HỆ QUANG HỌC ĐỒNG TRỤC QUANG SAI

TIỂU LUẬN
CHỦ ĐỀ: HỆ QUANG HỌC ĐỒNG TRỤC
QUANG SAI

1


HỆ QUANG HỌC ĐỒNG TRỤC
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa
•

•

•
•

Hệ quang học đồng trục là một hệ thống bao gồm nhiều môi trường
trong suốt, đồng chất, có chiết suất khác nhau, ngăn cách nhau bởi
những mặt cầu (hoặc mặt phẳng) có tâm nằm trên cùng một đường
thẳng.
Đường thẳng đi qua tâm của tất cả các mặt cầu đó được gọi là trục
chính của hệ. Các mặt phẳng chứa trục chính gọi là tiết diện chính
của hệ.
Một hệ quang học đồng trục được coi là lý tưởng khi một chùm đồng
quy sau khi qua nó vẫn là một chùm đồng quy.
Một hệ quang học đồng trục bất kì, nếu chỉ xét với các tia gần trục và
góc mở của các mặt cầu trong hệ đều nhỏ, thì được coi là hệ quang
học đồng trục lí tưởng.

2. Các phương pháp nghiên cứu hệ quang học đồng trục

Phương pháp thứ nhất:
- Theo dõi sự khúc xạ của chùm tia phát ra từ vật lần lượt qua tất cả
các mặt cầu (hoặc mặt phẳng) khúc xạ của hệ. Nó cho phép theo dõi
đường truyền thật của tia sáng trong hệ, sự tạo ảnh qua từng mặt cầu
khúc xạ và qua toàn hệ.
- Phương pháp này khá thuận tiện khi xét các hệ đồng trục đơn giản.
Phương pháp thứ hai:
- Tìm những điểm và những mặt phẳng đặc biệt, đặc trưng cho hệ.
Với những điểm và những mặt phẳng đặc biệt này, ta sẽ thu được kết
quả tương tự như những kết quả đã thu được với mặt cầu khúc xạ và
thấu kính mỏng.
- Khi sử dụng phương pháp này, các tính toán với hệ đồng trục trở
nên đơn giản hơn.

2


II. CÁC TIÊU ĐIỂM CHÍNH, MẶT PHẲNG CHÍNH VÀ ĐIỂM
CHÍNH, TIÊU CỰ.
1. Các tiêu điểm chính, mặt phẳng chính và điểm chính.
Trên hình 1.1 biểu diễn một hệ
quang học đồng trục lí tưởng có quang
trục chính LL’. Gọi AA’ và BB’ là các
mặt khúc xạ ngoài cùng của quang hệ.
Cho một chùm tia sáng tới quang hệ
Hình 1.1
song song với quang trục chính. Những
tia này được coi như xuất phát từ một điểm sáng nằm
trên
quang trục chính và ở xa vô cực. Sau khi đi ra khỏi hệ quang học lí tưởng

chùm tia này vẫn còn là chùm đồng quy. Tùy thuộc vào hệ quang học cụ
thể nó có thể là chùm hội tụ (Hình 1.2a) , chùm phân kì ( Hình 1.2b) hay
chùm song song (Hình 1.2c).
Hình 1.2

Điểm F nằm trên trục
chính là giao điểm của những tia ló ra khỏi hệ (Hình 1.2a) (hoặc đường kéo
dài của chúng – Hình 1.2b), được gọi là tiêu điểm chính thứ hai (hay tiêu
điểm ảnh) của quang hệ.
Trường hợp đặc biệt chùm tia ló ra khỏi quang hệ vẫn là chùm song
song với trục chính thì F’ nằm ở vô cực. Hệ quang học đồng trục trong
trường hợp này được gọi là hệ vô tiêu.
Tiêu điểm chính thứ hai F’ có thể là thật, cũng có thể là ảo. Nó có thể
nằm ở bên trong quang hệ hoặc phía ngoài quang hệ. F’ là điểm liên hợp
của một điểm nằm trên trục chính và ở xa vô cực trong không gian vật.
Trong không gian vật cũng có điểm F nằm trên quang trục chính có
tính chất sau đây: chùm tia sẽ xuất phát từ F (hay hội tụ tại F) ( Hình 1.3)
sau khi đi ra khỏi quang hệ sẽ trở thành chùm tia song song với quang trục
chính. Điểm F được gọi là tiêu điểm chính thứ nhất của hệ (hình 1.3a, hình
1.3b). Các mặt phẳng đi qua tiêu điểm chính F và , vuông góc với các
F′
quang trục chính là các tiêu diện thứ nhất và thứ hai tương ứng của quang
hệ. Tiêu diện thứ nhất là mặt phẳng liên hợp của mặt phẳng ở xa vô cực
3


trong không gian ảnh; còn tiêu diện
thứ hai là mặt phẳng liên hợp với

mặt phẳng ở xa vô cực

trong không gian vật.

