Bai tap on thi HSG phan phuong trinh.doc

BÀI TẬP ÔN THI LỚP 10 TOÁN.
A.Phần Đại Số:
I. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1.
2 2
2
1 ( )
3
x x− = −
Đáp số:
2
1 97
1 3
9 2
x
 
 ÷
= + −
 ÷
 
2. Cho tam thức bậc hai
2
( ) axf x bx c= + + . Chứng minh rằng nếu phương trình bậc
hai
( )f y x=
vô nghiệm thì phương trình
[ ]
2
( ) ( )a f x bf x c x
+ + =
cũng vô nghiệm.

3.
3
3
1 1 ... 2x+ + + =
Đáp số: x = 47
4.
( 1)
.
.
.
( 1)
( 1) 4
x
x
x
+
+
+ =
Đáp số:
2 1x = −
5. Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn: a + b + c = 4. Chứng minh:
3 3 3
4 4 4
2 2a b c+ + >
6.
2
35
12
1
x

x
x
+ >
−
Đáp số:
4
1
5
5
3
x
x

< <



<


7. Cho
2 2
2 1a b+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
1 2 1 2S a b= + + +
8. Cho a, b, c > 0 và thoả mãn: abc + a + c = b.
Tìm giá trị lớn nhất:
2 2 2
2 2 3
1 1 1

P
a b c
= − +
+ + +
9. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 2006ac + ab + bc = 2006.
Tìm giá trị lớn nhất:
2
2 2 2 2
2 2 3
1 2006 1
b
P
a b c
= − +
+ + +
10. Cho x, y, z dương thoả mãn: xz - zy - yx = 1.
Tìm giá trị lớn nhất:
2 2 2
2 2 2
2 2 3
1 1 1
x y z
P
x y z
= − +
+ + +
11.
3 3
3 2 3 2
2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + +

12. Cho 3 số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất: y =
30 4 2002
a b c
Đáp số:
30 4 2002
2036
30 4 2002
axy =
2036
M
13. Tìm chữ số bên phải và bên trái dấu phẩy của số thập phân:
2004
( 3 2)M = +
14.
2 2
( 1) 2 3 1x x x x+ − + = +
15. Chứng minh nếu
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình :
2
6 1 0x x− + =
thì:
1 2
n n
x x+ là một số nguyên và không chia hết cho 5, mọi n
N
∈
.
16. Các số thực dương a, b, c thoả mãn:

2 2 2
2 1a b c abc+ + + =
Tìm giá trị nhỏ nhất:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
( )
1 1 1
T a b c
a b c
= + + − + +
− − −
1
17.
2 2
8 816 10 267 2003x x x x− + + + + =
Đáp số:
56
31
x = −
18. Cho x, y là các số thực thoả mãn:
2
( ) 2(3 1)x y x y xy+ = − + −
Đặt A =
2 2
ax xm y+
và
2 2
minB x y= +
. Tính A - B?

II. Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau:
1. Cho x, y, z > 0 thoả mãn:
2 2
2 2
2 2
3 3 75
3 63
48
x xy y
y z
z xz x

+ + =


+ =


+ + =


Hãy tính D = xy + 2yz + 3zx .
Đáp số: D = 60.
2.
1 2 2002
1 2 2002
2003
1 1 ... 1 2002
2002
2001

1 1 ... 1 2002
2002
x x x
x x x

+ + + + + + =




− + − + + − =


Đáp số:
1
2002
i
x =
3.
1 2
2
2 3
3
1
1
1
1
( )
2
1

( )
2
.........................
1
( )
2
1
( )
2
n n
n
n
a
x x
x
a
x x
x
a
x x
x
a
x x
x
−

= +




= +






= +



= +


(với a > 0). Đáp số:
i
x a= ± 4.
2
1 2
2
2 3
2
1
2
1
1
1
..................
1
1

n n
n
x x
x x
x x
x x
−

= +

= +




= +


= +

(
2n ≥
)
5. Cho hệ phương trình :
1 2 2007
1 2 3 2007
1 2 3 4 2007
1 2 2007 2007
... 1
( ... ) 1

