ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Lần II NĂM 2011 Môn TOÁN, khối A, B

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN
Lần II
http://ductam_tp.violet.vn/
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn thi: TOÁN, khối A, B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I: (2,0 điểm)
Cho hàm số
2 4
( )
1
x
y C
x
−
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B.
CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.
Câu II: (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y

x y x y

+ + =

+


+ = −

2. Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tanx
4
x x
π
 
− = −
 ÷
 
.
3. Giải bất phương trình:
( ) ( )
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1x x x x+ + > + −
Câu III: (2,0 điểm)
1. Tính tích phân:
2
3

1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
.
2. Cho tập
{ }
0;1;2;3;4;5A
=
, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Câu IV: (2,0 điểm)
1. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình 3x – y + 9 = 0.
2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy
AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi
α
là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính
tan
α
và
thể tích chóp A’.BCC’B’.
Câu V: (1,0 điểm)
Cho
0, 0, 1x y x y

> > + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
x y
T
x y
= +
− −
……………………………………………….Hết………………………………………………….
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 A, B NĂM 2011
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm)
-Tập xác định: R\{-1}
-Sự biến thiên:
( )
2
6
' 0 1
1
y x
x
= > ∀ ≠ −
+
. Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
của hàm số.
0.25
-
( )
1

lim 1
x
y x
±
→ −
= ∞ → = −
m
là tiệm cận đứng
-
lim 2 2
x
y y
→±∞
= → =
là tiệm cận ngang
0.25
-Bảng biến thiên
0.25
-Đồ thị
0.25
2 Tìm cặp điểm đối xứng….(1,00 điểm)
Gọi
( )
2 4
; 1
1
a
M a C a
a
−

 
∈ ≠ −
 ÷
+
 
Tiếp tuyến tại M có phương trình:
( )
( )
2
6 2 4
1
1
a
y x a
a
a
−
= − +
+
+
Giao điểm với tiệm cận đứng
1x = −
là
2 10
1;
1
a
A
a
−

 
−
 ÷
+
 
Giao điểm với tiệm cận ngang
2y =
là
( )
2 1;2B a +
Giao hai tiệm cận I(-1; 2)
( ) ( )
12 1 1
; 2 1 . .24 12
1 2 2
IAB
IA IB a S IA AB dvdt
a
= = + ⇒ = = =
+
0.25
0.25
0.25
0.25
Suy ra đpcm
II
3
1 Giải hệ …(1,00 điểm)
( )
( )

( )
2 2
2
2
1 1
0
2
xy
x y
x y
dk x y
x y x y

+ + =

+
+ >


+ = −


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
2
1 2 1 0 2 2 0
xy
x y xy x y xy x y xy x y
x y
⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + =

+
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1 2 1 0
1 1 2 0
1 3
0 4
x y x y xy x y
x y x y x y xy
x y
x y x y
⇔ + + − − + − =
⇔ + − + + + − = 
 
+ =

⇔

+ + + =


0.5
Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0
Thế (3) vào (2) ta được

2
1x y
− =
Giải hệ
2
1
1; 0
2; 3
1
x y
x y
x y
x y
+ =
= =


⇒


= − =
− =


……
0.5
2 Giải phương trình….(1,00 điểm)
Đk:
cos 0x
≠

(*)
2 2 2
sinx
2sin 2sin tanx 1 cos 2 2sin
4 2 cos
x x x x
x
π π
   
− = − ⇔ − − = −
 ÷  ÷
   
0.25
( )
2
cos sin2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0x x x x x x x x
⇔ − − + ⇔ + − + =
0.25
cos 0
sinx cos t anx 1
4
4 2
sin 2 1 2 2
2 4
x
x x k
x k
x x l x l
π
π

π π
π π
π π
≠

= − → = − ⇔ = − +

⇔ → = +


= ⇔ = + ⇔ = +


(tm(*))…
0.5
3 Giải bất phương trình (1,00 điểm)
( ) ( )
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1 (1)x x x x+ + > + −
Đk:
0x >
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
3 1 3 5
5

2 2
3 1 5
5
2 2
5
1 log log 1 log log 1 0
log log 1 .log 1 0
log 1 1
x x x x
x x x x
x x
⇔ + − + + + <
 