Hình 1.3

Một chùm tia sáng xuất phát từ một điểm bất kì nằm trên tiêu diện thứ
nhất sau khi ra khỏi hệ quang học sẽ trở thành chùm tia song song, làm với
quang trục chính một góc nào đó (hình 1.4). Còn một chùm tia song song
tạo với trục chính của quang hệ một góc nhỏ sau khi qua hệ sẽ đồng quy tại
một điểm trên tiêu diện thứ hai.
Bây giờ ta hãy xét hai mặt
phẳng liên hợp nhau, vuông góc với
quang trục chính. Giả sử vật là một
đoạn thẳng AB có độ cao là y nằm
trên mặt phẳng thứ nhất, thì ảnh của
nó là
có độ cao
sẽ nằm trên
y′
A′B′
mặt phẳng thứ hai, hơn nữa ảnh
có thể cùng chiều hoặc ngược
A′B′
Hình 1.4

chiều với AB, có thể lớn hơn, nỏ
hơn hoặc bằng vật AB tùy theo vị trí
của hai mặt phẳng liên hợp ta xét.
Tỉ số giữa độ cao của ảnh và của vật xác định độ phóng đại dài:
y′
β=

y
Trong đó y và

y′

là những độ dài đại số, tuân theo quy ước về dấu đã

nói ở trên.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh rằng, có thể tìm được hai mặt phẳng
liên hợp, sao cho nếu vật nằm trên mặt phẳng này sẽ cho ảnh nằm trên mặt
phẳng kia và có độ phóng đại dài
.
β = +1

4


Thật vậy, ta vẽ tia đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F đến mặt khúc xạ
đầu tiên tại I (hình 1.5). Tia này ra
khỏi mặt khúc xạ sau cùn tại điểm
và song song với quang trục
I′
chính.
Khoảng cách

O′I′

có thể lớn

hơn hay nhỏ hơn OI tùy thuộc vào

tính chất của hệ, trong trường hợp
hình vẽ thì
. Đường
O′I′ > OI

Hình 1.5

truyền thực của tia sáng bên trong
quang hệ ta không cần biết đến.
Ta lại vẽ tia 2 song song với quang trục chính và cách nó một khoảng
cách
đến gặp mặt khúc xạ đầu tiên tại K. Ra khỏi mặt khúc xạ cuối
O′I′
cùng của hệ tại điểm

K′

, tia này qua tiêu điểm chính

F′

(tia

2′

) . Bởi vì hệ

quang học lí tưởng, nên chùm đồng qui (1-2) tới quang hệ mà điểm đồng
qui là P, sau khi ra khỏi hệ vẫn còn là chùm đồng quy
mà điểm đồng

(1′-2′)

qui là

P′

. Bất kì một tia sáng nào đi qua P cũng có tia tương ứng đi qua

Như vậy các điểm P và

P′

là hai điểm liên hợp với nhau và

điểm P. Vẽ các mặt phẳng H và

H′

đi qua các điểm P và

P′
P′

P′

.

là ảnh của
tương ứng,

vuông góc với quang trục chính. Đoạn thẳng HP nằm trong mặt phẳng H
cho ảnh tương ứng là
nằm trong mặt phẳng . Hơn nữa ảnh
H′P′
H′
H′P′
cùng chiều với vật HP và có cùng độ cao với vật (

HP = H′P′

). Như vậy, một

vật bất kì nằm trong mặt phẳng H, qua quang hệ sẽ cho ảnh tương ứng nằm
trong mặt phẳng với độ phóng đại dài
.
β = +1
H′

5


Mặt phẳng H được gọi là mặt phẳng chính thứ nhất, còn mặt phẳng

H′

được gọi là mặt phẳng chính thứ hai của hệ quang học đồng trục. Các giao
điểm H và
của các mặt phẳng này với quang trục chính được gọi là các
H′
điểm chính thứ nhất và thứ hai tương ứng của hệ. Các mặt phẳng chính (các

tiêu điểm chính) có thể cả hai nằm ở trong hệ hoặc bên ngoài hệ, cả hai
cùng ở một phía của hệ hoặc một trong hai nằm ở trong hệ, điều đó phụ
thuộc vào tính chất của từng hệ cụ thể. Khoảng cách từ tiêu điểm chính thứ
nhất F đến điểm chính thứ nhất H của hệ là tiêu cự thứ nhất f của hệ (
). Tương tự như vậy ta có tiêu cự thứ hai
; f và
là những
′
f
′
′
′
HF = f
HF =f
độ dài đại số. Chúng là dương nếu tiêu điểm đang xét nằm bên phải hệ,
ngược lại là âm.
Nếu biết vị trí các mặt phẳng chính H ,
và các tiêu điểm chính F,
H′

