CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT
A2 ≥ 0
x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
2
2
2
2 x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ≥ 0 <=> ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ 0
(
)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 xy + 2 yz − 2 zx
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
2
x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 yz + 2 zx ≥ 0 <=> ( x − y + z ) ≥ 0
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
x2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 2 ( x + y + z )
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì
HD:
Xét hiệu ta có:
2
2
2
( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 0
Dấu bằng khi x=y=z=1
2
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :
HD :
Xét hiệu ta có :
a 2 + b 2 a 2 + 2ab + b 2
−
≥0
2
4
a 2 + b2 a + b
≥
÷
2
2
2a 2 + 2b 2 − ( a 2 − 2ab + b 2 ) ≥ 0
<=>
2
<=> a + 2ab + b ≥ 0 <=> ( a + b ) ≥ 0
2
2
Dấu bằng khi a=b
2
a2 + b2 + c2 a + b + c
≥
÷
3
3
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :
HD:
Ta có:
a 2 + b2 + c 2 a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
≥
3
9
<=> 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 − ( a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac ) ≥ 0
<=> 2a 2 + 2b2 + 2c 2 − 2 ab − 2bc − 2 ac ≥ 0
1
<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2
2
2
, Dấu bằng khi a=b=c
a 2 + b2 + c 2 ≥
( a + b + c)
2
3
Bài 6: CMR :
HD:
Ta có:
3a 2 + 3b 2 + 3c 2 ≥ a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a 2 + 2b2 + 2c 2 − 2 ab − 2bc − 2 ac ≥ 0
<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2
2
2
, Dấu bằng khi a=b=c
a +b
2
2
( a + b)
≥
2
Bài 7: CMR :
HD:
a +b
2
2
2
≥ 2ab
( a + b)
≥
2
2
Ta chứng minh:
<=> 2a 2 + 2b 2 ≥ a 2 + 2ab + b 2
<=> a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 <=> ( a − b ) ≥ 0
2
Dấu bằng khi a=b
2
( a + b ) ≥ 2ab
2
Ta chứng minh
2
<=> a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab <=> ( a − b ) ≥ 0
Dấu bằng khi a=b
a2 +
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:
HD:
Ta có:
2
4a 2 + b 2 − 4ab <=> ( 2a − b ) ≥ 0
b2
≥ ab
4
Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + 1 − ab − a − b ≥ 0
a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
<=> 2a 2 + 2b2 + 2 − 2ab − 2 a − 2b ≥ 0
<=> ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 2a + 1) + ( b 2 − 2b + 1) ≥ 0
2
<=> ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 0
2
2
2
Dấu bằng khi a=b=1
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − ab − ac − ad − ae ≥ 0
<=> 4a 2 + 4b2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae ≥ 0
<=>
(a
2
− 4ab + 4b 2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + ( a 2 − 4ad + 4d 2 ) + ( a 2 − 4ae + 4e 2 ) ≥ 0
<=> ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 0
2
2
2
2
Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
1 1
1 + ÷1 + ÷ ≥ 9
a b
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR:
HD:
b
a
a + b a + b
a b
= 1 +
÷1 +
÷ = 2 + ÷ 2 + ÷ = 4 + 2 + ÷+ 1
a
b
a
b
b a
ta có: VT
a b
= 5 + 2 + ÷ ≥ 5 + 2.2 = 9
b a
Dấu bằng khi
a b
1
= => a 2 + b 2 <=> a = b =
b a
2
2
x+ y
x, y ≥ 0, CMR :
÷ ≥ xy
2
Bài 12: Cho
HD:
Ta có:
2
x 2 + y 2 + 2 xy ≥ 4 xy <=> x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0 <=> ( x − y ) ≥ 0
Dấu bằng khi x=y
a 3 + b3 ≥ a 2b + ab 2
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:
( a3 − a 2b ) + ( b3 − ab2 ) ≥ 0 <=> a 2 ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ 0
