Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán tt

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
❚❘❺◆ ✣Ù❈ ❉Ô◆●
❱➋ ❑■➎❯ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❉❶❨ ❱⑨ ❈❍➓ ❙➮ ❑❍❷ ◗❯❨
❈Õ❆ ▼➷✣❯◆ ❚❘➊◆ ❱⑨◆❍ ●■❆❖ ❍❖⑩◆

❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
❚❘❺◆ ✣Ù❈ ❉Ô◆●
❱➋ ❑■➎❯ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❉❶❨ ❱⑨ ❈❍➓ ❙➮ ❑❍❷ ◗❯❨
❈Õ❆ ▼➷✣❯◆ ❚❘➊◆ ❱⑨◆❍ ●■❆❖ ❍❖⑩◆
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ▲þ t❤✉②➳t sè
▼➣ sè✿ ✾ ✹✻ ✵✶ ✵✹
❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚➟♣ t❤➸ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✿
●❙✳❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❚ü ❈÷í♥❣
●❙✳❚❙✳ ▲➯ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❤➔♥
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾





(R, m) ởt tr ữỡ ợ

ỹ t m M ởt Rổ ỳ s d
ổ õ depth M dim M depth M = dim M t ổ M ữủ
ồ

ổ ợ ổ õ

trỏ tr t tr số t tr ỹ
ự ừ ồ ữ ồ số ỵ tt ờ
ủ ỵ tt t
ú ỵ r M (M/xM ) =

e(x; M ) ợ ởt ợ ồ t số x ừ M ởt tr ỳ
rở q trồ ừ ợ ổ ợ ổ s
tu
ăr ợ t õ ợ ổ M
tọ tt t r s (M/xM ) e(x; M )
số ổ ử tở t số x õ ữớ P
r ợ t ợ ổ M tọ

supx ( (M/xM ) e(x; M )) < ữủ ồ

ổ

s rở ữớ ợ t tự
ừ M p(M ) t ổ ừ M tứ
õ ự trú ừ ổ ỳ s tr
ữỡ t q ữợ ừ tự ổ 1 t M
p(M ) = 1 M

✷

s✉② rë♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ p(M ) ≤ 0✳
▼ët ♠ð rë♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❦❤→❝ ❝õ❛ ❧î♣ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❧➔
❧î♣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②✱ ✤÷ñ❝ ❘✳P✳ ❙t❛♥❧❡② ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈➔ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✿ M ❧➔

❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ♥➳✉ ♠é✐ t❤÷ì♥❣ Di/Di+1 ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ tr♦♥❣
✤â D0 = M ✈➔ Di+1 ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ M ❝â ❝❤✐➲✉ ♥❤ä ❤ì♥

dim Di ✈î✐ ♠å✐ i ≥ 0✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ◆✳❚✳ ❈÷í♥❣ ✈➔ ▲✳❚✳ ◆❤➔♥ ❣✐î✐ t❤✐➺✉
❧î♣ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣ ❞➣② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♠é✐
♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ Di /Di+1 ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❜➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ Di /Di+1 ❧➔
❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝
❞➣② ❝õ❛ M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ sp(M )✱ ✤➸ ✤♦ t➼♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ✳
❈❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ sp(M ) ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ q✉ÿ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲
▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ❦❤✐ R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü t❤❛② ✤ê✐ ❝õ❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛

M q✉❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤♦→✱ q✉❛ ✤➛② ✤õ ❤â❛ ❝ô♥❣ ♥❤÷ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ t➠♥❣ ❝õ❛
sp(M/xM ) ❦❤✐ x ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû t❤❛♠ sè✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ t➼♥❤ t♦→♥ sp(M )
t❤æ♥❣ q✉❛ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❦❤✉②➳t t❤✐➳✉ ❝õ❛ M ✳
❈❤ó þ r➡♥❣ ◆✳❚✳ ❈÷í♥❣✱ ✣✳❚✳ ❈÷í♥❣ ✈➔ ❍✳▲✳ ❚r÷í♥❣ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët
❜➜t ❜✐➳♥ ♠î✐ ❝õ❛ M t❤æ♥❣ q✉❛ sè ❜ë✐✱ ✈➔ ❦❤✐ ✈➔♥❤ ❝ì sð ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛
✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t❤➻ ❜➜t ❜✐➳♥ ♥➔② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝
❞➣② ❝õ❛ M ✳ ●➛♥ ✤➙②✱ ❙✳ ●♦t♦ ✈➔ ▲✳❚✳ ◆❤➔♥ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✤➦❝ tr÷♥❣ t❤❛♠
sè ❝õ❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣②✳
▼ö❝ t✐➯✉ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲
❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ▼ët

