Nhành
- Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên, Thạc sĩ - chuyên ngành Lý thuyết số
- Đơn vị công tác: Phòng Quản lý Đào tạo
- Điện thoại: 0919.339.331
3. Hồ Ngọc Pha
- Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên chính, Thạc sĩ - chuyên ngành Đại số - Lý
thuyết số
- Đơn vị công tác: Phòng Thiết bị & Xây dựng cơ bản
- Điện thoại: 0918.316778

4


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TOÁN
1.1. Mệnh đề
1.1.1. Khái niệm
Những câu khẳng định, phản ảnh đúng hoặc sai thực tế khách quan được coi là
những mệnh đề. Những câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm… không được xem là

mệnh đề;
Kí hiệu: p, q, r… gọi là biến mệnh đề.
1.1.2. Ví dụ
p: “2 là số chẵn” là mệnh đề đúng;
q: “3 + 5 = 7” là mệnh đề sai;
“x là số nguyên tố” không là mệnh đề;
“Tôi mệt quá!” không là mệnh đề;
Để chỉ một mệnh đề p đúng (ta viết p = 1); p sai (ta viết p = 0).
Các giá trị 0 và 1 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề.
1.2. Các phép toán
1.2.1. Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề p là một mệnh đề, kí hiệu p (đọc là “không p”)
Nếu p đúng thì p sai và ngược lại.
Ví dụ: p: “5 chia hết cho 2” (mệnh đề sai);
Khi đó p : “5 không chia hết cho 2” (mệnh đề đúng).
1.2.2. Phép hội
Hội của hai mệnh đề p, q là một mệnh đề, kí hiệu p∧q hoặc pq (đọc là “p và q”)
p ∧q chỉ đúng khi cả hai mệnh đề p, q cùng đúng.
Ví dụ: p: “A học giỏi”;
q: “B học giỏi”;
Khi đó p ∧q: “A học giỏi và B học giỏi”;

5


1.2.3. Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề p, q là một mệnh đề, kí hiệu p∨q (đọc là “p hoặc q” theo
nghĩa không loại trừ nhau);
p∨q chỉ sai khi cả hai mệnh đề p, q cùng sai.
Ví dụ: p: “0 < 1”;

q: “0 = 1”;
Khi đó p∨q: “0 ≤ 1”.
1.2.4. Phép kéo theo
p kéo theo q là một mệnh đề; kí hiệu p ⇒ q (đọc là “nếu p thì q”)
p ⇒ q chỉ sai khi p đúng q sai.
Ví dụ: p: “Trời mưa”;
q: “đường ướt”;
Khi đó p⇒q: “Nếu trời mưa thì đường ướt”.
1.2.5. Phép tương đương
p tương đương q là một mệnh đề, kí hiệu p ⇔ q (đọc là “nếu và chỉ nếu”)
p ⇔ q chỉ đúng khi cả 2 mệnh đề p, q cùng đúng hoặc cùng sai.
Ví dụ: p: “n∈N, n2 ”;

q: “n chẵn” ;

Khi đó p ⇔ q , là: “n∈N, n2 ⇔ n chẵn”;
Chứng minh: n2 ⇒ n chẵn, n chẵn ⇒ n2 ♦ (Tự cho Ví dụ khác)
1.2.6. Bảng giá trị chân lý của các phép toán
p

q

p

p ∧q

p ∨q

p⇒q

p⇔q

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

Chú ý:
i. Với 1 biến mệnh đề ta có 2 trường hợp của giá trị chân lý

Với 2 biến mệnh đề ta có 4 trường hợp của giá trị chân lý
6


Với 3 biến mệnh đề ta có 8 trường hợp của giá trị chân lý
……………..
Với n biến mệnh đề ta có 2n trường hợp của giá trị chân lý
ii. Thứ tự ưu tiên các phép toán khi không có dấu ngoặc: ∧, ∨, ⇒
1.3. Công thức logic mệnh đề
1.3.1. Định nghĩa
a. Các biến mệnh đề p, q, r… là các công thức;
b. Nếu P, Q là công thức thì P , P∧Q, P∨Q, P⇒Q, P⇔Q là các công thức;
c. Mọi dãy kí hiệu khác, không được xác định theo quy tắc a và b đều không
phải là công thức.
Ví dụ: ( p ⇒ q) ∨r là công thức.
1.3.2. Sự tương đương của hai công thức
a. Định nghĩa
Công thức P tương đương logic với công thức Q, kí hiệu P ≡ Q (Hay
P ≅ Q ) nếu chúng cùng nhận giá trị chân lý như nhau với mọi bộ giá trị chân lý
có thể có của các mệnh đề có mặt trong chúng.
Ví dụ: p ∧ q ≡ p ∨ q
b. Một số đẳng thức cơ bản
• Đẳng thức về phủ định của phủ định

p≡p
• Tính chất giao hoán

p∧q ≡q∧p;

p∨q ≡q∨p

• Tính chất kết hợp

( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) ; ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r )
• Tính chất phân phối

p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ; p ∨ (q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
• Tính chất luỹ đẵng
p ∧p ≡ p ; p ∨p ≡ p