a − b ) ( a 2 − b 2 ) ≥ 0 <=> ( a − b ) ( a + b ) ≥ 0
<=> (
2
Dấu bằng khi a=b
a ≥ b ≥ 1,
Bài 14: Cho
HD:
CMR:
1
1
2
+
≥
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab
3
Xét hiệu:
1 1
1
1
−
−
÷+
÷≥ 0
2
2
1 + a 1 + ab 1 + b 1 + ab
<=>
a ( b − a)
b ( a − b)
+
( 1 + a ) ( 1 + ab ) ( 1 + b ) ( 1 + ab )
2
2
( b − a ) ( ab − 1)
1 + ab ) ( a 2 + 1) ( b 2 + 1)
<=> (
≥0
2
≥0
Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
x2 + y 2 + z 2 + t 2 ≥ x ( y + z + t )
Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có :
HD:
Ta có:
x 2 + y 2 + z 2 + t 2 − xy − xz − xt ≥ 0
2
2
2
2
<=> 4 x + 4 y + 4 z + 4t − 4 xy − 4 xz − 4 xt ≥ 0
<=>
(x
2
− 4 xy + 4 y 2 ) + ( x 2 − 4 xz + 4 z 2 ) + ( x 2 − 4 xt + 4t 2 ) + x 2 ≥ 0
Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
a2
+ b 2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc
4
Bài 17: CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab + 4ac − 8bc ≥ 0
<=> a 2 − 4a ( b − c ) + 4 ( b 2 + c 2 − 2bc ) ≥ 0
2
<=> a − 4a ( b − c ) + 4 ( b − c ) ≥ 0
2
<=> ( a − 2a + 2c ) ≥ 0
2
x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 xy − 2 zx + 2 yz
Bài 19: CMR :
HD:
Ta có:
x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 yz + 2 zx ≥ 0
x 2 − 2 x ( y − z ) + y 2 − 2 yz + z 2 ≥ 0
x 2 − 2 x ( y − z ) + ( y − z ) ≥ 0 <=> ( x − y + z ) ≥ 0
2
2
x 4 + y 4 + z 4 + 1 ≥ 2 x ( xy 2 − x − z + 1)
Bài 20: CMR :
HD:
Ta có:
4
x 4 + y 4 + z 4 + 1 − 2 x 2 y 2 + 2 x 2 − 2 xz − 2 x ≥ 0
(x
4
+ y 4 − 2 x 2 y 2 ) + ( x 2 − 2 xz + z 2 ) + ( x 2 − 2 x + 1) ≥ 0
(x
2
− y 2 ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 0
2
2
2
±1
Dấu bằng khi x=z=1, y=
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
Bài 21: CMR :
HD :
ta có :
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ≥ 0
<=> 2a 2 + 2b2 + 2c 2 − 2 ab − 2bc − 2ca ≥ 0
<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2
2
2
a 2 + b 2 ≥ ab
Bài 22: CMR :
HD:
ta có:
a 2 + b 2 − ab ≥ 0
2
b b 2 3b2
b 3b 2
<=> a − 2a. + +
≥ 0 <=> a − ÷ +
≥0
2 4
4
2
4
2
x 2 + xy + y 2 ≥ 0
Bài 23: CMR :
HD:
Ta có:
2
y y2 3y2
y 3 y2
x 2 + 2 x. + +
≥ 0 <=> x + ÷ +
≥0
2 4
4
2
4
a ( a + b ) ( a + c ) ( a + b + c ) + b 2c 2 ≥ 0
Bài 24: CMR :
HD:
<=> a ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) + b 2c 2 ≥ 0
<=>
Đặt
(a
2
+ ab + ac ) ( a 2 + ab + ac + bc ) + b 2c 2 ≥ 0
a 2 + ab + ac = x
bc = y
x ( x + y ) + y 2 ≥ 0 <=> x 2 + xy + y 2 ≥ 0
Khi đó ta có:
(a
2
+ b 2 ) ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a 3 + b3 )
2
Bài 25: CMR :
HD:
Ta có:
5
a 6 + a 2b 4 + a 4b 2 + b 6 ≥ a 6 + 2a 3b3 + b 6
<=> (
a 4b 2 − a3b 3 ) + ( a 2b 4 − a 3b3 ) ≥ 0
3 2
2 3
<=> a b ( a − b ) + a b ( b − a ) ≥ 0
a − b ) ( a 3b 2 − a 2b3 ) ≥ 0 <=> a 2b 2 ( a − b )
<=> (
2
≥0
( a + b ) ( a 3 + b3 ) ≤ 2 ( a 4 + b 4 )
Bài 26: CMR :
HD:
Ta có:
a 4 + ab3 + a 3b + b 4 ≤ 2a 4 + 2b 4 <=> a 4 − ab3 + b 4 − a 3b ≥ 0
(
3
3
a3 − b3
<=> a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 0 <=>
) ( a − b ) ≥ 0 <=> ( a − b ) ( a
2
2
+ ab + b 2 ) ≥ 0
2 ( a 3 + b3 ) ≥ ( a + b ) ( a 2 + b 2 )
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR :
HD:
Ta có:
2a 3 + 2b3 ≥ a 3 + ab 2 + a 2b + b3
3
2
3
2
<=> a − a b + b − ab ≥ 0
<=> a
2
( a − b ) + b2 ( b − a ) ≥ 0
<=> ( a − b )
2
( a + b) ≥ 0
4 ( a 3 + b3 ) ≥ ( a + b )
3
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:
HD:
Ta có:
4a 3 + 4b3 ≥ a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
3
2
3
2
<=> 3a − 3a b + 3b − 3ab ≥ 0
<=>
3a 2 ( a − b ) + 3b 2 ( b − a ) ≥ 0 <=> 3 ( a − b ) ( a 2 − b 2 ) ≥ 0
<=> 3 ( a − b )
2
( a + b) ≥ 0
