Chuyên đề GTMT Casio570MS-3 : Dạng toán Dãy số FIBONACCI

Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà
Chuyên đề 3 : TÍNH SỐ HẠNG CỦA DÃY FIBONACCI SUY RỘNG
I. DÃY FIBONACCI :
1). Dạng tổng quát : u
1
= 1 , u
2
= 1 , u
n+1
= u
n
+ u
n - 1

Số hạng u
n
gọi là số Fibonacci .
2). Quy trình bấm phím :
a). Máy Fx- 570 MS :
Cách 1 :
Quy trình 1 :
Bấm phím 1 1
Và lặp lại dãy phím
Giải thích :
Phím 1 đưa u
2
= 1 vào ô nhớ
Phím 1 cộng u
2
= 1 với u
1

= 1 được u
3
= 2 và
ghi vào ô nhớ
Phím cộng u
3
= 2 với u
2
= 1
được u
4
= u
3
+ u
2
= 3 ghi vào ô nhớ
Phím cộng u
4
= 3 với u
3
= 2
trong , được u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào ô nhớ
Tiếp tục quy trình trên , ta sử dụng hai ô nhớ và để lần lượt
tính các giá trò u

n
.
Quy trình 2 :
Bấm phím 1 1
lặp lại phím
Giải thích : Phím lấy lại quy trình tính
và tính tiếp nhờ phím
Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trò
A = 1 1
B = 1 1
D = 2 2
Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn
Du
Trang 1
A
+
SHIFT
STO
BSHIFT
STO
+
BSHIFT
STO
+
ASHIFT
STO
ALPHA A
ALPHA B
m
ASHIFT

STO
BSHIFT
STO
DSHIFT
STO
ASHIFT
STO
A
+
BSHIFT
STO
B
+
ASHIFT
STO
ALPHA A
A
+
BSHIFT
STO
ALPHA B
m
B
B
A
B
A
+
SHIFT
STO

BSHIFT
STO
+
BSHIFT
STO
+
ASHIFT
STO
ALPHA A ALPHA B
m
∆
SHIFT COPY
=
∆
SHIFT COPY
=
Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A
b). Máy Calculator trong Windows :
Bấm phím 1
Và lặp lại dãy phím
3). Nghiệm tổng quát :

n n
n
1 1 5 1 5
u
2 2
5
 

   
+ −
 ÷
= −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Quy trình bấm phím máy Fx-570 MS :
1 5 2 1 5
2 5
Bấm máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các số .
Máy Casio fx - 570MS ta chỉ cần khai báo công thức một lần , sau đó mỗi lần
bấm phím chỉ cần thay X bằng một trong các số tự nhiên từ 1 đến 49 , ta
sẽ được các u
n
tương ứng .
Tính theo công thức nghiệm tổng quát ta chỉ được số gần đúng , nếu không
chú ý có thể dẫn đến đáp số sai .
Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu là u
1
=1 và u
2
=1. Có thể
bắt đầu từ hai số hạng liên tiếp bất kỳ của dãy Fibonacci .
* Tìm số hạng thứ n và tính tổng thứ n
A = 1 1
B = 1 1

C = 2 2 ( Tổng 2 số hạng đầu )
D = 2 2 ( Biến đếm )
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : C = C + A
D = D + 1 : B = B + A : C = C + B
II/- DÃY LUCAS :
1- Dạng tổng quát :
Dãy Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonacci ; các số hạng của nó tuân
theo quy luật : u
1
= a , u
2
= b ; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
với mọi n ≥ 2, trong đó a và b là hai
số nào đó .
Với a=b=1 thì trở thành dãy Fibonacci .
Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn
Du
Trang 2
M
+
+
MR
M
+
=

( ( (
+
√
)
÷
) ^ ALPHA X - ( ( -
√
)
÷
)
^ ALPHA X )
÷
√
CALC
CALC
ASHIFT
STO
BSHIFT
STO
DSHIFT
STO
CSHIFT
STO
Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà
2- Quy trình bấm phím :
Máy Fx - 570 MS :
Cách 1 :
Quy trình 1 :
Bấm phím
b a

Và lặp lại dãy phím
Quy trình 2 :
b a
lặp lại phím
Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trò
A = a a
B = b b
D = 2 2
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A
Áp dụng : Tính u
35
= ( 20633239)
Biết u
1
= 1 và u
2
= 3 , u
n+1
= u
n
+ u
n-1
( n ≥ 2 )
Gán A = 1 1 SHIFT STO A
B = 3 3 SHIFT STO B
D = 2 2 SHIFT STO D
Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A
III/- DÃY FIBONACCI SUY RỘNG :
1- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :
u