7


• Luật Đờ-Moóc-găng

p∧q ≡p∨q ; p∨q ≡p∧q
• Một số đẳng thức khác

(p ⇒ q) ≡ p ∨ q ; (p ⇒ q) ≡ p ∧ q
p ⇔ q ≡ ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)
p⇔q≡p⇔q ; p⇔q≡q⇔p
p ∧ 0 ≡ 0 ; p ∧1 ≡1 ;

p ∨ 0 ≡ p ; p ∨1≡1

p ∨ p ≡1 ; p ∧ p ≡ 0 ; p ⇒ q ≡ q ⇒ p
Để chứng minh P ≡ Q ta có thể lập bảng chân lý hoặc dùng phép biến đổi đồng
nhất (thông qua các đẳng thức trên)
Ví dụ 1: Chứng minh: (p ⇒ q ) ≡ p ∨ q , ta có thể lập bảng chân lý như sau:
p

q

p ⇒q

p

p∨q

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

Ví dụ 2: Chứng minh p ⇒ q ∧ p ≡ q ∧ p , có thể dùng phép biến đổi đồng nhất:

VT = p ∨ q ∧ p ≡ (p ∧ q ) ∧ p ≡ q ∧ ( p ∧ p) ≡ q ∧ p = VP
1.3.3. Mệnh đề liên hợp
1. Định nghĩa
Nếu gọi:

p ⇒ q (1) là mệnh đề thuận thì
q ⇒ p (2) là mệnh đề đảo của (1)

p ⇒ q (3) là mệnh đề phản của (1)

q ⇒ p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)
Ta gọi (1), (2), (3), (4) là các mệnh đề liên hợp với nhau;
Trong đó:

(1) ≡ (4);

(2) ≡ (3)
8


Ví dụ: “Nếu a M6 thì a M3” xem là (1) thì ta có:
(2): “Nếu a M3 thì a M6”;
(3): “Nếu a không chia hết cho 6 thì a không chia hết cho 3”;
(4): “Nếu a không chia hết cho 3 thì a không chia hết cho 6”;
2. Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ
Trong toán học ta thường gặp các mệnh đề toán học dạng p ⇒ q hoặc p ⇔ q
*Với p ⇒ q, ta gọi:
p là điều kiện đủ để có q, muốn có q thì phải có đủ p;
q là điều kiện cần để có p, muốn có p thì cần phải có q.
*Với p ⇔ q, ta gọi:
p là điều kiện cần và đủ để có q;
q là điều kiện cần và đủ để có p.
1.3.4. Hệ quả logic và qui tắc suy luận
Giả sử A1, A2, …, An, B là các công thức
1. Định nghĩa
Nếu tất cả các hệ giá trị chân lý (của các mệnh đề có mặt trong các công thức)
làm cho A1, A2,…, An bằng 1 cũng đồng thời làm cho B bằng 1 thì ta có qui tắc
A , A ,..., A n
suy luận: 1 2
;

B
Khi đó ta gọi A1, A2, …, An là các tiền đề, B là kết luận hay hệ quả logic.
Để chứng minh một qui tắc suy luận ta cần lập bảng chân lý.
Ví dụ: Chứng minh có qui tắc suy luận
p

q

p ⇒q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

p, p ⇒ q
:
q

Từ bảng chân lý, những hệ giá trị chân lý làm cho p = 1, (p ⇒ q) = 1 và cũng

9


làm cho q = 1. Vậy ta có qui tắc suy luận

p, p ⇒ q
.
q

Chú ý: Dấu hiệu nhận dạng có qui tắc suy luận là trong bảng chân lý có ít nhất
một dòng chứa các thành phần của qui tắc gồm toàn số 1.
2. Một số qui tắc suy luận trong toán học

1.

p ⇒ q, p
(Qui tắc kết luận Modus ponens)
q

2.

p ⇒ q, q
(Qui tắc kết luận ngược modus ponens)
p

3.