a 3 + b3 + abc ≥ ab ( a + b + c )
Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD:
Ta có:
a 3 + b3 + abc ≥ a 2b + ab 2 + abc
3
2
3
2
<=> a − a b + b − ab ≥ 0
<=> a
2
( a − b ) + b2 ( b − a ) ≥ 0
6
<=> ( a − b )
(a
2
2
( a + b) ≥ 0
+ b 2 ) ≥ ab ( a + b )
2
2
Bài 30: CMR:
HD:
Ta có:
a 4 + 2a 2b 2 + b 4 ≥ ab ( a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3b + 2a 2b 2 + ab 3
<=>
(a
4
− a 3b ) + ( b 4 − ab3 ) ≥ 0
3
3
<=> a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 0
<=>
(a
3
− b3 ) ( a − b ) ≥ 0 <=> ( a − b )
2
(a
2
+ ab + b 2 ) ≥ 0
a2 + b2 + c2 ≥ a ( b + c )
Bài 31: CMR:
HD:
ta có:
a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac ≥ 0
2
2
2
<=> 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac ≥ 0
<=>
(a
2
− 4ab + 4b 2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + 2a 2 ≥ 0
2
<=> ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a ≥ 0
2
2
a 2 + b2 + c 2 + d 2 ≥ a ( b + c + d )
Bài 32: CMR:
HD:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ab − ac − ad ≥ 0
2
2
2
2
<=> 4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad ≥ 0
<=> (
a 2 − 4ab + 4b 2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + ( a 2 − 4ad + 4d 2 ) + a 2 ≥ 0
2
<=> ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a ≥ 0
2
a2 + b2 + c2 +
Bài 33: CMR:
HD:
Ta có:
(a
2
2
2
3
≥ ( a + b + c)
4
− a ) + ( b2 − b ) + ( c 2 − c ) +
3
≥0
4
1 2
1 2
1
2
a − a + ÷+ b − b + ÷ + c − c + ÷ ≥ 0
4
4
4
<=>
2
2
2
1
1
1
a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ 0
2
2
2
<=>
7
a 4 + b 4 + 2 ≥ 4 ab
Bài 34: CMR:
HD:
ta có:
a 4 + b 4 − 4ab + 2 ≥ 0
4
4
2 2
2 2
<=> a + b − 2a b + 2a b − 4ab + 2 ≥ 0
a
<=> (
<=>
(a
2
− b 2 ) + 2 ( a 2b 2 − 2ab + 1) ≥ 0
2
− b 2 ) + 2 ( ab − 1) ≥ 0
2
2
2
x4 − 4 x + 5 > 0
Bài 35: CMR:
HD:
ta có:
( x 4 − 4 x 2 + 4 ) + ( 4 x2 − 4 x + 1) > 0
x
<=> (
2
− 2 ) + ( 2 x − 1) > 0
2
2
Không xảy ra dấu bằng
1
x4 − x + > 0
2
Bài 36: CMR:
HD:
Ta có:
1 2
1
4
2
x − x + ÷+ x − x + ÷ ≥ 0
4
4
2
2
1
2 1
x − ÷ +x− ÷ ≥ 0
2
2
<=>
x 3 + 4 x + 1 > 3 x 2 ( x > 0)
Bài 37: CMR:
HD:
x3 − 3x 2 + 4 x + 1 > 0
ta có:
x x2 − x + 4) + x2 + 1 > 0
<=> (
2
<=> x ( x − 2 ) + x + 1 > 0
2
, Vì x > 0
x
−
1
x
−
2
x
−
( )(
) ( 3) ( x − 4 ) ≥ −1
Bài 39: CMR:
HD:
( x − 1) ( x − 4 ) ( x − 2 ) ( x − 3) + 1 ≥ 0
<=> (
Đặt
x2 − 5x + 4) ( x 2 − 5x + 6 ) + 1 ≥ 0
x2 − 5x + 5 = t
8
( t − 1) ( t + 1) + 1 ≥ 0
Khi đó ta có:
2
<=> t ≥ 0
, Dấu bằng khi t=0
Bài 40: CMR:
HD:
x 4 + x3 + x 2 + x + 1 > 0
x3 ( x + 1) + ( x + 1) + x 2 > 0
Ta có :
x + 1) ( x3 + 1) + x 2 > 0
<=> (
<=> (
x + 1)
2
(
x
x − x +1 + x > 0
)
2
2
( ĐPCM)
a + 4b + 4c ≥ 4ab + 8bc − 4ac
2
2
2
Bài 41: CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab − 8bc + 4ac ≥ 0
2
<=> a + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c ≥ 0
2
2
<=> ( a − b + c ) ≥ 0
2
8 ( a3 + b3 + c 3 ) ≥ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a )
3
3
3
Bài 42: CMR :
với a, b, c >0
HD:
Ta có:
8a 3 + 8b3 + 8c 3 ≥ 2a3 + 2b3 + 2c 3 + 3a 2b + 3ab 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 3a 2c + 3ac 2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
<=> 6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac ≥ 0
<=> (
3a 3 − 3a 2b ) + ( 3a 3 − 3a 2 c ) + ( 3b3 − 3b 2 a ) + ( 3b3 − 3b 2c ) + ( 3c 3 − 3bc 2 ) + ( 3c 3 − 3ac3 ) ≥ 0
<=> 3a
<=>
2
( a − b ) + 3a 2 ( a − c ) + 3b 2 ( b − a ) + 3b 2 ( b − c ) + 3c 2 ( c − b ) + 3c 2 ( c − a ) ≥ 0
3 ( a − b ) ( a 2 − b2 ) + 3 ( a − c ) ( a 2 − c 2 ) + 3 ( b − c ) ( b2 − c2 ) ≥ 0
<=> 3 ( a − b )
2
( a + b) + 3( a − c) ( a + c ) + 3( b − c ) ( b + c ) ≥ 0