F′

của một quang hệ đồng

trục nào đó, ta có thể dễ
dàng dựng ảnh của một vật
cho bởi quang hệ đó.
Chẳng hạn ta dựng
ảnh của đoạn thẳng AB
vuông góc với quang trục

chính.
Vẽ từ B tí 1 song song
với quang trục chính, nó cắt
mặt phẳng chính H tại điểm
P. Theo tính chất của các
mặt phẳng chính, tia , liên
1′
hợp với tia 1 phải đi qua điểm

Hình 1.6

P′

của mặt phẳng chính

(
) là
H′ HP = H′P′

điểm liên hợp với P. Vì tia 1 song song với quang trục chính nên tia liên
hợp đi qua tiêu điểm chính .
1′
F′
Bây giờ cũng từ điểm B ta vẽ tia 2 đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F,
nó cắt mặt phăng chính H tại điểm I. Tia
liên hợp với tia 2 sẽ đi qua
2′
6

điểm

I′

của mặt phẳng chính

H′

, là điểm liên hợp của điểm I (

Vì tia 2 đi qua tiêu điểm chính F, nên tia liên hợp
quang trục chính.
B và

A′B′

B′

là giao điểm của hai tia

1′

và

2′

2′

HI = H′I′

).

đi song song với

nên là ảnh của điểm

là ảnh của AB cho bởi quang hệ cũng vuông góc với quang trục

chính.
2. Tiêu cự. Độ tụ
Bây giờ ta hãy tìm mối liên hệ giữa các tiêu cự f và

f′

của hệ quang

học đồng trục gồm các mặt cầu khúc xạ có chiết suất n của môi trường phía
trước và chiết suất
của môi trường phía sau quang hệ. Trên hình 1.6 ghi
n′
các giá trị dương của đoạn thẳng.
Từ các tam giác đồng dạng FHI và BPI ta có:
(1.1)

−f
−s
=
− y′ y − y′

Tương tự, từ các tam giác đồng dạng

P′H′F′

f′
s′
=
y y − y′

và

P′B′I′

, ta có:
(1.2)

Từ hai hệ thức trên rút ra:
f
y′s
=−
f′
ys

Vì

s u′
=
s′ u

do đó:

f
y′u′
=−
f′
yu

Theo định lí Lagrage – Helmholtz, ta có:
7

(1.3)

(1.4)


y′u′ n
=
yu n′

Vậy:

(1.5)

f n
=
f ′ n′

Trong trường hợp phía trước và phía sau quang hệ có chiết suất như
nhau, thì tiêu cự f và
bằng nhau và ngược dấu:
′

f
f=Đại lượng:

Φ=

(1.6)

f′

(1.7)

n′
n
n′
n
=− Φ= =−
f′
f
f′
f

Là độ tụ của quang hệ. Độ tụ càng lớn thì tiêu cự f càng bé, do đó tia
sáng càng bị khúc xạ mạnh bởi quang hệ. Độ tụ của quang hệ có thể dương
âm hoặc bằng không.
Khi
, thì
, tiêu điểm
là ảnh thật của vật ở xa vô cực. Hệ
Φ>0
f′ > 0

′
F
quang học lúc này là một hệ hội tụ.
Khi
, thì
, tiêu điểm
là ảnh ảo của vật ở xa vô cực. Hệ
Φ<0
f′ < 0
F′
quang học lúc này là một hệ phân kì.
Khi
, thì
, tiêu điểm
ở xa vô cực. Hệ quang học lúc
Φ=0
f′ = ∞
F′
này là một hệ vô tiêu.
III. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
Vị trí của vật AB có thể được đặc trưng bằng khoảng cách x tính từ F
đến điểm A (
), hoặc khoảng cách s từ điểm chính H (
). Vị trí
HA = s

FA = x

của ảnh

A′B′

cho bởi quang hệ được đặc trưng bởi khoảng cách

x′

tính từ

(
), hoặc bằng khoảng cách
tính từ
tới
(
). Cần
s′
F′ F′A′ = x′
F′
A′ H′A′ = s′
chú ý rằng các đại lượng

8

x, x′, s, s′, f, f ′

là những độ dài đại số.