p ⇔ q, p p ⇔ q, q
;
q
p

4.

p ⇒ q, q ⇒ r
p⇒r

5.

p ⇔ q, q ⇔ r p, p ⇔ q, q ⇔ r
;
p⇔r
r

6.

p ⇒ q, q ⇒ p
(Qui tắc đưa tương đương vào)
p⇔q

7.

p ∨ q, p p ∨ q, q
;
q
p

8.

p ⇒ r, q ⇒ r
(Qui tắc tuyển giả thuyết)
p∨q⇒r

9.

p ⇒ r, q ⇒ r
p⇒q∧r

10.

p ⇔ q, r ⇔ s
p∧r ⇒q∧s

11 .

p ⇔ q, r ⇔ s
p∨r⇒q∨s

12.

p ⇒ q, r ⇒ s
p∧r ⇒q∧s

(Qui tắc suy luận bắc cầu)

(Qui tắc tách tuyển)

(Qui tắc hội kết luận)

10


13.

p ⇒ q, r ⇒ s
p∨r⇒q∨s

14.

p
q
;
p∧q q∧p

15.
16.

17.

(Qui tắc đưa hội vào)

p∧q
;
p

p∧q
q

p
;
p∨q

q
p ∨ q (Qui tắc đưa tuyển vào)

p
p

;

p
p

(Qui tắc tách hội)

(Qui tắc đưa phủ định vào, Qui tắc bỏ phủ định)

p⇒q
q⇒p

(Qui tắc phản đảo)

19.

p⇔q
;
p⇒q

p⇔q
q⇒p

20.

p∧q
;
p⇒q

p∧q
q⇒p

21.

p∧q⇒r
;
p ⇒ (q ⇒ r)

22.

p∨q⇒r
;

p⇒r

23.

p ⇒ (q ⇒ r)
q ⇒ (p ⇒ r)

24.

p ⇒ q, p ⇒ q
p

25.

p⇒q∧q
p

26.

p ⇒ q, q
p

18.

p ⇒ (q ⇒ r)
p∧q⇒r
p∨q⇒r
q⇒r

(Qui tắc chứng minh phản chứng)

11


27.

p⇒p
p

28.

p∧q⇒r∧r
;
p⇒q

29.

q⇒p
;
p⇒q

p∧q⇒p
p⇒q

p
p⇒q

BÀI TẬP
1. Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề? Xác định giá trị chân lý của các mệnh đề
đó.

a. Không được đi qua.
b. Tổng các góc trong một tam giác có bằng 180o không?
c. x là một số lẻ.
d. Số 124 chia hết cho 4.
e. 51 chia cho 6 được 8 dư 2.
2. Hãy đưa mỗi mệnh đề sau đây về dạng hội hoặc tuyển của các mệnh đề đơn, sau đó
hãy tìm giá trị chân lý của các mệnh đề đó.
a. 1< 3 < 2
b. sin

π
>1
12

c. Số 235 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2
d. 5 và 7 là hai số lẻ nguyên tố cùng nhau.
e. Hình thoi ABCD có AB = AC và AD ⊥ BC
3. Tìm phủ định của các mệnh đề sau:
a. Không có ô nhiễm ở Huế.
b. Mùa hè thì nắng và nóng.
c. 4 + 8 = 11
4. Hãy phát biểu các định lý sau đây dưới dạng mệnh đề p ⇒ q hoặc p ⇔ q:
a. Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
b. Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì nó có hai góc bằng nhau và đảo lại.
12


c. Một tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.
5. Cho p, q và r là các mệnh đề:
p: Bạn bị cúm;

q: Bạn thi trượt kỳ thi cuối khóa;
r: Bạn được lên lớp.
Hãy diễn đạt các mệnh đề sau đây thành những câu thông thường:

a. p ⇔ q
c. q ⇒ r

b. q ⇔ r
d. p ∨ q ∨ r

e. (p ⇒ r ) ∨ (q ⇒ r )

f . (p ∧ q ) ∨ (q ∧ r )

6. Cho p và q là hai mệnh đề:
p: “Bạn lái xe với tốc độ trên 60km/h”;
q: “Bạn bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép”.
Hãy viết các mệnh đề sau đây bằng hai cách dùng p và q và các phép toán logic:
a. Bạn không lái xe với tốc độ trên 60km/h.
b. Bạn lái xe với tốc độ trên 60km/h nhưng bạn không bị phạt vì vượt quá tốc độ
cho phép.
c. Bạn sẽ bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép nếu bạn lái xe với tốc độ trên
60km/h.
d. Nếu bạn không lái xe với tốc độ trên 60km/h thì bạn sẽ không bị phạt vì vượt
quá tốc độ cho phép.
e. Lái xe với tốc độ trên 60km/h là đủ để bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép.
f. Bạn bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép nhưng bạn không lái xe với tốc độ trên
60km/h.
g. Mỗi lần bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép là bạn đã lái xe với tốc độ trên
60km/h.