( a + b + c)
2
3
≥ a3 + b3 + c3 + 24abc
Bài 43: CMR:
với a,b,c>0
HD:
Ta có:
a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a 3 + b3 + c 3 + 24abc
<=> 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 24abc
9
Vì
a + b ≥ 2 ab
b + c ≥ 2 bc
c + a ≥ 2 ca
, Nhân theo vế ta được ĐPCM
x y
x2 y 2
+ 2 + 4 ≥ 3 + ÷
2
y
x
y x
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:
HD:
Ta có:
x 4 + y 4 + 4 x 2 y 2 ≥ 3 xy ( x 2 + y 2 )
x
<=> (
<=> (
<=>
2
+ y 2 ) − xy ( x 2 + y 2 ) + 2 x 2 y 2 − 2 xy ( x 2 + y 2 ) ≥ 0
2
x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 − xy ) + 2 xy ( xy − x 2 − y 2 ) ≥ 0
(x
2
+ y 2 − xy ) ( x 2 + y 2 − 2 xy ) ≥ 0
x − y)
<=> (
2
(x
2
− xy + y 2 ) ≥ 0
a 3 + b3 ≥
a + b ≥1
Bài 45: CMR : Nếu
, thì
HD:
Ta có:
b ≥ 1 − a => b3 ≥ 1 − 3a + 3a 2 − a 3
1
4
2
1 1 1
a + b ≥ 3a − 3a + 1 = 3 a − ÷ + ≥
2 4 4
<=>
3
3
2
ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2
Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ≥ 0
<=> ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2
Bài 47: CMR :
HD:
Ta có:
2
2
a2 + a + 1
>0
a2 − a + 1
1 3
a 2 + a + 1 = a 2 + a + ÷+ > 0, ∀a
4 4
10
1 3
a 2 − a + 1 = a 2 − a + ÷+ > 0, ∀a
4 4
Nên VT > 0
4a ( a + b ) ( a + 1) ( a + b + 1) + b 2 ≥ 0
Bài 48: CMR :
HD:
Ta có:
4a ( a + b + 1) ( a + 1) ( a + b ) + b 2 ≥ 0
<=>
a 2 + ab + a = x
b= y
4 ( a 2 + ab + a ) ( a 2 + ab + a + b ) + b 2 ≥ 0
<=> 4 x ( x + y ) + y ≥ 0
. đặt
2
2
2
<=> 4 x + 4 xy + y ≥ 0
<=> ( 2 x + y ) ≥ 0
2
2 x = − y => 2a 2 + 2ab + 2a = −b => b = −
, Dấu bằng khi
2
x + y)
(
2
2
x +y ≥
≥ 2 xy
2
2a ( a + 1)
2a + 1
Bài 49: CMR :
HD:
Ta có:
2
2
x + y)
(
2
2
<=> 2 x 2 + 2 y 2 ≥ x 2 + y 2 + 2 xy <=> ( x − y ) ≥ 0
x + y ≥
2
2
( x + y)
2
≥ 2 xy => x 2 + y 2 + 2 xy ≥ 4 xy <=> ( x − y ) ≥ 0
2
1 1
4
+ ≥
a b a+b
Bài 50: CMR :
, Với a,b > 0
HD:
Ta có:
( a + b) ≥ 4
2
2
ab
a + b <=> ( a + b ) ≥ 4ab <=> ( a − b ) ≥ 0
a 4 + b 4 ≥ ab ( a 2 + b 2 )
Bài 53: CMR :
HD:
Ta có:
a 4 + b 4 − a 3b − ab3 ≥ 0
3
3
<=> a ( a − b ) + b ( a − b ) ≥ 0
<=> (
a − b)
2
(a
2
+ ab + b 2 ) ≥ 0
11
4
a 4 + b4 a + b
≥
÷
2
2
Bài 54: CMR :
HD:
Ta có:
8a 4 + 8b 4 ≥ a 4 + b 4 + 4a 2b 2 + 2a 2b2 + 4a 3b + 4ab3
4
4
2 2
2 2
3
3
<=> 7 a + 7b − 4a b − 2a b − 4a b − 4ab ≥ 0
<=> (
a 4 + b 4 + 2a 2b 2 ) + ( 6a 4 + 6b 4 ) − 4ab ( a 2 + b 2 ) − 8a 2b 2 ≥ 0
a
<=> (
<=>
(a
2
+ b 2 ) − 4ab ( a 2 + b 2 ) + 4a 2b 2 + 6 ( a 4 + b 4 ) − 12a 2b 2 ≥ 0
2
+ b 2 − 2ab ) + 6 ( a 4 + b 4 − 2a 2b 2 ) ≥ 0
2
2
a − b)
<=> (
4
+ 6 ( a 2 − b2 ) ≥ 0
2
ab + bc + ca ≤ 0
Bài 55: Cho a+b+c=0, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0
<=>
2 ( ab + bc + ca ) = − ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 0
Dấu bằng khi a=b=c=0
( x − y)
2
+ ( y − z ) + ( z − x ) ≤ 3 ( x2 + y2 + z 2 )
2
∈R
Bài 56: Cho x,y,z
, CMR :
HD:
Ta có:
2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz − 2 zx ≤ 3 x 2 + 3 y 2 + 3z 2
2
2
2
2
<=> x + y + z + 2 xy + 2 yz + 2 zx ≥ 0
<=> ( x + y + z ) ≥ 0
2
x6 y6
x +y ≤ 2 + 2
y
x
4
4
Bài 57: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có :
HD:
x 2 y 2 ( x 4 + y 4 ) ≤ x8 + y 8
Ta có:
8
8
6 2
2 6
<=> x + y − x y − x y ≥ 0
<=>
x6 ( x2 − y 2 ) − y 6 ( x2 − y 2 ) ≥ 0
<=>
(x
<=> (
6
− y6 ) ( x2 − y2 ) ≥ 0
x2 − y 2 ) ( x4 + x 2 y 2 + y 4 ) ( x2 − y 2 ) ≥ 0
12
<=> ( x
2
− y2 )
2
(x
4
+ x2 y 2 + y 4 ) ≥ 0
2a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 a ( b + c )
Bài 58: CMR :
HD:
Ta có:
2a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac ≥ 0
<=>
(a
2
− 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 ) ≥ 0
<=> ( a − b ) + ( a − c ) ≥ 0