Chúng ta tìm mối liên hệ giữa đại lượng

x′

lượng x, xác định vị trí của vật và các tiêu cự f và

xác định vị trí ảnh với đại

f′

của hệ.

Từ các tam giác đồng dạng có đỉnh tại F (hình 1.6) ta có hệ thức:
(1.8)

AB
y
=
HI − y′

Tương tự, từ các tam giác đồng dạng có đỉnh chung tại

F′

H′P′ y f
= =
A′B′ y′ x′

Từ hai hệ thức trên, ta có:

xx′ = ff ′

, ta có:

(1.9)

(1.10)

Biểu thức (1.10) là công thức Newton.
Trong trường hợp
, công thức Newton sẽ có dạng:
′
f = −f
xx′ = −f 2

(1.11)

Từ công thức này, ta dễ dàng chuyển sang tìm mối liên hệ giữa các
khoảng cách s và , tính từ các điểm chính H và
tương ứng.
′
s
H′
Từ hình 1.5, ta thấy (-x) = (-s) – (-f)
Tức là: x = s – f
Tương tự:
x = s′ - f ′
Thay các biểu thức của x và

x′

và công thứ (1.11), làm vài phép biến

đổi, cuối cùng ta được:

f f′
+ =1
s s′
Biểu thức (1.12) là công thức Gauss.
Trong trường hợp
, công thức (1.12) trở thành:
f ′ = −f
9

(1.12)


(1.13)

1 1 1
− =
s′ s f ′

Các công thức (1.10 – 1.13) là những công thức cơ bản của hệ quang
học đồng trục.
IV. ĐỘ PHÓNG ĐẠI DÀI
Từ các công thức (1.8) và (1.9), ta có các công thức của độ phóng đại
dài cho bởi quang hệ đồng trục:
β

(1.14)

y′
f
x′

β= =− =−
y
x
f′

Nếu biểu diễn

theo s và

β

có:

, thì từ định lí Lagrange – Helmholtz ta

y′ nu
=
y n′u′

Nhưng

u s′
= ,
u′ s

Trong đó n và
ứng,

s′

β>0

nên:

n′

, tức là y và

là y ngược dấu với

y′

(1.15)

y′ ns′
β= =
y n′s

là chiết suất của môi trường trước và sau hệ tương
y′

cùng dấu, nên ảnh cùng chiều với vật;

β<0

, tức

, nên ảnh ngược chiều với vật.

Để dựng ảnh của một điểm nằm ngoài quang trục chính, ta chỉ cần

dựng hai trong ba tia sau đây:
a) Tia song song với quang
trục chính, ra khỏi quang hệ liên
hợp và nó đi qua tiêu điểm chính
thứ hai .
F′

10
Hình 1.7


b) Tia tới đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F, sau khi đi ra khỏi quang
hệ tia liên hợp với nó song song với quang trục chính.
c) Nếu môi trường trước và sau quang hệ có chiết suất như nhau thì tia
tới đi qua điểm chính thứ nhất H, sau khi ra khỏi quang hệ tia liên hợp với
nó sẽ đi qua điểm chính thứ hai
và song song với tia tới.
H′

V. GHÉP HAI QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC
Nếu hai hệ đồng trục được đặt hệ này sau hệ kia trên cùng một trục,
chúng sẽ tạo thành một hệ quang học đồng trục duy nhất. Nếu biết vị trí của
các tiêu điểm chính, các điểm chính của từng hệ và khoảng cách giữa các
hệ, ta có thể xác định được các vị trí các tiêu điểm chính của hệ lớn.
Giả sử ghép hai thấu kính mỏng có các tiêu cự
và vị trí
f1 , f1′, f 2 , f 2′

các điểm chính

H1 , H1′ , H 2 , H′2

thành một hệ có khoảng cách giữa các

thấu kính là d. Trong trường hợp này các điểm chính của mỗi thấu kính
trùng nhau;
trùng với ,
trùng với
, khoảng cách d là khoảng
H1

H1′ H 2

H′2

cách giữa các mặt phẳng chính, nghĩa là:

d = f1′ + ∆ − f 2

Đối với thấu kính trong không khí:
do đó :

n1 = n 2 = n 3 = 1; f1 = −f1′; f 2 = −f 2′ ,

d = f1′ + f 2′ + ∆

Bây giờ ta tìm tiêu cự và vị trí các điểm chính của hệ ghép. Có thể có
những cách tính khác nhau. Một trong những cách tính đó là áp dụng công
thức thấu kính mỏng lần lượt cho từng thấu kính khi vật ở xa vô cực. Ở đây
muốn giới thiệu một phương pháp tính khác.

