ON THI DAI HOCON THI THPT-PT-BAT PT-HE PT MU-LOGA.doc

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN

1./ Cho
0 -n
n
1
a 0, ta có: a 1; a
a
≠ = =
2./ Cho
m m
a 0,r (m,n Z,n>0 và
n n
> = ∈
tối giản) , ta có
m
m
n
n
a a=
3./ Cho
a,b,α,β R; a>0, b>0 , ta có ∈
+
α β α β
a a .a
+
=
+
α
α β

β
a
a
a
−
=
+
( ) ( )
β α
α.β α β
a a a= =
+
α α α
a .b (a.b)=
+
α
α
α
a a
b b
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
( Chú ý :
f (x)

a
có nghĩa khi
0 a 1; f(x) < ≠
có nghĩa)
Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương trình về một trong các dạng
sau đây
Dạng 1:
f (x )
a g(x)=
Cách giải:
+ Nếu g(x)
≤
0 thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu g(x)>0 thì
f (x )
a g(x)=
a
f (x) log g(x)⇔ =
Dạng 2:
f (x ) g(x)
a a=
Cách giải:
f (x ) g(x)
a a f (x) g(x)= ⇔ =

Dạng 3:
2
f(x) f(x)
m. a + n.a + p=0
 

 ÷
 ÷
 
Cách giải: Đặt
f (x )
t a , t >0=
. Ta có phương trình bậc hai theo t
giải tìm t thay vào cách đặt tìm x
Sau khi tìm được x kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của
phương trình.
C./ CÁC BÀI TOÁN MẪU
1
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a./
2
x 3x 1
1
3
3
− +
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
b./
x 1 x 2
2 2 36
+ −

+ =
Giải:
a./
2
2
x 3x 1
(x 3x 1) 1 2 2
x 1
1
3 3 3 (x 3x 1) 1 x 3x 2 0
x 2
3
− +
− − +

 
=

 ÷
= ⇔ = ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔

 ÷
=
 ÷

 

b./

x x x

x 1 x 2 x
x x 4
2 8.2 2
2 2 36 2.2 36 36
4 4
9.2 36.4 2 16 2 x 4
+ −
+
+ = ⇔ + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = = ⇔ =
Bài 2: Giải các phương trình sau
a./
2 5
3 5
x+
=
b./
2 1
5 2 50.
x x−
=
Giải:
a./
2 5
3
3
5 5
3 5 2 5 5
2

log
log
x
x x
+
−
= ⇔ + = ⇔ =
b./
2 1
20
4
5 2 50 5 50 20 100 100
2
. . log
x
x x x x
x
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài 3: Giải các phương trình sau
a./
25 2 5 15 0.
x x
− − =
b./
4 2 1
3 - 4.3 27 0
x x +
+ =
c./

2 2
3 3 24
x x+ −
− =
Giải:
a./
( )
2
25 2 5 15 0 5 2 5 15 0. .
x x x x
− − = ⇔ − − =
Đặt t = 5
x
, t >0 ta có phương trình: t
2
– 2t – 15= 0
5
3
5 5 1
(loaïi)
x
t
t
x
=

⇔

= −


⇔ = ⇔ =
b./
( )
2
2
2
2 2
12 3 27 0
12 27 0
1
3 3 3 2 1
2
9 2 2
3 9 3
1
2x
2x 2
4x 2x+1
3 -4.3 +27=0 3
Ñaët t=3 t>0 ta coù : t


.
;
x
x
x
t
t x
x

t x
x
⇔ − + =
− + =


= = =
=
 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 

= =
= =
 

=

2
c./
( )
2
2 2
9
3 3 24 9 3 24 0 9 3 24 3 9 0
3
. . .
x x x x x

x
+ −
− = ⇔ − − = ⇔ − − =
Đặt
3 0
x
t = >
, ta có
3
24 9 0 3 3 1
1
3
2
9t
( loaïi)
x
t
t x
t
=


− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −

D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau
a./
2

3 4
2 4
x x− +
=
( ĐS: x=1 hay x=2)
b./
3 2 1
2 .3 .5 4000
x x x+ − +
=
( ĐS: x=2)
c./ e
6x
- 3e
3x
+2 = 0 ( ĐS: x = 0 hoaëc
2ln
3
1
x
=
)
d./
055.625
31
=+−
+
xx
( ĐS: x=1 hay x=2)
e./ 2

2x+1

- 2
x+
3
- 64 = 0 ( ĐS: x=3)
Bài 2: Giải các phương trình sau ( nâng cao)
a./
( ) ( )
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
− − − + =
( ĐS: x=0 hay x=
2 3
2log
−
)
b./
2 2
5 5 3 2 3 0. .
x x x x
+ − =
(ĐS: x=0)
c./
3 4 0
x
x+ − =
(ĐS: x=1)
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1./ Định nghĩa:
0 1 0
a
log, , :
N
a a M M N M a> ≠ > = ⇔ =
Suy ra :
1 0 1
a
loglog ,
a
a= =
2./ Các công thức: Cho
0 1 0, , ,a a M N> ≠ >
ta có
+
log
a
M
a M=
+
log ( )
a
a
α
α
=
+
( )
log log

a
a
b b
α
β
β
α
=
;
( )
0, 0b
α
≠ >
+
( )
log . log log
a a a
M N M N= +
+
log log log
a a a
M
M N
N
 
