Chủ đề: Đường thẳng song song với mặt phẳng (Hình học 11 - Chương II)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN  QUAN HỆ SONG SONG

§3 Đường thẳng song song với mặt phẳng

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tơ Ngọc Vân  Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


chủ đề 3

đờng thẳng song song
với mặt phẳng

A. Tóm tắt lí thuyết
1. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng

Cho đờng thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đờng
thẳng và mặt phẳng ta có ba trờng hợp sau:

a. Đờng thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là:
a (P) = a // (P).
b. Đờng thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là:
a (P) = {A} A} } a cắt (P) tại A} .
c. Đờng thẳng a và mặt phẳng (P) có 2 điểm chung phân biệt, tức là:
a (P) = {A} A} , B} }  a  (P).
a
a
A}
A} a B}
P
P
P
a(P) =   a // (P)

a(P) = {A} A} }  a c¾t (P)

a(P)={A} A} , B} } a(P)

Định nghĩa: Một đờng thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu
chúng không có điểm chung.
2. điều kiện để một đờng thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đờng thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P)
và song song với một đờng thẳng nào đó trong (P)
thì a song song với (P).
Tức là, với a (P) thì nÕu:
a // d  (P)  a // (P).

a

d

P

3. tÝnh chất

Định lí 2: Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt
phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt
theo một giao tuyến song song víi a.
Q
Tøc lµ, nÕu:
a //( P )

 a // d.
a  (Q )  ( P ) d

a

HƯ qu¶ 1: Nếu một đờng thẳng song song với một mặt phẳng
P thì nódsong song
với một đờng thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đờng thẳng thì
giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đờng thẳng đó.
Tức là:
Q
d // a.
Định lí 3: Nếu a và b là hai đờng thẳng chéo nhau thì qua a dcó một và chỉ một
a
mặt phẳng song song với b.
( P ) ( Q )


( P ) / / a
( Q ) // a


d

P
2


B. phơng pháp giải toán
Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt
phẳng
Phơng pháp áp dụng
Để chứng minh đờng thẳng d song song với mặt phẳng (P) ta
chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đờng thẳng
a chứa trong (P).

Chú ý: Nếu a không có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chøa d vµ nhËn
a lµm giao tun cđa (P) vµ (Q).

Cho tø diƯn A} B} CD. Gäi G lµ träng tâm A} B} D và M là một điểm
trên cạnh B} C sao cho MB} = 2MC. Chøng minh MG song song với
mặt phẳng (A} CD).
C
Giải
M
Gọi N là trung ®iĨm A} D, khi ®ã:
VÝ dơ 1:

B} G
= 2 = B} M
GN
MC

B}

A}
 MG // CN  (A} CD)
G
 MG // (A} CD).
N
VÝ dơ 2: Cho hai h×nh bình hành A} B} CD và A} B} EF không cùng nằm trong
D
một mặt phẳng.
a. Gọi O và O lần lợt là tâm của A} B} CD và A} B} EF. Chứng minh
OO song song với các mặt phẳng (A} DF) vµ (B} CE).
b. M, N theo thø tù lµ trọng tâm của các tam giác A} B} D và A} B} F.
Chøng minh MN song song víi (CDEF).
 Gi¶i
a.
Trong B} DF có OO' là đờng trung bình nên:
E
OO' // DF  (A} DF)  OO' // (A} DF).
E
Trong A} CE có OO' là đờng trung bình nên:
F
OO' // CE  (B} CE)  OO' // (B} CE).
b.

Gäi I lµ trung ®iĨm cđa A} B} , ta cã:
O
N

'

IM IN 1


ID
IE 3

I

C

B}
O

M
A}
D
VÝ dơ 3: Cho tø diƯn A} B} CD. Gäi G1 vµ G2 theo thø tù lµ träng tâm A} B} D
và A} CD. Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (A} B} C)
và (B} CD).
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Gäi M, N, I, K theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa A} B} , A} C, CD, B} D.
A}
Trong A} B} D, ta cã ngay:

DG1 2
A} G 1 2
 .
 vµ
N
M
A} K
3
DM 3
Trong A} CD, ta cã ngay:
G
G2
B} 1
C

 MN // DF  (CEF)  MN // (CEF).

