Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – đặng việt đông file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Trang 1

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

DÃY SỐ................................................................................................................................................................ 3
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT..............................................................................................................................3
B – BÀI TẬP........................................................................................................................................................3
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ...............................................................................................................3
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN....................................................................................7
C – HƯỚNG DẪN GIẢI...................................................................................................................................13
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ.............................................................................................................13
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN...................................................................................20
CẤP SỐ CỘNG..................................................................................................................................................33
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT............................................................................................................................33
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................................33
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG...................................33
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG................................................39
C– HƯỚNG DẪN GIẢI....................................................................................................................................41
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG...................................41
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG................................................53
CẤP SỐ NHÂN..................................................................................................................................................58
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT............................................................................................................................58
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................................58
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN....................................58

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN.................................................64
C – HƯỚNG DẪN GIẢI...................................................................................................................................65
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN....................................65
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN.................................................76
ÔN TẬP CHƯƠNG III......................................................................................................................................78
ĐÁP ÁN.............................................................................................................................................................. 89

Trang 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n  p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.
2. Dãy số
u : �* � �
Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
n a u (n)

3. Dãy số tăng, dãy số giảm
 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.
un 1
 1 với n  N* ( un > 0).
 un+1 – un > 0 với  n  N* 
un
 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.
un 1
 1 với n  N* (un > 0).
 un+1 – un< 0 với  n  N* 
un
4. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*.

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u10  97
B. u10  71
C. u10  1414
D. u10  971

an 2
(a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây?
n 1
2
2

a.n 2  1
an 2
a.  n  1
a.  n  1
A. un 1 
.
B. un 1 
.
C. un 1 
.
D. un 1 
.
n 1
n2
n2
n 1
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un  5(n  1) .
B. un  5n .
C. un  5  n .
D. un  5.n  1 .
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 2: Cho dãy số  un  với un 

A. un  7 n  7 .

B. un  7.n
.
Trang 3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
C. un  7.n  1 .

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

D. un : Không viết được dưới dạng công thức.

1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
2 3 4 5
n 1
n
n 1
n2  n
u

u

u

A. n
.
B. n
.
C. n
.
D. un 
.
n

n 1
n
n 1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001; 0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
1
1
u  0,
u 
0,
1400...01
2 43
1400...01
2 43
A. n
. B. n
. C. un  n 1 .
D. un  n1 .
10
10
n chöõ soá 0
n1 chöõ soá 0
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
n 1
n
A. un  1 .
B. un  1 .
C. un  (1) .
D. un   1 .
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. un  2n .
B. un   2   n .
C. un   2  (n  1) .

D. un   2   2  n  1 .
1 1 1 1 1
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 3 3 3 3
1 1
1
1
1
A. un  n 1 .
B. un  n 1 .
C. un  n .
D. un  n 1 .
33
3
3
3
u

5
�1
Câu 10: Cho dãy số  un  với �
.Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un 1  un  n
�
( n  1) n
(n  1) n

A. un 
.
B. un  5 
.
2
2
(n  1)n
(n  1)( n  2)
C. un  5 
.
D. un  5 
.
2
2
u1  1
�
�
u
Câu 11: Cho dãy số  n  với �
2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un 1  un   1
�
đây?
2n
A. un  1  n .
B. un  1  n .
C. un  1   1 .
D. un  n .
u1  1
�

�
Câu 12: Cho dãy số  un  với �
2 n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào
un 1  u n   1
�
dưới đây?
A. un  2  n .
B. un không xác định.
C. un  1  n .
D. un   n với mọi n .
u1  1
�
Câu 13: Cho dãy số  un  với �
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un 1  un  n 2
�
đây?
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  2 
A. un  1 
.
B. un  1 
.
6
6
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  2 
C. un  1 
.
D. un  1 

.
6
6

Trang 4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
Câu 14: Cho dãy số  un 

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

u1  2
�
�
với �
un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?
2
A. un  2   n  1 .