♠æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ❧➔

❜➜t ❦❤↔ q✉② ♥➳✉ N

= M ✈➔ N ❦❤æ♥❣ t❤➸ ✈✐➳t

t❤➔♥❤ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝❤ù❛ ♥â✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥




tự ừ tr õ r ộ ổ N ừ M t
ữủ t ừ ỳ ổ t q số ổ
t q t tr ởt t t q t ồ tự
t t q ổ tứ ởt t ổ ử
tở t ừ N t ữủ ồ

số q ừ

N tr M ữủ irM (N ) q t số ừ M
t irM (qM ) ữủ ồ

số q ừ q tr M

số q ừ t số
ợ ổ s s rở
ữủ t ồ q t ự t t q
t ừ P ỵ t r p(M ) 1 t tỗ t
số q ừ t số ừ M ợ ộ

n 3 t ỹ ởt ữỡ (R, m)
ợ p(R) = n R tự sp(R) = 1 s

supq irR (q) = t p(M ) 3 t ổ t t
số q ừ tt t số t tr t
số tốt ợ t ữớ ữớ ú ỵ r
ự trú ừ ổ
s rở tữớ ổ trở tự
tố t õ t số tốt õ trỏ rt
q trồ ỹ số q ừ t số tốt
ữủ ự rữớ ợ ổ
tự sp(M ) = 1 P ỵ ợ ổ s
rở tự sp(M ) 0 r ú tổ ự
sỹ tỗ t số q ừ t số tốt

sp(M ) 1 r ú tổ ự số q tr
trũ ổ rt s s số q ừ ổ ừ




M ợ số q ừ ố ts ừ ổ tữỡ tữỡ
ự ừ M rt ỡ t ữủ ự tr

ữỡ t ự tự ú
tổ t t t ừ ồ ừ ổ ồ
ữủ ợ t P ữủ ữớ
t t sỷ ử ồ q t ợ t
ữớ rs ỳ t t tũ
ừ ổ rt t ổ ố ỗ ữỡ ợ

ỹ ự số q ừ t
số tốt sp(M ) ọ ú tổ sỷ ử ỵ tt t số tốt
ợ t ữớ ữớ trữ ỗ ừ
tự t q ừ số tỷ s tố t ừ
ổ
ữủ t ữỡ ữỡ ởt số
tự ỡ ừ số ỡ s tr ở
ừ ỳ ữỡ s ỗ ổ ố ỗ
ữỡ ợ ỹ tự ừ ổ rt
tự ổ ổ s rở
ổ ổ s rở
ữỡ tr tự ừ ổ ử ữ
r ố q ỳ ồ ừ M ồ ừ M/xM ợ x
tỷ ồ q t ử ợ t
tự ừ M sp(M ) t ổ
ừ M ữ r ố q ỳ sp(M )
ừ q t ổ ừ M t ú
tổ ữ r tổ t tự ữợ t ở ữỡ õ




ừ õ ỵ ỵ ử ữ r ố q
ỳ sp(M/xM ) sp(M ) ợ x tỷ t số ồ t
ỵ t q ừ ữỡ ử ữ r trữ ỗ
ừ tự ỵ
ữỡ tr ởt số số q ừ ổ
ử ự sỹ tỗ t số q ừ
t số tốt q ừ M ợ sp(M ) 1 ỵ ử ự
số q tr trũ ổ rt ữ r s s ỳ

số q ừ ổ ừ M ợ số q ừ ố
ts ừ ổ tữỡ tữỡ ự ừ M ỵ


✻

❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✈➲
♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✱
t➟♣ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❣➢♥ ❦➳t✱ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝✱ ❧å❝ ❝❤✐➲✉✱ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲
▼❛❝❛✉❧❛②✱ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣✱ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②
❞➣② ✈➔ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣ ❞➣② ♥❤➡♠ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝
t❤❡♦ ❞ã✐ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳
❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ ◆✳❚✳ ❈÷í♥❣✳ ❈❤♦ x =

(x1 , . . . , xd ) ❧➔ ♠ët ❤➺ t❤❛♠ sè ❝õ❛ M ✳ ❈❤♦ n = (n1 , . . . , nd ) ❧➔ ♠ët ❜ë
❣ç♠ d sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❳➨t ❤✐➺✉ sè

IM,x (n) =

n1
nd
R (M/(x1 , . . . , xd )M )

