CHUYÊN đề CHIA hết của đa THỨC LOP 8

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ
Định lý Bơ-zu: ”Dư của phép chia f(x) cho nhịn thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a) ”

f ( x ) = 3 x3 − 2 x 2 − 9 x + 2
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem,
có chia hết cho x-2 không,
có chia hết cho x+2 không?
HD:
f ( x ) = 3 x3 − 2 x 2 − 9 x + 2
Theo định lý Bơ- zu thì dư của
khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá
3
2
f ( 2 ) = 2.2 − 2.2 − 9.2 + 2 = 0
trị là:
f ( x ) M( x − 2 )
Vậy
Tương tự:
f ( x ) = 3 x3 − 2 x 2 − 9 x + 2
Số dư của
khi chia cho x+2 có giá trị là:
3
2
f ( −2 ) = 2. ( −2 ) − 2. ( −2 ) − 9. ( −2 ) + 2 = −4

/ ( x + 2)
f ( x) M
Vậy
Bài 2: Tìm số a để
HD:

2 x 3 − 3 x 2 + x + a Mx + 2

f ( x ) = 2 x3 − 3 x 2 + x + a

Theo định lý Bơ- zu thì dư của
khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có
f ( −2 ) = 2. ( −8 ) − 3.4 − 2 + a = a − 22
giá trị là:
Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
4 x 2 − 6 x + a Mx − 3
Bài 3: Tìm hế số a để:
HD:
f ( x ) = 4x2 − 6x + a
Theo định lý Bơ- zu thì dư của
khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, có giá trị
f ( 3) = 4.9 − 6.3 + a = a + 18
là:
Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18
2 x 2 + x + a Mx + 3
Bài 4: Tìm hế số a để:
HD:
f ( x ) = 2x2 + x + a
Theo định lý Bơ- zu thì dư của
khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị
f ( −3) = 2.9 − 3 + a = a + 15
là:
Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15
10 x 2 − 7 x + a M2 x − 3
Bài 5: Tìm hế số a để:

HD:

1
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Hạ phép chia ta có:
10 x 2 − 7 x + a = ( 2 x − 3) ( 5 x + 4 ) + ( a + 12 )
Để

10 x 2 − 7 x + a M2 x − 3 => a + 12 = 0 => a = −12
2 x 2 + ax + 1: x − 3

Bài 6: Tìm hế số a để:
dư 4
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
f ( x ) = 2 x 2 + ax + 1
f ( 3) = 2.9 + 3a + 1 = 3a + 19
Dư của
, khi chia cho x-3 là
3a + 19 = 4 => 3a = −15 => a = −5
Để có số dư là 4 thì
ax5 + 5 x 4 − 9Mx − 1
Bài 7: Tìm hế số a để:
HD :
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
f ( x ) = ax 5 + 5 x 4 − 9
f ( 1) = a + 5 − 9 = a − 4
Dư của

, khi chia cho x - 1 là
a − 4 = 0 => a = 4
Để có phép chia hết thì
8 x 2 − 26 x + a M2 x − 3
Bài 8: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
8 x 2 − 26 x + a = ( 2 x − 3) ( 4 x − 7 ) + a − 21
Để

8 x 2 − 26 x + a M2 x − 3 => a − 21 = 0 => a = 21
x 4 − x 3 + 6 x 2 − x + a Mx 2 − x + 5

Bài 9: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có:
x 4 − x3 + 6 x 2 − x + a = ( x 2 − x + 5 ) ( x 2 + 1) + a − 5
Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5
x 3 + ax + b Mx 2 + x − 2
Bài 10: Tìm hế số a, b để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
x 3 + ax + b = ( x 2 + x − 2 ) ( x − 1) + ( a + 3 ) x + b − 2
Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2
x 3 + ax 2 − 4Mx 2 + 4 x + 4
Bài 11: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
x 3 + ax 2 − 4 = ( x 2 + 4 x + 4 ) ( x + a − 4 ) + ( 12 − 4a ) x + 12 − 4a
Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3

x 4 + ax + bMx 2 − 4
Bài 12: Tìm hế số a để:

