Su dung bat dang thuc de tinh GTLN, GTNN

Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 2 

2
( x0)
x3

Giải:
1
3

3

1
3

1
1 1
5
�1 � 1
( BĐT Côsi)
 3 �5 5 � x 2 � 6  5
3
3
x
x
27
�3 �x
1 2 1
5

Dấu “ =” xảy ra � x  3 � x  3 � x  5 3
3
x
5
Vậy Min f  x  = 5
tại x  5 3
27

Ta có: f ( x)  x 2  x 2  x 2 

Bài 2: Cho ba số thực a, b, c 0 thỏa

1
1
1


2 .
1 a 1 b 1 c

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  abc
Giải:
Ta có:

1
1
1
1
1
1



2 
2 

1 a 1 b 1 c
1 a
1 b 1 c


1
1  
1 
1
b
c

1 


  1 

1 a  1 b   1 c  1 a 1 b 1 c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
bc
b
c

2

1 b 1 c
1  b 1  c 



1
1 a

2

bc
 1  b  1 c

(1)

Tương tự, ta có:
ac
1
2
1 b
1  a 1  c 

(2)

ab
1
2
1 c
1  a 1  b 

(3)

Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:
�1 �
�1 �
�1 �
�8
�
�
�
�
�
1  a ��
1 b �
1 c �
�
�
�

۳
Suy ra:

1
 1 a  1 b  1 c 
1
8

M  abc �

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Trang 1

8

a 2b 2 c 2
2
2
2
 1 a  1 b  1 c

abc
1 a 1 b 1 c


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

1
1
1
1


� a bc 
1 a 1 b 1 c
2

(thỏa điều kiện ban đầu)

1

1
Vậy M max 
tại a  b  c 
8
2

Cách khác:
Từ giả thiết ta có:

 1  b   1  c    1  a   1  c    1  a   1  b  �2  1  a   1  b   1  c 
� 2  a  b  c   3  ab  bc  ac �2  1  a   1  b   1  c 
۳ 1 2abc  ab  bc  ac

(1)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2abc  ab  bc  ac �4 4 2a 3b3c 3
Từ (1) và (2) ta được: 1 �
4 4 2a 3b3c3

(2)
1
8

1 8abc hay M  abc �

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2abc  ab  bc  ac � a  b  c 
Vậy Mmax =

1

8

tại a  b  c 

1
2

1
2

Bài toán tổng quát:
Cho a1 , a2 ,..., an  0 thỏa mãn :

n
1
�n  1
�
i 1 1  ai

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  a1.a2 ....an
Lập luận như trên ta được Mmax  2n tại a1  a2  ...  an 

1
n 1

Bài 3: Cho hàm số f ( x)  4 1  x 2  4 1  x  4 1  x
xác định trên D   x �R : 1 �x �1 . Tìm giá trị lớn nhất của f ( x) trên D.
Giải:
Áp dụng bất thức Côsi ta có:
4

1  x2  4 1 x.4 1 x �

4

1  x  4 1  x .1 �

1 x  1 x
2

1 x 1
2
Trang 2

(1)
(2)


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

4

1  x  4 1  x .1 �

1 x 1
2

(3)

Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được:

f ( x) �1  1  x  1  x

x �D

(4)

Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ
khi x  0 .
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

1  1 x
1  x  1  x .1 �
2

(5)

1  1 x
1  x  1  x .1 �
2

(6)

Từ (5), (6) đưa đến:

1  x  1  x �2 � 1  1  x  1  x �3

(7)

Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ
khi x  0 .

Từ (4) và (7) suy ra f ( x) �3

x �D .

Ta lại có f (0)  3, và 0 �D . Do đó: max f ( x) = 3.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:
f ( x) 

1
1

x 1 x

với

0  x 1

Giải:
Ta có: f ( x ) 


1
1
1 x
x
x � �1 1  x �
�1




� 
� 
x 1 x
x
1 x �
1 x 1 x �
x �
� �x
�
1 x
x

2
x
1 x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
f ( x) 

1 x
x
1 x x

 2 �2
.
24
x
1 x
x 1 x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy min f ( x)  4 tại x 