( )( ... ) 1
..............................................
( ... ) 1
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
+ + + = −


+ + + = −


+ + + + = −



+ + + = −


Hỏi
1000
?x =
Đáp số:
1000
1000
0
5
x
x

=


= ±


6.
1 2 3
2 3 4
1 1
1 2
4 3 0
4 3 0
............................
4 3 0
4 3 0
n n
n
x x x
x x x
x x x
x x x
−
− + ≥


− + ≥





− + ≥

− + ≥


Đáp số:
1 2
....
n
x x x t= = = =
2
7. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2 2 2
2 2 2
4 ( )
4 ( )
x y x x m
x y y y m

+ = +


+ = +


Đáp số:
25
4
m >

8. Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn:
2 2
( 2) ( 2) 0
4( ) 4
a a b b
c d c d
− + − =


+ = + −

Chứng minh :
2 2
( ) ( ) 4(3 2 2)a c b d− + − ≤ +
9. Cho 100 số thực
1 2 100
, ,...,a a a
thoả mãn:
1 2 100
1 2
3 4 100
... 0
2002
... 2002
a a a
a a
a a a
≥ ≥ ≥ ≥



+ ≤


+ + + ≤

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
2 2 2
1 2 100
...S a a a= + + + . Tìm các số
1 2 100
, ,...,a a a

tương ứng.
10. Cho các số thực không âm
1 2 2003
, ,...,a a a
thoả mãn các điều kiện:
1 2 2003
1 2 2 3 2002 2003 2003 1
... 2
... 1
a a a
a a a a a a a a
+ + + =


+ + + + =

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức :
2 2 2

1 2 2003
...S a a a= + + +
10.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) (3 1)
( ) (3 1)
( ) (3 1)
x y z x x y z
y z x y y z x
z y x z z x y

+ = + +


+ = + +


+ = + +


11.
1 1 1
3( ) 4( ) 5( )
1
x y z
x y z
xy yz zx


+ = + = +



+ + =

12.
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x

+ =


+ =


+ =


13.
2 2
2 2
21 1

21 1
x y y
y x x

+ = − +



+ = − +

B. Phần Hình học.
1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi P, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc của D
xuống BC, CA, AB. Chứng minh PQ = QR khi và chỉ khi phân giác các góc ABC và
ADC cắt nhau trên AC.
2. Cho hình thoi ABCD có
·
0
60BAD =
. Một đường thẳng d thay đổi qua C cắt AB, AD
tại N, M. Gọi P là giao điểm của BM và DN. Chứng minh rằng P thuộc một đường tròn
cố định.
3
3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi O là trung điểm của BC. Đường thẳng d
đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi
OM = ON.
4. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh
AB tại T, đường thẳng CT cắt đường tròn tại K khác T. Giả sử K là trung điểm CT và
CT =
6 2
. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Đáp số: (12,8,8)

5. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AB = c, B = 2A, C = 4A, bán kính đường
tròn ngoại tiếp là R. Tính

2
2 2 2
1 1 1
( )T R
a b c
= + +
6. Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF = FA. Chứng minh rằng:
3
2
BC DE FA
BE DA FC
+ + ≥
.
7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ BC, hạ
MB' vuông góc với AC, MC' vuông góc AB. Tìm vị trí của M để B'C' lớn nhất.
8. Cho tam giác ABC và điểm M thuộc BC. Xét hình bình hành APMN, trong đó P
thuộc AB và N thuộc AC và hình bình hành ABDC với đường chéo AD và BC. Gọi O
là giao điểm của BN và CP. Chứng minh rằng
·
·
· ·
PMO NMO BDM CDM= ⇔ =
.
(Đề thi trại hè Hùng Vương lần thứ hai - năm 2006)
-----------------Hết----------------
Yêu cầu hoàn thành tất cả các bài tập trên !
4