2
2
a 4 + a 3b + ab3 + b 4 ≥ 0
Bài 59: CMR :
HD:
ta có:
a3 ( a + b ) + b3 ( a + b ) ≥ 0
<=>
(a
<=> (
3
+ b3 ) ( a + b ) ≥ 0
a + b)
2
(a
2
− ab + b 2 ) ≥ 0
a 4 − 2a 3b + 2a 2b 2 − 2ab3 + b 4 ≥ 0
Bài 60: CMR :
HD:
Ta có:
( a 4 − 2a 2 .ab + a 2b2 ) + ( b 4 − 2ab.b 2 + a 2b 2 ) ≥ 0
<=> ( a 2 − ab ) + ( b 2 − ab ) ≥ 0
2
2
a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a ( ab 2 − a + c + 1)
Bài 61: CMR :
HD:
Ta có:
a 4 + b 4 + c 2 + 1 − 2a 2b 2 + 2a 2 − 2ac − 2a ≥ 0
<=>
(a
a
<=> (
4
+ b 4 − 2a 2b 2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 ) + ( a 2 − 2a + 1) ≥ 0
2
− b 2 ) + ( a − c ) + ( a − 1) ≥ 0
2
( ab + bc + ca )
2
2
2
≥ 3abc ( a + b + c )
Bài 62: CMR :
HD:
ta có:
13
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2ab 2c + 2abc 2 + 2a 2bc − 3a 2bc − 3ab 2 c − 3abc 2 ≥ 0
<=> a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 − ab 2c − abc 2 − a 2bc ≥ 0
Đặt
ab = x
bc = y
ca = z
x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ≥ 0
=>
2
2
<=> ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ 0
2
Bài 63: CMR :
HD:
Ta có:
y ( x + z)
xz
1 1 1
1 1
y + ÷+ ( x + z ) ≤ + ÷( x + z )
x z y
x z
0< x≤ y≤z
, Với
x + z ( x + z)
+
−
≤0
y
xz
2
2
<=> y + xz − y ( x + z ) ≤ 0
2
<=> y + xz − xy − yz ≥ 0
<=> ( y − x ) ( z − y ) ≥ 0
1
1
4
+
≥
a +1 b +1 3
Bài 64: Cho a,b dương có tổng 1, CMR :
HD:
Ta có:
<=> 3 ( a + b + 2 ) ≥ 4 ( a + 1) ( b + 1)
Quy đồng
2
<=> 4 ( ab + a + b + 1) ≤ 9 <=> 1 ≥ 4ab <=> ( a + b ) ≥ 4ab
<=> ( a − b ) ≥ 0
2
( đúng)
a 2 b2 a b
+
≥ +
b2 a 2 b a
Bài 65: CMR : Với a,b,c > 0 thì
HD:
ta có:
a 2 b2
a b a b
+ 2 − 2 + ÷+ + ÷≥ 0
2
b a
b a b a
a2 b2 a b
VT ≥ 2 + 2 ÷− 2 + ÷+ 2
b a b a
<=>
a2
a b2
b
2 − 2. + 1÷+ 2 − 2. + 1÷ ≥ 0
b a
a
<=> b
14
Bài 66: CMR :
HD:
Ta có:
a 8 + b8 + c 8 1 1 1
≥ + + , ( a, b, c > 0 )
a 3b3c 3
a b c
a 8 + b 8 + c 8 ≥ a 4b 4 + b 4 c 4 + c 4 a 4 = ( a 2 b 2 ) + ( b 2 c 2 ) + ( c 2 a 2 )
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
VT > a 2b 4c 2 + b 2 c 4 a 2 + a 4b 2c 2 = a b c ( a + b + c ) ≥ a b c ( ab + bc + ca )
<=>
a 8 + b8 + c 8
a 8 + b8 + c 8 1 1 1
≥
ab
+
bc
+
ca
<=>
≥ + +
a 2b 2 c 2
a 3b3c 3
a b c
(a
10
+ b10 ) ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a 8 + b8 ) ( a 4 + b 4 )
Bài 67: CMR :
HD:
Ta có:
a12 + a10b 2 + a 2b10 + b12 ≥ a12 + a 8b 4 + a 4b8 + b12
<=> ( a10b 2 − a 8b 4 ) + ( a 2b10 − a 4b8 ) ≥ 0
<=> a8b 2 ( a 2 − b 2 ) + a 2b8 ( b 2 − a 2 ) ≥ 0
<=> a 2b 2 ( a 2 − b 2 ) ( a 6 − b6 ) ≥ 0
a 2b 2 ( a 2 − b 2 )
<=>
2
(a
4
+ a 2b 2 + b 4 ) ≥ 0
a+b+c >
1 1 1
+ +
a b c
( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) > 0
Bài 68: Cho a,b,c dương có abc=1, và
, CMR :
HD:
Ta có:
a + b + c > ab + bc + ca
,
( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) − 1
Xét
( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) > 0
=
a 3 + b3 = a − b
Bài 69: Cho a,b>0, thỏa mãn :
, CMR :
HD:
Ta có:
a 3 + b3 > a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 2 + b 2 + ab < 1
<=> ( a − b ) > ( a − b ) ( a 2 + b 2 + ab )
<=> a 2 + b 2 + ab < 1
15
2 ( a 8 + b8 ) ≥ ( a 3 + b 3 ) ( a 5 + b5 )
Bài 70: CMR :
HD:
Ta có:
2a8 + 2b8 ≥ a8 + a 3b5 + a 5b3 + b8
<=>
(a
<=>
a 5 ( a 3 − b3 ) − b5 ( a 3 − b3 ) ≥ 0
<=>
(a
8
5
− a 5b3 ) + ( b 8 − a 3b 5 ) ≥ 0
− b5 ) ( a 3 − b3 ) ≥ 0
a 3 > b3 , a 5 > b5
, Giả sử a > b =>
a < b , a < b5
Nếu a<b =>
=> ĐPCM
8
8
8
3
3 ( a + b + c ) ≥ ( a + b3 + c 3 ) ( a 5 + b5 + c 5 )
Bài 71: CMR :
HD:
ta có:
2 ( a 8 + b8 ) ≥ ( a 3 + b3 ) ( a 5 + b5 )
3
3
=> ĐPCM
5
2 ( b8 + c8 ) ≥ ( b 3 + c 3 ) ( b 5 + c 5 )
2 ( c 8 + a8 ) ≥ ( a 3 + c 3 ) ( a 5 + c5 )
