PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT với SIN và COSIN và PTLG KHÁC – đặng việt đông file word

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN I: ĐỀ BÀI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
 Chia hai vế phương trình cho

a2  b2 ta được:
a
b
c
sin x 
cos x 
(1) 
a2  b2
a2  b2
a2  b2
a
b
, cos 
0, 2 �
  ��

�
�
 Đặt: sin 
2
2

2
2
a b
a b
c
phương trình trở thành: sin .sin x  cos .cos x 
a2  b2
c
� cos(x   ) 
 cos (2)
2
2
a b
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
�1 � a2  b2 �c2.
a2  b2
 (2) � x   �  k2 (k �Z)
Lưu ý:
�
�
1
3

�sin x � 3 cos x  2 � sin x 
cos x � 2sin( x  )
2
2
3
�

�
�3
�
1

� 3 sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2sin( x � )
2
6
�2
�
1

�1
�
�sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2 sin( x � ) .
4
2
�2
�
Cách 2:
x 
a) Xét x    k2 �   k có là nghiệm hay không?
2 2
x
b) Xét x �۹ k2
cos
0.
2

x

2t
1 t2
Đặt: t  tan , thay sin x 
, cos x 
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2
1 t2
1 t2

(b c)t2  2at  c  b  0 (3)
Vì x �  k2 � b  c �0, nên (3) có nghiệm khi:

 '  a2  (c2  b2) �0 � a2  b2 �c2.
x
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan  t0.
2
Ghi chú:
Trang 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
1)
2)
3)

Lượng giác – ĐS và GT 11

Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b2 �c2.
Bất đẳng thức B. C. S:

y  a.sin x  b.cos x � a2  b2 . sin2 x  cos2 x 
� min y   a2  b2 va�
max y

a2  b2 �

a2  b2

sin x cos x
a

� tan x 
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
A. sin 2 x  cos x  1  0 .
B. sin 2 x  cos x  0 .
C. 2 cos x  3sin x  1 .
D. 2 cos x  3sin 3 x  1 .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x  3  0 .
B. 3sin 2 x  10  0 .
2
C. cos x  cos x  6  0 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1

A. sin x  .
B. 3 sin x  cos x  3 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4cos x  5 .
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
A. cos x  .
B. 3 sin x  cos x  1 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  6 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x  cos x  3 .
B. tan x  1 .
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4cos x  5 .
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
A. sin x  .
B. 3 sin x  cos x  1 .
4
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  4 .
D. 3sin x  4cos x  5 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
A. 3 sin x  2
B. cos 4 x 
4

2
C. 2sin x  3cos x  1
D. cot 2 x  cot x  5  0
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
B. 3sin x  4 cos x  5
C. sin x  cos


4

D.

3 sin x  cos x  3

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x  cos x 3
B. cosx  3sinx  1
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
D. 2sinx  3cosx  1
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x  2 cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  2 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  3 .
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
Trang 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

A. sin x  cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  1 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  2 .
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
1
1
A. 3 sin x  2 .
B. cos 4 x  .
4
2
2
2sin
x

3cos
x

1
C.
.
D. cot x  cot x  5  0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos 3 x  3 sin 3x  2 .
B. cos 3x  3 sin 3x  2 .

� �

� �
C. sin x  .
D. 3sin �x  � 4 cos �x  � 5  0 .
3
� 3�
� 3�
Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x  k 2 ; x   k 2 .
B. x  k ; x    k 2 .
2
2


C. x   k ; x  k 2 .
D. x   k ; x  k .
6
4
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x    k 2 ; x    k 2 .
B. x    k 2 ; x   k 2 .
2
2


C. x    k ; x  k 2 .
D. x   k ; x  k .

3
6
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x    2 là:

5

3
 k 2 .
 k 2 .
A. x    k 2 ; x 
B. x    k 2 ; x 
12
12
4
4

2

5
 k 2 .
 k 2 .
C. x   k 2 ; x 
D. x    k 2 ; x  
3
3
4
4
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x –  3 cos x  0  là:




 k 2 .
C. x   k .
3
6
Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là


A. x   k .
B. Vô nghiệm.
C. x    k .
6
6
Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;   là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :
A. x 


 k 2 .
6

B. x 

x  k 2
�
B. � 
.

�
x   k 2
� 2

A. x  k 2 .

C. x 


 k 2 .
4

D. x 


 k .
3

D. x 


 k .
2

D. 3 .
� 
x   k 2
�
4
D. �

.

�
x    k 2
�
4

Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
5
5


 k .
 k 2 .
A. x 
B.  x 
C. x    k .
D. x   k 2 .
6
6
6
6
Câu 22: Phương trình 3  1 sin x  3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là





Trang 3






– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11



�
�
x    k 2
x    k 2
�
�
4
2
, k ��.
, k ��.
A. �
B. �


�
�
x   k 2
x   k 2
� 6

� 3


�
�
x    k 2
x    k 2
�
�
6
8
, k ��.
, k ��.
C. �
D. �


�
�
x   k 2
x   k 2
�
� 12
� 9
Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là

3

5
 k 2 , k ��.

 k 2 , k ��.
A. x    k 2 , x 
B. x    k 2 , x 
4
4
12
12

2

5
 k 2 , k ��.
 k 2 , k ��.
C. x   k 2 , x 
D. x    k 2 , x  
3
3
4
4
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là




A. x   k , k ��.
B. x   k , k ��.
C. x   k , k ��.
D.
3
2

6
3


x   k , k ��.
6
2
Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .
x  k 2
�
�
, k ��.
A. x  k 2 , k ��.
B.