7. Lập bảng giá trị chân trị cho các mệnh đề phức hợp sau:
a. p ⇒ (q ∨ r )
b. p ⇒ (q ⇒ r )
c. (p ⇒ q ) ∧ ( p ⇒ r )
d. (p ⇒ q ) ∨ ( p ⇒ r )
13


e. (p ⇔ q ) ⇔ (q ⇔ r )
f. (p ⇔ q ) ⇔ (q ⇔ r )
8. Phát biểu các mệnh liên hợp của các mệnh đề kéo theo sau:
a. Nếu đi bộ thì mỏi chân;
b. Tôi đều đi ra bãi tắm bất cứ ngày nào trời nắng;
c. Nếu một số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và 3;
d. Nếu một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
9. Chứng minh các mệnh đề kéo theo sau là hằng đúng:

a. (p ∧ q) ⇒ p
b. p ⇒ (p ∨ q)
c. p ⇒ (p ⇒ q)
d. (p ∧ q) ⇒ (p ⇒ q)
e. p ⇒ q ⇒ p
f. p ⇒ q ⇒ q
g. [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ r
10. Chứng minh các công thức sau đây là những công thức hằng đúng (Lập bảng giá trị
chân lý):
a. p ∧ (p ∨ q ) ⇒ q
b. (p ⇔ q ) ⇒ (p ⇒ q )
c. p ∧ (p ⇔ q ) ⇒ q
d. (p ⇒ q ∧ q ) ⇒ p

11. Chứng minh các đẳng thức sau bằng cách: Lập bảng chân lý hoặc biến đổi
a. p ∧ q ≡ p ∨ q

b. p ∨ q ≡ p ∧ q

c. p ⇒ (q ⇒ r ) ≡ q ⇒ (p ⇒ r )

d. p ∧ q ⇒ r ≡ p ⇒ (q ⇒ r )

e. p ∨ q ⇒ r ≡ ( p ⇒ r ) ∧ (q ⇒ r )

f. p ⇒ q ≡ p ∨ q

g. (p ⇒ q ) ∧ ( p ⇒ r ) ≡ p ⇒ (q ∧ r )

h. p ⇒ q ≡ q ⇒ p
14


i. p ⇒ q ≡ p ∧ q
12. Dùng bảng chân lý kiểm nghiệm xem ta có các qui tắc suy luận sau hay không?

a.

p ⇒ q, p
q

b.

p∧q⇒r∧r

p⇒q

c.

p ⇒ q, p
q

d.

p∧q⇒p
p⇒r

e.

p ⇒ q, p
p⇒q

f.

p∧q⇒p
p⇒q

1.4. Hàm mệnh đề
1.4.1. Định nghĩa
a. Định nghĩa
Hàm mệnh đề là một câu chứa biến và trở thành mệnh đề khi ta thay biến đó
bằng một phần tử cụ thể thuộc một tập hợp xác định.
Ký hiệu: P(x), Q(x), R(x,y),…
Trong đó: x, y… gọi là biến tử (Gọi tắt là biến).
Ví dụ: P(x): “x là một số chẵn” là hàm mệnh đề một biến, xác định trên N,

Chỉ trở thành mệnh đề đúng khi x ∈ {0; 2; 4; …; 2k; …}
Q(x, y): “ 2x - y = 4” là hàm mệnh đề hai biến, xác định trên R × R = R2.
Để đơn giản từ nay ta chỉ xét hàm mệnh đề một biến.
b. Miền đúng của hàm mệnh đề
Giả sử P(x) xác định trên X, ta gọi: Tập {x ∈ X | P(x) = 1} là miền đúng của
hàm mệnh đề P(x), ký hiệu là EP(x), nghĩa là

EP(x) = {x ∈ X | P(x) = 1}
Ví dụ: P(x): “x2- 1= 0” trên R ⇒ EP(x) = {-1; 1}
•

P(x) là hằng đúng, nếu P(x) = 1, ∀x∈X (hay EP(x) = X)

•

P(x) là hằng sai, nếu P(x) = 0, ∀x∈X (hay EP(x) = ∅)