Cộng theo vế ta được:
4 ( a 8 + b 8 + c 8 ) ≥ ( a 8 + b8 + c 8 ) + a 3 ( a 5 + b 5 + c 5 ) + b 3 ( a 5 + b 5 + c 5 ) + c 3 ( a 5 + b 5 + c 5 )
<=> 3 ( a 8 + b8 + c8 ) ≥ ( a 3 + b 3 + c 3 ) ( a 5 + b5 + c 5 )
a 8 + b8 ≥ a 7 + b 7
Bài 72: Cho a+b=2, CMR :
HD:
ta có
2 ( a8 + b8 ) ≥ ( a + b ) ( a 7 + b 7 ) = a8 + b8 + ab 7 + a 7 b
<=>
a 8 + b8 − a 7b − ab7 ≥ 0 <=> ( a − b ) ( a 7 − b 7 ) ≥ 0
Giả sử
a − b > 0
a > b => 7 7
a − b > 0
a − b < 0
a < b => 7 7
a − b < 0
Nếu
a + b + c ≥ a b + b c + c 5 a , ( a , b, c > 0 )
6
6
6
5
5
Bài 74: CMR :
HD:
ta có:
a 5 ( a − b ) + b5 ( b − c ) + c 5 ( c − a ) = ( a − b ) ( a 5 − b 5 ) + ( c − a ) ( c 5 − b 5 ) ≥ 0
16
Giả sử :
c − a < 0
a ≥ b ≥ c => 5 5
c − b < 0
a − b > 0
5 5
a − b > 0
và
=> ĐPCM
2
2
2
a
b
c
a
b
c
+ 2
+ 2
≥
+
+
2
2
2
2
b +c c +a a +b
b+c c+a a +b
Bài 75: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì
HD:
a 2 ( b + c ) − a ( b 2 + c 2 ) ab ( a − b ) + ac ( a − c )
a2
a
−
=
=
b2 + c2 b + c
( b + c ) ( b2 + c2 )
( b + c ) ( b2 + c2 )
Xét
a≥b≥c
Giả sử
=> Các ngoặc đều dương => ĐPCM
( a + b ) ( a 3 + b3 ) ≤ 2 ( a 4 + b 4 )
Bài 76: Cho a, b là hai số dương, CMR :
HD:
Ta có:
2a 4 + 2b 4 − a 4 − ab 3 − a 3b − b 4 ≥ 0
<=>
(a
4
− a 3b ) + ( b 4 − ab3 ) ≥ 0
3
3
<=> a ( a − b ) − b ( a − b ) ≥ 0
( a + b ) ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a 2 + b 2 ) ( a 3 + b3 )
Bài 77: Cho a,b là hai số dương, CMR :
HD:
ta có:
a 5 + ab 4 + a 4b + b5 − a 5 − a 2b3 − a 3b 2 − b5 ≥ 0
<=>
( a b − a b ) + ( ab
4
3 2
4
− a 2b 3 ) ≥ 0
3
3
<=> a b ( a − b ) + ab ( b − a ) ≥ 0
<=> (
<=>
a − b ) ( a 3b − ab3 ) ≥ 0
ab ( a − b ) ( a 2 − b 2 ) ≥ 0
a 2 + b 2 + 4 ≥ ab + 2 ( a + b )
Bài 78: CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + 4 − ab − 2a − 2b ≥ 0
2
2
<=> 2a + 2b + 8 − 2ab − 4a − 4b ≥ 0
<=> (
a 2 − 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 4a + 4 ) + ( b 2 − 4b + 4 ) ≥ 0
Bài 79: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR :
HD:
ta có:
a 4 + b 4 ≥ a3 + b3
17
2 ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a + b ) ( a 3 + b3 )
4
4
4
3
3
4
<=> 2a + 2b − a − ab − a b − b ≥ 0
<=>
(a
4
− a 3b ) + ( b 4 − ab3 ) ≥ 0 <=> a 3 ( a − b ) + b3 ( b − a ) ≥ 0 <=> ( a − b ) ( a 3 − b 3 ) ≥ 0
Bài 80: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR :
HD:
Ta có:
3 ( a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 )
a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b3 + c 3
2
b 3 2
2
2
2
2
2
2
2
a
−
b
a
+
(
)
÷ + b + ( b − c ) ( b + bc + c ) + ( c − a ) ( c + ac + a ) ≥ 0
2 4
<=>
0 ≤ x, y , z ≤ 1
0 ≤ x + y + z − xy − yz − zx ≤ 1
Bài 81: Cho
, CMR :
HD:
Ta có:
( 1 − x ) ( 1 − y ) ( 1 − z ) = − ( xyz − xy − yz − zx + x + y + z − 1) ≥ 0
Xét tích
x > xy
y > yz => x + y + z − xy − yz − zx ≤ 1 − xyz
z > zx
mà
0 ≤ xyz ≤ 1 <=> 1 − xyz ≤ 1
mà
−1 ≤ x, y, z ≤ 2
x2 + y 2 + z 2 ≤ 6
Bài 82: Cho
và x+y+z=0, CMR :
HD:
Ta có:
( x − 2 ) ( x + 1) ≤ 0
x2 − x − 2 ≤ 0
2
( y − 2 ) ( y + 1) ≤ 0 <=> y − y − 2 ≤ 0
z2 − z − 2 ≤ 0
( z − 2 ) ( z + 1) ≤ 0
Xét
, Cộng theo vế ta có:
2
2
2
2
2
2
x + y + z − 6 ≤ 0 <=> x + y + z ≤ 6
1 1 1
1
+ − <
x y z xyz
Bài 83: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR :
, Với
HD:
ta có:
2
( x + y − z ) ≥ 0 <=> x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy − 2 yz − 2 zx ≥ 0
x2 + y 2 + z 2 =
5
3
5
+ 2 ( xy − yz − zx ) ≥ 0
<=> 3
18
<=>
2 ( xy − yz − zx ) ≥
−5
5
<=> yz + zx − xy ≤ ≤ 1
3
6
1 1 1
1
+ − <
<=> x y z xyz
2a 3 + 2b3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2c + c 2 a