K

I
D

3


DG 2 2
A} G 2 2
.
và
A} I

3
DN
3
Từ đó, ta lần lợt có:
A} G1
A} G 2 2
=
G1G2 // KI  (B} CD)  G1G2 // (B} CD).
A} K
A} I
3
DG 1
DG 2 2
=
  G1G2 // MN  (A} B} C)  G1G2 // (A} B} C).
DN
3
DM
C¸ch 2: Gọi E là trung điểm của A} D.
A}
Trong A} B} D, ta cã ngay:
B} G1 2
E
 .
G1
B} E
3
Trong A} CD, ta cã ngay:
B}
G2

CG 2 2
.

CE
3
Tõ ®ã, ta cã:
C
CG 2 2
B} G 1
=
  G1G2 // B} C
B} E
CE
3
V× B} C thuộc (B} CD) và (A} B} C) nên G1G2 // (B} CD) vµ G1G2 // (A} B} C).
VÝ dụ 4:

D

Cho chóp S.A} B} CD có đáy A} B} CD là hình bình hành. Gọi M, N lần
lợt là trung điểm các cạnh A} B} , CD. Gọi P là trung điểm của SA} .
a. Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SB} C) và (SA} D).
b. Chøng minh r»ng SB} song song víi (MNP).
c. Chøng minh r»ng SC song song víi (MNP).
d. Gäi G1 vµ G2 theo thứ tự là trọng tâm A} B} C vµ SB} C. Chøng
minh G1G2 song song víi (SA} D).

 Giải
a. Trong hình bình hành A} B} CD, ta có MN là đờng trung bình, do đó:
MN // B} C  (SB} C)  MN // (SB} C).

S
MN // A} D  (SA} D)  MN // (SA} D).
b. Trong SA} B} , ta có MP là đờng trung bình, do ®ã:
Q
SB} // MP  (MNP)  SB} // (MNP).
P
D N
C
c. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
x
C¸ch 1: Ta cã:
O
A}  KxM// A} D B} // MN.
vµ
 A} D  ( SA} D )

 A} D // MN

( SA} D )  ( MN P )

MN

 ( MN P )

 Px

Gi¶ sư Px cắt SD tại Q, suy ra Q là trung điểm SD.
Trong SCD, ta có NQ là đờng trung bình, do ®ã:
SC // NQ  (MNP)  SC // (MNP).
C¸ch 2: Gọi O là trung điểm MN, suy ra O là trung điểm A} C.

Trong SA} C, ta có OP là ®êng trung b×nh, do ®ã:
SC // OP  (MNP)  SC // (MNP).
d. Gọi K là trung điểm SB} . Ta cã:
4


CG1 2
CG 2 2
và

CK
3
CM
3
G1G2 // MK.
(1)
Mặt khác, trong SA} B} , ta có MK là đờng trung
bình, do ®ã:
MK // SA} .
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
G1G2 // SA}  (SA} D)  G1G2 // (SA} D).
VÝ dơ 5:

S
KG

1

D

G2
A}

C

B}

M

Cho tø diƯn A} B} CD. Gäi I, J là hai điểm di động lần lợt trên các
cạnh A} D, B} C sao cho luôn có

IA}
JB}

.
ID JC

a. Chøng minh r»ng IJ lu«n song song víi một mặt phẳng cố định.
b. Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trớc (tức


điểm M tho¶ IM
k . MJ) .

 Gi¶i
a. Dùng JH // A} B} , H  A} C.
NhËn xÐt r»ng:
HA}

JB}
IA}
=
 HI // CD.

HC
JC
ID

A}

(1)

I

F

(2) B}

H

P
M K

D

Q

E
Gäi  là mặt phẳng chứa A} B} và song song với

J
CD, suy ra là mặt phẳng cố định và (HIJ) // .
b. Giải sử (HIJ) cắt B} D tại K, dễ thấy HIKJ là hình bình hành.CQua M kẻ PQ
song song víi A} B} (P  HI vµ Q  JK). Ta cã:
A} P  B} Q = E vµ EM  A} B} = F.
NhËn xÐt rằng:

ED
PI
MI
= k E là điểm chia CD theo tỉ số k.