•

P(x) gọi là thực hiện được ⇔ ∃ x∈X để P(x) = 1

15


•

P(x) ≡ Q(x) ⇔ EP(x) = EQ(x)

1.4.2. Các phép toán
Cho P(x), Q(x) là các hàm mệnh đề xác định trên X,

a. Phủ định của P(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P( x )
P(x) = 1 thì P( x ) = 0 và ngược lại.
b. Hội của P(x), Q(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P(x) ∧Q(x)
Chỉ đúng tại a ∈ X khi P(a) = 1 và Q(a) = 1
Miền đúng: EP(x)∧Q(x) = EP(x) ∩ EQ(x)
c. Tuyển của P(x), Q(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P(x) ∨Q(x)
Chỉ sai tại a ∈ X khi P(a) = 0 và Q(a) = 0
Miền đúng: EP(x)∨Q(x) = EP(x)∪ EQ(x)
d. Kéo theo của P(x), Q(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P(x) ⇒ Q(x)
Chỉ sai tại a ∈ X khi P(a) = 1 và Q(a) = 0
Miền đúng: EP(x)⇒Q(x) = E P(x ) ∪ E Q(x )
e. Tương đương của P(x), Q(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P(x) ⇔ Q(x)
Chỉ đúng tại a ∈ X khi P(a) = Q(a)
Miền đúng: EP(x) ⇔ Q(x)v= EP(x) = EQ(x)
Ví dụ:
- P(n): “n M3” trên N; Phủ định của P(n) là P(n)
⇒P(n) : “n không chia hết cho 3”;
⇒ E P(n ) ={n∈N | n ≠ 3k, k∈N};
x 2 − 1 = 0
- Hệ phương trình: 
x + 2 y = 1
là hội của P(x): “x2 – 1= 0” và Q(x, y): “x + 2y = 1” cùng xác định trên R;
⇒ EP(x)∧Q(x, y) = {(1; 0); (-1; 1)}
- Phương trình (x2 – 1)(x + 3) = 0
là tuyển của P(x): “x2 – 1 = 0” và Q(x): “x + 3 = 0” cùng xác định trên R;
16


⇒ EP(x)∨Q(x) = {-1; 1; -3}
- Hàm mệnh đề: “Nếu n M6 thì n M3 với n∈N”

là kéo theo của P(n): “n M6” và Q(n): “n M3” cùng xác định trên N;
⇒

EP(n)⇒Q(n) = E P(n) ∪ EQ(n) = {n∈N n = 3k, k∈N}

- Hàm mệnh đề: “n M2 khi và chỉ khi n chẵn”
là tương đương của P(n): “n M2 ” và Q(n): “n chẵn” cùng xác định trên N;
⇒ EP(n)⇔Q(n) ={0; 2; 4; …; 2n;…, n∈N} = {n∈N n = 2k, k∈N}.
1.4.3. Lượng từ (Tham khảo)
Giả sử hàm mệnh đề P(x) xác định trên X
1. Định nghĩa
• Lượng từ toàn thể (∀): ta có mệnh đề phổ dụng x∈∀X P( x )
(đọc là “với mọi x ∈X ta có P(x)”)
∀ P( x ) chỉ đúng khi P(x) = 1, ∀x∈ X.

x∈X

• Lượng từ tồn tại (∃ ): ta có mệnh đề tồn tại x∈∃X P( x )
(đọc là “tồn tại x∈X ta có P(x)”)
∃ P( x ) chỉ đúng khi có ít nhất một a∈X để P(a) = 1

x∈X

Ví dụ:
∀ ( x 2 + 1 > 0) ;

∃ ( x 2 = 2)

x∈R

x∈Q

2. Phép phủ định
P( x ) ≡ ∃ P ( x )
• x∀
∈X
x∈X
P( x ) ≡ ∀ P( x )
• x∃
∈X
x ∈X
( x 2 = 2) (sai)
Ví dụ: phủ định của x∀
∈Q

( x 2 ≠ 2) (đúng)
là x∃
∈Q
1.4.4. Qui tắc suy luận thường gặp
Logic vị từ là hệ quả mở rộng của logic mệnh đề. Vì vậy các qui tắc suy luận
trong logic mệnh đề đều là qui tắc suy luận trong logic vị từ.
17


Vài qui tắc suy luận thường sử dụng trong chứng minh toán học như sau:

∀ P(x)

•

x∈X

•

x ∈X

P(a)

∀ (P( x ) ⇒ Q(x ), P(a ))
Q( a )