= −
 ÷
 
+
log

log .log log log
log
a
a b a b
a
M
b M M M
b
= ⇔ =
;
( )
0 1b< ≠
+
1
log
log
a
b
b
a
=
;
( )
0 1b< ≠

3
B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bước 1: Đặt điều kiện ( Chú ý: Điều kiện cho
log ( )
a

f x
là
0 1 0 ; ( )a f x< ≠ >
)
Bước 2:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi về một trong các dạng sau
Dạng 1:
log ( ) ( )
a
f x g x=
Cách giải:
( )
log ( ) ( ) ( )
g x
a
f x g x f x a= ⇔ =
Dạng 2:
log ( ) log ( )
a a
f x g x=
Cách giải:
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x= ⇔ =
Dạng 3:
( )
2
0. log ( ) .log ( )
a a

m f x n f x p+ + =
Cách giải: Đặt
log ( )
a
t f x=
Sau khi tìm được x , kết hợp với điều kiện ta được nghiệm .
Chú ý: Có thể đặt
( )t x
ϕ
=
, trong đó
( )x
ϕ
là một biểu thức chứa logarit.
C./ BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
b./
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
c./
4 2
3 7 2log ( ) log ( )x x+ − + = −
d./
16 4 2 2
108log log log logx x x+ + =
Giải:

a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
(1)
ĐK:
0 0
0
3 0 3
x x
x
x x
> >
 
⇔ ⇔ >
 
+ > > −
 
2
2
2
1 3 2 3 2 4
1
3 4 0 1
4

(loaïi)
( ) log ( ) ( )x x x x
x
x x x
x

⇔ + = ⇔ + = =
=

⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −

b../
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
(1) ĐK: x>0
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 9 2 9
1
9 3 3
2

( ) log log log log log log
log log log log
x x x x
x x x
⇔ + = + ⇔ =
⇔ = ⇔ = ⇔ =
x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3
c./
4 2
3 7 2log ( ) log ( )x x+ − + = −
(1) ĐK:

3 0
3
7 0
x
x
x
+ >

⇔ > −

+ >

2 2 2 2
2
2
1
1 3 7 2 3 7 2
2
3 3 1
2 2 4 3 7
7 7 4

( ) log ( ) log ( ) log log ( )
log
x x x x
x x
x x
x x
−
⇔ + − + = − ⇔ + − + = −

+ +
⇔ = − ⇔ = = ⇔ + = +
+ +

2 2
16 3 7 2 1 0 1( ) ( )x x x x x⇔ + = + ⇔ − + = ⇔ =
( thỏa ĐK)
Vậy phương trình có nghiệm là x=1
4
d./
16 4 2 2
108log log log logx x x+ + =
(1)
ĐK: x>0
2 2 2 2
7
2 2 2
2
1 1
1 108
4 2
1 1 7
1 2 7
4 2 4
4 16 0


( ) log log log log
log log log
log

x x x
x x
x x
⇔ + + =
 
⇔ + + = ⇔ =
 ÷
 
⇔ = ⇔ = >
Vậy phương trình có nghiệm là : x=16
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a./
2
2 2
2 2 0log logx x+ − =
b./
2 1
1 1 4log ( ) log
x
x
−
+ − =
c./
2 3
5 7lg lg lgx x x− = −
d./
2 2
2 16 7 0. log logx x+ − =
Giải:
a./

2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 2 0
2 0
1
1
2 0
2 2
2
1
2
2
(1)
x>0
(1)
t= ta coù : t

log log
:
log log
log
log ,
log
x x

ÑK
x x
x
t
Ñaët x t
t x
x
x
−
+ − =
⇔ + − =
=
=


+ − = ⇔ ⇔


= − = −


=
⇔
= =
4




Thỏa điều kiện x>0 . Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4

b./
2 1
1 1 4log ( ) log
x
x
−
+ − =
(1)
ĐK:

[ ]
2
2 2
2 2
2
2 2
1 0 1
1 1 2
4 2
1 1 1 1 1
1 1
1 1 2 0
(*)

log
( ) log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
x x
x x

x x
x x
x x
− > >
 
⇔
 
− ≠ ≠
 
⇔ + − = ⇔ + − =
− −
⇔ − + − − =
Đặt:
2
1log ( )t x= −
, ta có :
2
1
2 0
2
t
t t
t
=

+ − = ⇔

= −


2
2
1 2 3
1 1
1 5
1 2
1
4 4
log ( )
log ( )
x x
x
x
x x
− = =
 
− =

 
⇔ ⇔ ⇔

 
− = −
− = =

 
thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4.
c./
2 3

5 7lg lg lgx x x− = −
(1)
5