Chủ đề: Hai đường thảng vuông góc (Hình học 11 - Chương III)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN −
QUAN HỆ VNG GĨC

§2 Hai đường thảng vng góc

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


chủ
2

đề

h ai

đờng thẳng vuông góc

A. Tóm tắt lí thuyết

1. Góc giữa hai đờng thẳng bất kì trong không gian

Định nghĩa 1: Góc giữa hai đờng thẳng a, b là góc giữa
hai đờng thẳng a, b cùng đi qua một điểm
và lần lợt song song với a và b.

a

a

O



b
b
Chú ý:
1. Để xác định góc (a, b) ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên một trong hai đờng thẳng đó.
r r
2. Nếu u , v theo thứ tự là các vectơ chỉ phơng của các đờng thẳng a, b và (
r r
u , v ) = thì góc giữa hai đờng thẳng a và b bằng hoặc 1800 − α t
theo α ≤ 900 hỵc α > 900.
2. hai đờng thẳng vuông góc

Định nghĩa 2: Hai đờng thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 900.

Nhận xét: Cho hai đờng thẳng song song. Đờng thẳng nào vuông góc với
đờng thẳng thứ nhất thì vuông góc với đờng thẳng thứ hai.
Tức là:
a // b
c b.

c a

B. phơng pháp giải toán
Vấn đề 1: Tính góc giữa hai đờng thẳng chéo nhau
Phơng pháp áp dụng
Để tính góc giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b, ta lùa chän mét
trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Tìm góc bằng việc lấy một điểm O nào đó (thông thờng O
a hoặc O b). Qua O dựng a và b theo thứ tự song
song với a và b.
Khi đó, góc avà b là góc giữa a và b.

2


Tính góc: Sử dụng tỷ số lợng giác của góc trong tam giác
vuông hoặc dùng định lí hàm số côsin trong tam giác thờng để xác định số đo góc giữa a và b.
Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc:
r r
Bớc 1: Tìm hai vectơ u , v theo thứ tự là các vectơ chỉ phơng của
các đờng thẳng a, b
r r
Bíc 2: TÝnh sè ®o cđa ( u , v ) = α sư dơng tÝch v« híng.

Bíc 3: Khi đó, góc giữa hai đờng thẳng a và b b»ng α hc 180 0
− α t theo α 900 hoặc > 900.
Bớc 2:

Ví dụ 1:

(Bài 16/tr 117 Sbt): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi,
cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC.
a. Tính góc giữa hai đờng thẳng SD và BC.
b. Gọi I và J lần lợt là các điểm thuéc SB vµ SD sao cho IJ // BD.
Chøng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí
của I và J.
S



Giải
I
a. Từ nhận xét BC // AD, ta cã:
J
900 = (SA, BC) = (SA, AD) ⇒ SA ⊥ AD.
A
B
·
⇒ (SD, BC) = (SD, AD) = SDA. .
O
D
Trong ∆SAD, ta cã:
C
·

SA = AB = AD ⇒ ∆SAD vuông cân tại A SDA = 450.
Vậy, ta đợc (SD, BC) = 450.
b. Vì ABCD là hình thoi nên AC BD, khi đó vì:
IJ // BD (AC, IJ) = (AC, BD) = 900 − kh«ng phơ thc vÞ trÝ cđa I, J.



NhËn xÐt: Nh vËy, trong lêi giải của ví dụ trên:
Để tìm góc giữa SD và BC chúng ta có ngay AD // BC nên
Ã
nhận đợc góc SDA. , và số đo của nó đợc xác định dựa trên
hệ thức lợng trong tam giác vuông.
Tơng tự với AC và IJ (có giả thiết IJ // BD) chúng ta nhận
đợc (AC, IJ) = 900 dựa trên tính chất của hình thoi.

Ví dụ 2:

4
3

(Bài 23/tr 118 − Sbt): Cho tø diÖn ABCD cã CD = AB . Gọi I, J, K
5
6

lần lợt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biÕt JK = AB , tÝnh góc
giữa đờng thẳng CD với các đờng thẳng IJ và AB.



Gi¶i

3


a. Ta lần lợt:
Với hai đờng thẳng CD và IJ ta cã:
CD // IK ⇒ (CD, IJ) = (IK, IJ).

C

Đặt AB = a, trong IJK ta có ngay:
JK =

5a
1
a
, IJ = AB = ,
6
2
2

1
1 4
2a
IK = CD = . AB =
2
2 3
3

I

J

B

A
K

suy ra:



D
2
2
2
25a 2  5a 
 2a   a 
IK2 + IJ2 =  ÷ +  ÷ =
=  ÷ = JK 2 ⇔ ∆IJK vu«ng tại I.
36
3 2
6
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng CD và IJ bằng 900.
Với hai đờng thẳng CD và AB ta có:
AB // IJ (CD, AB) = (CD, IJ) = 900.

VÝ dơ 3:

Cho tø diƯn ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh
BC, AD.

a. HÃy tính cosin của góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện
đều có cạnh bằng a.
b. HÃy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 3 .