C. un  2   n  1 .
2

2
B. un  2  n .

D. un  2   n  1 .
2

u1  2
�
�
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 15: Cho dãy số  un  với �
u


2

n

1
�
un
�
n 1
n 1
n 1
n
A. un  
.
B. un 
.
C. un  
.
D. un  
.
n

n
n
n 1
� 1
u1 
�
Câu 16: Cho dãy số  un  với � 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
�
un1  un  2
�
1
1
1
1
A. un   2  n  1 .
B. un   2  n  1 .
C. un   2n .
D. un   2n .
2
2
2
2
u1  1
�
�
Câu 17: Cho dãy số  un  với �
u . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1  n
�

�
2
n 1

n

�1 �
A. un   1 . � �.
�2 �
.

�1 �
B. un   1 . � � .
�2 �

n 1

�1 �
C. un  � � .
�2 �

n 1

�1 �
D. un   1 . � �
�2 �

u1  2
�
Câu 18: Cho dãy số  un  với �

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
un 1  2un
�
n 1
n
n 1
A. un  n .
B. un  2 .
C. un  2 .
D. un  2 .
� 1
u1 
�
Câu19 : Cho dãy số  un  với � 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
�
u

2
u
n
�n 1
1
1
n 1
n2
A. un  2 .
B. un  n 1 .
C. un  n .
D. un  2 .

2
2
n 2  3n  7
Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un 
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
n 1
11 17 25 47
13 17 25 47
11 14 25 47
11 17 25 47
A. ; ; ; 7;
B. ; ; ;7;
C. ; ; ;7;
D. ; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
u1  1
�
Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi: �

. Viết năm số hạng đầu của dãy;
un  2un 1  3 n �2
�

A. 1;5;13;28;61

B. 1;5;13;29;61

D. 1;5;14;29;61
�
un 1  un2  2vn2
(
u
),
(
v
)
u

3,
v

2
Câu 23: Cho hai dãy số n
và �
với n �2 .
n được xác định như sau 1
1
vn 1  2un .vn
�

Trang 5

C. 1;5;17;29;61


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) .



 



2
2
�
u

2

1

2

1

n
�
�
A. �
2n
1 �
�
vn 
2

1
 2 1
� 2 2�
�
n





n

 

 





2n

�
�
�

2n
2n �
� 1�
u

2

1

2

1
�n 2 �
�
�
�
�
C. �
n
2
2n �
1 �
�
vn 

� 2  1  2 1 �
�
�
� 3 2�



 

Trang 6





 



 

�
�
�
2n �
2 1 �
�



 

2 1

2n
� 1�
u

2

1

�n 4 �
�
�
B. �
2n
1�
�
vn  � 2  1 
�
� 2�
2n
� 1�
u

2

1


�n 2 �
�
�
D. �
2n
1 �
�
vn 
� 2 1
�
� 2 2�





2 1

2n



 



2n

�
�

�



2 1

2n

�
�
�


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un 
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

3n 2  2n  1
n 1
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n  n 2  1
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
n
3 1
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n
2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai

n   1
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un 
n2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
2n  13
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
3n  2
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
n 2  3n  1
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
n 1
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên

D. Cả A, B, C đều sai
1
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
1  n  n2
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
2n
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
n!
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
1 1
1
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1  2  2  ...  2 .
2 3
n
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
2n  1
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
n2
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới
n
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  (1)
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
n

Trang 7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

2
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 

n2  n  1
n2  n  1
C. Bị chặn trên
n 1

n2  1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
1
1
1

 ... 
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
1.3 2.4
n.(n  2)
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
1
1
1
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u 

 ... 

n
1.3 3.5
 2n  1  2n  1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
u1  1
�
�
Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: � un 1  2
un 
, n �2
�
un 1  1
�
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
u1  1
�
�
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: �
un 1  3 un3  1, n �1
�
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
u1  2
�

�
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: �
un2  1
un 1 
n �1
�
�
4
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi un  2010  2010  ...  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai
u1  1, u2  2
�
�
Câu 22: Cho dãy số (un ) : � 3
. Khẳng định nào sau đây đúng?
un  un 1  3 un  2 , n �3
�
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
an  2
, n �1 . Khi a  4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
Câu 23: Cho dãy số (un ) : un 
2n  1
10
14
18
22
A. u1  2, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9
10
14
18
22
B. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 

3
5
7
9

Trang 8


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

1
1
18
22
C. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9
10
4
8
22
D. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9

Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.
A. a  2
B. a  2
C. a  4
u1  2
�
Câu 25: Cho dãy số (un ) : �
Viết 6 số hạng đầu của dãy
un  3un 1  2, n  2,3..
�
A. u1  2, u2  5, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244

D. a  4

B. u1  2, u2  4, u3  10, u4  18, u5  82, u6  244
C. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  72, u6  244
D. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244
n 1
n
Câu 26: Cho dãy số un  5.2  3  n  2 , n  1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy
A. u1  1, u2  3, u3  12, u4  49, u5  170
B. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170
C. u1  1, u2  3, u3  24, u4  47, u5  170
D. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  178
Câu 27:
n
n
1. Cho dãy số (un ) : un  (1  a )  (1  a ) ,trong đó a �(0;1) và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số
u1  2

u1  2
�
�
�
�
A. �
B. �
n
n
n
n
un 1  un  a �
1 a  1 a �
un 1  un  2a �
1 a   1 a  �


�
�
�
�
�
�
�
�
u1  2
u1  2
�
�
�

�
C. �
D.
n
n
n
n
�
un 1  2un  a �
1 a  1 a �
un 1  un  a �
1 a   1 a �


�
�
�
�
�
�
�
�
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy (un ) là dãy số tăng.
B. Dãy (un ) là dãy số giảm.
C. Dãy (un ) là dãy số không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai.
u1  1
�
�

1
Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: �
.
un  3un 1 
 2, n �2
�
2un 1
�
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un  0, n
3
47
227
3
17
227
A. u1  1, u2  , u3  , u4 
B. u1  1, u2  , u3  , u4 
2
6
34
2
6
34
3
19
227
3
17
2127
C. u1  1, u2  , u3  , u4 

D. u1  1, u2  , u3  , u4 
2
6
34
2
6
34
u0  2011
�
�
Câu 29: Cho dãy số (un ) được xác định bởi : �
un2
u

�n 1 u  1 , n  1, 2,...
n
�
a) Khẳng định nào sau đây đúng
A. Dãy (un ) là dãy giảm
B. Dãy (un ) là dãy tăng

Trang 9


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
C. Dãy (un ) là dãy không tăng, không giảm
b) Tìm phần nguyên của un với 0 �n �1006 .
A.  un   2014  n

B.  un   2011  n

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

D. A, B, C đều sai
C.  un   2013  n

D.  un   2012  n

u1  2, u2  6
�
Câu 30: Cho dãy số (un ) được xác định bởi: �
un  2  un  2un 1 , n  1, 2,...
�
n
n
a) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình x 2  2 x  1  0 . Chứng minh rằng: un  a  b
2
n 1
b) Chứng minh rằng: un 1  un  2un  (1) .8 .

n 1
n2
C. Tăng, chặn dưới

Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un 
A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

D. Giảm, chặn trên

3
Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  n  2n  1
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
u 2
�
�1
Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : �
u 1
un 1  n
, n �2
�
�
2
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
u1  2, u2  3
�
�
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau: �
.
un 1  un  un1 , n �2
�
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
�x0  1
�
Câu 35: Cho dãy số ( xn ) : �
2n n 1
. Xét dãy số yn  xn 1  xn . Khẳng định nào
x

�n ( n  1) 2 �xi , n  2, 3,...
i 1
�
đúng về dãy ( yn )
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
n
Câu 36: Cho dãy số  Un  với Un 
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
n 1
1 2 3 5 5
A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; .
2 3 4 5 6
B. 5 số số hạng đầu của dãy là : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
2 3 4 5 6 .
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
1
Câu 37: Cho dãy số  un  với un  2

.Khẳng định nào sau đây là sai?
n n
1 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ;
2 6 12 20 30
B. Là dãy số tăng.
1
C. Bị chặn trên bởi số M  .
2
D. Không bị chặn.