2
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


HD :
x 4 + ax + b Mx 2 − 4

 x 4 + ax + b Mx − 2
 4
 x + ax + b Mx + 2

Để
thì
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
f ( x ) = x 4 + ax + b => f ( 2 ) = 16 + 2a + b = 0

f ( −2 ) = 16 − 2a + b = 0
Và:
Giải hệ ta được a=0 và b=-16
x 4 + ax 3 + bx − 1Mx 2 − 1
Bài 13: Tìm hế số a để:
HD :
 x 4 + ax 3 + bx − 1Mx − 1

 4
3


 x + ax + bx − 1Mx + 1
x 4 + ax 3 + bx − 1Mx 2 − 1
Để
thì
Áp dụng định Bơ- Zu ta có:
f ( x ) = x 4 + ax 3 + bx − 1 => f ( 1) = 1 + a + b − 1 = 0

f ( −1) = 1 − a + b − 1 = 0
Và:
Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a
x3 + ax + b Mx 2 + 2 x − 2
Bài 14: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
x 3 + ax + b = ( x 2 + 2 x − 2 ) ( x − 2 ) + ( a + b ) x + b − 4
Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
x 4 + ax 2 + b Mx 2 − x + 1
Bài 15: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
x 4 + ax 2 + b = ( x 2 − x + 1) ( x 2 + x + a ) + ( a − 1) x + a − b
Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1
ax 3 + bx 2 + 5 x + 50Mx 2 + 3x − 10
Bài 16: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
ax 3 + bx 2 + 5 x + 50 = ( x 2 + 3x − 10 ) ( ax + 3a − b ) + ( a + 3b + 5 ) x + ( 30a − 10b + 50 )
Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
2
ax 4 + bx3 + 1M( x − 1)

Bài 17: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
ax 4 + bx 3 + 1 = ( x 2 − 2 x + 1)  a.x 2 + ( 2a + b ) x + ( 3a + 2b )  + ( 8a + 5b ) x − ( 3a + 2b − 1)

3
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Để là phép chia hết thì :
8a+5b=0 và 3a+2b-1=0
x 4 + 4M
( x2 + ax + b )
Bài 18: Tìm hế số a để:
HD :
Tách:
x4 + 4 = ( x2 + 2 x + 2) ( x2 − 2 x + 2)
Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2
x 4 − 3x 3 + 6 x 2 − 7 x + m Mx 2 − 2 x + 1
Bài 19: Tìm hế số m để:
HD :
Ta có:
x 4 − 3 x3 + 6 x 2 − 7 x + m = ( x 2 − 2 x + 1) ( x 2 − x + 3) + m − 3
Để là phép chia hết thì m- 3=0=> m=3
10 x 2 − 7 x + a M2 x − 3
Bài 20: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
10 x 2 − 7 x + a = ( 2 x − 3) ( 5 x + 4 ) + a + 12
Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12

2 x 2 + ax − 4Mx + 4
Bài 21: Tìm hế số a để:
HD :
f ( x ) = 2 x 2 + a.x − 4
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của
khi chia cho x+4 là:
f ( −4 ) = 2.16 − 4a − 4 = 28 − 4a
Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7
x 3 − ax 2 + 5 x + 3Mx 2 + 2 x + 3
Bài 22: Tìm hế số a để:
HD :
Hạ phép chia ta có:
x 3 − a.x 2 + 5 x + 3 = ( x 2 + 2 x + 3)  x − ( a + 2 )  + ( 2a + 6 ) x − 3a − 3
Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1
1
x 2 − ax − 5a 2 − Mx + 2a
4
Bài 23: Tìm hế số a để:
HD :
f ( x ) = x 2 − a.x − 5a 2 −

Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của
1
1
f ( −2a ) = 4a 2 + 2a 2 − 5a 2 − = a 2 −
4
4
a2 −

Để là phép chia hết thì

1
4

khi chia cho x+2a là:

1
1
= 0 => a = ±
4
2

4
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


x + x 3 + x 9 + x 27 + x 81

Bài 24: Tìm số dư của
khi chia cho x-1
HD :
Ta có :
P ( x ) = ( x − 1) + ( x 3 − 1) + ( x 9 − 1) + ( x 27 − 1) + ( x81 − 1) + 5
nên số dư là 5
Hoặc sử dụng định lý Bơ- Zu
x + x 3 + x 9 + x 27 + x81
x2 −1
Bài 25: Tìm số dư của :
khi chia cho
HD :