Giải
a. Gọi E là trung điểm của AC, ta có:
a
EM // AB và EM = .
2
do đó (AB, DM) = (MD, ME).
XÐt ∆DEM, ta cã:
a 3
DM = DE =
, trung tuyÕn trong tam giác đều
2
1
DM 2 + EM 2 DE 2
3
Ã
=
=
.
cos DME =
2 3
2DM.EM
6
3
Vậy, ta đợc cos(AB, DM) =

.
6
b. Gọi O là trung điểm của BD, ta có:
ON // AB vµ ON = a
OM // CD vµ OM = a
do ®ã (AB, CD) = (OM, ON).
Gäi I lµ trung ®iĨm MN, trong IME vuông tại I, ta có:

4

D
N

O
I

A

B
M

E
C


IM
3
=
MÔI = 600
OM

2
MÔN = 2MÔI = 1200 (OM, ON) = 1800 1200 = 600.
Vậy, ta đợc (AB, CD) = 600.

sinMÔI =



Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên:
ở câu a), để tìm góc giữa AB và DM chúng ta lựa chọn
điểm M trên DM để dựng đờng thẳng song song với AB,
bởi M, A, B cùng thuộc mặt phẳng (ABC) và dựa trên tính
chất đờng trung bình để đặt vấn đề theo cách "Gọi E là
Ã
trung điểm của AC". Cuối cùng, côsin của góc DME đợc
tính dựa trên định lí hàm số côsin trong tam giác.
ở câu b), với hai đờng thẳng AB và CD (hai cạnh đối của tứ
diện) nếu chúng ta chọn các điểm đầu mút để dựng đờng
thẳng song song với đờng thẳng còn lại sẽ không tạo đợc
một tam giác, tức không thể tính đợc số đo của góc tạo
thành. Và trong những trờng hợp nh vậy, chúng ta thờng
chọn trung điểm của đoạn thẳng nối (tức trung điểm của
AC, AD, BC, BD) để làm điểm xuất phát.
Khi thực hiện yêu cầu này, các em học sinh cần luôn ghi
nhớ "Góc giữa hai đờng thẳng không thể là góc tù".

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 .
Tính góc giữa hai đờng thẳng SC và AB.

Giải
Ta có thể trình bày theo hai c¸ch sau:
C¸ch 1: Gäi M, N, P theo thø tù là trung điểm của SA, SB, AC.
Khi đó, ta nhận thÊy:
S
 MP // SC
⇒ (SC, AB) = (MP, MN).

M
 MN // AB
Trong ∆MNP, ta cã:
A
MN 2 + MP 2 − NP 2

cos NMP =
.
(1)
2MN.MP
P
Ta lần lợt có:
C
1
a
MN = AB = vì MN là đờng trung bình,
2
2
1

a
MP = SC = vì MP là đờng trung bình.
2
2
Trong SBP, theo định lÝ ®êng trung tuyÕn ta cã:

N
B

(2)
(3)

5


PB2 + PS2 = 2NP2 +

SB2
.
2

(4)

NhËn xÐt r»ng:
 V× ∆ABC vuông tại A (có AB2 + AC2 = BC2) nên:
a2
5a 2
PB2 = AB2 + AP2 = a2 +
=
.

4
4
a 3
 V× ∆SAC ®Ịu (cã SA = SC = AC = a) nên PS =
.
2
a 3
Thay (5), (6) vào (4), ta đợc NP =
.
2
Thay (2), (3) và (7) vào (1), ta đợc:
1


cos NMP = − ⇒ NMP = 1200.
2
VËy, gãc gi÷a hai đờng thẳng SC và AB bằng 1802 1202 = 600.
uur
uuu
r
Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC vµ AB , ta cã:
uur uuu
r
uuu uuu uuu
r
r r
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
uur uuu

r
SC.AB
(SA + AC).AB
SA.AB + AC.AB
r
cos( SC , AB ) = uur uuu =
=
.
| SC | .| AB |
SC.AB
SC.AB
Trong đó:
Vì SAB đều (có SA = SB = AB = a) nªn:
uuu uuu
r r
a2
SA.AB = SA.AB.cos(1800 − SÂB) = a.a.cos1200 = .
2
uuu uuu
r r
2
2
2
Vì ABC vuông tại A (có AB + AC = BC ) nên AC.AB = 0.
Từ đó, ta đợc:
a2
uur uuu
uur uuu
r
r

1
+0
cos( SC , AB ) = 2
= − ⇒ ( SC , AB ) = 1200.
2
a2
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 1802 1202 = 600.
uur
uuu
r
Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC và AB , ta cã:
uur uuu
r
uur uur uuu
r
uur uur uur uuu
r
uur uuu
r
SC.AB
SC SB − SA
SC.SB − SC.SA
uur uuu =
r
cos( SC , AB ) =
=
.
| SC | .| AB |
SC.AB
SC.AB

Trong đó:
uur uur
Vì SBC vuông tại S (có SB2 + SC2 = BC2) nên SC.SB = 0.
Vì SAC đều (có SA = SC = AC = a) nªn:
uur uuu
r
a2
.
SC.SA = SC.SA.cosASC = a.a.cos600 =
2
Từ đó, ta đợc:

(

6

)

(5)
(6)
(7)


2

a
uur uuu
uur uuu
r
r

1
0−
0
cos( SC , AB ) =
2 = − ⇒ ( SC , AB ) = 120 .
2
2
a
VËy, gãc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 1802 1202 = 600.