Ví dụ: 1. “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800”,
Kết luận: “Tổng ba góc trong ∆ABC bằng 1800”.
2. “Mọi số tự nhiên chia hết cho 6 thì đều chia hết cho 3”,
“12 chia hết cho 6”,
Kết luận: “12 chia hết cho 3”.
BÀI TẬP
1. Cho các hàm mệnh đề sau trên R:
P(x): “2x + 1 > 5x”
Q(x): “x2 + 15x – 16 = 0”
Tìm EP(x), EQ(x), EP(x)∧Q(x) , EP(x)∨Q(x)
2. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề sau trên N:
a. “n chia hết cho 2 và n chia hết cho 3”
b. “n chia 5 dư 3”
3. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau đây bằng ngôn ngữ thông thường và xác định tính
đúng sai của các mệnh đề đó. Sau đó lập mệnh đề phủ định của chúng:
a.

∀ ( x = − x ) ; b. ∃ ( x
x∈R

x∈R

= − x ) ; c.

∀ ∃ (n < m) ; d. ∀ ∃ ( x + y = 1)

n∈N m∈N

x∈R y∈R

1.4.5. Một số phép suy luận
a. Định nghĩa
Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có
- Mệnh đề đã có gọi là tiền đề
- Mệnh đề mới rút ra gọi là kết luận
Ví dụ:
Tiền đề

“Mọi số chẵn đều chia hết cho 2”
“30 là số chẵn”
18


Kết luận “Số 30 chia hết cho 2”
b. Các phép suy luận thường gặp
b.1. Suy luận diễn dịch (suy diễn)
Suy luận diễn dịch là suy luận theo những qui tắc suy tổng quát từ những tiền
đề đúng, luôn rút ra đựơc những kết luận đúng.
Ví dụ 1:

Tiền đề “96 chia hết cho 2”
“96 chia hết cho 3”.
Kết luận “96 chia hết cho 2 và 3”
Trong suy luận này, ta sử dụng qui tắc suy luận

p, q
p∧q

Ví dụ 2:
Tiền đề

“Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết
cho 3”
“Số 57 có tổng các chữ số chia hết cho 3”

Kết luận

“Số 57 chia hết cho 3”

Trong suy luận này ta sử dụng qui tắc suy luận

∀ (P( x ) ⇒ Q(x ), P(a ))

x ∈X

Q( a )

Phép suy luận gồm ba khâu như thế này gọi là phép tam đoạn luận.
b.2. Suy luận nghe có lý
Là suy luận không thep qui tắc suy luận tổng quát; từ những tiên đề đúng, kết

luận rút ra có thể đúng hoặc sai. Chúng chỉ là các dự đoán. Ta xét các suy luận
có lý sau:
• Qui nạp không hoàn toàn: là suy luận đi từ một vài trường hợp riêng để nhận
xét và rút ra kết luận chung;
Tiền đề

Các phần từ a1,a2,…,an đều có tính chất p
a1,a2,…,an là một số phần tử của tập hợp X

Kết luận

Tất cả các phần tử của X đếu có tính chất p

Tiền đề

“12 M4”, “108 M4”, “136 M4”

Ví dụ:
Kết luận 1

“Mọi số chẵn đều chia hết cho 4” – Sai
19


Kết luận 2

“Mọi số tự nhiên có hai chữ số cuối cùng tạo thành
một số chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4” – Đúng

• Nhưng nếu ta kết luận: “Ba số 12, 8, 136 đều chia hết cho 4” thì trở thành qui

nạp hoàn toàn.
• Phép tương tự: là phép suy luận đi từ sự giống nhau của một số thuộc tính
nào đó của hai đối tượng để rút ra kết luận về sự giống nhau của các thuộc
tính khác của hai đối tượng đó;
Tiền đề

Đối tượng A có tính chất a, b, c
Đối tượng B có tính chất a, b

Kết luận Đối tương B cũng có tính chất c
Ví dụ:
Từ tiền đề “Mọi số có tận cùng là 2 thì chia hết cho 2”,
Bằng tương tự ta rút ra kết luận:
(1) “Mọi số có tận cùng là 5 thì chia hết cho 5”- (Đ)
(2) “Mọi số có tận cùng là 4 thì chia hết cho 4”- (S)
c. Chứng minh
c.1. Để chứng minh một mệnh đề B, cần chỉ rõ B là kết luận logic của các tiền
đề đúng (kết luận logic là kết luận rút ra từ qui tắc suy luận tổng quát).
c.2. Kết cấu của chứng minh: gồm
• Luận đề (mệnh đề cần chứng minh);
• Luận cứ (các mệnh đề được thừa nhận, được sử dụng làm tiền đề như: các giả
thuyết, định lí…);
• Luận chứng (các qui tắc suy luận tổng quát trong mỗi bước suy luận của
chứng minh).
c.3. Các phương pháp chứng minh trong toán học
• Chứng minh trực tiếp
-