− n1 n2 . . . nd e(x, M ),

tr♦♥❣ ✤â e(x, M ) ❧➔ ❜ë✐ ❝õ❛ M ù♥❣ ✈î✐ ❤➺ t❤❛♠ sè x✳ ◆❤➻♥ ❝❤✉♥❣✱

IM,x (n) ①➨t ♥❤÷ ♠ët ❤➔♠ sè ✈î✐ ❝→❝ ❜✐➳♥ n1 , . . . , nd ✱ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝

✈î✐ n1 , . . . , nd

0✱ ♥❤÷♥❣ ♥â ❧✉æ♥ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥

❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❇➟❝ ❜➨ ♥❤➜t ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ t❤❡♦ ❜✐➳♥ n ❝❤➦♥
tr➯♥ ❤➔♠ sè IM,x (n) ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ❤➺ t❤❛♠ sè x✳ ❇➜t
❜✐➳♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ M ✱ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ p(M )✳

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧✳ ❙❛✉ ✤â ◆✳❚✳


✼

❈÷í♥❣ ✈➔ ▲✳❚✳ ◆❤➔♥ ✤➣ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ❧↕✐ ✤æ✐ ❝❤ót ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔② ❜➡♥❣ ❝→❝❤
❜ä ✤✐ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧➦♣ ✤➸ t❤✉➟♥ t✐➯♥ ❤ì♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳ ▼ët ❧å❝ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ Hm0 (M ) = Dt ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂
D0 = M ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✱ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ 1 ≤ i ≤ t✱ Di

❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛ M s❛♦ ❝❤♦ dimR Di < dimR Di −1 ✳
▲î♣ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ①✉➜t ❤✐➺♥ tü ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ù♥❣
❞ö♥❣ ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tê ❤ñ♣ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❘✳P✳ ❙t❛♥❧❡②
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ tr➯♥ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝✳ ❚➼♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②
❞➣② ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ P✳❙❝❤❡♥③❡❧❀ ◆✳❚✳ ❈÷í♥❣✲▲✳❚✳ ◆❤➔♥ ❝❤♦ tr÷í♥❣

❤ñ♣ ♠æ✤✉♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✣✐♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳

❈❤♦ Hm0 (M ) = Dt ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M

❝õ❛ M ❧➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✳ ❚❛ ♥â✐ M ❧➔

♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②

✭♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣ ❞➣②✮ ♥➳✉ ♠é✐ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ Di−1/Di

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✭♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣✮ ✈î✐ ♠å✐

i = 1, . . . , t✳
❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➺ t❤❛♠ sè tèt ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ ◆✳❚✳ ❈÷í♥❣ ✈➔ ✣✳❚✳ ❈÷í♥❣
♥❤➡♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧î♣ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ✈➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ♥â✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✸✳ ❈❤♦ x = (x1, . . . , xd) ❧➔ ♠ët ❤➺ t❤❛♠ sè ❝õ❛ M
✈➔ ♠ët ❧å❝ H : Ht ⊂ . . . ⊂ H1 ⊂ H0 = M ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ▼
t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✐➲✉✱ tù❝ ❧➔ dim Ht < . . . < dim H1 < dim H0 ✳ ✣➦t

hi = dimR Hi ✈î✐ ♠å✐ i ≤ t✳
✭✐✮ x ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ t❤❛♠ sè tèt ✤è✐ ✈î✐ ❧å❝ tr➯♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ i = 0, . . . , t−1
t❤➻ (xhi +1 , . . . , xd )M ∩ Hi = 0✳ ▼ët ❤➺ t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ M ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝

❤➺ t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ M ✳
✭✐✐✮ ■✤➯❛♥ t❤❛♠ sè q ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè tèt ✤è✐ ✈î✐ ❧å❝ H

❝❤✐➲✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔

♥➳✉ ♥â s✐♥❤ ❜ð✐ ♠ët ❤➺ t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ M ✤è✐ ✈î✐ ❧å❝ H✳ ▼ët ✐✤➯❛♥
t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ M ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐

✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ M ✳


✽

❈❤÷ì♥❣ ✷
❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t (R, m✮ ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✱ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❝❤✐➲✉ d✱ A ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑➼
❤✐➺✉ R ✈➔ M ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✤➛② ✤õ m✲❛❞✐❝ ❝õ❛ R ✈➔ M ✳