Trước hết bằng cách dựng ảnh thông thường ta sẽ xác định được các
tiêu điểm chính F và
và các điểm chính H và
của hệ (hình 1.8).
F′
H′
Tia thứ nhất đi song song với trục chính, sau khi đi qua hệ 1 gặp hệ 2
tại K. Dựng trục phụ và ta vẽ được tia ló ra khỏi hệ 2. Kéo dài phương tia
tới thứ nhất gặp tia ló này tại . Từ
vẽ tia song song với trục chính đi
P′
P′
11


ngược trở lại, tia này
gặp hệ 1 tại M, sau
khi ló ra tại hệ 1 sẽ cắt
tia thứ nhất tại điểm P.
Rõ ràng P và
P′
là vật và ảnh tương
ứng có độ phóng đại +
1. Từ đó ta tìm được
vị trí các mặt phẳng
chính và các tiêu điểm
chính của hệ ghép.
Gọi
F′H′ = f ′, HF = f, F1′F2 = ∆.
Để tính

F1′H1Q

f′

Hình 1.8

, ta xét các tam giác đồng dạng:

F′HP

và

;
và
F1′F2C
′
′
F2 H 2 I

, ta có:
− f ′ = H′P

f 2′
f′
H′P f1′f 2′ f1′f 2′
= H′P 2 =
=
H′I 2
F2C H1Q ∆

∆

f ′f ′
f1′f 2′
⇔ f′ = − 1 2 = −
∆
d − f1′ − f 2′

(1.16)

Cũng vẽ hình và tính toán tương tự, ta có:
ff
f1′f 2′
⇔f = 1 2 =
∆
d − f1′ − f 2′

(1.17)

Vậy, độ tụ của hai thấu kính trong không khí bằng:
Φ = Φ1 + Φ 2 − dΦ1Φ 2

Đối với hệ gồm hai thấu kính dương (

Φ1 > 0, Φ 2 > 0

(1.18)
), độ tụ của hệ có

thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của d. Khi d = 0, nghĩa là hai thấu

kính ghép sát nhau, độ tụ của hệ bằng tổng độ tụ của hai thấu kính tạo
thành hệ.

12


Φ = Φ1 + Φ 2

Vị trí các điểm chính H (

s H = HH 1

) và

(
) được xác
H′ s H′ = H′2 H
1

định từ hình 1.7:
−s H = f − x F′ − f1

x F′

và

s H′ = −f ′ + x F′ + f 2′

được tính từ công thức Newton áp dụng cho thấu kính thứ hai:

( −∆ ) .x F′ = f 2f 2′
f1f1′
∆

F2′ F′ = x F′ = −
Tính toán tương tự, ta có:

FF1 = x F =
Thay các giá trị của

x F , x F′ , f, f ′

f1f1′
∆

.

và chú ý rằng

f′
s H = −d 1
∆
f′
s H′ = d 2
∆
Từ (1.16) ta có:

∆=−

f1′ f 2′

f′

d = ∆ − f 2 + f1′

ta được:
(1.19)

(1.20)

(1.21)

Thay (1.21) vào (1.19), ta có:
f′
Φ
sH = d = d 2
Φ
f 2′
f′
Φ
s H ′ = −d = − d 1
Φ
f1′

13

(1.22)

(1.23)

VI. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC
1. Giải bài tập quang hệ đồng trục lần lượt cho từng thấu kính
1.1 Phương pháp giải
Giải bài toán hệ quang học nói chung (hệ thấu kính nói riêng) bao
gồm hai bước:
- Bước 1: Lập sơ đồ tạo ảnh.
- Bước 2: Áp dụng các công thức liên quan cho mỗi khâu của sơ đồ để
giải bài toán theo yêu cầu của đề (quy ước dấu đối với vật ở trước thấu kính
thì d > 0 và ở sau thấu kính thì d < 0, d là khoảng cách từ vật tới thấu kính.
Đối với khoảng cách
từ ảnh tới thấu kính thì quy ước ngược lại so với
d'
vật).
+ Công thức thấu kính:

1 + 1 = 1.
d d' f

+ Xác định số phóng đại ảnh:
k=

d'
d

khệ = k1.k2 =

d1 ' d 2 '
.
.
d1 d 2

+ Độ tụ của hệ 2 thấu kính mỏng đồng trục ghép sát:
D = D1 + D2 hay

1 1 1
= +
f f1 f 2

. Đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi hệ 2

thấu kính ghép là đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi thấu kính tương đương.
+ Nguyên lý thuận nghịch của sự truyền ánh sáng: Nếu ánh sáng
truyền đi theo đường nào thì cũng truyền ngược lại theo đường đó (nếu ánh
sáng từ môi trường (1) sang môi trường (2) theo đường
thì cũng
AIA′
truyền theo chiều

A′IA

từ môi trường (2) sang môi trường (1).