EC PH MJ
FA}
MP
MI


= k F là điểm chia A} B} theo tØ sè k.
FB}
MQ MJ

VËy, tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k là đoạn EF với E, F lần l ợt là
điểm chia CD và A} B} theo tỉ số k.

Vấn đề 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Thiết diện song song với một đờng thẳng cho
trớc
Phơng pháp áp dụng

1. Tìm phơng giao tuyến bằng định lí 2 hoặc định lí 3.
2. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song
với một hoặc hai đờng thẳng cho trớc theo phơng pháp đà biết.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) và hai đờng thẳng song song a, b. Chøng tá
r»ng nÕu (P) c¾t a thì (P) cũng cắt b.
Giải
5


Vì a song song với b nên a và b đồng phẳng.
Giả sử:
a (P) = {A} M} (a, b) (P) = Mx.
Trong mặt phẳng (a, b) vì a song song với b và a cắt Mx tại M nên b cũng sẽ
cắt Mx tại N.
Vậy, ta đợc b  (P) = {A} N}.



NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trên, chúng ta đà sử dụng kết quả của tính chất
thừa nhận 5 (Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đà biết của
hình học phẳng đều đúng), cụ thể "Trong mặt phẳng cho a //
b thì nếu c cắt a cũng sẽ cắt b".
Ví dụ 2: (B} ài 28/tr 60 Sgk): Cho hình chóp S.A} B} CD có đáy là hình bình
hành. Xác định thiết diện hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua
trung điểm M của cạnh A} B} , song song víi B} D vµ SA} .
Giải
S
Thiết diện đợc xác bằng cách:
Trong mặt phẳng (A} B} CD) kỴ Mx song song víi
Q

R
B} D, Mx cắt A} C và A} D theo thứ tự tại I và N.
P
Trong mặt phẳng (SA} B} ) kẻ My song song với
SA} , My cắt SB} tại R.
A} M
B}
N
Trong mặt phẳng (SA} C) kẻ Iz song song với
I
O
SA} , Iz cắt SC tại Q.
D
C
Trong mặt phẳng (SA} D) kẻ Nt song song với SA} , Nt cắt SD tại P.
Khi đó, ngũ giác MNPQR là thiết diện cần dựng.
Ví dụ 3:

(B} ài 26/tr 59  Sgk): Cho tø diÖn A} B} CD. Cã thể hay không cắt tứ
diện bằng một mặt phẳng để:
a. Thiết diện là hình thang ?
b. Thiết diện là hình bình hành ?
c. Thiết diện là hình thoi ?

Giải
a.
Thiết diện có thể là hình thang, cụ thể nếu mặt phẳng chứa MN (với M
A} B} và N  A} C) vµ song song víi A} D.
A}
Khi đó, thiết diện đợc xác định nh sau:

Trong (A} B} D) kẻ Mx song song với A} D và cắt
M
N
B} D tại F.
Trong (A} CD) kẻ Ny song song với A} D và cắt
B}
C
B} D tại F.
Từ đó, suy ra:
E
F
NE // MF MNEF là hình thang.
b.
Thiết diện có thể là hình bình hành, cụ thể nếu mặt phẳng đi
D M (với M
A} B} ) song song với A} D và B} C.
Khi đó, thiết diện đợc xác định nh sau:
A}
Trong (A} B} C) kẻ Mt song song với B} C và
cắt A} C tại N.
N
M
Trong (A} B} D) kẻ Mx song song với A} D và
cắt B} D tại F.
B}
C
F
6

E

D


Trong (A} CD) kỴ Ny song song víi A} D và
cắt CD tại E.
Khi đó, từ cách dựng ta suy ra MF // NE.
(1)
Mặt khác, ba mặt phẳng (MNEF), (A} B} C) và (B} CD) cắt nhau theo ba giao
tuyến MN, B} C, EF và MN // B} C nên MN // EF.
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra thiÕt diƯn MNEF là hình bình hành.
c.
Thiết diện có thể là hình thoi, cụ thể với thiết diện đợc dựng nh trong câu
b). Khi đó, để MNEF là hình thoi điều kiện lµ:
MN = MF.
(*)
Ta cã:


MN
A} M
A} M.B} C
=
 MN =
.
B} C
A} B}
A} B}
MF
B} M

A} D.B} M
=
 MF =
.
A} D
A} B}
A} B}

(3)

(4)
Khi đó, điều kiện (*) trở thành:

A} M.B} C
A} D.B} M
A} M
A} D
=

=
.
A} B}
A} B}
B} M
B} C

Vậy, mặt phẳng (P) đi qua điểm M (với M  A} B} sao cho

A} M
A} D

=
) song
B} M
B} C

song với A} D và B} C sẽ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình thoi.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.A} B} CD đáy A} B} CD là hình thang có đáy lớn B} C = 2a,
A} D = a, A} B} = b. MỈt bên SA} D là tam giác đều. là mặt phẳng qua
điểm M trên cạnh A} B} và song song với SA} và B} C, cắt CD, SC, S B}
lần lợt tại N, P, Q.
a. Chứng minh MNPQ là hình thang cân.
b. Tính diện tích thiết diƯn theo a, b vµ x = A} M, (0 < x < b). Tính
giá trị lớn nhất của diện tích.
Giải
a. Ta lần lợt có:
MQ // SA} .
MN // PQ // B} C.
S
NhËn xÐt r»ng:
MQ
B} M B} Q
CN CP
NP
Q
P
=
=
=



SA} // 

SA}  ( SA} B} )
 MQ  ( SA} B} )  


 B} C // 

 MN  ( A} B} CD )  
 PQ  ( SB} C)  


SA}

B} A}

B} S

CD

CS

SD

SA} SD

MQ = NP.

Vậy, thiết diện MNPQ là hình thang cân.
b. Giả sử A} B} cắt CD tại I, ta có:

A} D

B}

C
M

A}
1
B} C A} D là đờng trung bình cña IB} C
 2
//

N
D

I
MN
IM = IA}  A} M = b  x  MN = a( b  x) .

B} C
IB}
IA}  A} B}
2b
b

do ®ã IA} = A} B} = b vµ:

7

Trong SB} C, ta cã:
Q

P

PQ SQ A} M x
2ax
.


  PQ =
B} C SB}
A} B}
b
b

Trong SA} B} , ta cã:

a(b  x)
MQ
B} M b  x
=
 MQ =
.

SA}
A} B}
b
b

N
<

Xét hình thang cân MNPQ, hạ đờng cao QH, ta cã:
 MN  PQ 
MQ 2  

2



2

3a ( b  x) .
2b

QH =

MQ 2  MH 2

SMNPQ =

2
1
(MN + PQ).QH = 3a (b + 3x)(b  x).
2
4b 2

Ta biÕn ®ỉi:

=

M

H

=

2
2
2
3a 2 .  4b   x 3  b    3a 2 . 4 b 2 = a .


3  

3
3
4b 2  3
4b 2
b
a2
b
Vậy (SMNPQ)Max =
, đạt đợc khi x 3
=0x=
.
3
3

3

SMNPQ =

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.A} B} C. Gọi K và N lần lợt là trung điểm của SA} và
B} C, M là điểm nằm giữa S và C.
a. Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua K, song song với A} B} và SC
thì đi qua điểm N.
b. Xác định thiết diện của hình chóp S.A} B} C khi cắt bởi mặt phẳng
(KMN). Chứng tỏ rằng KN chia thiết diện thành hai phần có
diện tích bằng nhau.

Giải
a. Gọi (P) là mặt phẳng qua K, song song với A} B} và SC, ta có:
Mặt phẳng (Q) chứa A} B} và song song với SC.
Mặt phẳng (R) chøa SC vµ song song víi A} B} .
Khi đó, ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với nhau sẽ chắn trên hai cắt
tuyến B} C và SA} các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ, cụ thể:
B} N CN B} C
B} N A} K

=1



A} K SK A} S
CN
SK

B} N = CN N là trung điểm B} C.
b. Ta xÐt hai trêng hỵp:
Trêng hỵp 1: NÕu M là trung điểm SC thì thiết
diện là hình bình hành MNPK với P là trung điểm
A} B} . Và hiển nhiên khi đó KN chia thiết diện thành
hai phần có diện tích bằng nhau.
Trờng hợp 2: Nếu M không trùng với trung điểm
SC thì ta thực hiện:
Nối KM cắt A} C tại D.
Nối ND cắt A} B} tại P.
Khi đó, tứ giác MNPK là thiết diện cÇn dùng.
Goi {A} O} = KN  MP, nhËn xÐt r»ng:
8