Bài 84: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR :
HD:
a < 1 => a 2 < 1, b < 1
Do
( 1 − a 2 ) ( 1 − b ) > 0 <=> 1 + a 2b − a 2 − b > 0
=>
2
2
<=> 1 + a b > a + b
a 2 > a 3 , b > b3 => a 2 + b > a 3 + b3
Mặt khác: 0< a, b<1=>
1 + a 2 b < a 3 + b3
vậy
, Chứng minh tương tự => ĐPCM
4
4
4
a + b + c ≥ abc ( a + b + c )
Bài 85: CMR :
HD:
Chuyển vế ta có:
a 4 + b 4 + c 4 − a 2bc − ab 2c − abc 2 ≥ 0
(a
2
− b 2 ) + 2a 2b 2 + ( b 2 − c 2 ) + 2b 2c 2 + ( c 2 − a 2 ) + 2a 2c 2 − 2a 2bc − 2b 2 ac − 2abc 2 ≥ 0
a
<=> (
2
− b2 ) + ( b2 − c 2 ) + ( c 2 − a 2 )
<=>
2
2
2
2
2
2
+ ( a 2b 2 − 2a 2bc + a 2 c 2 ) + ( a 2b 2 − 2ab2 c + b2 c 2 ) + ( a 2b 2 − 2ab 2 c + b 2c 2 ) + ( a 2 c 2 − 2abc 2 + b 2c 2 ) ≥ 0
a >c+d b >c+d
ab > ad + bc
Bài 86: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn:
,
, CMR:
HD:
Ta có:
a > c + d
a − c > d > 0
=>
=> ( a − c ) ( b − d ) > cd
b > c + d
b − d > c > 0
Nhân vào ta được ĐPCM
( 1 − a ) ( 1 − b) ( 1 − c ) ( 1 − d ) > 1 − a − b − c − d
0 < a, b, c, d < 1
Bài 87: Cho
, CMR :
HD:
Ta có:
( 1 − a ) ( 1 − b ) = 1 − a − b + ab > 1 − a − b
( do ab >0)
c < 1 => 1 − c > 0 => ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) > ( 1 − a − b ) ( 1 − c ) > 1 − a − b − c
Do
Chứng minh tương tự => ĐPCM
a2
+ b 2 + c 2 > ab + bc + ca
3
a > 36
3
Bài 88: Cho a.b.c=1,
, CMR :
19
HD:
ta có:
a2 a2
+ + b 2 + c 2 − ab − bc − ac > 0
4 12
Xét hiệu
a2
a2
<=> + b 2 + c 2 − ab − ac + 2bc ÷+ − 3bc > 0
4
12
2
3
a
a − 36abc
−
b
−
c
+
÷
12a
<=> 2
a 3 > 36 =>
, Do
a 3 − 36abc
>0
12a
ĐPCM
20
DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ hay dùng :
2
a + b)
(
2
2
2
a +b ≥
( x + y ) ≥ 4 xy
2
a 4 + b4 >
x y
+ ≥2
y x
1
8
Bài 1: Cho a+b > 1, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 + 2ab > 1
1
2
<=> a 2 + b 2 >
( a + b ) > 1 => 2 2
2
a + b − 2ab ≥ 0
(a
2
+b
)
2 2
=>
a 4 + b4 >
Vậy
1
4
4
2 2
1
1
a + b + 2a b >
> =>
4 => 2a 4 + 2b 4 >
4
4
a 4 + b 2 − 2a 2 b 2 ≥ 0
1
8
a 2 + b2 ≥
1
2
Bài 2: Cho a+b = 1, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + 2ab + b 2 = 1
1
2
2
2
2
2
=>
2
a
+
2
b
≥
1
=>
a
+
b
≥
( a + b ) = 1 => 2
2
2
a − 2ab + b ≥ 0
a2 + b2 > 2
Bài 3: Cho a+b > 2, CMR :
HD:
Ta có:
a 2 + 2ab + b 2 > 4
2
=> 2 a 2 + 2b 2 > 4 => a 2 + b 2 > 2
( a + b ) > 4 => 2
2
a − 2ab + b ≥ 0
a+b ≤ 2
Bài 4: Cho
, CMR:
HD:
Ta có:
2
2
a + b ≤ 2
2
2
2
2
a + b ≥ 2ab => 2ab ≤ a + b < 2
a 2 + b2 ≤ 2
a 2 + b 2 + 2ab ≤ 4 <=> ( a + b ) ≤ 4 => a + b ≤ 2
2
Cộng theo vế ta được:
a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca )
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD:
ta có:
21
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có:
a 2 < ab + ac
a < b + c
2
2
2
2
b < a + c => b < ab + bc => a + b + c < 2 ( ab + bc + ac )
c < a + b
2
c < ac + bc
a 3 + b3 ≥
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:
HD:
ta có:
3
a + b = 1 => b = 1 − a => b 3 = ( 1 − a )
=>
1
4
a 3 + b 3 = a 3 + 1 − 3a + 3a 2 − a 3 = 3a 2 − 3a + 1
2
1 3
1 1 1
= 3 a2 − a + + ÷= 3 a − ÷ + ≥
4 4
2 4 4
x, y , z ≥ 0
( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 8xyz
Bài 7: Cho
, CMR :
HD:
ta có:
x + y ≥ 2 xy
y + z ≥ 2 yz
( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 8xyz
z + x ≥ 2 zx
, Nhân theo vế ta được:
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
ta có:
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) ≥ ( a + b ) ab
a 2 − ab + b 2 ≥ ab
, Do
3
3
+b + abc ≥ ( a + b ) ab + abc = ab ( a + b + c )
Khi đó
Chứng minh tương tự ta có:
b3 + c 3 + abc ≥ bc ( a + b + c )
c3 + a 3 + abc ≥ ac ( a + b + c )
và
Khi đó ta có:
1
1
1
1
a+b+c
1
1
VT ≤
.