Giả sử A là giả thuyết và cần chứng minh C; Ta có sơ đồ chứng minh
như sau:

A ⇒ M ⇒ N ⇒ ……⇒ P ⇒ Q ⇒ C
-

Cần chứng minh C, trong khi B là mệnh đề được thừa nhận; Ta có sơ đồ
chứng minh như sau:

B ⇒ K ⇒ L ⇒ ……⇒ S ⇒ T ⇒ C
20


Ví dụ: Chứng minh BĐT Côsi cho 2 số không âm: a + b ≥ 2 ab
Xét: (a – b)2 ≥ 0 (điều được thừa nhận)
⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ 0
⇒ a2 + b2 + 2ab – 4ab ≥ 0
⇒ (a + b)2 ≥ 4ab
⇒ a + b ≥ 2 ab ⇒ đpcm.
• Chứng minh bằng phản chứng
Muốn chứng minh p đúng, ta giả sử p sai, nghĩa là p đúng, từ p sẽ dẫn tới r = 1
nào đó, mà r = 1 là giả thuyết hoặc được thừa nhận trong toán học (sẽ dẫn đến
mâu thuẫn). Do đó điều giả sử là sai. Vậy p là đúng.
Ta có qui tắc suy luận trong phản chứng như sau:
p ⇒ r, r
;
p

p⇒r∧r
;
p

p ⇒ q ⇒ r, r
.
p⇒q

Ví dụ:
Chứng minh: “Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì
cũng phải cắt đường thẳng kia”.
Nghĩa là chứng minh (nếu p = “a // b và c cắt a tại A” thì q = “c cắt b”)
Giả sử c không cắt b

c

⇒ c // b

A

⇒ Qua điểm A có a và c cùng song song b.

a
b

(Mâu thuẩn “Qua một điểm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường
thẳng song song với đường thẳng đã cho)
Vậy c phải cắt b ⇒ đpcm.
• Chứng minh bằng cách xét tất cả các trường hợp
Giả sử P(x) xác định trên X = {a1, a2, …., ak};
P(a 1 ), P(a 2 ),..., P(a k )
Vận dụng qui tắc suy luận:
.
∀ P( x )

x ∈X

Ví dụ: Chứng minh “ A = n (n + 1)(n + 2) 3, ∀n ∈ N ”.
Ta xét từng trường hợp có thể có như sau:
21


•

Nếu n 3 ⇒ A 3

•

Nếu n chia 3 dư 1 ⇒ n = 3q + 1 ⇒ (n + 2) 3 ⇒ A 3

•

Nếu n chia 3 dư 2 ⇒ n = 3q + 2 ⇒ (n + 1) 3 ⇒ A 3 ⇒ đpcm.

Chú ý: Phương pháp thử chọn vừa được xem là phương pháp “Xét tất cả các
trường hợp” vừa được xem là “Qui nạp hoàn toàn”
• Phương pháp qui nạp toán học: gồm 3 bước
Bài toán: Chứng minh P(n), n ≥ n0
-

Kiểm tra P(n0) = 1

-

Giả sử P(k) = 1, cần chứng minh P(k+1) = 1; k ≥ n0

-

Kết luận P(n), ∀ n ≥ n0

Trong chứng minh trên, ta sử dụng qui tắc suy luận:
P(n 0 ), ∀ ((k ) ⇒ P(k + 1))
k≥n0

∀ P(n )

n ≥n 0

Ví dụ: Chứng minh: “A = n3 – n M3 , ∀n∈N*”
-

n = 1 ⇒A = 0 nên A  3

-

Giả sử A đúng khi n = k ≥ 1, nghĩa là A = k3 – k M3
Cần chứng minh B = (k + 1)3 – (k + 1) M3

Ta có: B = (k3 + 3k2 + 3k + 1) – (k + 1)
= (k3 – k) + 3(k3 + k) M3
-

Vậy A = n3 – n M3 , với ∀n ∈ N* ⇒ đpcm.

BÀI TẬP

1. Bằng phương pháp chứng minh trực tiếp, hãy chứng minh:
a. Nếu n lẻ thì n2 lẻ.
b. Hai đường chéo của hình chữ nhật thì bằng nhau.
2. Dùng phương pháp chứng minh phản chứng, hãy chứng minh:
a.