S
K

M

A}

C
P

N
B}

S
K

M

A}

C

O

P

N
B}

D


d(M, (P)) = d(S, (P)),
d(P, (P)) = d(A} , (P)),
d(S, (P)) = d(A} , (P)),
suy ra:
d(P, (P)) = d(M, (P)) OP = OM
do đó KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài tập tự giải
Bài tập 1. Cho hai đờng thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng .
a. Giả sử a // b và b // , có thể kết luận gì về vị trí tơng đối của a với .
b. Giả sử a //  vµ b // , cã thĨ kÕt ln gì về vị trí tơng đối của a với b.
Bài tập 2. Giả sử đờng thẳng a song song với mặt phẳng (P). HÃy nêu phơng
pháp để xác định đợc một đờng thẳng b thuộc (P) và song song với a.
Bµi tËp 3. Cho tø diƯn A} B} CD. gäi O, O lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam

giác A} B} C và A} B} D. Chứng minh rằng:
a. Điều kiện cần và đủ để OO song song víi (B} CD) lµ:
B} C A} B}  A} C

.
B} D A} B}  A} D

b. §iỊu kiện cần và đủ để OO song song với 2 mặt phẳng (B} CD) và (A} CD)
là B} C = B} D vµ A} C = A} D.
Bµi tËp 4. Cho hình chóp S.A} B} CD, đáy A} B} CD là hình bình hành tâm O. M là một
điểm di động trên SC, là mặt phẳng qua A} M và song song với B} D.
a. Chứng minh luôn chứa một đờng thẳng cố định.
b. Tìm các giao điểm H vµ K cđa a víi SB} , SD. Chøng minh rằng
SB} SD SC
có giá trị không đổi.


SH SK SM

c. ThiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi  cã thĨ là hình thang đợc không?
Bài tập 5. Cho hình chóp S.A} B} CD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đờng chéo A} C và B} C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua O,
song song với A} B} và SC. Hỏi thiết diện đó là hình gì ?
Bài tập 6. Cho hình chóp S.A} B} CD. M, N là hai điểm bất kì trên SB} và CD. là
mặt phẳng qua MN và song song với SC.
a. Tìm các giao tuyến của với các mặt phẳng (SB} C), (SCD) và (SA} C).
b. Xác định thiết diện của S.A} B} CD với mặt phẳng .
Bài tập 7. Cho tø diƯn ®Ịu A} B} CD. Gäi E là điểm nằm trong A} B} C. Mặt phẳng
qua E song song với các đờng thẳng A} C và B} D. Xác định thiết diện của A} B} CD
với mặt phẳng . Thiết diện là hình gì ?
Bài tập 8. Cho hình chóp S.A} B} CD, đáy A} B} CD là hình bình hành tâm O. M là

trung điểm của SB} . Xác định thiết diện của hình chóp S.A} B} CD cắt bởi mặt phẳng
trong 2 trờng hợp sau:
a. qua M và song song với SO vµ A} D.
b.  qua O vµ song song víi A} M và SC.
Bài tập 9. Cho tứ diện đều A} B} CD cạnh a. M và P là 2 điểm di động trên các
cạnh A} D và B} C, sao cho A} M = CP = x, (0 < x < a). Một mặt phẳng qua MP và
song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét thiÕt diƯn.
a. Chøng minh thiết diện thông thờng là hình thang cân.
b. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nhá
nhÊt.
Bµi tËp 10. Cho tø diÖn A} B} CD cã A} B} = CD = a, B} C = A} D = b, A} C = B} D = c (a > b > c).
Một mặt phẳng song song với A} B} và CD, cắt tứ diện theo một thiết diện có chu
vi p và diện tích s.
a. Định để p lớn nhất, nhỏ nhất.
b. Định để s lớn nhất. TÝnh diÖn tÝch Êy.
9


10


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 600.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

11