Ta có :
P ( x ) = ( x 3 − x ) + ( x 9 − x ) + ( x 27 − x ) + ( x 81 − 1) + 5 x
=> Dư 5x
9
25
49
81
P ( x ) = 1+ x + x + x + x + x
x3 − x
Bài 26: Xác định dư của:
khi chia cho
HD :
P ( x ) = ( x 9 − x ) + ( x 25 − x ) + ( x 49 − x ) + ( x 81 − x ) + 5 x + 1
x ( x8 − 1) + x ( x 24 − 1) + x ( x 48 − 1) + x ( x80 − 1) + 5 x − 1

=
vậy số dư là : 5x - 1
3n3 + 10n 2 − 5M3n + 1

Bài 27: Tìm n nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
3n3 + 10n 2 − 5 = ( 3n + 1) ( n2 + 3n − 1) − 4

3n3 + 10n 2 − 5M3n + 1 => 4M3n − 1 => 3n − 1∈ U ( 4 ) = { ±1; ±2; ±4}
Để
2n 2 − n + 2M2n + 1

Bài 28: Tìm n nguyên để
HD :

Hạ phép chia ta có :
2n 2 − n + 2 = ( 2n + 1) ( n − 1) + 3

2n 2 − n + 2M2n + 1 => 3M2n + 1 => 2n + 1∈ U ( 3) = { ±1; ±3}
Để :
4 x 3 − 6 x 2 + 8 x M2 x − 1

Bài 29: Tìm các số x nguyên để
HD :
Hạ phép chia ta có :
4 x 3 − 6 x 2 + 8 x = ( 2 x − 1) ( 2 x 2 − 2 x + 3 ) + 3

4 x 3 − 6 x 2 + 8 x M2 x − 1 => 3M2 x − 1 => 2 x − 1 ∈ U ( 3) = { ±1; ±3}
Để
Bài 30: Tìm các số x nguyên để:
HD :

4 x 3 − 3x 2 + 2 x − 83Mx − 3

5
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


f ( x ) = 4 x3 − 3x 2 + 2 x − 83
Theo định Bơ zụ thì dư của
f ( 3) = 4.27 − 3.9 + 2.3 − 83 = 4

, khi chia cho x-3 là :

4 x 3 − 3x 2 + 2 x − 83Mx − 3 => x − 3 ∈ U ( 4 ) = { ±1; ±2; ±4}

Để
4n3 − 4n 2 − n + 4M2n + 1

Bài 31: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
4n3 − 4n 2 − n + 4 = ( 2n + 1) ( 2n 2 − 3n + 1) + 3

4n3 − 4n 2 − n + 4M2n + 1 => 3M2n + 1 => 2n + 1∈ U ( 3 ) = { ±1; ±3}
Để
8n 2 − 4n + 1M2n + 1

Bài 32: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
8n 2 − 4n + 1 = ( 2n + 1) ( 4n − 4 ) + 5

8n 2 − 4n + 1M2n − 1 => 5M2n − 1 => 2n − 1∈ U ( 5 ) = { ±1; ±5}
Để
3n3 + 8n 2 − 15n + 6M
3n − 1

Bài 33: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
3n3 + 8n 2 − 15n + 6 = ( 3n − 1) ( n 2 + 3n − 4 ) + 2

3n3 + 8n 2 − 15n + 6M3n − 1 => 2M3n − 1 => 3n − 1 ∈ U ( 2 ) = { ±1; ±2}
Để
4n3 − 2n 2 − 6n + 5M2n − 1

Bài 34: Tìm các số x nguyên để:
HD :
Hạ phép chia ta có :
4n3 − 2n 2 − 6n + 5 = ( 2n − 1) ( 2n 2 − 3 ) + 2