✷✳✶ ▲å❝ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❞➣② ❧å❝ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤➦t
❚❤❡♦ ◆✳❚✳ ❈÷í♥❣✱ ▼✳ ▼♦r❛❧❡s ✈➔ ▲✳❚✳ ◆❤➔♥✱ ♣❤➛♥ tû x ∈ m
❣å✐ ❧➔

(

♣❤➛♥ tû ❧å❝ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤➦t

❝õ❛ M ♥➳✉ x ∈
/ p ✈î✐ ♠å✐ p ∈

AttR Hmj (M )) \ {m}✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ t✐➳t ♥➔② ❧➔ ✤÷❛ r❛ ♠è✐

j≤d

q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✈➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M/xM ✱ ✈î✐ x ❧➔ ♣❤➛♥ tû
❧å❝ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤➦t ❝õ❛ Di−1 /Di ✈î✐ ♠å✐ i = 1, ..., t✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✽✳ ●✐↔ sû R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

❈❤♦ Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M ❧➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✈➔ x ∈ m
❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧å❝ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤➦t ❝õ❛ Di−1/Di ✈î✐ ♠å✐ i ≤ t✳ ✣➦t Di =
(Di + xM )/xM ✈î✐ i ≤ t✳ ❈❤♦ Hm0 (M/xM ) = Lt ⊂ ... ⊂ L0 = M/xM
❧➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M/xM ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
✭✐✮ t ≤ t ≤ t + 1✳ ❈ö t❤➸✱ t = t ♥➳✉ dt−1 ≥ 2 ✈➔ t = t + 1 ♥➳✉ dt−1 = 1✳
✭✐✐✮ Di ⊆ Li ✈➔ (Li /Di ) < ∞ ✈î✐ ♠å✐ i ≤ t ✳


✾

✷✳✷ ❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② q✉❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ✈➔ ✤➛②
✤õ ❤â❛
❚r♦♥❣ s✉èt t✐➳t ♥➔② ❧✉æ♥ ①➨t Hm0 (M ) = Dt ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M ❧➔
❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✈➔ di := dim Di ✈î✐ ♠å✐ i ≤ t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✶✳ ❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ sp(M ) ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ t❤æ♥❣ q✉❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ tr♦♥❣ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛

M ♥❤÷ s❛✉✿
sp(M ) = max{p(Di−1 /Di ) | i = 1, . . . , t}.
❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ t❤➜② ♥❣❛② r➡♥❣✱ sp(M ) = −1 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ M
❧➔ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②❀ sp(M ) ≤ 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ M ❧➔ ♠æ✤✉♥
❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣ ❞➣②✳ ◆❤➻♥ ❝❤✉♥❣✱ sp(M ) ✤♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲
▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M ✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦➼ ❤✐➺✉ nSCM(M ) ❧➔

q✉ÿ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ✱ tù❝ ❧➔
nSCM(M ) := {p ∈ Spec(R) | Mp ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②}.
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤÷❛ r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ sp(M ) ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ q✉ÿ t➼❝❤
❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✹✳ ◆➳✉ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② t❤➻ sp(M ) ≥ dim(nSCM(M ))✳ ✣➥♥❣
t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➲ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❞÷î✐ t→❝ ✤ë♥❣
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✼✳ ❈❤♦ p ∈ SuppR M ✳ ●✐↔ sû R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r②✳

◆➳✉ dim(R/p) > sp(M ) t❤➻ Mp ❧➔ Rp✲♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②✳
✭✐✐✮ ◆➳✉ dim(R/p) ≤ sp(M ) t❤➻ sp(Mp ) ≤ sp(M ) − dim(R/p)✳
✭✐✮

❈❤ó þ r➡♥❣ p(M ) = p(M )✱ t✉② ♥❤✐➯♥ t❛ ❦❤æ♥❣ ❝â q✉❛♥ ❤➺ ♥❤÷ ✈➟②
✈î✐ sp(M ) ✈➔ sp(M )✳




ử (R, m) tr ữỡ 2
ỹ rr s R õ tố
t ú P 1 õ sp(R) = 1 ữ sp(R) = 1
t R ữủ ồ ổ trở dim R/p =

dim R ợ ồ p Ass R t q s ữ r ố q ỳ sp(M )
sp(M ) ỗ tớ r trữ sp(M ) sp(M )

