su dung bai toan goc

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*****************************
ứng dụng của một bài tập ở trong sách giáo khoa
*************************************************
Hà tĩnh, ngày 20 tháng 03 năm 2008
1
Bài toán gốc:
Chứng minh rằng: n
3
- n

6 với mọi n

Z
Chứng minh: Ta có: n
3
- n = (n - 1)n(n + 1)
Xét n = 3k khi đó n
3
- n = (n - 1)n(n + 1)

3 (k

Z)
Xét n = 3k + 1 khi đó n -1

3

n
3
- n = (n - 1)n(n + 1)

3 (k

Z)
Xét n = 3k + 2 khi đó n + 1

3

n
3
- n = (n - 1)n(n + 1)

3 (k

Z)
Vậy n
3
- n

6 với mọi n

Z
ứng dụng:
Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
x
3
+ y
3
+ z

3
= x + y + z + 2008 (1)
Bài giải:
Ta có: (1)

(x
3
+ y
3
+ z
3
) - (x + y + z) = 2008


( x
3
- x) + ( y
3
- y)+ (z
3
- z) = 2008 (2)
Dể thấy vế trái của (2) chia hết cho 6 còn vế phải của (2) chia cho 6 có số d là
4.Do đó phơng trình (1) không có nghiệm nguyên (đpcm)
Bài 2:
Chứng tỏ rằng hệ phơng trình sau không có nghiệm nguyên:

=
=
=
)3(669
)2(669
)1(669
3
3
3
xz
zy
yx
Bài giải:
Ta có: Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có:
( x
3
- x) + ( y
3
- y)+ (z
3
- z) = 2007 (*)
Phơng trình (*) có vế trái chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 d 3 do đó vô
nghiệm.Vậy hệ phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên (đpcm)
Bài 3:
Cho x
1
+ x
2
+ . . . + x

n

6 (với x
1
, x
2
,, x
n

Z)
Chứng minh rằng: x
1
3
+ x
2
3
+ . . . + x
n
3

6
Bài giải :
Xét hiệu ( x
1
3
+ x
2
3
+ . . . + x
n

3
) - (x
1
+ x
2
+ . . . + x
n
)
= (x
1
3
- x
1
) + (x
2
3
- x
2
) ++ ( x
n
3
- x
n
)

6
Mà x
1
+ x
2

+ . . . + x
n

6 do đó : x
1
3
+ x
2
3
+ . . . + x
n
3

6 (đpcm)
Bài 4:
Cho N = 2009
2010
N viết đợc dới dạng tổng của n số tự nhiên n
1
, n
2
, . . . , n
n
Tìm số d của tổng: S = n
1
3
+ n
2
3
+ . . . + n

n
3
khi chia cho 6
Bài giải :
2
Ta có N = n
1
+ n
2
+ + n
n
Do S - N = (n
1
3
+ n
2
3
+ . . . + n
n
3
) - (n
1
+ n
2
+ + n
n
)

6
Nên S và N phải có cùng số d khi chia cho 6

Mặt khác 2009 chia cho 6 có số d là 5 do đó 2009
2
chia cho 6 có số d là 1
Vì vậy N = 2009
2010
= (2009
2
)
1005
chia cho 6 có số d là 1
Kết quả : S = n
1
3
+ n
2
3
+ . . . + n
n
3
chia cho 6 có số d là 1
Bài 5:
Chứng tỏ rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên:
2
2
2
)1(

+
xx
= x
2
+ x + 1004 (5)
Bài giải:
Bây giờ ta sẻ sử dụng kết quả sau:
x
3
=
2
2
)1(






+
xx
-
2
2
)1(

xx
áp dụng ta có : 1
3
+ 2
3
+ + (x - 1)
3
+x
3
=
2
2
)1(






+
xx
Khi đó ta có:
(5)

2
2

)1(






+
xx
=
2
)1(
+
xx
+ 502


1
3
+ 2
3
+ + (x - 1)
3
+x
3
= 1 + 2 + + x + 502


(1
3

- 1) + (2
3
- 2) + + (x - 1)
3
- (x - 1) + (x
3
- x) = 502 (6)
Dể thấy vế trái của (6) chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 có số d là 4
Do đó phơng trình (6) không có nghiệm nguyên,tức là phơng trình (5) không
có nghiệm nguyên
+Tất nhiên phơng trình (5) sẻ còn có cách giải khác
Chẳng hạn:
Đặt t = x
2
+ x (t

Z)
Khi đó (5)

t
2
- 2t - 2008 = 0 (7)
Do phơng trình (7) không có nghiệm nguyên nên phơng trình (6) không có
nghiệm nguyên

3

4