4n3 − 2n 2 − 6n + 5M2n − 1 => 2 M2n − 1 => 2n − 1 ∈U ( 2 ) = { ±1; ±2}
Để

6
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


7
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


DẠNG 2: TÌM ĐA THỨC
f ( x ) = x + ax + b
Bài 1: Tìm a,b sao cho
, chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5
HD :
f ( x ) = ( x + 1) . A ( x ) + 7
 a − b = −8

f ( x ) = ( x − 3) .B ( x ) − 5
3a + b = −32
Theo bài ra ta có:
, Cho x=-1, x=3=>
3

2
ax + bx + c
x2 −1
Bài 2: Tìm hằng số a,b,c sao cho:
chia hết cho x+2, chia cho
dư 5
HD :
x 2 − 1 = ( x − 1) ( x + 1)
Theo bài ra ta có:
Khi dó ta có :
f ( x ) = a.x3 + bx 2 + c = ( x + 2 ) A ( x )
3

f ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) B ( x ) + 5
Cho x= - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0
Cho x=1=> a + b + c = 5
Cho x=-1 => - a + b + c = 5
−8a + 4b + c = 0

a + b + c = 5
−a + b + c = 5

Khi đó ta có hệ:
2x 3 + ax + b
Bài 3: Xác định a, b biết:
chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21
HD :
Theo bài ra ta có :
f ( x ) = 2 x 3 + a.x + b = ( x + 1) A ( x ) − 6

f ( x ) = 2.x 3 + a.x + b = ( x − 2 ) B ( x ) + 21
và
Cho
Cho

x = −1 => −2 − a + b = −6
x = 2 => 16 + 2a + b = 21

Khi đó ta có hệ :

−2 − a + b = −6

16 + 2a + b = 21
x 4 − x 3 − 3 x 2 + ax + b

Bài 4: Tìm hệ số a,b sao cho:
HD :
Theo bài ra ta có :
x 2 − x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 1)

chia cho

x2 − x − 2

được dư là 2x-3

Nên ta có :
f ( x ) = x 4 − x 3 − 3x 2 + a.x + b = ( x − 2 ) ( x + 1) + 2 x − 3

8

GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Cho
Cho

x = 2 => 16 − 8 − 12 + 2a + b = 1
x = −1 => 1 + 1 − 3 − a + b = −6
 2a + b = 5

 − a + b = −5

Khi đó ta có hệ
P( x) = x 4 + x 3 − x 2 + ax + b, Q ( x ) = x 2 + x − 2
P ( x ) MQ ( x )
Bài 5: Cho
, Xác định a,b để
HD :
Đặt phép chia ta có :
P ( x ) = x 4 + x3 − x 2 + a.x + b = ( x 2 + x − 2 ) A ( x ) + ( a − 1) x + b + 2

Để

a − 1 = 0
a = 1
P ( x ) MQ ( x ) => 
=> 
b + 2 = 0
b = −2

2x 4 + ax 2 + bx + c

Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a,b,c sao cho:
x2 −1
chia cho
dư 2x
HD :
Theo bài ra ta có :
f ( x ) = 2 x 4 + a.x 2 + bx + c = ( x − 2 ) A ( x )

chia hết cho x-2,

f ( x ) = 2 x 4 + a.x 2 + bx + c = ( x − 1) ( x + 1) .B ( x ) + 2 x
Và
Cho
Cho
Cho

x = 2 => 32 + 4a + 2b + c = 0
x = 1 => 2 + a + b + c = 2
x = −1 => 2 + a − b + c = −2

Khi đó ta có hệ :

4a + 2b + c = −32

a + b + c = 0
 a − b + c = −4

P ( x ) = ax 4 + bx 3 + 1MQ ( x ) = ( x − 1)

2

Bài 7: Xác định a,b sao cho:
HD :
Đặt phép chia
2
P ( x ) = a.x 4 + bx 3 + 1 = ( x − 1) . A ( x ) + ( 4a + 3b ) x + 1 − 3a − 2b

Để

 4a + 3b = 0
P ( x ) MQ ( x ) => 
1 − 3a − 2b = 0

9
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


6 x 4 − 7 x3 + ax 2 + 3 x + 2Mx 2 − x + b

Bài 8: Xác định a,b sao cho:
HD :
Đặt phép chia
6 x 4 − 7 x 3 + a.x 2 + 3 x + 2 = ( x 2 − x + b ) A ( x ) + ( a − 5b + 2 ) x + ( 6b 2 − ab + b + 2 )
Để là phép chia hết thì
a − 5b + 2 = 0
 2
6b − ab + b + 2 = 0