Trang 10


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n
A. Năm số hạng đầu của dãy là : 1; 1 ; 1 ; 1 ; 1
2 3 4 5 .
B. Bị chặn trên bởi số M  1 .
C. Bị chặn trên bởi số M  0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M  1 .
n
Câu 39: Cho dãy số  un  với un  a.3 ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 38: Cho dãy số  un  với un 

B. Hiệu số un 1  un  3.a .
D. Với a  0 thì dãy số giảm.

n 1
A. Dãy số có un 1  a.3 .
C. Với a  0 thì dãy số tăng

Câu 40: Cho dãy số  un  với un 
A. Dãy số có un 1 

a 1
.
n2  1

B. Dãy số có : un 1 

C. Là dãy số tăng.

a 1
.
(n  1) 2

C. Hiệu un 1  un   a  1 .

a 1

 n  1

2

.

D. Là dãy số tăng.

Câu 41: Cho dãy số  un  với un 
A. un 1 

a 1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n2

a 1
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
n2
2n  1
2
B. Hiệu un 1  un   1  a  .
.
 n  1 n2

2n  1

 n  1

2

n2

.

D. Dãy số tăng khi a  1 .

an 2 a
( : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
n 1
2
a.  n 2  3n  1
a.  n  1
A. un 1 
.
B. un 1  un 
.
(n  2)(n  1)
n2
C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .
D. Là dãy số tăng với a  0 .
k
Câu 43: Cho dãy số  un  với un  n ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
3
k
k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 .
B. Số hạng thứ n của dãy số là n 1 .
3
3
C. Là dãy số giảm khi k  0 .
D. Là dãy số tăng khi k  0 .
n 1
(1)
Câu 44: Cho dãy số  un  với un 

. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
1
1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là .
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
10
11
C. Đây là một dãy số giảm.
D. Bị chặn trên bởi số M  1 .
Câu 45: Cho dãy số  un  có un  n  1 với n �N * . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 42: Cho dãy số  un  với un 

A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2; 3; 5 .
B. Số hạng un 1  n .
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn dưới bởi số 0 .
2
Câu 45: Cho dãy số  un  có un   n  n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 .
2
B. un 1  n  n  2 .

Trang 11

.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
C. un 1  un  1 .

D. Là một dãy số giảm.
Câu 46: Cho dãy số  un  với un 
A. un 1 

1

 n  1

2

1

.

C. Đây là một dãy số tăng.

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
2

B. un  un 1 .

D. Bị chặn dưới.

Câu 47: Cho dãy số  un  với un  sin
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1


A. Số hạng thứ n  1 của dãy: un 1  sin
B. Dãy số bị chặn.
n2
C. Đây là một dãy số tăng.
D. Dãy số không tăng không giảm.

Trang 12


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u10  97
B. u10  71
C. u10  1414
D. u10  971
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3
2
Xét dãy (un ) có dạng: un  an  bn  cn  d
a  b  c  d  1
�
�

8a  4b  2c  d  3
�
Ta có hệ: �
27a  9b  3c  d  19
�
�
64a  16b  4c  d  53
�
Giải hệ trên ta tìm được: a  1, b  0, c  3, d  1

� un  n3  3n  1 là một quy luật.
Số hạng thứ 10: u10  971 .
an 2
(a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây?
n 1
2
a.n 2  1
an 2
a.  n  1
B. un 1 
.
C. un 1 
.
D. un 1 
.
n 1
n2
n 1

Câu 2: Cho dãy số  un  với un 

a.  n  1
.
n2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
2
a.  n  1
a  n  1
u


Ta có n 1
.
 n  1  1  n  2  2
2

A. un 1 

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un  5(n  1) .
B. un  5n .
C. un  5  n .
D. un  5.n  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
5  5.1
10  5.2

15  5.3
20  5.4
25  5.5
Suy ra số hạng tổng quát un  5n .
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un  7n  7 .
B. un  7.n
.
C. un  7.n  1 .
D. un : Không viết được dưới dạng công thức.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Trang 13


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

8  7.1  1
15  7.2  1
22  7.3  1
29  7.4  1
36  7.5  1
Suy ra số hạng tổng quát un  7n  1 .