1
= a , u
2
= b ; u
n+1
= Mu
n
+ Nu
n-1
với mọi n ≥ 2 .
* Quy trình sử dụng máy Casio Fx-570 MS :
Cách 1 :
Quy trình 1 :
Bấm phím
b M N a
Và lặp lại dãy phím
M N
M N
Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn
Du
Trang 3
SHIFT
STO
A +
SHIFT
STO
B
+
A
+

SHIFT
STO
BSHIFT
STO
ALPHA A ALPHA B
m
SHIFT
STO
A x
SHIFT
STO
B
+
x
x
SHIFT
STO
ALPHA
A
+
x
A
x
+
BSHIFT
STO
ALPHA B
x
ASHIFT
STO

BSHIFT
STO
DSHIFT
STO
SHIFT
STO
A +
SHIFT
STO
B
+
A
+
SHIFT
STO
BSHIFT
STO
ALPHA A ALPHA B
m
∆
SHIFT COPY
=
Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà
Giải thích :
b M N a
Đưa b = u
2
vào ô nhớ , tính u
3
= Mu

2
+ Nu
1
và đẩy u
3
vào ô nhớ
M N
Tính u
4
= Mu
3
+ Nu
2
và đưa vào ô nhớ . Như vậy , ta có u
4
trên màn
hình và trong ô nhớ , còn trong ô nhớ là u
3
.
M N
Ta có u
5
trên màn hình và trong ô nhớ
Tiếp tục vòng lặp ta được các số hạng của u
n+1
= Mu
n
+ Nu
n-1
Quy trình 2 :

Bấm phím
b M N a

M N
M N
lặp lại phím
Cách 2 :
A = a a
B = b b
D = 2 2
Công thức : D = D + 1 : A = MB + NA : D = D + 1 : B = MA + NB
* Bài tập áp dụng : Tính u
17
= ( 8346193634 )
Với u
1
= 2 và u
2
= 3 , u
n+1
= 4 u
n
+ u
n -1
∀n ≥ 2
Gán giá trò : A = 2 2 SHIFT STO A
B = 3 3 SHIFT STO B
D = 2 2 SHIFT STO D
Công thức : D = D + 1 : A = 4B + A : D = D + 1 : B = 4A + B
Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn

Du
Trang 4
ASHIFT
STO
BSHIFT
STO
DSHIFT
STO
SHIFT
STO
A x
SHIFT
STO
B
+
x
A
B
x
SHIFT
STO
A
+ x
A
ALPHA
A
A B
x
+
BSHIFT

STO
ALPHA B
x
B
SHIFT
STO
A x
SHIFT
STO
B
+
x
x
SHIFT
STO
ALPHA
A
+ x
A
x
+
BSHIFT
STO
ALPHA B
x
∆
SHIFT COPY
=
Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà
2- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :

u
1
= a , u
2
= b ; u
n+1
= u
n
2
+ u
n-1
2
với mọi n ≥ 2 .
* Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS :
Cách 1 :
Bấm phím
b a
Và lặp lại dãy phím


Cách 2 :
A = a a
B = b b
D = 2 2
Công thức : D = D + 1 : A = A
2
+ B
2
: D = D + 1 : B = B
2

+ A
2
3- Dãy Fibonacci suy rộng dạng :
u
1
= a , u
2
= b ; u
n+1
= F
1
( u
n
) +F
2
( u
n-1
) với mọi n ≥ 2 .
* Quy trình sử dụng máy Casio fx-500 A :
Khai báo b
Tính F
1
(b) F2(a)
ta được u
2
= b trong ô nhớ và u
3
= F
1
( u

2
) +F
2
( u
1
) = F
1
( b

) +F
2
( a ) trên
màn hình .
Và lặp lại dãy phím :
* Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS :
Bấm phím
b
Và lặp lại dãy phím

4- Dãy truy hồi tổng quát :
u
1
= a , u
2
= b ; u
n+1
=
∑
=
k

i
ii
uF
1
)(
với mọi n ≥ k , trong đó u
1
,u
2
, ....u
k
cho
trước . F
i
(x) , i = 1....n là các biểu thức toán học của biến số x .
Khi k ≥ 3 ta khó có thể sử dụng Casio Fx- 500 A được . Tuy nhiên ta có thể
sử dụng Casio Fx- 570 MS để tính dãy truy hồi tổng quát trên ( với k≤ 10 )
Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn
Du
Trang 5
SHIFT
STO
A x
2
SHIFT
STO
B
x
2
+

F
2
F
2
+
SHIFT
STO
BSHIFT
STO
ALPHA
A
ALPHA B
+
F
1
A
F
1
SHIFT
STO
A F
1
SHIFT
STO
B
F
1
(a)
+
Min

+
=
X ↔MSHIFT F
1
MR
F
2
+ =
x
2
x
2
+
SHIFT
STO
BSHIFT
STO
ALPHA
A
ALPHA B
+ x
2
A
x
2
ASHIFT
STO
BSHIFT
STO
DSHIFT

STO