(x

7

− 4x + 4)

9

Bài 9: Tìm tổng các hệ số của đa thứ sau khi khai triển:
HD :
Tổng các hệ số cảu đa thức sau khi triển khai là giá trị cảu đa thức tại x=1
Thay x=1 vào ta được:
9
( 1 − 4 + 4) = 1
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư là 9, còn f(x) chia cho x-3 dư là 2, và
f ( x ) : x 2 + x − 12
x2 + 3
có thương là
và còn dư
HD :
f ( x ) = ( x 2 + x − 12 ) ( x 2 + 3 ) + ax + b = ( x − 3) ( x + 4 ) ( x 2 + 3) + ax + b

Cho

 f ( x ) = −4a + b = 9
x = −4, x = 3 => 
 f ( x ) = 3a + b = 2

Khi đó ta có hệ :

 −4a + b = 9

3a + b = 2

10
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


A ( x ) = ax3 + bx 2 + c
Bài 11: Xác định đa thức
3x+2
HD :
x 2 + x − 2 = ( x − 1) ( x + 2 )
Ta có :
Khi đó ta có :
A ( x ) = a.x 3 + bx 2 + c = ( x − 2 ) B ( x )

A ( x ) : x2 + x − 2
, biết: A(x) chia hết cho x-2 và

dư là

A ( x ) = a.x 3 + bx 2 + c = ( x − 1) ( x + 2 ) C ( x ) + 3x + 2
Và
Cho
Cho

x = 2 => 8a + 4b + c = 0
x = 1 => a + b + c = 5
x = −2 => −8a + 4b + c = −4

Cho
Khi đó ta có hệ :
8a + 4b + c = 0

−8a + 4b + c = −4
a + b + c = 5


f ( x ) : x 2 + x − 12
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, và
x2 + 3
được thương là
và còn dư
HD :
x 2 + x − 12 = ( x − 3) ( x + 4 )
x2 + 3
Do f(x) chia cho
được thương là
còn dư nên ta có :
2
f ( x ) = ( x + 4 ) ( x − 3) ( x + 3 ) + a.x + b

x = −4 => f ( x ) = −4a + b = 9
Cho

x = 3 => f ( x ) = 3a + b = 2

Cho
 −4a + b = 9


3a + b = 2

Khi đó ta có hệ:
Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x-1), (x-2), (x-3) đều được dư là 6,
và P(-1)=-18
HD :
P ( x ) = ( x − 1) . A ( x ) + 6
P ( x ) = ( x − 2 ) .B ( x ) + 6
P ( x ) = ( x − 3) .C ( x ) + 6

P ( 1) = P ( 2 ) = P ( 3) = 6

Từ gt ta có :
nên
P( x) = d + c ( x − 1) + b ( x − 1) ( x − 2 ) + a ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3)
Đặt :
Chọn x=1=>d=6,
x=2=>c=0,
x=3=>b=0,
x=-1=>a=1

11
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


p ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) + 6
Vậy đa thức cần tìm là:

P( −1) = 0, P ( x ) − P ( x − 1) = x ( x + 1) ( 2 x + 1)

Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết:
HD :
P ( 0 ) − P ( −1) = 0
Cho x=0=>
mà P(-1)=0=>P(0)=0
Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36
P ( x ) = e + d ( x + 2 ) + c ( x + 2 ) ( x + 1) + b ( x + 2 ) ( x + 1) x + a ( x + 2 ) ( x + 1) x ( x − 1)
Đặt
Chọn x=-2=>e=0
x=-1=>d=0 x=0=>c=0
x=1=>b=1
x=2=>a=1/2
1
P ( x ) = ( x + 2 ) ( x + 1) x ( x − 1) + ( x + 2 ) ( x + 1)
2
Vậy đa thức cần tìm là:

12
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- 4 dư 8,
chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x, còn dư
HD :
Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thwuong là 3x còn dư nên ta có:
P ( x ) = ( x + 3) ( x + 4 ) 3 x + ax + b