=
+ + ÷=
a + b + c ab bc ca a + b + c abc
abc
( a + b + c )
Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì
HD:
1 1 1
+ + ÷≥ 9
a b c
22
ta có:
a + b + c ≥ 3 abc
3
1 1 1
1
+ + ≥ 33
a b c
abc
và
Nhân theo vế ta có:
1 1 1
( a + b + c ) + + ÷ ≥ 9
a b c
Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
1 1 1
+ + ÷≥ 9
x y z
( x + y + z)
Từ
=>
x = a + b
y = b + c
z = c + a
, Đặt
1
1
1
2( a + b + c)
+
+
÷≥ 9
a+b b+c c+a
<=>
a +b+c a+b+c a +b+c 9
+
+
≥
a+b
b+c
c+a
2
c
a
b
9
3
+
+
≥ −3 =
a+b b+c c+a 2
2
=>
a
b
1
3
+
+
≥
b +1 a +1 a + b 2
Bài 11: Cho a,b > 0, CMR :
HD:
Ta có:
1
1
9
3
a
b
1
1
+ 1÷+
+ 1÷+
+ 1 ÷+ 3 = ( a + b + 1)
+
+
÷− 3 ≥ − 3 =
2
2
b +1 a +1 a + b
a + b a +1 b +1
a2
b2
c2
a +b+c
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR :
HD:
a2
b + c b2
c + a c2
a +b a +b+c
VT =
+
+
+
÷+
÷+
÷−
4 c+a
4 a+b
4
2
b+c
Ta có:
a+b+c a+b+c
VT ≥ a + b + c −
=
= VP
2
2
a
b
c
11 1 1
+ 2 2+ 2
≤ + + ÷
2
2
a +b b +c c + a
2a b c
2
Bài 14: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
a 2 + b 2 ≥ 2ab
2 2
a
b
c
1
1
1 11 1 1
+
+
=
+ +
= + + ÷
b + c ≥ 2bc => VT ≤
2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2 a b c
c 2 + a 2 ≥ 2ca
Ta có:
23
a 2 b2 c 2
+ + ≥ a+b+c
b
c a
Bài 15: CMR: với a,b,c > 0 thì :
HD:
Ta có:
a2
b2
c2
+
b
+
+
c
÷
÷+ + a ÷− ( a + b + c )
≥ 2a + 2b + 2c − ( a + b + c ) = a + b + c = VP
b
c
a
a 2 + b2 + c 2 +
3
≥ −a − b − c
4
Bài 16: CMR :
HD:
1 2
1 2
1
2
a + a + ÷+ b + b + ÷+ c + c + ÷ ≥ 0
4
4
4
Ta có:
1 1 1
+ + ≥9
a b c
Bài 17: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR :
HD:
1 1 1
( a + b + c ) = 1 => ( a + b + c ) + + ÷ ≥ 9
a b c
Vì
a+b+c ≤ 3
Bài 18: Cho a,b,c là các số không âm và
,CMR :
a
b
c
3
1
1
1
+
+
≤ ≤
+
+
1 + a 2 1 + b2 1 + c2 2 1 + a 1 + b 1 + c
HD:
1 + a 2 ≥ 2a
a
b
c
a
b
c 3
2
+
+
≤
+ +
=
1 + b ≥ 2b =>
2
2
2
1
+
a
1
+
b
1
+
c
2
a
2
b
2
a
2
1 + c 2 ≥ 2c
Ta có:
1 + a = x
1 + b = y => x + y + z = a + b + c + 3 ≤ 6
1 1 1 3
B= + + ≥
1 + c = z
x y z 2
Đặt
=>
,
1 1 1
1 1 1
9
9 3
≥ =
( x + y + z ) + + ÷ ≥ 9 => + + ≥
x y z x+ y+z 6 2
x y z
Khi đó:
x4 y 4 x2 y 2 x y
+ − − + + ≥2
y4 x4 y 2 x2 y x
Bài 19: Cho x,y,z > 0, CMR :
HD:
Ta có:
x2 y2
x4 y 4
x y
−
+
≥2
+ ≥2
2 + 2 ÷ ≤ −2
x
y4 x4
y x
y
, Tương tự
và
Cộng theo vế ta có:
24
VT ≥ 2 + 2 − 2 = 2
a 3 b3 c 3
+ + ≥ ab + bc + ca
b c a
Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR :
HD:
Ta có:
3
3
a3
2 b
2 c
2
2
2
2
+
b
+
+
c
+
÷
÷ + a ÷− ( a + b + c )
b
c
a
Mà:
a 3 + b3 ab ( a + b )
≥
= a ( a + b ) = a 2 + ab
b
b
b3
c3
+ c 2 ≥ b 2 + bc, + a 2 ≥ c 2 + ca
c
a
Tương tự =>
≥ ( a 2 + b 2 + c 2 ) + ( ab + bc + ca ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) = ab + bc + ca
Khi đó VT
Bài 21: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > 4
HD:
Ta có:
a +b
4
a + b ab
4
2
≥
a + b < ab =>
<
= 1 => 1 >
=> a + b > 4
( a + b ) ≥ 4ab =>
ab
a +b
ab
ab
a+b
Do
2
2
a + b + c2 = 3
ab + bc + ca + a + b + c ≤ 6
Bài 22: Cho a,b,c thỏa mãn:
, CMR:
HD:
Ta có:
a 2 + b 2 ≥ 2ab
2 2
2
2
2
b + c ≥ 2bc => 2 ( a + b + c ) ≥ 2 ( ab + bc + ca ) => 2.3 ≥ 2 ( ab + bc + ca )
c 2 + a 2 ≥ 2ac
ab + bc + ca ≤ 3
=>
(1)
mặt khác:
a 2 + 1 ≥ 2a
2
b + 1 ≥ 2b => 3 + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) => a + b + c ≤ 3
c 2 + 1 ≥ 2c
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM
x2
y2
1
+
≤
4
4
1 + 16 x 1 + 16 y
4
Bài 23: CMR:
, với mọi x,y là số thực
HD:
Ta có:
x2
1
1 + 16 x 4 ≥ 2. 16 x 4 = 2.4 x 2 = 8 x 2 =>
≤
4
1 + 16 x
8
(2)
(1)
25