NhËn xÐt: Nh vËy, trong lêi gi¶i cđa ví dụ trên:
ở cách 1, góc giữa SC và AB đợc xác định dựa theo kinh
nghiệm đà biết trong nhËn xÐt cđa vÝ dơ tríc.
 ë c¸ch 2, chóng ta đi tính góc giữa SC và AB thông qua
các vectơ chỉ phơng của nó. Với cách này thông thờng
chúng ta nhận đợc một lời giải ngắn gọn hơn. Tuy nhiên,
khi đó các em học sinh cần có kiến thức tốt về vectơ.
ở cách 3, vẫn với ý tởng nh trên, nhng chúng ta biến đổi
uuu uuu uur
r
r
vectơ AB = SA SB để nhận đợc tích vô hớng của các vectơ
cùng gốc, và nh trong chủ đề trớc chúng ta đà đợc biết rằng
"Đối với tứ diện (hoặc gọi là hình chóp) SACB chúng ta thuuu uur uur
r
ờng chọn bộ vectơ sơ sở là SA, SB, SC để biểu diễn cho
các vectơ còn lại". ý tởng này sẽ đợc thấy lại trong ví dụ
tiếp theo.

Ví dụ 5:

(Bài 17/tr 117 Sbt): Cho hình hộp ABCD.ABCD có các cạnh
Ã
Ã
Ã
bằng a, BAD = 600 , BAA ' = DAA ' = 1200.
a. Tính góc giữa các cặp đờng thẳng AB với AD và AC với BD.
b. Tính diện tích các hình ABCD và ACCA.
c. Tính góc giữa đờng thẳng AC và các đờng thẳng AB, AD, AA.



Giải
r
r uuu r uuu r uuuu
r
r
Đặt x = AB , y = AD , z = AA ' .
Sư dơng c«ng thøc tÝch v« hớng lần lợt có:
r r a2 r r
r2 r2 r2
a2 r r
a2
x.y = , y.z = − , z.x = − .
x = y = z = a2.
2
2
2

b. Ta lÇn lợt:
B
Với hai đờng thẳng AB và AD ta có hai c¸ch:
A’
C¸ch 1: Ta cã:
AB // CD ⇒ (AB, A’D) = (CD, A’D).
Trong ∆A’CD, ta cã:
A 'D 2 + CD 2 A 'C2
Ã
.
cos A 'DC =
2A 'D.CD
Ta lần lợt cã:

C’
D’

B

(1)

A

C
D

7


·

A’D2 = A’A2 + AD2 − 2A’A.AD.cos DAA ' = a2 + a2 − 2a.a.cos1200 = 3a2

⇔ A 'D = a 3.
uuuu uuu uuuu uuu uuu uuuu r r r
r
r
r
r
r
r
A 'C = AC − AA ' = AB + AD − AA ' = x + y − z
uuuu 2
r
r r r 2 r2 r2 r2
rr rr rr
⇔ A 'C = x + y − z = x + y + z + 2x.y − 2y.z − 2z.x = 2a2

(2)

⇔ A 'C = a 2.

(3)

(

8

)

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.000.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

9


Thay (2), (3) vµo (1) víi lu ý CD = a, ta đợc:
3a 2 + a 2 2a 2
1
Ã
cos A 'DC =
=
.
2.a 3.a
3
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AB và AD có côsin bằng

1
.
3

Cách 2: Ta có:

uuu uuu uuuu
r r
r
uuu uuuu
r r
uuu uuu uuu uuuu
r r
r r
uuu uuuu
r
r
AB AD − AA '
AB.A 'D
AB.AD − AB.AA ' (4)
r
r
uuu uuuu
r
r .
cos AB, A 'D = uuu uuuu = uuu uuuu
r
r =
| AB | .| A 'D |
| AB | .| A 'D |
| AB | . | A 'D |
Trong ®ã:
·
A’D2 = A’A2 + AD2 − 2A’A.AD.cos DAA ' = a2 + a2 − 2a.a.cos1200 = 3a2

(

(

)

)

⇔ A 'D = a 3.
uuu uuu
r r
a2
.
AB.AD = AB.AD.cosBAD = a.a.cos600 =
2
uuu uuuu
r r
a2
AB.AA’.cosBAA = a.a.cos1200 = − .
AB.AA ' =
2
Thay (5), (6), (7) vào (4), ta đợc:

(5)
(6)
(7)

a2 a2
+
uuu uuuu
r

r
2 = 1 .
cos AB, A 'D = 2
a.a 3
3

(

)

Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AB và AD có côsin bằng

1
.
3

Với hai đờng thẳng AC và BD ta có hai cách:
Cách 1: Ta có:

uuuu r r r
r
AC' = x + y + z,
uuuu uuu uuuu uuu uuu uuuu r r r
r
r
r
r
r
r
B'D = AD − AB' = AD − AB − AA ' = y − x − z,

rr
uuuu uuuu
r r r r r r r r
r2 r r 2 r2 r2 r2
AC'.B'D = x + y + z y − x − z = y − x + z = y − x + z + 2x.z = 0
uuuu uuuu
r
r
⇔ AC' ⊥ B'D .
VËy, góc giữa hai đờng thẳng AC và BD bằng 900.
Cách 2: Trong hình bình hành ABCD, ta có:
AD = a,
uuuu 2
r
r r 2 r2 r2
rr 2
uuuu uuu uuuu r r
r
r
r
AB' = AB + AA ' = x + z ⇔ AB' = x + z = x + z + 2xz = a ⇔ AB’ =

(

)(

)

(

(

a,

10

)

)

uuu uuuu r r r r r r r
r r
·
AD.AB' = y x + z = y.x + y.z = 0 ⇔ DAB' = 900.