ỵ

sp(M ) sp(M )

r R/p ổ
trở ợ ồ tố t p ừ M.
ọ t ổ trở ừ tố t sp(M )
sp(M ) õ t

ử ợ t ý số r 0 tỗ t tr
(R , m ) tr ờ ử s sp(R ) = 1 sp(R ) = r + 2

ố q ỳ sp(M ) sp(M/xM ) ợ x
tỷ t số
r tt ú tổ r ố q ỳ sp(M/xM )

sp(M ) tr õ x tỷ t số ồ t Hm0 (M ) = Dt
... D0 = M ồ ừ M di := dim Di ợ ồ i t

ỵ sỷ sp(M ) > 0 x m tỷ ồ q

t ừ Di1/Di ợ ồ i t õ sp(M/xM ) sp(M ) 1
tự r R tữỡ ừ ữỡ
tự sp(M/xM ) = sp(M ) 1 tr ỵ õ t

ổ ỏ ú t ọ tt R tữỡ ừ ởt
ữỡ

ử ợ ộ số r 0 tỗ t tr
(R , m ) a m f tỷ t ừ R s sp(R ) = r + 1


✶✶

sp(R∗ /aR∗ ) = −1✳

✷✳✹ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ❝õ❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣②
❈❤♦ Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D0 = M ❧➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✈➔

di := dim Di ✈î✐ ♠å✐ i ≤ t✳ ❚❛ q✉② ÷î❝ dim Dt = −1 ❦❤✐ Dt = 0✳
✣➦t Λ(M ) = {d0 , ..., dt }✳ ❈❤ó þ r➡♥❣ Λ(M ) \ {−1} = {dim(R/p) | p ∈

AssR M }. ●✐↔ sû R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ✣➦t
q1 := max dim(K j (M )) ✈➔ q2 := max p(K j (M ))✳ ❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤➾
j ∈Λ(M
/
)

j∈Λ(M )

r❛ r➡♥❣ sp(M ) ❝â t❤➸ t➼♥❤ t♦→♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛
♠æ✤✉♥ ❦❤✉②➳t t❤✐➳✉ K j (M )✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✹✳✷✳ ◆➳✉ R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
t❤➻

sp(M ) = max{q1 , q2 }.

❍➺ q✉↔ ✷✳✹✳✸✳ ❈❤♦ r ≥ −1 ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✳ ●✐↔ sû R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛

♠ët ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â sp(M ) ≤ r ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
dim K j (M ) ≤ r ✈î✐ ♠å✐ j ∈
/ Λ(M ) ✈➔ dim K j (M ) = j tr♦♥❣ ✤â p(K j (M )) ≤
r ✈î✐ ♠å✐ j ∈ Λ(M )✳


✶✷

❈❤÷ì♥❣ ✸
❈❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t (R, m✮ ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✱ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❝❤✐➲✉ d✱ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M
✈➔ A ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑➼ ❤✐➺✉ R ✈➔ M ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✤➛② ✤õ m✲❛❞✐❝ ❝õ❛

R ✈➔ M ✳

✸✳✶ ❈❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r
❚r÷î❝ ❤➳t✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥✳
◆❤➢❝ ❧↕✐ r➡♥❣✱ N ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ♥➳✉ N

❦❤æ♥❣ t❤➸

✈✐➳t t❤➔♥❤ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤ü❝ sü ❝❤ù❛ ♥â✳ ❚❤❡♦ ❊✳
◆♦❡t❤❡r✱ N ❧✉æ♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ ❣✐❛♦ ❦❤æ♥❣ t❤ø❛ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥
❝♦♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ M ✈➔ sè t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣
♣❤➙♥ t➼❝❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❦❤æ♥❣ t❤ø❛ ❝õ❛ N ❝❤➾ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ N ♠➔ ❦❤æ♥❣

♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ♣❤➙♥ t➼❝❤✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳✷✳ ❙è ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ M ①✉➜t ❤✐➺♥
tr♦♥❣ ♠ët ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❦❤æ♥❣ t❤ø❛ ❝õ❛ N ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❝❤➾ sè

❦❤↔ q✉② ❝õ❛ N tr♦♥❣ M ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ irM (N )✳ ◆➳✉ q ❧➔ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠
sè ❝õ❛ M t❤➻ irM (qM ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ q tr♦♥❣ M ✳
❈❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❏✳❉✳ ❙❛❧❧② ✈➲ sè ♣❤➛♥ tû




s tố t ừ ổ à(N ) := R/m (N/mN ) số
tỷ s tố t ừ N
t c(M ) = sup {à(N ) | N ổ ừ M }. ự
r c(R) < R 1 õ t
rở t q ổ t tỹ P ỵ
ỹ ởt tữỡ tỹ s ổ rt