⇔ + − + + <
 ÷
 
⇔ + + <
0.25
( )
2
5
0 log 1 1x x
⇔ < + + <
*)
( )
2
5
0 log 1 0x x x
< + + ⇔ >
*)

( )
2 2 2
5
12
log 1 1 1 5 1 5 ...
5
x x x x x x x
+ + < ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔ ⇔ <
Vậy BPT có nghiệm
12
0;
5
x
 
∈
 ÷
 
0.25
0.25
0.2
III
2
1 Tính tích phân (1,00 điểm)
( )
( ) ( )
( )
2
3
1
2 2 2

3
3
1 1 1
4
2
3
4 4
3
3
1
ln 2 ln 1
ln 2 ln ln 2 ln 2 ln
2
3 2 ln
1 3
. 3 2
2 4 8
e e e
e
x x
I dx x xd x x d x
x
x
+
= = + = + +
+
 
= = −
 
∫ ∫ ∫

0.5
0.5
2 Lập số …..(1,00 điểm)
-Gọi số cần tìm là
( )
0abcde a ≠
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có:
2
5
A
cách
3 vị trí còn lại có
3
4
A
cách
Suy ra có
2 3
5 4
A A
số
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có
3
4
A
cách
Suy ra có

3
4
4.A
số
Vậy số các số cần tìm tmycbt là:
2 3
5 4
A A
-
3
4
4.A
= 384
0.25
0.25
0.25
0.25
IV
2
1 Viết phương trình đường tròn….(1,00 điểm)
Gọi
( )
;I a b
là tâm đường tròn ta có hệ
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2

2
2 2
2 5 4 1 (1)
3 9
;
2 5 2
10
a b a b
IA IB
a b
IA d I
a b

− + − = − + −
=


⇔
 
− +
= ∆

− + − =


( )
1 2 3a b
⇔ = −
thế vào (2) ta có
2

12 20 0 2 10b b b b
− + = ⇔ = ∨ =
*) với
( ) ( ) ( )
2 2
2 1; 10 : 1 2 10b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − =
0.25
0.25
0.25
*)với
( ) ( ) ( )
2 2
10 17; 250 : 17 10 250b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − =
0.25
2 Hình lăng trụ ….(1,00 điểm)
Gọi O là tâm đáy suy ra
( )
'A O ABC
⊥
và góc
·
'AIA
α
=
*)Tính
tan
α
'
tan
A O

OI
α
=
với
1 1 3 3
3 3 2 6
a a
OI AI
= = =
2 2 2
2 2 2 2
3
' '
3 3
a b a
A O A A AO b
−
= − = − =
2 2
2 3
tan
b a
a
α
−
⇒ =
*)Tính
'. ' 'A BCC B
V
( )

'. ' ' . ' ' ' '.
2 2 2 2 2
1
' . ' .
3
2 3 1 3 3
. . .
3 2 2 6
3
A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC
V V V A O S A O S
b a a a b a
a dvtt
= − = −
− −
= =
0.25
0.25
0.5
V
1
Đặt
2 2
cos ; sin 0;
2
x a y a a
π
 
= = ⇒ ∈
 ÷

 
khi đó
( ) ( )
2 2 3 3
sin cos 1 sin .cos
cos sin cos sin
sin cos sina.cos sin .cos
a a a a
a a a a
T
a a a a a
+ −
+
= + = =
Đặt
2
1
sin cos 2 sin sin .cos
4 2
t
t a a a a a
π
−
 
= + = + ⇒ =
 ÷
 
Với
0 1 2
2

a t
π
< < ⇒ < ≤
Khi đó
( )
3
2
3
1
t t
T f t
t
− −
= =
−
;
( )
( )
(
( )
( )
4
2
2
3
' 0 1; 2 2 2
1
t
f t t f t f
t

− −

= < ∀ ∈ ⇒ ≥ =

−
Vậy
(
( )
( )
1; 2
min 2 2
t
f t f

∈

= =
khi
1
2
x y
= =
. Hay
min 2T
=
khi
1
2
x y
= =

.