1 x
x
1

� x
x
1 x
2

1
2

Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c .
Trang 3


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
Giải:
Đặt:

x  b  c,

�a  b  c 
Và

a

1
2

y  c  a,

a
b
c


bc ca a b

z  ab

 x y z 

yzx
,
2

b

zx y
,
2

c

x yz
2

(*)

Từ đó ta có:
P

�
y  z  x z  x  y x  y  z 1 �y  z z  x x  y


 �


 3�
2x
2y
2z
2� x
y
z
�

�y
1�
 �
� 
2�
�x

x � �z x � �z
 � � 
�
y��
�x z � �y

1
3
�  2  2  2  3 
2
2

y� �
� 3�
z� �

( Bất đẳng thức Côsi)

�y x
�x  y
�
�z x
Dấu “=” xảy ra � �  � x  y  z
�x z
�z y
�y  z
�
Từ (*) ta có a  b  c
Vậy Pmin 

3
với mọi số thực dương a, b, c thỏa a  b  c .
2

Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức S  abc  a  b   b  c   c  a 
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:
a �۳
b c 33 abc

1 33 abc

Trang 4

(1)


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Và

 a  b    b  c    c  a  �3 3  a  b   b  c   c  a 
۳ 2 33  a  b  b  c  c  a

(2)

Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được:
2 �9 3 abc  a  b   b  c   c  a   9 3 S

۳ 8 93 S ۣ S

8
729

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 
Vậy

Smax 

1
3

8
729

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 

x
 1  x  2x2
2

1�
�
trên miền D  �x �R : 1 �x � �.
2
�
Giải:
Nhận thấy D là miền xác định của f ( x) .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

1  x  2 x  1.  1  x  2 x
2

x 1   1  x  2x
f ( x) � 
2
2

Do đó:

Từ đó suy ra:

2

2



1   1  x  2x2 
�
2



f ( x) 1  x 2
x �D

f ( x) �1

Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì

�
�
1 1  x  2 x2
� 2
1 x  1
� x  0 �D
�
�
1
�
1 �x �
�
2
Ta lại có: f (0)  1
Trang 5

x �D


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

f ( x)  1
Vậy max
x�D

2 �
2 �1
Bài 8: Cho hàm số f ( x)   1  x  � 2   1 �
.
x �

�x
Tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) với x  0
Giải:
2

1 �
�
�1 2 � �
Ta có: f ( x )   1  x  � 2   1� �
 1 x �
�  1�
�
x � �
�x
�x �
�
2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2

�
1�
f ( x ) ��
2 x .2
� 16
x
�
�
Dấu “=” xảy ra � x  1 > 0.

f ( x)  16 tại x  1
Vậy min
x 0
Bài 9: Cho ba số thức dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
�1 1 1 � a b c
A   abc  1 �   �     a  b  c 
�a b c � b c a
Giải:
Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau:
a� � b� � c � 1 1 1
�
A�
ab  � �
bc  � �
ac  �     a  b  c 
� b�� c� � a� a b c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
ab 

a
�2a ,
b

bc 

b
�2b ,
c

Từ đó suy ra: A �2a  2b  2c 

۳ A

abc

ac 

c
�2c
a

1 1 1
    a  b  c
a b c

1 1 1 � 1� � 1� � 1�
  �
a  � �
b  � �
c �
a b c � a� � b�� c�

1
1
1
۳ A 2 a.  2 b.  2 c.  6
a
b
c
Dấu “=” xảy ra � a  b  c  1
Trang 6

(BĐT Côsi)


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Vậy MinA = 6 tại a  b  c  1
�
1  ab 2 1  bc 2 1  ca 2 �

Bài 10: Cho biểu thức sau: P   a  b  c  � 3 
a3
b3 �
� c
�
Tìm giá trị nhỏ nhất của P với a  0, b  0, c  0 và abc  1
3

3

3

Giải:
�a 3 a 3 b3 b3 c 3 c 3 �
Ta có: P  3  � 3  3  3  3  3  3 �
�b c c a a b �
�a 4b 2 ab5 b 4c 2 bc5 a5c a 2c 4 �
 � 3  3  3  3  3  3 �  ab 2  bc 2  ca 2 
c
a

a
b
b �
�c

(1)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a3 a 3 b3 b3 c 3 c3
a 3 a 3 b3 b3 c3 c3
6
     �6 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3  6
b3 c 3 c 3 a 3 a 3 b 3
b c c a a b

(2)

a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4
a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4
6





�
6
.
.
.