ợ ộ Rổ rt A t

r(A) = sup {dimR/m Soc(A/B) | B ổ ừ A}.
ợ Rổ ỳ s N t N = HomR (N, E(R/m)) ố
ts ừ N õ N Rổ rt c(N ) = r(N ) ợ

Rổ rt A tt R = R t A = HomR (A, E(R/m))
Rổ ỳ s r(A) = c(A ) ú ỵ r r(A) <
dimR A 1.

số q ợ tự ọ
r trữớ ủ p(M ) 1 P ỵ ự ữủ tỗ t
số q ố ợ ồ t số q ừ M r
trữớ ủ p(M ) = 2, ọ õ tỗ t irM (qM ) ợ
ồ t số ừ M ọ ợ p(M ) 3,
irM (qM ) ợ ồ t số q ừ M õ t ổ tỗ t
sp(M ) = 1 ử t ợ n 3 t ỹ
tr ữỡ (R, m) s p(R) = n
sr ừ irR (q) ổ tr õ q tr t tt
t số ừ R ữ ự tr t số
q ừ t số irM (qM ) ợ trữợ ừ p(M )
ró r ọ ú tổ t r r õ tỗ t ổ




số q t số irM (qM ) sp(M ) 1
ử tr ọ tr ổ ú ồ t số q
ừ M t ú t t t số

tốt

ổ ử q trồ ự ợ ổ
ởt ọ tỹ õ tỗ t ổ ởt

irM (qM ) ợ ồ t số tốt q ừ M ởt t q ữủ ữ
r r trữớ ủ sp(M ) = 1 P ỵ
trữớ ủ sp(M ) 0 tr ớ trữớ ủ sp(M ) 1 s ữủ
ú tổ qt tr tt ừ ữỡ rữợ ự

ỵ t ởt số ờ s

ờ sỷ sp(M ) 1 R = R ồ H ổ ừ M

s dimR H < d p(M/H) 1 x m tỷ t số
ừ M s xH = 0 õ sp(M/xM ) 1.

ợ ộ Rổ rt A ợ dimR (A) 1 số r(A) ữủ
ữ tr

ờ sỷ R

t à = à(m) số tỷ s
tố t ừ m H ổ ừ M s dimR H < d
p(M/H) 1 x m tỷ t số ừ M s xH = 0
õ
= R

dimR/m Soc(Hmd1 (M/xM )) dimR/m Soc(Hmd (M )) + dimR/m Soc(Hmd1 (H))
+ (à + 1) r(Hmd1 (M/H)) + à r(Hmd2 (M/H)).
ứ t ở tt t sỷ ử s

Hn . . . H1 H0 = M ồ ổ
ừ M tọ x = (x1 , . . . , xd ) t số tốt
ừ M ự ợ ồ tr sỷ

Hm . . . H1 H0 = M/xd M


✶✺

❧➔ ❧å❝ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M/xd M, tr♦♥❣ ✤â m ✈➔ Hi ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤
♥❤÷ s❛✉✿ ◆➳✉ dimR H1 < d − 1✱ t❤➻ t❛ ✤➦t m = n ✈➔ Hi = (Hi +

xd M )/xd M ∼
= Hi ❝á♥ ♥➳✉ dimR H1 = d − 1✱ t❤➻ t❛ ✤➦t m = n − 1 ✈➔
H = (Hi+1 + xd M )/xd M ∼
= Hi+1 ✱ ✈î✐ i = 1, . . . , m.
i

❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû R = R✳ ❈❤♦ Hn ⊂ . . . ⊂ H1 ⊂ H0 = M ❧➔ ❧å❝

❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✐➲✉ s❛♦ ❝❤♦ p(Hn) ≤ 1
✈➔ p(Hi−1/Hi) ≤ 1 ✈î✐ ♠å✐ i ≤ n✳ ❈❤♦ (x1, . . . , xd) ❧➔ ❤➺ t❤❛♠ sè tèt
ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ tr➯♥✳ ❑❤✐ ✤â (x1, . . . , xd−1) ❧➔ ❤➺ t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ M/xdM
ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ Hm ⊂ . . . ⊂ H1 ⊂ H0 = M/xdM. ◆❣♦➔✐ r❛✱ p(Hm) ≤ 1✱
dimR Hi < dimR Hi−1 ✈➔ p(Hi−1 /Hi ) ≤ 1 ✈î✐ ♠å✐ i = 1, . . . , m✳
❚r♦♥❣ s✉èt t✐➳t ♥➔②✱ t❛ ✤➦t µ = µ(m) ❧➔ sè ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ tè✐ t❤✐➸✉
❝õ❛ m✳

❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✺✳ ●✐↔ sû sp(M ) ≤ 1. ❈❤♦ 0 = Hn+1 ⊂ Hn ⊂ . . . ⊂ H1 ⊂

❧➔ ♠ët ❧å❝ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✐➲✉✳
●✐↔ sû r➡♥❣ p(Hi/Hi+1) ≤ 1 ✈î✐ ♠å✐ i ≤ n ✈➔ Hn t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
s❛✉✿ Hn = M ❦❤✐ d ≤ 2✱ ✈➔ dimR Hn ≥ 2 ❦❤✐ d > 2✳ ✣➦t hi = dimR Hi
✈î✐ i ≤ n✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè tèt q = (x1, . . . , xd) ❝õ❛ M
ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ tr➯♥✱ t❛ ❝â
H0 = M

n

irM (qM ) ≤ µ

d

n

r
i=0 j
Hmj (Hi /Hi+1 )

dimR/m Soc(Hmhi (Hi )).

+
i=0

✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ t✐➳t ♥➔②✳

✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷✳✻✳ ❈❤♦ sp(M ) ≤ 1 ✈➔ Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D0 = M ❧➔

❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â ♠é✐ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè tèt q ❝õ❛ M ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝
Dk ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M ✈î✐ sè k ∈ {0, 1, . . . , t} ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❜➨ ♥❤➜t




s p(Dk ) 1 t õ
k1

irM (qM ) à

d

r Hmj (Di /Di+1 ) +
i=0 j
r Hmj (Dk )
j
k

R/m Soc(Hmdi (Di )),

+
i=0

tr õ di := RDi ợ ồ i k à := à(m) số tỷ s
tố t ừ m

t x t số tốt ố ợ ồ t x
t số tốt ợ ồ Dk . . . D1 D0 = M tr ỵ
õ số tr ỵ tr ụ irM (qM ) ợ ồ

q t số tốt ừ M ỡ ỳ p(M ) 1 t k = 0
õ ồ t số ừ M t số tốt ự ợ ồ
tr ỵ ỵ rở t q
số q ừ t số ừ ổ M
tr ừ P ỵ

số q ừ ổ rt ố
ts
r sốt tt t E = E(R/m) ở ừ R/m

DR () = HomR (, E) tỷ ố ts k = R/m trữớ
t ữ ừ R
A ồ t

tờ A = 0 A ổ

t t tờ ừ ổ tỹ sỹ ừ õ tự

A = B + C, tr õ B, C ổ ừ A t A = B
A = C r A ổ ữủ t tờ ổ t
tờ ổ tứ số t t tờ t tr
ở ợ t tờ ổ tứ ừ A


✶✼

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳✷✳ ❙è t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❜➜t ❦❤↔ tê♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ❜➜t ❦❤↔ tê♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤ø❛ ❝õ❛ A ❣å✐ ❧➔

❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ A ✈➔ ❦➼

❤✐➺✉ ❜ð✐ irR (A).
❚r♦♥❣ ❦❤✐ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❦❤æ♥❣ ❜↔♦
t♦➔♥ q✉❛ ✤➛② ✤õ m✲❛❞✐❝✱ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝❤➾ sè
❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ A ❜↔♦ t♦➔♥ q✉❛ ✤➛② ✤õ m✲❛❞✐❝✳

❇ê ✤➲ ✸✳✸✳✸✳ irR(A) = irRA.

❇ê ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
❆rt✐♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳

❇ê ✤➲ ✸✳✸✳✼✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈➔ A ❧➔ ♠ët R✲

♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ ✣➦t k = R/m✳ ❑❤✐ ✤â

✭✐✮ dimk Soc(M ) = dimk (DR (M )/m DR (M )).
✭✐✐✮ ◆➳✉ B

A

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ A s❛♦ ❝❤♦

R (A/B)

< ∞ ✈➔ B+mA =

t❤➻ B = A.
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ A ❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤➻ irR (A) = dimk (A/mA).

✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ t✐➳t ♥➔②✱ ✤÷❛ r❛ sü s♦ s→♥❤
❣✐ú❛ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ✈➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ✤è✐
♥❣➝✉ ▼❛t❧✐s D(M/N )✳

✣à♥❤ ❧þ ✸✳✸✳✶✵✳ ❈❤♦ R = R ✈➔ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â
irR (D(M/N )) ≤ irM (N ).