(

)

(

)


Từ đó, suy ra ABCD là hình vuông, nên góc giữa hai đờng thẳng AC và BD
bằng 900.
c. Ta lần lợt:
Với hình bình hành ABCD, ta có:
2

1
2
Ã
SA 'B'CD = A 'D.A 'B'.sin DA 'B' = a 3.a. 1
ữ = a 2.
3
Với hình bình hành ACC’A’, ta cã:
·
S
= AC.CC'.sin ACC'.

(8)

ACC 'A '

Trong ®ã:
uuu uuu uuu r r
r
r
r
uuu 2
r
r r 2 r2 r2
rr
AC = AB + AD = x + y ⇔ AC = x + y = x + y + 2xy = 3a 2

(

)

⇔ AC = a 3.
uuuu 2
r
r r r2
AC' = x + y + z = 2a 2 ⇔ AC' = a 2.

(

(9)

)

2
2
2
1
AC2 + CC'2 − AC'2 3a + a − 2a
=
=
2.a 3.a
3
2AC.CC'
1
2 ·
·
⇒ sin ACC' = 1 − cos ACC' = .
3
6

Thay (9), (10) vào (8), ta đợc SACC'A ' = a 3.a.
= a 2 2.
3
d. Ta lần lợt:
Với hai đờng thẳng AC và AB, ta có:
uuuu uuu
r r r r r r r2 r r r r
AC'.AB = x + y + z x = x + x.y + x.z = a 2
uuuu uuu
r r
uuuu uuu
r r
uuuu uuu
r r
AC'.AB
a2
1
0
cos AC', AB = uuuu uuu =
=
r r
⇒
⇔ AC ', AB = 45 .
2
AC' AB a 2.a

·
cos ACC' =

(

)

(



)

(

)

VËy, gãc gi÷a hai đờng thẳng AC và AB bằng 450.
Với hai đờng thẳng AC và AD, ta có:
uuuu uuu
r r r r r r r2 r r r r
AC'.AD = x + y + z y = y + x.y + y.z = a 2
uuuu uuu
r r
uuuu uuu
r r
uuuu uuu
r r
AC'.AD
a2
1
0
cos AC', AD = uuuu uuu =
=

r
r
⇒
⇔ AC ', AD = 45 .
a 2.a
2
AC' AD

(

)

(



(10)

)

(

)

Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AC và AD bằng 450.
Với hai đờng thẳng AC và AA, ta cã:
uuuu uuuu
r r r r r r r2 r r r r
uuuu uuuu
r

r
AC'.AA ' = x + y + z z = z + x.z + y.z = 0 ⇔ AC' AA ' .

(

)

Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AC’ vµ AA’ b»ng 900.

11




NhËn xÐt: Nh vËy, trong lêi gi¶i cđa vÝ dơ trên để tính góc giữa hai đờng
thẳng chúng ta đà linh hoạt sử dụng kiến thức về vectơ để tính
độ dài đoạn thẳng cũng với số đo góc giữa chúng.
Ví dơ 6: (Bµi 20/tr 118 − Sbt): Cho tø diƯn ABCD. Lấy các điểm M, N lần lợt
uuur
uuur
u
uuur
uuur
thuộc các đờng thẳng BC và AD sao cho MB = kMC và NA = kND
uuuu
r
với k là số thực khác 0 cho trớc. Đặt là góc giữa hai vectơ MN và
uuuu
r
uuu

r
uuu
r
BA , là góc giữa hai vectơ MN và CD . Tìm mối liên hệ giữa AB
và CD để = = 450.



Giải
Kẻ MP // AB, ta có:
uuur
uuu
r
PA MB
MB
NA NA
u
r
=
= − uuur = − k = − uuu =
⇔ PN // CD
PC MC
MC
ND ND
suy ra:
uuuu uuu
r r
uuuu uuu
r r
P

·
MN, BA = MN, MP = NMP = α.
uuuu uuu
r r
uuuu uuu
r r
·
C
MN, CD = MN, PN = MNP = β.

(
(

) (
) (

A

)
)

N
D

M
Trong ∆MNP, ta cã:
PM = PN

B
.

α = β = 450 Ã
0

MPN = 90
Ta lần lợt:
Ta có:
PM CP
CP
PN AP
AP
=
⇒ PM =
.AB;
=
⇒ PN =
.CD;
AB CA
CA
CD CA
CA
Víi ®iỊu kiƯn PM = PN, suy ra:
uuur
CP
AP
AB PA MB
MB
.AB =
.CD ⇔
=
u

=
= − uuur = − k ⇔ AB =
CA
CA
CD PC MC
MC
kCD.
·
 Víi ®iỊu kiƯn MPN = 900 , ta cã ngay AB ⊥ CD.
VËy, víi AB ⊥ CD vµ AB = kCD thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 7:



12

(Bài 24/tr 118 − Sbt): Cho tø diÖn ABCD cã BC = AD = a,
AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt là góc giữa BC và AD, là góc
giữa AC và BD, là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong
ba số hạng a2cos, b2cos, c2cos có một số hạng bằng tổng hai số
A
hạng còn lại.