Bước 1:
a. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhau một đoạn l:

14


Giả sử vật thật AB đặt trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L 1
và L2 trước L1,cho ảnh

, ảnh này coi là vật đối với L2.
′
′
A1 B1
Nếu

Nếu

A1′B1′

ở trước L2 thì đó là vật thật.

A1′B1′

ở sau L2 thì đó là vật ảo.

Thấu kính L2 cho ảnh

A 2′B2′

của vật

A1′B1′

. Vậy

A 2′B2′

là ảnh cuối

cùng qua hệ.
Vậy

A 2′B2′

là ảnh sau cùng của AB qua hệ thấu kính.

Tóm tắt theo sơ đồ.
b. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép sát nhau:
Với hệ này có 2 cách:
+ Lập sơ đồ như hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhưng khoảng
cách L1 đến L2 là l = 0.
+ Hoặc dùng thấu kính tương đương là tiện lợi:
Giả sử vật thật AB trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L 1 và
L2 ghép sát tương tự mục (a) ta có sơ đồ tạo ảnh
AB

d1

L1

d1′

L2

Ad1′2B1′ d′2

A′2 B′2

Khi áp dụng công thức về thấu kính để giải chỉ cần nhớ l là khoảng

cách 2 thấu kính luôn bằng 0:
+ d2 = 0 => d2 =
.
d1′
−d1′
Ta có:

15

1 1 1
+ =
d1 d1′ f1

và:

1
1
1
+
=
d 2 d'2 f 2


Mà ta luôn có d2 =

− d1′

=>

Suy ra:

1
1 1
+
= .
d1 d'1 f1

1 1 1
1
 d' + d' = f + f
 1
2
1
1

1 + 1 =1

 d1 d'2 f

+ Nhận thấy 2 thấu kính f1, f2 ghép sát tương ứng với hệ thấu kính có
tiêu cự f:
hay D1 + D2 = D.
1 1 1
+ =
f1 f 2 f
L
AB
A′2 B′2
Lúc này ta có sơ đồ tạo ảnh
d1

Bước 2: Thực hiện tính toán.

d1′

Nội dung khảo sát của 1 hệ thấu kính rất đa dạng, nhưng nhìn chung
thường gặp 3 yêu cầu chính:
(1). Xác định các đặc điểm của ảnh sau cùng.
(2). Xác định các đặc điểm cấu tạo của hệ.
(3). Tìm điều kiện để hệ cho ảnh ảo, ảnh thật, 2 ảnh, 1 ảnh duy nhất.
Để giải đáp được 3 yêu cầu này, cần lưu ý đến 3 kết quả sau:
+ Ảnh

Khi

A1′B1′

A1′B1′

qua L1 được xác định bởi

d1′

.

đóng vai trò vật với L2 thì đặc điểm của nó được xác định

bởi d2, trong mọi trường hợp, ta luôn có

d1′

+ d2 = l; hay d2 = l –

khoảng cách giữa 2 thấu kính).
+ Số phóng đại ảnh sau cùng được xác định bởi:
16

d1′

(l là


k=

A′2 B′2 A′2 B′2 A1′B′1
d′ d′
=
.
= k 2 .k1 = 2 . 1
d 2 d1
AB
A1′B1′ AB

+ Hệ vô tiêu: ảnh cuối cùng

A 2′B2′

có độ lớn không đổi khi ta di

chuyển vật lại gần thấu kính: l = f 1 + f2 (chú ý: f1, f2 có giá trị đại số: dương

với thấu kính hội tụ, âm với thấu kính phân kỳ).
2. Bài tập minh họa
Bài 1: Trước thấu kính hội tụ (L1) (tiêu cự f1 = 10cm), có vật sáng AB
đặt vuông góc với trục chính, cách thấu kính đoạn d1 = 40cm.
a. Xác định ảnh A1B1 của AB tạo bởi (L1) . Vẽ đường đi của chùm tia
sáng từ B.
b. Sau (L1) và cách (L1) đoạn a = 4cm, đặt thêm thấu kính phân kì (L 2)
có tụ số D2 = - 10dp sao cho hai trục chính trùng nhau.
Xác định ảnh
của vật tạo bởi hệ hai thấu kính.
A′B′
c. Bây giờ AB ở rất xa hệ hai thấu kính. Người ta muốn thay hệ hai
thấu kính (L1, L2) bằng một thấu kính hội tụ (L) sao cho ảnh của AB tạo bởi
hệ (L1, L2) và bởi (L) có vị trí trùng nhau, độ lớn bằng nhau.
Tính tiêu cự của (L) và định vị trí của (L) đối với (L2).
Bài giải:
a. Xác định ảnh A1B1
Ta có:
d1 = 400cm >> f1 cm.
Có thể coi là vật AB ở vô cực so với (L 1). Ảnh A1B1được tạo ra tại tiêu
diện ảnh.
.
d1′ = 10cm
Do đó:
k1 = −

d1′
1
= − = −0,025
d1

40

Ảnh thật ngược chiều bằng 1/40 vật và cách thấu kính 10 cm.
Đường đi của chùm tia sáng từ B:

17


Hình 2.1

b. Xác định ảnh

A′B′

:

Hình 2.2

Sơ đồ tạo ảnh:
Theo trên ta có:
d1′ = 10cm.
18

d1′ = 10cm.


Do đó:
d 2 = a − d1′ = −6cm;
f2 =

1
= −0,1m = −10cm
D2

d 2′ =

Ảnh

A′B′

d 2f 2
( −6 ) ( −10 ) = 60 = 15cm.
=
d 2 − f 2 ( −6 ) − ( −10 )
4

là ảnh thật, cách thấu kính (L2) một đoạn 15cm.

Ta cũng có:
A′B′ A′B′ A1B1
=
.
= k 2 .k1
AB A1B1 AB
 d ′  d ′   15  10
=  − 2 ÷ − 1 ÷ =  ÷.
 d 2 ÷ d1 ÷  −6  400




1
=−
16
Ảnh ngược chiều với vật và bằng

1
16

lần vật.

c. Tiêu cự và vị trí của thấu kính tương đương:
AB
Vì

A′′B′′ = A′B′

nên

A′′B′′

(L1)

A′′B′′

cũng ngược chiều với vật. (L) phải là thấu

kính hội tụ.
Vì AB ở rất xa ta có:
A′′B′′ = f. tan α ≈ f. α

( góc trông của AB)

α

Đối với hệ (L1 + L2):
A′B′
d′
= k 2 = 2 ; A1B1 = f1. tan α ≈ f1 . α
A1B1
d2
⇒ A′B′ =

Theo đề ta suy ra:
19

d′2
.f1. α.
d2


f=

d′2
15
.f1 = .10 = 25 ( cm )
d2
6

Vị trí của (L) được xác định bởi:
O 2O = f − d 2′ = 25 − 15 = 10cm.

Bài 2: Một vật phẳng nhỏ AB đặt trên trục chính của một thấu kính
hội tụ (O2) có tiêu cự f2 = 15cm và cách thấu kính 49cm. Đặt xen vào giữa
vật và thấu kính (O2) một thấu kính (O1). Khi khoảng cách giữa hai thấu
kính là 28cm, người ta thu được ảnh cuối cùng gấp 3 lần vật.
a. Định tiêu cự f1 của thấu kính (O1).
b. Vẽ đường đi của chùm tia sáng từ một điểm vật qua hệ hai thấu
kính.
Bài giải:
a. Sơ đồ tạo ảnh:
AB

(L1)

A1B1

 d1

d′1

(L2)

d 2

d′2

Hình 2.4

Xét lần lượt mỗi ảnh, ta có:
Với A1B1:

d1 = 49 – 28 = 21 (cm)
21f1
d′1 =
21 − f1
20

A′B′


f1
f1
k1 =
=
f1 − d1 f1 − 21

Với

A′B′

:

d2 = l -

k2 =

d1′

= 28 -

.

21f1
21 − f1

=

588 − 49f1
21 − f1

15 ( 21 − f1 )
f2
15
=
=
f 2 − d 2 15 − 588 − 49f1 34f1 − 273
21 − f1

Theo đề:
k=

A′B′ A′B′ A1B1
=
.
= k 2 . k 1 = 3.
AB A1B1 AB

Suy ra:
15 f1
= 3 ⇒ 5 f1 = 34f1 − 273 .
34f1 − 273

Ta có hai trường hợp:
273

5f
=
273
−
34f
⇒
f
=
= 7cm
11
11
11

39

5f = 34f − 273 ⇒ f = 273 ≈ 9,4cm
12
12
 12
29
Vậy O1 là thấu kính hội tụ có tiêu cự 7cm hoặc 9,4cm.
b. Đường đi của chùm tia sáng:

21

.