2 là số vô tỉ.

a. Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
22


3. Chứng minh bằng qui nạp toán học:
a. 1 + 2 + ... + n =
b.

n (n + 1)
, ∀n ∈ N *
2

1
1
1
n
+
+ ... +
=
, ∀n ∈ N *
1.2 2.3
n (n + 1) n + 1

4. Chứng minh hoặc bác bỏ:
a. Tích hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
b. A = n2 – n + 41 là số nguyên tố, ∀n ∈ N*.

23


CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP
2.1. Khái niệm về tập hợp
2.1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp (gọi tắt là Tập) là khái niệm cơ bản nhất của toán học, không định nghĩa
mà chỉ mô tả như là một sự “Tụ tập” của các đối tượng (phần tử của tập hợp) theo một
tính chất chung nào đó.
Các tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B,…, X, Y,…
Phần tử của tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in thường: a, b,..., x, y,…
Ngôn ngữ thường dùng để chỉ tập hợp: nhóm, tập thể, tất cả, chùm, đàn…
Ví dụ:
Đàn cò, tập thể học sinh lớp Lá 2;

Tất cả các lớp của một trường, …

N: Tập hợp số tự nhiên;

Z: Tập hợp số nguyên;

Q: Tập hợp số hữu tỷ;

R: Tập hợp số thực;

C: Tập hợp số phức…
Lưu ý: Các tập hợp không chứa phần tử 0 được ký hiệu “*”: N*, Z*,…
Để chỉ x là phần tử của tập A, ta viết: x ∈ A (đọc là x thuộc A);
Để chỉ x không là phần tử của tập A, ta viết: x ∉ A (đọc là x không thuộc A).
Ví dụ: 0 ∈ N; -2 ∉ N;

1
∉ Z;
2

Ta có biểu đồ ven

1
2

∈R
0•

N
• -2

2.1.2. Cách xác định tập hợp
a. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp đó
Ví dụ:
Tập hợp các số tự nhiên chẵn bé hơn 10 là: A = {0; 2; 4; 6; 8}
Đối với tập có vô số phần tử, ta chỉ liệt kê vài phần tử đầu, đồng thời chỉ ra
công thức chung cho phần tử thứ n (Phần tử tổng quát thứ n):
B = {1; 3; 5; 7;…; 2n + 1;…} hay B = {1; 3; 5; 7;…}
24

b. Chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của các phần tử của tập hợp
Tập X gồm các phần tử x có tính chất ϕ , ta viết: X = {x | ϕ }
Ví dụ: A = {x | x ∈ N, x = 2n, x < 10} hay A = {x ∈ N | x = 2n, x < 10}
B = {x | x = 2n + 1, n ∈ N}
Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu: ∅
Tập hợp có một phần tử gọi là tập đơn tử.
Ví dụ: Tập nghiệm thực của phương trình x2 + 2 = 0 là ∅
Tập các số nguyên tố chẵn là P = {2}
2.1.3. Tập hợp con, tập hợp bằng nhau
a. Tập con
A là tập con của X (ký kiệu: A ⊂ X) ⇔ mọi phần tử thuộc A đều thuộc X.
Ta viết: A ⊂ X ⇔ ( ∀ a∈ A ⇒ a∈ X), A ⊂ X đọc là “A bị chứa trong X”.
Ví dụ: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
A ⊂ X ta còn có thể viết X ⊃ A; đọc là “X chứa A”;
Các quan hệ “bị chứa” và “chứa” còn gọi là quan hệ “bao hàm”
Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp: ∅ ⊂ X, ∀ X.
b. Tập hợp bằng nhau
Hai tập A, B bằng nhau ký hiệu A = B
A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)
Đẳng thức A = B có thể hiểu là A và B cùng chứa số phần tử như nhau.
Ví dụ: A = {0; 2; 4; 6; 8} và B = {x ∈ N | x = 2n, x < 10} dễ thấy A = B.
Nhận xét: Với mọi tập X ta luôn có X ⊂ X.
c. Tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp
Cho tập X tuỳ ý, tập hợp tất cả các tập con của X ký hiệu Π(X)
Π(X) = {A | A ⊂ X }
X có n phần tử thì Π(X) có 2n phần tử.
Ví dụ: X = {a, b}
Π(X) = { ∅ , {a}, {b}, X} có 4 phần tử;

Π( ∅ ) = { ∅ } do đó Π(X) ≠ ∅ .
25