Giải
r uuu r uuu r uuu
r
r
r
Đặt a = AD , b = AC , c = AB .
Ta lần lợt:

C

D

B




Với hai đờng thẳng BC r AD ta có:
và r
r
uuu uuu
r r uuu uuu uuu
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AD.BC = AD.(AC − AB) = AD.AC − AD.AB
1
1
= ( AD 2 + AC 2 − DC 2 ) − ( AD 2 + AB2 − DB2 )
2
2
1
1
= ( AC2 + DB2 − AB2 − DC2 ) = ( 2b 2 − 2c 2 ) = b 2 − c 2
2
2
uuu uuu

r r b2 − c2
⇒ cos AD, BC =
⇔ a2.cosα = b2 c2.
2
a
Tơng tự, với hai đờng thẳng AC vµ BD, AB vµ CD ta cã:
b2.cosβ = c2 − a2,
c2.cos = a2 b2.

(



)

Khi đó, không mất tính tổng quát, giả sử a b c, ta đợc:
a2.cos = b2 c2,
và trong trờng hợp này, ta có:

b2.cos = a2 − c2,

c2.cosγ = a2 − b2

b2.cosβ = a2.cosα + c2.cosγ.



Chó ý: VÝ dơ tiÕp theo minh ho¹ viƯc sử dụng tính chất số đo góc trong
không gian để xác định đặc tính của thiết diện.

Ví dụ 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a,
AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh
AD (M khác A và D). Mặt phẳng qua M song song với mặt
phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lợt tại N, P, Q.
a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.
b. Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.



Giải
a. Ta có:
//(SAB)

MQ // SA.
∩ (SAD) = MQ
(SAB) ∩ (SAD) = SA

α //(SAB)

⇒ MN // AB.
α ∩ (ABCD) = MN
(SAB) ∩ (ABCD) = AB


S
(1)

Q

A

(2) B

P
M

N

D

C

Ã
Từ (1) và (2) suy ra NMQ = 900 .

Mặt khác, ba mặt phẳng (ABCD), (SCD) và cắt nhau theo ba giao tuyÕn MN,
CD, PQ cã:
MN // CD ⇒ MN // PQ MNPQ là hình thang vuông.
13


b. Ta cã:
1
(MN + PQ).MQ.
2
Ta cã ngay MN = AB = a.
Trong ∆SAD, ta cã:
MQ DM AD − AM 2a − x
2a − x

=
=
=
⇒ MQ =
.
SA DA
DA
2a
2
Trong ∆SCD, ta cã:
PQ SQ AM x
x
=
=
=
⇒ PQ = .
CD SD AD 2a
2
Thay (4), (5), (6) vào (3), ta đợc:
1
x 2a x
1
SMNPQ = (a + )
= (4a2 − x2).
2
2
2
8

SMNPQ =

VÝ dơ 9:

(3)
(4)
(5)

(6)

(Bµi 18/tr 117 − Sbt): Cho tø diƯn ABCD trong ®ã gãc giứa đờng
thẳng AB và CD bằng . Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt
AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song
song với AB, CD.
b. Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện của hình tứ diện
ABCD với mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất.
c. Chứng minh rằng chu vi của thiết điện nêu trên không phụ
thuộc vào x khi AB = CD.



Giải
D
a. Ta thùc hiƯn:
 Dùng MN // CD vµ MQ // AB.
N
 Dựng NP // AB.
Khi đó MNPQ là thiết diện cần dựng và nó là hình A
bình hành có:
M
Ã

(MQ, MN) = (AB, CD) = α ⇒ sin QMN = sin α .
Ta có ngay:
C
Ã
SMNPQ = MQ.MN. sin QMN .
Ta lần lợt:
Trong ∆ABC, ta cã:
MQ CM AC − AM
AB
=
=
(AC − x). .
⇒ MQ =
AB AC
AC
AC
 Trong ∆ACD, ta cã:
MN AM
CD
=
.x. .
⇒ MN =
CD AC
AC
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:

14

P
B

Q
(1)

(2)

(3)


AB.CD
(AC − x)x.sin α.
AC 2
NhËn xÐt r»ng:
2
AC 2 
AC 
AC2
−x

(AC x)x =
ữ
4
2
4

2
AC
AB.CD AC
1
từ đó, suy ra MaxSMNPQ =
,

.
.sin = AB.CD.sin đạt đợc khi x =
2
2
AC
4
4
tức M là trung điểm AC.
b. Gọi p là nửa chu vi cđa thiÕt diƯn, ta cã:
AB
CD
CD − AB
(AC − x) +
.x =
.x + AB.
p = MQ + MN =
AC
AC
AC
Tõ ®ã, suy ra chu vi cđa thiÕt diƯn kh«ng phơ thc vµo x khi:
CD − AB
= 0 ⇔ AB = CD.
AC
SMNPQ =



NhËn xÐt: Nh vËy, trong lêi gi¶i cđa vÝ dơ trên:
ở câu a), chúng ta gặp lại dạng toán "Xác định thiết diện đi
qua một điểm và song song với hai đờng thẳng chéo nhau

cho trớc". Và diện tích của thiết diện (là hình bình hành)
này đợc tính theo công thức sin, còn giá trị lớn nhất của nó
đợc t×m thÊy b»ng viƯc sư dơng kiÕn thøc vỊ tam thức bậc
hai.
ở câu b), chúng ta chỉ cần thiết lËp c«ng thøc tÝnh chu vi
(nư chu vi p = f(x)), råi b»ng viƯc nhãm theo bËc cđa x vµ
cho các hệ số liên quan bằng 0 chúng ta sẽ nhận đợc điều
kiện để p không phụ thuộc vào x Đây là dạng toán quen
thuộc trong đại số.