Hình 2.5

Bài 3: Cho hệ ba thấu kính (L1), (L2), (L3) cùng trục chính, được sắp
xếp như hình vẽ. Vật sáng AB vuông góc với trục chính, ở trước (L 1) và chỉ
tịnh tiến dọc theo trục chính. Hai thấu kính (L1) và (L3) được giữ cố định tại
hai vị trí O1 và O3 cách nhau 70 cm . Thấu kính (L 2) chỉ tịnh tiến trong
khoảng O1O3. Các khoảng O1M = 45cm, O1N = 24cm.
a. Đầu tiên vật AB nằm
trên điểm M, thấu kính (L2)
đặt tại vị trí cách (L1) khoảng
O1O2 = 36cm, khi có ảnh
cuối của vật AB cho bởi hệ ở
sau (L3) và cách (L3) một
khoảng bằng 255cm. Trong
trường hợp này nếu bỏ (L2)
đi thì ảnh cuối không có gì
thay đổi và vẫn ở vị trí cũ.
Nếu không bỏ (L2) mà vẫn
dịch chuyển nó từ vị trí đã
cho sang phải 10cm, thì ảnh
cuối cùng ra vô cực. Tìm các
tiêu cự f1, f2,f3, của các thấu kính.

Hình 2.6

b. Tìm các vị trí của (L 2) trong khoảng O1O3 mà khi đặt (L2) cố định
tại các vị trí đó thì ảnh cuối cùng có độ lớn luôn luôn không thay đổi khi ta
tịnh tiến vật AB ở trước (L1).

c. Bỏ (L3) đi, để (L2) sau (L1) cách (L1) một khoảng bằng 9cm. Bây giờ
giả sử tiêu cự của (L 1) có thể được lựa chọn. Hỏi cần phải chọn tiêu cự của
22


(L1) như thế nào để khi vật AB chỉ tịnh tiến trong khoảng MN thì ảnh cuối
cho bởi hệ (L1) và (L2) luôn luôn là ảnh thật.
Bài giải:
a. Theo đề ta có:
- Sơ đồ tạo ảnh với hệ ba thấu kính:
AB

(L1)

A1B1

 d1

d′1

(L2)

 d1

d′1

A2B2

(L3)

A′1B′1

d 31

d′31

- Sơ đồ tạo ảnh với hệ hai thấu kính:
(L1)

AB

A1B1

 d1

d′1
Vì:

A′2 B′2 = A1′B1′

d′32 = d′31

Vậy:

ta suy ra: d32 = d31

(L3)

d 32


d′32

A′2 B′2

.

⇒ d′2 = d 2 = 0.

d 2 = l1 − d1′ = 0 ⇒ d1′ = l1 = O1O 2 = 36cm.
d 3 = l3 − d′3
⇒ d 3 = l 2 = O 2O3 = 34cm.

Do đó ta có:
d1d1′
45.36

f
=
=
= 20cm
1

′
d
+
d
45
+
36


1
1

f = d 3d′3 = 34.255 = 30cm
3

d 3 + d′3 34 + 255


Khi dịch (L2) theo đề ta có sơ đồ tạo ảnh bởi (L2) (vị trí mới) và (L3)
như sau:
A1B1

(L2)

 d1

d′1
23

A2B2

(L3)

d 33

d′33

A′3B′3 ( ∞ )

.


Vì

d′33 → ∞ ⇒ d 33 = f 3 ⇒ l′2 − d′2 = f 3.

Do đó:

f2 =

10 ( −6 )
d 2d′2
=
= −15cm.
d 2 + d′2 34 − 6

Hình 2.7

b. Vị trí của L2:
- Khi tịnh tiến vật trước (L 1) tia tới từ B song song từ trục chính không
đổi. Có thể coi là tia này do một điểm vật ở vô cực trên trục chính phát ra.
- Nếu ảnh sau cùng có độ lớn không đổi, ta có tia ló ra khỏi (L 1) song
song với trục chính cố định. Có thể coi tia này tạo điểm ảnh ở vô cực trên
trục chính. Hai tia này tương ứng với nhau qua hệ thấu kính.

24


Hình 2.8

Ta có sơ đồ tạo ảnh:

A

(L1)

 d1

d′1

(L2)

A1

d 2

d′2

A2

(L3)

d 3

d′3

A′

d1 → ∞ ⇒ d1′ = f1

d′3 → ∞ ⇒ d 3 = f 3.
Suy ra:

d 2 = x − d1′ = x − f1 = x − 20 ( x = O1O 2 )

d′2 = ( 70 − x ) − d 3 = 40 − x
- Vậy trong sự tạo ảnh bởi (L2) ta có:
f2 =

d 2d′2
( x − 20 ) ( 40 − x ) = −15
⇒
d 2 + d′2
x − 20 + 40 − x

⇒ x 2 − 60x + 500 = 0.

- Giải ta có: x1 = 10; x2 =50.

25