.
.
c3
c3
a3
a3
b3
b3
c3 c3 a 3 a3 b3 b3
�

a 4b 2 ab5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4
 3  3  3  3  3 �6abc  6
c3
c
a
a
b
b

ab 2  bc 2  ca 2 �3 3 ab2 .bc 2 .ca 2  3abc  3

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
P �3  6  6  3  18

Dấu “=” xảy ra � a  b  c  1
Vậy Pmin = 18 tại a  b  c  1

 n �2 

thỏa mãn x1  x2  ...  xn  1
a
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  x1a1 .x2a2 ...xn n ,
Trong đó: a1 , a2 , a3 ,..., an là n số dương cho trước.

Bài 11: Cho n số dương x1 , x2 , x3 ,..., xn

Giải:
Đặt a  a1  a2  ...  an ,

bi 

ai
a

 i  1, 2,.., n  thì bi  0

Và b1  b2  ...  bn  1 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có:

Trang 7

(3)
(4)


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
b1

b2

bn

�x1 � �x2 � �xn � b1
b2
bn
� �.� � ... � � � x1  x2  ...  xn
a2
an
�a1 � �a2 � �an � a1
1
1
�  x1  x2  ..  xn  
a
a

1
� S  x1a1 .x2a2 ...xnan � a a1a1 .a2a2 ...anan
a
xn
x  x  ...  xn x1 x2
x
x1 x2
� 1 2
 
 ...  n
Dấu “=” xảy ra �   ... 
a1 a2
an
a1  a2  ...  an a1 a2
an

x
a
1 x
x
�  1  2  ...  n � xi  i  i  1, 2,..., n 
a a1 a2
an
a
1 a a
a
Vậy Smax  a a1 1 .a2 2 ...an n
a
3
Bài 1: Cho a, b, c � và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
4
P  4a  3  4b  3  4c  3 .

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:



1. 4a  3  1. 4b  3  1. 4c  3



2

� 1  1  1  4a  3  ab  3  ac  3
�3  4  a  b  c   9 

�3  4.3  9   63

� P  4a  3  4b  3  4c  3 �3 7
� 4a  3
4b  3
4c  3


�
1
1
1
�
�
a  b  c 1
� a  b  c 1
Dấu “=” xảy ra � �
�
3
�
a, b, c �
4
�
Vậy MinP = 3 7 tại a  b  c  1 .
Bài 2: Cho các hằng số dương a, b, c và các số dương x, y, z thay đổi sao cho
a b c
   1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  y  z .
x y z
Giải:
a

b
c
x
y
z
Ta có: a  b  c 
x
y
z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

Trang 8


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình



a b c

�





2

2

�a
� �a b c �
b
c
�
x
y
z ���   �
 x  y  z
x
y
z
x
y
z
�
�
�
�

a b c

Dấu “=” xảy ra

Mặt khác:



2

�x  y  z
b
y

a
x 
x

�

a b c
  1
x y z

y

z
Vậy maxA =



a b c



(1)

(2)



b
c

Từ (1) và (2) suy ra: x  a
y



c
z � a  b c
x
y
z
z


c
c

a b c
a b
a b

2

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x, y, z )  x 4  y 4  z 4 ,
trên miền D    x, y, z  : x, y, z  0 và xy  yz  zx  1
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược:

 1.x

2

 1. y 2  1.z 2  �3  x 4  y 4  z 4 
2

(1)

Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

 xy  yz  zx 

2

� x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2    x 2  y 2  z 2 

2

Vì xy  yz  zx  1 nên:

x

2

 y 2  z 2  �1
2

(2)

4
4
4
Từ (1) và (2) ta có: 3  x  y  z  �1

1
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra
�x 2  y 2  z 2
�
� �x y z kết hợp với điều kiện xy  yz  zx  1
�y  z  x
�
۳ f ( x, y , z )

Ta được: x  y  z 
Vậy Max f ( x, y, z ) 
( x , y , z )�D

3
3

1
3
Trang 9


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Bài 4: Cho các số dương a, b, c thỏa a 2  b2  c 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

a3
b3
c3


thức P 
a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b
Giải:
Ta có:
P

a4
b4
c4


a 2  2ab  3ac b 2  2bc  3ba c 2  2ca  3cb

(1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy số sau:
a 2  2ab  3ac , b2  2bc  3ba , c 2  2ca  3cb và
a2
a 2  2ab  3ac

a

2

b c

2

,

b2
b 2  2bc  3ba

,

c2
c 2  2ca  3cb

ta có:

�
�
a4
b4
c4
�� 2
 2
 2
.
�
�a  2ab  3ac b  2bc  3ba c  2ca  3cb �



2 2

.  a 2  2 ab  3ac  b 2  2bc  3ba  c 2  2ca  3cb 

�  a 2  b 2  c 2  �P �
a 2  b 2  c 2  5  ab  bc  ca  �
�
�
2

(2)

Mà a 2  b 2  c 2  1 , từ (2) suy ra
1
P�
1  5  ab  bc  ca 
Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có:
a 2  b 2 �2ab �
�
b 2  c 2 �2bc �� ab  bc  ca �a 2  b 2  c 2  1
c 2  a 2 �2ca �
�
1
1
1
�

Từ (3) ta có: P �
1  5  ab  bc  ca  1  5.1 6
Dấu “=” xảy ra � a  b  c 
Vậy MinP =

3
3

1
6

Trang 10

(3)


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Bài 5: Cho hai số dương a, b thỏa 0  a  1,0  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
a2
b2
1


ab
thức M 
1 a 1 b a  b
Giải:
Ta có:
a2
b2
1
M
1 a 
1 b 

2
1 a
1 b
ab
a 2  1  a 2 b2  1  b2
1



2
1 a
1 b
a b
1
1
1



2
1 a 1 b a  b
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2

1
1
� 1
�
1 a 
1 b 

a  b ��
�
1 b
ab
� 1 a
�
1
1 �
�1
�� 

�
 1  a   1  b   a  b �
�
�
1 a 1 b a  b �
�
�

1
1
��۳
1 a 1 b

1
ab

9
2

M

9
2
2

5
2

1
�1

�
1
�
1 a a  b
� ab
Dấu “=” xảy ra � �
3
�1  1
�
1 b a  b
5
2
Bài toán tổng quát:
a12
a22
an2
1
P




...


Cho
với 0  ai  1 i  1, n
1  a1 1  a2
1  an a1  a2  ...  an
2n  1
Thì minP 
n
Vậy minM =





2
Bài 6: Cho hàm số thực f ( x)  x 2007  2009  x . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của f ( x) trên miền xác định của nó.
Giải:
 2009; 2009 �
Ta có miền xác định của f ( x ) : D  �
�
�





2
Mặt khác: f ( x )   x 2007  2009  x   f ( x ) � f ( x ) là hàm lẻ

Trang 11


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

0; 2009 �
Và f ( x) �0, x �D  �
�
�
Do đó: max f ( x )  max f ( x) và min f ( x)   max f ( x)
x�D

x�D

x�D

x�D



Với x �D , ta có:
f ( x)  x



2007. 2007  1. 2009  x 2



Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì:

2007. 2007  1. 2009  x 2 � 2008  2007  2009  x 2 
� 2008  4016  x 2 

Suy ra: f ( x) �x 2008  4016  x 2   2008. x 2  4016  x 2 
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
x 2  4016  x 2
f ( x ) � 2008.
 2008.2008
2
� 2007
 1  2009  x 2
�
� x  2008
Dấu “=” xảy ra � � 2007
�x 2  4016  x 2
�
f ( x)  2008 2008 tại x  2008
Vậy max
x�D
min f ( x)  2008 2008 tại x   2008
x�D
Bài 7: Cho x, y, z  0 thỏa mãn
thức T 

2

2

xy  yz  zx  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2

x
y
z


x y yz z x
Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
1 x y  y z  z x � x  y  z y  z  x  x  y  z

 x  y  z

2

� x
�
� x y
�

x y 

y
yz

� x2
y2
��


x

y
y

z
�
1
�
T
 x y z
2

z
yz 
zx

2

�
z  x ��

�
�

z2 �
 x  y  y  z  z  x   2T  x  y  z 
�
zx�
1
2
1
Dấu “=” xảy ra � x  y  z 
3
1
1
Vậy minT = tại x  y  z  .
2
3
Trang 12