Vấn đề 2: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau
Phơng pháp áp dụng
r
Để chứng minh đờng thẳng a (với vtcp a ) vuông góc với đờng
r
thẳng b (với vtcp b ), ta lùa chän theo híng:
Híng 1: Chøng minh (a, b) = 90 0, trong nhiỊu trêng hỵp chóng ta
sư dụng tích vô hớng.
Hớng 2: Sử dụng kết quả về liên hệ giữa quan hệ song song và
quan hệ vuông góc của hai đờng thẳng.

15


VÝ dơ 1:

(Bµi 22/tr 118 − Sbt): Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung
cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
a. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
b. Gọi M và N là các điểm lần lợt thuộc các đờng thẳng AB và BD

uuur uuu
r
uuuu
r
uuur
sao cho MA = kMB vµ ND = kNB . Tính góc giữa hai đờng
thẳng MN và BC.



Giải
a. Gọi I là trung điểm của BC, ta có:
BC IA, BC ⊥ ID ,
uu uu uuu uu uuu uu uuu
r r r
r r r r
uuu uuu
r r
AD.BC = = ID − IA BC = ID.BC − IA.BC = 0

(

)

⇔ AD BC, đpcm.
uuur uuu
r
uuuu
r
uuur

b. Từ giả thiết MA = kMB vµ ND = kNB , suy ra:
MN // AD ⇒ (MN, BC) = (AD, BC) = 900.



A
M
B

N

D

I
C

Chó ý: Khi cã thêm kiến thức về đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
chúng ta sẽ có một cách giải khác để thực hiện câu a), cụ thể:
Vì các ABC, DBC cân tại A và D nên:
BC AI
BC (IAD) ⇒ BC ⊥ AD, ®pcm.

 BC ⊥ DI

VÝ dơ 2:



Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm đờng tròn
ngoài tiếp BCD. Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.

Giải
Qua O dựng đờng thẳng song song với CD, cắt BC, BD theo thứ tự tại E và F,
suy ra:
(AO, CD) = AÔF.
A
Ta có:
N
EF // CD
BE = BF


.
 BC = BD ⇒ 
B
D
OE = OF
 MC = MD
E

O
Xét hai tam giác ABE và ABF, ta có:
F
M
BE = BF
C

ABchung
⇒ ∆ABE=∆ABF ⇒ AE = AF


 ˆ
0
ˆ
 ABE = ABF = 60
AEF cân tại A AO EF AÔF = 900 AO CD.
Ví dơ 3:

16

Cho h×nh tø diƯn ABCD. Chøng minh r»ng:


uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r r
r r
r r

a. AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 . Tõ ®ã, suy ra r»ng nÕu tø diƯn
ABCD cã AB ⊥ CD vµ AC ⊥ DB th× AD ⊥ BC .
uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r r
r r
r r
b. (Bµi 10/tr 96 − Sgk): NÕu AB.AC = AC.AD = AD.AB th× AB ⊥ CD,
AC BD, AD BC. Điều ngợc lại có đúng không ?
Ã
Ã
Ã
c. (Bài 9/tr 96 Sgk): Nếu AD = BD = CD và ADB = BDC = CDA
thì AD ⊥ BC, BD ⊥ AC, CD ⊥ AB.



Gi¶i
a. Ta lần lợt có:
uuu uuu
r r
AB.CD =
uuu uuu
r r
AC.DB =
uuu uuu
r r
AD.BC =

uuu uuu uuu
r r
r
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AB.(AD − AC) = AB.AD − AB.AC ,
uuu uuu uuu
r r
r
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AC.(AD − AB) = AC.AD − AC.AB ,
uuu uuu uuu

r r
r
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AD.(AB − AC) = AD.AB − AD.AC .
Céng theo vÕ (1), (2) và (3), ta đợc:
uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r r
r r
r r
AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0, ®pcm.

(1)
(2)
(3)

D

Khi ®ã, víi ®iỊu kiƯn AB ⊥ CD vµ AC ⊥ DB th×:
uuu uuu
r r
uuu uuu
r r
uuu uuu
r r
AB.CD = 0 vµ AC.DB = 0 ⇒ AD.BC ⇔ AD ⊥ BC .
b. Ta cã:
r r
r

uuu uuu
r r uuu uuu uuu
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AB.CD = AB.(AD − AC) = AB.AD − AB.AC = 0
uuu uuu
r
r
⇔ AB ⊥ CD ⇔ AB CD.