1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
2 3 4 5

n 1
n
n 1
n2  n
A. un 
.
B. un 
.
C. un 
.
D. un 
.
n
n 1
n
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
0
0
0 1
1
1

2 11
2
2

3 2 1

3
3

4 3 1
4
4

5 4 1
n
Suy ra un 
.
n 1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001; 0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
u  0,
u 
0,
1
1
1400...01
2 43
1400...01
2 43
A. n
. B. n
. C. un  n 1 .
D. un  n1 .
10
10
n chöõ soá 0

n1 chöõ soá 0
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0
…………………………….
Suy ra un có n chữ số 0 .
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
n 1
n
A. un  1 .
B. un  1 .
C. un  (1) .
D. un   1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1
2
3
4
5
n
Các số hạng đầu của dãy là  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;... � un   1 .
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
B. un   2   n .

A. un  2n .

Trang 14


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

C. un   2  ( n  1) .
D. un   2   2  n  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là  2  nên un   2   2.  n  1 .
1 1 1 1 1
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 3 3 3 3
1 1
1
1
1
A. un  n 1 .
B. un  n 1 .
C. un  n .
D. un  n 1 .
33
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1 1 1 1 1
1
5 số hạng đầu là ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... nên un  n .
31 3 3 3 3
3
u1  5
�
Câu 10: Cho dãy số  un  với �
.Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un 1  un  n
�

(n  1)n
.
2
(n  1)n
C. un  5 
.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

(n  1)n
.
2
(n  1)(n  2)
D. un  5 
.
2

A. un 

Ta có un  5  1  2  3  ...  n  1  5 

B. un  5 

n  n  1
2

.

u1  1
�
�
Câu 11: Cho dãy số  un  với �
2 n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới
un 1  un   1
�
đây?
2n
A. un  1  n .
B. un  1  n .
C. un  1   1 .
D. un  n .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2n
Ta có: un 1  un   1  un  1 � u2  2; u3  3; u4  4;... Dễ dàng dự đoán được un  n .
Thật vậy, ta chứng minh được un  n  * bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n  1 � u1  1 . Vậy  * đúng với n  1

*
+ Giả sử  * đúng với mọi n  k  k ��  , ta có: uk  k . Ta đi chứng minh  * cũng đúng với

n  k  1 , tức là: uk 1  k  1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  un  ta có: uk 1  uk   1

2k

 k  1 . Vậy  * đúng với mọi

n ��* .
u1  1
�
�
Câu 12: Cho dãy số  un  với �
2 n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào
u

u


1


�n 1
n
dưới đây?
A. un  2  n .

B. un không xác định.
C. un  1  n .
D. un  n với mọi n .
Hướng dẫn giải:
Trang 15


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Chọn A.
Ta có: u2  0; u3  1; u4  2 ,.. Dễ dàng dự đoán được un  2  n .
u1  1
�
un của dãy số là số hạng nào dưới
Câu 13: Cho dãy số  un  với �
2 . Số hạng tổng quát
u

u

n
n
�n 1
đây?
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  2 
A. un  1 
.

B. un  1 
.
6
6
n  n  1  2n  1
n  n  1  2n  2 
C. un  1 
.
D. un  1 
.
6
6
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
�
u1  1
�
u2  u1  12
�
n  n  1  2n  1
�
2
u3  u2  22
Ta có: �
. Cộng hai vế ta được un  1  12  22  ...   n  1  1 
6
�
...
�
2

�
un  un 1   n  1
�
Câu 14: Cho dãy số  un 

u1  2
�
�
với �
un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

đây?
2
2
2
2
A. un  2   n  1 .
B. un  2  n .
C. un  2   n  1 .
D. un  2   n  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
u1  2
�
�
u2  u1  1
�
�
2
u3  u2  3

Ta có: �
. Cộng hai vế ta được un  2  1  3  5  ...   2n  3   2   n  1
�
...
�
un  un 1  2n  3
�
�
u1  2
�
�
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Câu 15: Cho dãy số  un  với �
un 1  2 
�
un
�
n 1
n 1
n 1
n
A. un  
.
B. un 
.
C. un  
.
D. un  
.
n

n
n
n 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
4
5
n 1
Ta có: u1   ; u2   ; u3   ;... Dễ dàng dự đoán được un  
.
2
3
4
n
� 1
u1 
�
Câu 16: Cho dãy số  un  với � 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
�
un 1  un  2
�

Trang 16


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

1
1
1
1
 2  n  1 .
B. un   2  n  1 .
C. un   2n .
D. un   2n .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
� 1
u1 
�
2
�
u2  u1  2
�
1
1
�
u3  u2  2 . Cộng hai vế ta được un   2  2...  2   2  n  1 .
Ta có: �
2
2
�

...
�
un  un 1  2
�
�
�
u1  1
�
�
Câu 17: Cho dãy số  un  với �
u . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un 1  n
�
�
2
A. un 

n 1

n

�1 �
A. un   1 . � �.
�2 �
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Ta

có:

�1 �
B. un   1 . � � .
�2 �

u1  1
�
� u
�
u2  1
2
�
�
� u2
u3 
.
�
2
�
...
�
� u
�
un  n 1
�
2

Nhân

n 1

n 1

�1 �
C. un  � � .
�2 �

hai

�1 �
D. un   1 . � �
�2 �

vế

ta

n 1

u .u .u ...u
1
�1 �
u1.u2 .u3 ...un   1 . 1 2 3 n 1 � un   1 . n 1   1 . � �
2.2.2...2
2
�2 �
14 2 43
n 1 lan

u1  2
�
Câu 18: Cho dãy số  un  với �
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
un 1  2un
�
n 1
n
n 1
A. un  n .
B. un  2 .
C. un  2 .
D. un  2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
u1  2
�
�
u2  2u1
�
�
u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un  2.2n 1.u1.u2 ...un 1 � un  2n
Ta có: �
�
...
�
un  2un 1
�
�

Trang 17

được


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
Câu19 : Cho dãy số  un 
n 1
A. un  2 .

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

� 1
u1 
�
với � 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
�
un 1  2un
�
1
1
n2
B. un  n 1 .
C. un  n .
D. un  2 .
2
2

Hướng dẫn giải:

Chọn D.
� 1
u1 
�
2
�
u2  2u1
�
1
�
u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un  .2n 1.u1.u2 ...un 1 � un  2n 2
Ta có: �
2
�
...
�
un  2un 1
�
�
�
n 2  3n  7
Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un 
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
n 1
11 17 25 47
13 17 25 47
11 14 25 47
11 17 25 47
A. ; ; ;7;
B. ; ; ;7;

C. ; ; ;7;
D. ; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có năm số hạng đầu của dãy
17
25
47
12  3.1  7 11
u1 
 , u2  , u3  , u4  7, u5 
3
4
6
11
2
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
Hướng dẫn giải:

Chọn C.
5
5
Ta có: un  n  2 
, do đó un nguyên khi và chỉ khi
nguyên hay n  1 là ước của 5. Điều đó
n 1
n 1
xảy ra khi n  1  5 � n  4
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4  7 .
u1  1
�
Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi: �
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
un  2un1  3 n �2
�
A. 1;5;13;28;61
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u1  1; u2  2u1  3  5 ; u3  2u2  3  13; u4  2u3  3  29

u5  2u4  3  61 .
un 1  un2  2vn2
�
Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) được xác định như sau u1  3, v1  2 và �
với n �2 .

vn 1  2un .vn
�

Trang 18


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) .



 



2
2
�
u

2

1

2

1

n
�
�
A. �
2n
1 �
�
vn 
2

1
 2 1
� 2 2�
�
n



 





 

2n

�
�

�



2n
2n �
� 1�
u

2

1

2

1
�n 2 �
�
�
�
�
C. �
2n
2n �
1 �
�
vn 
� 2 1  2 1 �
�
�

� 3 2�



 

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Chứng minh un  2vn 







2 1

2n

�Giả sử uk  2vk 





2 1



2k





2 1

2



 


 

 


2
2
�
2
u

2

1


2

1
� n
Do đó ta suy ra �
2n
�
2 2vn  2  1  2  1
�
2n
2n �
� 1�
u

2

1

2

1
�n 2 �
�
�
�
�
Hay �
.
n
2

2n �
1 �
�
vn 
� 2  1  2 1 �
�
�
� 2 2�
n

 

Trang 19



 

2 1



2

, ta có:

Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: un  2vn 



 

nên (2) đúng với n  1

Vậy (2) đúng với n �1 .