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Bài 8: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
1
1

 
thức P  2

2
2
a b c
ab bc ca
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:
2

�
�
1
1
1
1
100  �
a 2  b2  c 2 
3 ab 
3 bc 
3 ca ��
2
2
2
ab
bc
ca
� a b c
�
1
1
1

1 � 2
�
�� 2

  �
a  b 2  c 2  9ab  9bc  9ca 

2
2
ab bc ca �
�a  b  c
2
�P �
 P�
1  7 ab  bc  ca  �
 a  b  c   7  ab  bc  ca  �
�
�
� � 
Mà ta lại có:
1
2
 a  b  c  �ab  bc  ca
3
Thật vậy, từ trên ta có:
2
 a  b  c  �3  ab  bc  ca 

Do đó:

� a 2  b 2  c 2 �ab  bc  ca (suy ra từ bất đẳng thức Cosi)

2 � 10
� 7
100 �P �
1   a  b  c  � P
� 3
� 3
۳ P 30
1
Dấu “=” xảy ra � a  b  c 
3
1
Vậy minP = 30 tại a  b  c 
3
Bài toán tổng quát:
Cho n số dương a1 , a2 ,..., an  n �2  và a1  a2  ...  an  1 .

Đặt P =

1
1
1
1
1


 ... 

a1  a2  ...  a n a1a2 a2 a3

an 1an an a1

Thì min P 

n  n3  n 2  2 
2

khi a1  a2  ...  a n 

1
n

2.3. Sử dụng bất đẳng thức vectơ
Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức
cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc
căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số .

Trang 13


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Bài 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 x  3 y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
S 3 x 2  2 y 2
Giải:

  
2



2

Ta có S 3x 2  2 y 2  3x  2 y
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn
4 9
35
 2 3 
u 
,
 u   
3 2
6
 3 2





v  3 x, 2 y  v  3 x 2  2 y 2
u.v 2 x  3 y 1  u .v 
Dấu “=” xảy ra 

35
6
. 3x 2  2 y 2  3x 2  2 y 2 
6
35

2

3
  4 y 9 x
3x 2 y

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được: x 
Vậy minS =

4
9
,y
35
35

6
4
9
tại x  , y 
35
35
35

Bài 2: Cho x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  z 2
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
u  x, y, z   u  x 2  y 2  z 2
v  z , x, y   v  x 2  y 2  z 2
2
2
2
Ta có: u.v  u . v  xz  xy  yz x  y  z

 2 x 2  y 2  z 2  2 xz  2 xy  2 yz
 3 x 2  y 2  z 2  x 2  y 2  z 2  2 xz  2 xy  2 yz
 3 x 2  y 2  z 2   x  y  z  1
1
 x2  y 2  z 2 
3
x y z
1
Dấu “=” xảy ra     x  y z 
z x y
3
1
1
Vậy minP = khi x  y  z 
3
3
2
2
Bài 3: Cho a  b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a 1  b  b 1  a
2

Giải:
Trang 14


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
u  a, b   u  a 2  b 2 1





v  1 b, 1 a  v  a  b  2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1.a  1.b  2 a 2  b 2   2
Do đó: v  2  2
A u.v a 1  b  b 1  a  u . v  x  y  2  2  2
a
b

1 b
1 a
Kết hợp với điều kiện ban đầu a 2  b 2 1
2
Suy ra: a b 
2
2
Vậy A max  2  2 khi a b 
2
Dấu “=” xảy ra 

Bài 4: Cho ba số dương x, y, z và x  y  z 1 .
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P  x 

1
1
1

 y2  2  z2  2
2
x
y
z

Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
1
 1
u  x,   u  x 2  2
x
 x
 1
1
v  y,   v  y 2  2
y
 y
1
 1
w  z ,   w  z 2  2
z
 x

1 1 1
 u  v  w  x  y  z ,   
x y z

Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  u  v  w ta có:
1

1
1
x  2  y2  2  z2  2 
x
y
z
2

 x  y  z    1  1  1 
x y z

2

2

(1)

2

1 1 1
2
2
Nhận thấy:  x  y  z       81 x  y  z   80 x  y  z  
x y z
2

1 1 1
    
x y z
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:

Trang 15

2

(2)


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình
2

1 1 1
1 1 1
81 x  y  z       2.9 x  y  z     
 x y z
x y z
1
2.9.33 xyz .33
2.81
xyz
Từ (2) và (3) ta có:
2