P ( x ) = ( x + 3) A ( x ) + 1
Và

P ( x ) = ( x − 4) B ( x ) + 8

Và
Cho

x = −3 => P ( x ) = 1 = −3a + b
x = 4 => P ( x ) = 8 = 8a + b

Cho
Khi đó ta có hệ:
−3a + b = 1

8a + b = 8
Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995
HD :
P ( x ) = c + b ( x − 0 ) + a ( x − 0 ) ( x − 1)
Đặt:
Cho x=0=>c=19
x=1=>b=-14
x=2=>a=1002
P ( x ) = 1002 x ( x − 1) − 14 x + 19
Vậy đa thức cần tìm là:
Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1
HD :
P ( x ) = d + cx + bx ( x − 1) + ax ( x − 1) ( x − 2 )
Đặt
Cho
Cho

x = 0 => P ( 0 ) = 10 = d
x = 1 => P ( 1) = 12 = c + d => c = 2
x = 2 => P ( 2 ) = 4 = d + 2c + 2b => b = −5

Cho
x = 3 => P ( 3) = 1 = d + 3c + 6b + 6a => a =

Cho
P ( x) =

5
2

5
x ( x − 1) ( x − 2 ) − 5 x ( x − 1) + 2 x + 10
2

Vậy đa thức cần tìm là:
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985
HD :
P ( x ) = a.x ( x − 1) + bx + c
Đặt
x = 0 => P ( 0 ) = 19 = c => c = 19
Cho

13
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


x = 1 => P ( 1) = 85 = b + c => b = 66

Cho

x = 2 => P ( 2 ) = 1985 = 2a + 2b + c => a = 917

Cho

P ( x ) = 917 x ( x − 1) + 66 x + 19

Vậy đa thức bậc hai cần tìm là:
P ( x ) = x 4 + ax 2 + 1
Q ( x ) = x3 + ax + 1
Bài 19: Cho đa thức:
và
, xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm
chung
HD :
Giả sử nghiệm chung là c
P ( x ) − xQ ( x ) = x − 1 => P ( c ) − cQ ( c ) = c − 1
=>
vì x = c là nghiệm
P ( c ) = Q ( c ) = 0 => c − 1 = 0 => c = 1
Nên
,
Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0= >a= - 2
Vậy a= - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung
DẠNG 3: TỔNG HỢP
5n + 2 + 26.5n + 82 n+1 M59

Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n ta có :
HD :

n
n
n
n
n
n
n
5n + 2 + 26.5n + 82 n+1 M
59 51.5 + 8.64 = ( 59 − 8 ) .5 + 8.64 = 59.5 + 8 ( 64 − 5 )
Ta có:
=
n
2
( 64 − 5 ) M( 64 − 5)
Vì
nên ta có đpcm
Bài 2: CMR:
HD :

n 4 − 2 n3 − n 2 + 2 n

chia hết cho 24 với mọi n

∈Z

n 4 − 2n3 − n 2 + 2n = n n 2 ( n − 2 ) − ( n − 2 )  = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − 2 )

Ta có:
là tích 4 số tự nhiên liên
tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3

ab − a − b + 1
Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR:
chia hết cho 48
ab − a − b + 1 = ( a − 1) ( b − 1)
ta có:
,
HD :
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
2
2
a = ( 2n + 1) ; b = ( 2n + 3)
∈Z
với n
2
2
2
ab − a − b + 1 = (a − 1)(b − 1) = ( 2n + 1) − 1 ( 2n + 3) − 1 = 16n ( n + 1) ( n + 2 )



Nên
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48

14
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Bài 4:

( 21x

2

− 9 x3 + x + x 4 + a ) M
( x2 − x − 2)

a, Tìm giá trị của a để
f ( x ) = x3 + ax + b
b, Xác định các hệ số a, b để đa thức
HD :
a,

chia hết cho đa thức

x2 + x − 6

x 2 − 8 x + 15

Thực hiện phép chia ta được thương là
và dư là a+30
b,
f ( x ) Mx 2 + x − 6
f ( x ) M( x + 3) ( x − 2 )
khi
, Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
3
3
3
M = ( a − 1) + a + ( a + 1) = 3a 3 + 6a = 3a ( a − 1) ( a + 1) + 9a M