�
�
�
2n �
2 1 �
�

(2)

uk 1  2vk 1  uk  2vk



 



Ta có: un  2vn  un21  2vn21  2 2un 1vn 1  un 1  2vn 1
�Ta có: u1  2v1  3  2 2 



2n
� 1�
u

2

1

�n 4 �
�
�
B. �
2n
1�
�
vn  � 2  1 
�
� 2�
2n
� 1�
u

2

1

�n 2 �
�

�
D. �
2n
1 �
�
vn 
� 2 1
�
� 2 2�

n

n



2n



 
2



2 1



2n



2 1

2k 1



2 1

2n



 



2n

�
�
�



2 1

2n

�
�
�


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un 
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm

3n 2  2n  1
n 1
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
5n 2  10n  2
 0 nên dãy (un ) là dãy tăng
Ta có: un 1  un 
 n  1  n  2 

Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n  n 2  1
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
1
1

0
Ta có: un 1  un 
2
2
n

n

1
n

1

n

1

1

 

Chọn B.
Nên dãy (un ) giảm.

3n  1
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n
2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: un 1  un  un 1  un 

3n  1
 0 � dãy (un ) tăng.
2n 1

n   1
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un 
n2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
u2  u1
�
1
2
� Dãy số không tăng không giảm.
Ta có: u1  0; u2  ; u3  � �

u3  u2
2
9
�
n

2n  13
3n  2
B. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Trang 20


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

2n  11 2n  13
34


 0 với mọi n �1 .
3n  1 3n  2 (3n  1)(3n  2)
Suy ra un1  un n �1 � dãy (un ) là dãy tăng.

2
35
2
� 11 �un 
n �1
Mặt khác: un  
3 3(3n  2)
3
Vậy dãy (un ) là dãy bị chặn.
Ta có: un 1  un 

n 2  3n  1
n 1
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
(n  1) 2  3( n  1)  1 n 2  3n  1
Ta có: un 1  un 

n2
n 1
2
2
n  5n  5 n  3n  1



n2
n 1
2
(n  5n  5)(n  1)  ( n 2  3n  1)( n  2)

(n  1)(n  2)

n 2  3n  3

 0 n �1
(n  1)(n  2)
� un 1  un n �1 � dãy (un ) là dãy số tăng.
un 

n 2  2n  1
 n  1 �2 � dãy (un ) bị chặn dưới.
n 1

Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: un  0 n �1

1

1  n  n2
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

D. Cả A, B, C đều sai

un 1
n2  n  1
n2  n  1


 1 n ��*
un
n 2  3n  3
(n  1) 2  (n  1)  1

� un 1  un  �1 � dãy (un ) là dãy số giảm.
Mặt khác: 0  un  1 � dãy (un ) là dãy bị chặn.
2n
n!
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
u
2n 1 2n
2n 1 n !
2
: 
. n 

 1 n �1
Ta có: n 1 
un
(n  1)! n ! ( n  1)! 2
n 1
Trang 21


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Mà un  0 n � un 1  un n �1 � dãy (un ) là dãy số giảm.
Vì 0  un �u1  2 n �1 � dãy (un ) là dãy bị chặn.
1 1
1
 2  ...  2 .
2
2 3
n
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1 
A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

1

 0 � dãy (un ) là dãy số tăng.
(n  1)2
1
1
1
1

 ... 
 2
Do un  1 
1.2 2.3
(n  1) n
n
� 1  un  3 n �1 � dãy (un ) là dãy bị chặn.
Ta có: un1  un 

2n  1
n2
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

n
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  ( 1)
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có 0  un  2 n nên dãy (un ) bị chặn

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: 1 �un �1 � (un ) là dãy bị chặn
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Ta có: un �2 n � (un ) bị chặn dưới; dãy (un ) không bị chặn trên.
2
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

25
3
25
 (n  ) 2 
� (un ) bị chặn trên; dãy (un ) không bị chặn dưới.
Ta có: un 
4
2
4
n2  n  1
Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  2
n  n 1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: 1  un  2 n � (un ) bị chặn
Trang 22