A

C

B
Chứng minh tơng tự, ta cũng nhận đợc AC BD, AD BC.
Vì các phép biến đổi trên là tơng đơng nên điều ngợc lại cũng đúng.
c. Ta cã:
r r
r
uuu uuu
r r uuu uuu uuu
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AD.BC = AD.(CD − BD) = AD.CD − AD.BD
·
·
= AD2.cos CDA − AD2.cos ADB = 0

⇔ AD ⊥ BC, đpcm.
Chứng minh tơng tự, ta cũng nhận đợc BD AC, CD ⊥ AB.
VÝ dơ 4:



Cho h×nh tø diƯn ABCD có AB = AC = AD và BÂC = 600, B¢D = 600,
C¢D = 900. Chøng minh r»ng:
a. AB ⊥ CD.
b. Nếu I và J lần lợt là trung điểm của AB và CD thì IJ AB và
IJ CD.
A

Gi¶i
a. Ta cã:
r r
r uuu uuu uuu uuu
uuu uuu
r r uuu uuu uuu
r r
r r
AB.CD = AB.(AD − AC) = AB.AD − AB.AC

I
B

C
D

J

17


= AB2.cos600 − AB2.cos600 = 0
⇔ AB ⊥ CD, ®pcm.
b. Từ giả thiết, suy ra ABC, ABD đều.
Ta lần lợt cã:
 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ JA = JB ⇒ JAB cân tại J IJ AB.
ABD = ABC (c.c.c) ID = IC ICD cân tại I ⇒ IJ ⊥ CD.

Trong kh«ng gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh
AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lợt là
trung điểm của các cạnh AC, CB, BC', C'A. Chøng minh r»ng:
a. AB ⊥ CC'.
b. Tø gi¸c MNPQ là hình chữ nhật.
C
'
Giải
Q
P
a. Gọi a là cạnh của r uuu uuuu ta có:
tam giác đều,
r
r
uuu uuur uuu
r u
uuu uuu uuu uuuu
r r
r r

AB.CC' = AB.(AC − AC') = AB.AC − AB.AC'
A
B
= a2.cos600 − a2.cos600 = 0
M
N
⇔ AB ⊥ CC', ®pcm.
b. NhËn xÐt r»ng:
C
// 1
// 1
//
MN = AB vµ PQ = AB ⇒ MN = PQ,
(1)
VÝ dơ 5:

2
2
uuuu uuuu
r
r
uuu uuur
r u
ˆ
QMN = ( MN, MQ ) = ( AB, CC' ) = 900,
tõ (1) vµ (2) suy ra MNPQ là hình chữ nhật.
Ví dụ 6:

(2)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. SAB và SAD
là các tam giác vuông tại A.
a. Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và CD.
b. Chứng minh rằng SA vuông góc với AC và BD.

Giải
a. Ta có:
BC // AD
BC ⊥ SA.

 AD ⊥ SA

S

E
A
D
CD // AB
O
⇒ CD ⊥ SA.

AB SA
B
C
b. Trên tia SA lấy điểm S sao cho AS = AS, ta có:
F
AB, AD đều là trung trùc cđa SS'
S’

⇒ BS = BS’ vµ DS = DS’ ⇒ ∆SBD = ∆S’BD (c.c.c)
⇒ OS = OS’ ⇒ OSS cân tại O OA SS' AC SA.
Trong (CSS) kẻ Ox song song với SS' và cắt SC, SC theo thứ tự tại E, F và là
trung điểm của mỗi đờng, ta có ngay:
EF // SA.
18


Mặt khác, vì:
SBC = SBC (c.c.c) BE = BF BEF cân tại B
OB EF BD SA.



Chú ý: Đề nghị các em học sinh đề xuất một cách giải khác để chứng
minh SA vuông góc với BD.

Ví dụ 7:

Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung
cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lợt có tâm O
và O'. Chứng minh rằng AB OO' và tứ giác CDD'C là hình chữ
nhật.



Giải
b. Giả sử hình vuông có cạnh bằng a, ta cã:
r
r

r
uuu uuuu
r r uuu uuuu uuu
uuu uuuu uuu uuu
r r
r r
AB.OO ' = AB.(AO ' − AO) = AB.AO ' − AB.AO
= a.

D'

a 2
a 2
.cos450 − a.
.cos450 = 0
2
2

⇔ AB ⊥ OO', ®pcm.
c. NhËn xÐt r»ng:
//

C'
E

//

O'

A

//

CD = AB vµ C'D' = AB ⇒ CD = C'D',
uuu uuur
r u
uuu uuuu
r
r
ˆ
DCC' = ( DC, CC' ) = ( AB, OO ' ) = 900,

B

C
O

D
(1)
(2)

tõ (1) vµ (2) suy ra CDD'C’ là hình chữ nhật.
Ví dụ 8:

(Bài 8/tr 95 Sgk):
r
r r
r
a. Cho vectơ n khác 0 và hai vectơ a , b không cùng phơng.
r
r

Chứng minh rằng nếu vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a và
r
r
r r
b thì ba véctơ n , a và b không đồng phẳng.
r
r
b. Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ n khác 0
thì đồng phẳng. Từ đó suy ra, các đờng thẳng cùng vuông góc
với một đờng thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.