9
Khi đó ta có:
f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Bài 5: Cho đa thức
, Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị
thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18
HD :
f ( x ) − 6M( x − 1) , ( x − 2 ) , ( x − 3)
Ta có:
vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng
f ( x ) − 6 = m ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3)
với m là hằng số:
f ( x ) − 6 = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) => f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x
f (−1) = −18 => m = 1
lại có:
vậy
Bài 6: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
4
( x − 1) − x 2 x 2 + 6 + 4 x x 2 + 1

(

)

(

)

HD :

Biểu thức <=>

x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1 − x 4 − 6 x 2 + 4 x3 + 4 x = 1
3x 4 + x 3 + x + a

x2 + 1

Bài 7: Tìm a để đa thức
chia hết cho đa thức
HD :
Đem chia ta được dư là a+3
x 3 + ax + b
Bài 8: Tìm các số a và b sao cho
chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
x 3 + ax + b = ( x + 1) P ( x ) + 7 = ( x − 3) Q ( x ) − 5
Ta có :
a = −10, b = −2
Thay x=-1 và x=3 vào biểu thức trên ta được :
Bài 9: CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1

15
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


3a 2 + 11ab − 4b 2 M
169

abM
13
Bài 10: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu
thì
f ( x ) = x 2012 + x 2011 + 1
Bài 11: Tìm phần dư của phép chia
cho đa thức :
2
x −1
a,
x2 + x + 1
b,

( 21x

2

− 9 x3 + x + x 4 + a ) M
( x2 − x − 2)

Bài 12: Tìm giá trị của a để
HD:
Thực hiện phép chia ta được thương là

x 2 − 8 x + 15

và dư là a+30

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Bài 13: Cho đa thức

, Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị
thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18
HD:
f ( x ) − 6M( x − 1) , ( x − 2 ) , ( x − 3)
Ta có:
vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng
f ( x ) − 6 = m ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3)
với m là hằng số:
f ( x ) − 6 = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) => f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x
f (−1) = −18 => m = 1
lại có:
vậy
Bài 4: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
4
( x − 1) − x 2 x 2 + 6 + 4 x x 2 + 1

(

)

(

)

HD:
Biểu thức <=>

x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1 − x 4 − 6 x 2 + 4 x3 + 4 x = 1
3x 4 + x 3 + x + a

Bài 15: Tìm a để đa thức
HD :
Đem chia ta được dư là a+3

chia hết cho đa thức

x2 + 1

P( x ) = x 4 + x 3 + 6 x 2 − 40 x + m − 1979
Bài 16: Cho đa thức:
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 17: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho
x2 + 4
thương là
và còn dư
Bài 18: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho

x 3 + ax + b

chia hết cho

x 2 − 7 x + 10

được

x2 − 2x − 3

16

GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


f ( x ) = 100 x100 + 99 x99 + ... + 2 x 2 + x + 1
Bài 19: Cho đa thức
cho
7
m<
4
3x-1, CMR :

, Gọi m là số dư của phép chia đa thức

f (3) = 1931, f (26) = 2012

Bài 20: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn :
x 3 + ax + b

Bài 21: Tìm các số a và b sao cho
chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HD :
x 3 + ax + b = ( x + 1) P ( x ) + 7 = ( x − 3) Q ( x ) − 5
Ta có :
a = −10, b = −2
Thay x=-1 và x=3 vào biểu thức trên ta được :
p = n 2 + 3n + 5
Bài 22: CMR :
, không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n
52 n +1 + 2n+ 4 + 2n +1

Bài 23: CMR với mọi số nguyên n thì
chia hết cho 23
3
n + 11n M6
Bài 24: CMR với mọi n thì
với n là số nguyên
f ( x) = x3 + ax + b
x2 + x − 6
Bài 25: Xác định các hệ số a, b để đa thức
chia hết cho đa thức
HD:
f ( x ) Mx 2 + x − 6
f ( x ) M( x + 3) ( x − 2 )
khi
, Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
3
3
3
M = ( a − 1) + a + ( a + 1) = 3a 3 + 6a = 3a ( a − 1) ( a + 1) + 9a M
9
Khi đó ta có:

17
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713