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: 0  un  2 n � (un ) bị chặn
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

n 1
n2  1
C. Bị chặn trên

1
1
1

 ... 
1.3 2.4
n.(n  2)
C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

D. Bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
1
1


 ... 
 1
1
Ta có: 0  un 
1.2 2.3
n.(n  1)
n 1
Dãy (un ) bị chặn.
1
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u  1  1  ... 
n
1.3 3.5
 2n  1  2n  1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n
� 0  un  1 , dãy (un ) bị chặn.
Ta có: un 
2n  1
u1  1
�
�
Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: � un 1  2
un 
, n �2
�

un 1  1
�
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Bằng quy nạp ta chứng minh được 1  un  2 nên dãy (un ) bị chặn.
�
�
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: �
un 1 
�
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

u1  1
3

un3  1, n �1

B. Giảm
D. A, B, C đều sai

Ta có: un 1  3 un3  1 � un 1  3 un3  un n � dãy số tăng
u1  2
�

�
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: �
un2  1
u

n �1
�n 1
�
4
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:

Trang 23


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Chọn B.

un2  4un  1
Ta có: un1  un 
4
Bằng quy nạp ta chứng minh được 2  3  un  2 n
� un 1  un  0 . Dãy (un ) giảm.
Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi un  2010  2010  ...  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau

đây là đúng?
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
2
Ta có un 1  2010  un � un 1  un  un 1  un 1  2010

1  8041
n
2
Suy ra un 1  un  0 � dãy (un ) là dãy tăng.
u1  1, u2  2
�
�
Câu 22: Cho dãy số (un ) : � 3
. Khẳng định nào sau đây đúng?
un  un 1  3 un  2 , n �3
�
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Chứng minh bằng quy nạp : uk 1  3 uk  3 uk 2  3 uk 1  3 uk 2  uk
Bằng quy nạp ta chứng minh được un 

Ta chứng minh: 0  un  3 .

an  2
, n �1 . Khi a  4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
2n  1
10
14
18
22
A. u1  2, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9
10
14
18
22
B. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9
1
1
18
22
C. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3

5
7
9
10
4
8
22
D. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
3
5
7
9
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
4n  2
Với a  4 ta có: un 
. Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là
2n  1
10
14
18
22
u1  6, u2  , u3  , u4  , u5 
.
3
5
7
9
Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.
A. a  2

B. a  2
C. a  4
D. a  4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 23: Cho dãy số (un ) : un 

Trang 24


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11

Ta có dãy số (un ) tăng khi và chỉ khi:
a  4
un 1  un 
 0, n ��* � a  4  0 � a  4 .
(2n  1)(2n  1)
u1  2
�
Câu 25: Cho dãy số (un ) : �
Viết 6 số hạng đầu của dãy
un  3un 1  2, n  2,3..
�
A. u1  2, u2  5, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244
B. u1  2, u2  4, u3  10, u4  18, u5  82, u6  244
C. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  72, u6  244
D. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
Ta có: u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244
n 1
n
Câu 26: Cho dãy số un  5.2  3  n  2 , n  1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy
A. u1  1, u2  3, u3  12, u4  49, u5  170
B. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170
C. u1  1, u2  3, u3  24, u4  47, u5  170
D. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  178
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170
Câu 27:
n
n
1. Cho dãy số (un ) : un  (1  a )  (1  a ) ,trong đó a �(0;1) và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số
u1  2
u1  2
�
�
�
�
A. �
B. �
n
n
n
n
un 1  un  a �

1 a   1 a �
un 1  un  2a �
1 a  1 a �


�
�
�
�
�
�
�
�
u1  2
u1  2
�
�
�
�
C. �
D. �
n
n
n
n
un 1  2un  a �
un 1  un  a �
 1 a    1 a  �
 1 a   1 a �
�

�
�
�
�
�
�
�
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy (un ) là dãy số tăng.
B. Dãy (un ) là dãy số giảm.
C. Dãy (un ) là dãy số không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải:
u1  2
�
�
a) Ta có: �
n
n
un 1  un  a �
1 a   1 a �

�
�
�
�
b) Dãy (un ) là dãy số tăng.
u1  1
�
�

1
Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: �
.
un  3un 1 
 2, n �2
�
2un 1
�
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un  0, n

Trang 25