(3)

2



 x  y  z    1  1  1   2.81  80  82
x y z

Và do (1) nên:
1
1
1
P  x 2  2  y 2  2  z 2  2  82
x
y
z
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z 
3
1
Vậy Pmin  82 khi x  y  z  .
3
2

Bài 5: Cho a  b  c 2 và ax  by  cz 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  16a 2   ax   16b 2   by   16c 2   cz 
2

2

2

Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
u  4a, ax   u  16a 2   ax 
v  4b, by   v  16b 2   by 

2

2

w  4c, cz   w  16c 2   cz 

2

u  v  w  4 a  b  c , ax  by  cz   8,6   u  v  w 10
Ta có: u  v  w  u  v  w
 P  16a 2   ax   16b 2   by   16c 2   cz  10
Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a. Có hai trong ba vectơ bằng vectơ 0
b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ 0
Giả sử u 0 thì w k v  k  0 
c. Không có vectơ nào bằng vectơ 0
2

2

Trang 16

2


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

 a kb
 ax kby
 a ax


 x  y z 3
 b by k  0
 by mcz

 
  a  b  c 2

 b by m  0  k , m  0
 a, b, c  0

 c cz
 a  b  c 2

 ax  by  cz 0
Bài 6: Cho các số dương x, y, z thỏa xy  yz  zx 4 . Tìm giá trị bé nhất của biểu
thức F x 4  y 4  z 4
Giải:
Trong không gian Oxyz chọn:
u  x 2 , y 2 , z 2   u  x 4  y 4  z 4
v 1,1,1  v  3
Ta có: u.v x 2  y 2  z 2

 

2

2

2

Mà: u.v  u . v  3 x 4  y 4  z 4   x 2  y 2  z 2 

2

Mặt khác ta có:
x 2  y 2 2 xy
y 2  z 2 2 yz
z 2  x 2 2 zx
 2 x 2  y 2  z 2  2 xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2 xy  yz  zx = 4
16
4
4
4
2
4
4
4
Từ đó ta có: 3 x  y  z  4 16  x  y  z 
3
2
Vậy: minF = 16 khi x  y z 
13
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A  a 2  4a  8  a 2  2ab  b 2  4  b 2  6b  10
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
u  a  2,2   u  a 2  4a  8
v   a  b,2   v   a  b   4
2

w  b  3,1  w  b 2  6b  10
u  v  w   5,5  u  v  w 5 2

Trang 17


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Ta có: u  v  w  u  v  w
a 2  4a  8  a 2  2ab  b 2  4  b 2  6b  10 5 2
a 2
 b  3 2
 a 0, b 2
Dấu “=” xảy ra  
a

2

  a  b 1
Vậy A min 5 2 tại a 0, b 2


Bài 8: Cho a  R . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M  a 2  4a  13  a 2  2a  5
Giải:
Ta có: M   a  2 2  9   a  1 2  4
Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn:
u   a  2,3  u   a  2  9
2

v  a  1,2  v   a  1  4
2

 u  v  3,5  u  v  34
Mà: u  v  u  v 

 a  2 2  9   a  1 2  4 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 
Vậy: M min  34 khi a 

34

1
5

1
5

Bài 9: Cho ba số dương a, b, c thỏa: ab  bc  ca abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của
b 2  2a 2
c 2  2b 2
a 2  2c 2
biểu thức B 


ab
bc
ca

Giải:
1
2
1
2
1
2
 2  2 2  2 2
2
a
b
b
c
c
a
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
Ta có: B 

Trang 18


Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

1
u  ,
a
1
v  ,
b
1

w  ,
c

2
1
2
 u  2  2
b 
a
b
2
1
2
 v  2  2

c 
b
c
2
1
2
 w  2  2

a 
c
a

1 1 1
 1 1 1 
Và u  v  w    , 2     

 a b c 
a b c
1 1 1
Mặt khác: ab  bc  ca abc    1
a b c
Do đó: u  v  w  1, 2  u  v  w  3





Mà: u  v  w  u  v  w

1
2
1 2
1 2
 2  2 2  2 2  3
2
a b
b c
c
a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c 3
Vậy Bmin  3 khi a b c 3
 B

Trang 19