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

R (M/N )

< ∞✳


✶✽

❑➌❚ ▲❯❾◆ ❈Õ❆ ▲❯❾◆ ⑩◆
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s❛✉✿
✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ sp(M )
✤➸ ✤♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ✳ ❈❤➾ r❛ r➡♥❣ sp(M )
❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ q✉ÿ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ♥➳✉

R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
✷✳ ▼æ t↔ sü t❤❛② ✤ê✐ ❝õ❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❞÷î✐ t→❝ ✤ë♥❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
❤â❛ ✈➔ ✤➛② ✤õ m✲❛❞✐❝✳
✸✳ ❈❤➾ r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ sp(M ) ✈➔ sp(M/xM )✱ tr♦♥❣ ✤â x ❧➔
♣❤➛♥ tû ❧å❝ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝❤➦t✳
✹✳ ✣÷❛ r❛ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ❝❤♦ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ M ✈î✐ ❣✐↔
t❤✐➳t R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣❀
✺✳ ✣÷❛ r❛ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝❤➦♥ ✤➲✉ ❝❤♦ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥
t❤❛♠ sè tèt q ❝õ❛ M ✈î✐ sp(M ) ≤ 1❀
✻✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝❤♦ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② tr♦♥❣
♣❤↕♠ trò ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➔ ❝❤➾ r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉②
❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✈î✐ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ❝→❝ ✤è✐ ♥❣➝✉
▼❛t❧✐s ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ M ✳

✶✾

❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❝→❝ ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛
◆❤â♠ ✣↕✐ sè ✈➔ ▲þ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✈➔ t↕✐ ♥❤✐➲✉ ❤ë✐
♥❣❤à ♥❤÷✿ ❍ë✐ ♥❣❤à ✣↕✐ sè ✲ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✲ ❚æ♣æ✱ ❇✉æ♥ ▼❛ ❚❤✉ët ✭✶✵✴✷✵✶✻✮✱
❍ë✐ t❤↔♦ ❧✐➯♥ ❦➳t ❱✐➺t✲◆❤➟t✱ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✭✶✴✷✵✶✼✮✱ ❍ë✐ ♥❣❤à ❚♦→♥ ❤å❝
❚♦➔♥ q✉è❝ ❧➛♥ t❤ù ✾✱ ◆❤❛ ❚r❛♥❣ ✭✽✴✷✵✶✽✮✱ ❍ë✐ ♥❣❤à ✣↕✐ sè ●✐❛♦ ❤♦→♥
❱✐➺t✲◆❤➟t✱ ❍✉➳✱ ✭✾✴✷✵✶✽✮✳

❈→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ tî✐ ❧✉➟♥ →♥
❬✶❪

▲✳❚✳ ◆❤❛♥✱ ❚✳❉✳ ❉✉♥❣ ❛♥❞ ❚✳❉✳▼✳ ❈❤❛✉✱ ✧❆ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ♥♦♥✲

s❡q✉❡♥t✐❛❧ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②♥❡ss ♦❢ ❢✐♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ♠♦❞✉❧❡s✧✱

❜r❛✱ ✹✻✽ ✭✷✵✶✻✮✱ ✷✼✺✲✷✾✺✳
❬✷❪

❚✳❉✳ ❉✉♥❣ ❛♥❞ ▲✳❚✳ ◆❤❛♥✱ ✧❆ ✉♥✐❢♦r♠ ❜♦✉♥❞ ♦❢ r❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②

✐♥❞❡① ♦❢ ❣♦♦❞ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐❞❡❛❧s ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s✧✱

❆♣♣❧✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✷✷✸ ✭✷✵✶✾✮✱ ✸✾✻✹✲✸✾✼✾✳
❬✸❪

❏✳ ❆❧❣❡✲

❏✳ P✉r❡

❚r➛♥ ✣ù❝ ❉ô♥❣✱ ✧❖♥ t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡① ♦❢ r❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②

❢♦r ♣❛r❛♠❡t❡r ✐❞❡❛❧s ♦❢ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✧✱

❚↕♣ ❝❤➼ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔

❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✶✹✼✭✵✷✮ ✭✷✵✶✺✮✱ ✶✾✾✕✷✵✷✳

❬✹❪ ◆✳❚✳ ❈✉♦♥❣✱ ❚✳❉✳ ❉✉♥❣ ❛♥❞ ▲✳❚✳ ◆❤❛♥✱ ✧❘❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ✐♥❞❡① ♦❢

❢✐♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ▼❛t❧✐s ❞✉❛❧✐t②✧✱ ✭✷✵✶✾✮✱ Pr❡♣r✐♥t✳