Giải
r
r r
a. Giả sử trái lại, ba véctơ n , a và b đồng phẳng. Tức là tồn tại hai số x và y sao
cho:
r
r
r r
r r
r
r r
r
r
n = xa + yb ⇒ n .n = xa .n + yb.n ⇒ n 2 = 0 n = 0
điều đó mâu thuẫn vớirgiả thiết.
r
r

Vậy, ba véctơ n , a và b không đồng phẳng.
r r r
r
b. Víi ba vect¬ a , b , c cùng vuông góc với vectơ n .
r
r
r
r
r
Khi đó, nếu a và b không cùng phơng thì n , a và b không đồng phẳng, tức là
tồn tại ba số x, y, z sao cho:
19


r
r
r
r r
r r
r r
r
r r
c = xn + ya + zb ⇒ c .n = xn .n + ya .n + zb.n
r
⇒ 0 = x n 2 ⇒ x = 0.
Tøc lµ, ta cã biĨu diƠn:
r
r
r
r r r

c = y a + z b ⇒ ba vect¬ a , b , c đồng phẳng.
Từ đó suy ra, các đờng thẳng cùng vuông góc với một đờng thẳng thì cùng song
song với một mặt phẳng.

Cho S là diện tích ABC. Chứng minh r»ng:

VÝ dô 9:

S=



1
2

uuu 2 uuu 2 uuu uuu
r r
r r
AB .AC − (AB.AC) 2 .

Gi¶i
Víi ∆ABC, ta cã:
S=

r
r
1
1 uuu uuu
AB.AC.sin = | AB | .| AC | .sinÂ.
2

2

Mặt khác, ta cã:
uuu uuu
r r 2
 AB.AC 
ˆ
sin¢ = 1 − cos A = 1 −  uuu uuu ÷ =
r
r
 | AB | . | AC | ÷


2

uuu 2 uuu 2 uuu uuu
r r
r r
AB .AC − (AB.AC) 2
.
uuu uuu
r
r
| AB | . | AC |

Tõ ®ã:
uuu 2 uuu 2 uuu uuu
r r
r r
r

r
1 uuu uuu
1
AB .AC − (AB.AC) 2
S = | AB | .| AC | .
=
uuu uuu
r
r
2
2
| AB | . | AC |

uuu 2 uuu 2 uuu uuu
r r
r r
AB .AC (AB.AC) 2 .

Bài tập tự giải
Bài tập 1: Mỗi khẳng định sau có đúng không ?
a. Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau.
b. Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì vuông góc víi
nhau.
Bµi tËp 2: Cho tø diƯn ABCD. Gäi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC,
AD. HÃy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a vµ MN = a 2 .
Bµi tËp 3: Cho tø diƯn ABCD. Gäi I, J, H, K lÇn lợt là trung điểm của BC, AC, AD,
BD. HÃy tính góc giứa hai đờng thẳng AB và CD trong mõi trờng hợp sau:
a. Tứ giác IJHK là hình thoi có ®êng chÐo IH = IJ 3 .
b. Tø gi¸c IJHK là hình chữ nhật.
Bài tập 4: Cho hình hộp chữ nhËt ABCD.A1B1C1D1 cã AB = a, BC = b vµ AA1 = c.

a. HÃy tính góc giữa AD1 và B1C.
b. HÃy tính góc giữa AB và A1C.

20


Bµi tËp 5: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của
AB là trung điểm J của CD. Giả sử AB vuông góc với CD. là mặt phẳng qua M
trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của với mặt phẳng (ICD).
b. Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng . Chứng minh thiết diện là
hình chữ nhật.
c. Tính diện tích thiết diện, biÕt IJ = 3IM.
Bµi tËp 6: Cho tø diƯn ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lợt là trung
điểmuu AB, CD. Lấyuu điểm I, J, K lần lợt thuộc các đờng thẳng BC, AC, AD sao
cđa uu uur
c¸c
r
r
r uuu
r
uuu
r
cho IB = kIC , JA = kJC , KA = kKD trong đó k là số khác không cho trớc. Chứng
minh rằng:
a. MN IJ và MN JK.
b. AB CD.

Bài tập 7: Trong mặt phẳng cho ABC vuông tại A, B = 600 , AB = a. Gọi O là

trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài , sao cho SB = a và SB vuông góc với
OA. Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng qua M và song song với SB và
OA, cắt BC, SC, SA lần lợt tại N, P, Q. Đặt x = BM, với 0 < x < a.
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b. Tính theo a và x diện tích của hình thang này.
c. Tính x để diện tích này lớn nhất.
Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. SAB và SAD là
các tam giác vuông tại A.
a. Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và CD.
b. Chứng minh rằng SA vuông góc với AC và BD.
Bài tập 9: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
a. Chứng minh rằng AC vu«ng gãc víi B1D1.
b. Chøng minh r»ng AB1 vu«ng gãc với CD1.
c. Chứng minh rằng AD1 vuông góc với CB1.
Bài tập 10: Cho hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ
diện vuông góc với nhau.
Bài tập 11: Chứng minh rằng nếu đờng thẳng d vuông góc với hai đờng thẳng cắt
nhau a và b nằm trong mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đờng thẳng nằm
trong .
Bài tập 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam
giác vuông tại A. Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng
(P) đi qua điểm M và song song với SA, CD.
a. Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bới mặt phẳng (P) là hình gì ?
b. Tính diện tích cđa thiÕt diƯn theo a vµ b, biÕt AB = a, SA = b, M là trung
điểm của AD.

21


22