�
x   k 2
� 2
� 
x   k 2
�

4
, k ��.
C. x   k 2 , k ��.
D. �

4
�
x    k 2

�
4
Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:
� � 1
� � 
� � 1
� � 1
3x  � 
3x  � 
3x  � 
3x  �
A. sin �
B. sin �
C. sin �
D. sin �
6� 2
6� 6
6� 2
6� 2
�
�
�
�
Câu 27: Phương trình

1
3
sin x 
cos x  1 có nghiệm là
2

2

5
5
 k 2 , k ��.
B. x    k , k �Z .
6
6


 k 2 , k �Z .
C. x 
D. x   k 2 , k �Z .
6
6
Câu 28: Phương trình 3cos x  2 | sin x | 2 có nghiệm là:




A. x   k .
B. x   k .
C. x   k .
D. x   k .
8
6
4
2
m
Câu 29: Với giá trị nào của

thì phương trình (m  1) sin x  cos x  5 có nghiệm.
m �1
�
A. 3 �m �1 .
B. 0 �m �2 .
C. �
.
D.  2 �m � 2 .
m �3
�
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
A. x 

Trang 4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. m �4 .

B. 4 �m �4 .

Lượng giác – ĐS và GT 11

m �4
�
D. �
.
m �4
�

C. m � 34 .

Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x  cos x  m có nghiệm:
A.  2 �m � 2 .
B. m � 2 .
C. 1 �m �1 .
D. m �2 .
2
2
Câu 32: Cho phương trình:  m  2  cos x  2m sin 2 x  1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị
thích hợp của tham số m là
1
1
1
1
A. 1 �m �1 .
B.  �m � .
C.  �m � .
D. | m |�1 .
2
2
4
4
m
2
Câu 33: Tìm m để pt sin 2 x  cos x 
có nghiệm là
2
A. 1  3 �m �1  3 .
B. 1  2 �m �1  2 .

C. 1  5 �m �1  5 .
D. 0 �m �2 .
Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt a sin 5 x  b cos 5 x  c là
A. a 2  b 2  c 2 .
B. a 2  b 2 �c 2 .
C. a 2  b 2 �c 2 .
Câu 35: Điều kiện để phương trình m sin x  8cos x  10 vô nghiệm là
m �6
�
A. m  6 .
B. �
.
C. m  6 .
m �6
�
Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x  m cos x  13 có nghiệm là
m �5
�
A. m  5 .
B. �
.
C. m  5 .
m �5
�
Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình m sin x  12cos x  13 vô nghiệm.
m �5
�
A. m  5 .
B. �
.

C. m  5 .
m �5
�
Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x  m cos x  10 vô nghiệm.
m �8
�
A. �
.
B. m  8 .
C. m  8 .
m �8
�
Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x  m sin x  m  1 có nghiệm
A. m �13 .
B. m �12 .
C. m �24 .
Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm.
m �4
�
A. �
.
B. m  4 .
C. m  4 .
m �4
�
Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là
A. m �4 .

B. 4 �m �4 .

C. m � 34 .

D. a 2  b 2  c 2 .
D. 6  m  6 .

D. 5  m  5 .

D. 5  m  5 .

D. 8  m  8 .
D. m �24 .
D. 4  m  4 .
m �4
�
D. �
.
m �4
�

 
 ; �
Câu 42: Tìm m để phương trình 2 sinx  mcosx  1  m (1) có nghiệm x ��
.

A.  3 �m �1
B.  2 �m �6
C. 1 �m �3
Câu 43: Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  1 có nghiệm.
A. m �12
B. m �6

C. m �24
Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
m �4
�
A. �
.
B. m �4 .
C. m � 34 .
m �4
�
Trang 5

�2

2�

D.  1 �m �3
D. m �3
D. 4 �m �4 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 45: Để phương trình cos x  sin x  m có nghiệm, ta chọn:
A. 1 �m �1 .
B. 0 �m � 2 .
C. m tùy ý.
Câu 46: Phương trình m cos 2 x  sin 2 x  m  2 có nghiệm khi và chỉ khi

�
�

3�

�; �.
A. m ��
4
�

�
�

4�

�; �.
B. m ��
3
�

4
�
3
�

�
�

C. m �� ; ��

.

D.  2 �m � 2 .

3
�
4
�

�
�

D. m �� ; ��
.

Câu 47: Cho phương trình 4sin x  (m  1) cos x  m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương
trình có nghiêm:
17
17
17
17
A. m  .
B. m � .
C. m � .
D. m � .
2
2
2
2
Câu 48: Phương trình 3sinx – 4cosx  m có nghiệm khi

A. 5 �m �5
A. m  �5 hoặc m  �–5
C. m  �5
D. m  �–5
Câu 49: Cho phương trình lượng giác: 3sinx   m  1 cosx  5 . Định m để phương trình vô nghiệm.
A. 3  m  5
B. m �5
C. m �3 hay m �5
D. 3 �m �5
Câu 50: Cho phương trình m sin x  1  3m cos x  m  2 . Tìm m để phương trình có nghiệm.
1
1
A. �m �3
B. m �
3
3
m
C. Không có giá trị nào của
D. m �3
Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin 2 x  m sin 2 x  2m vô nghiệm.
m �0
m0
�
�
4
4
�
�
A. 0 �m � .
B.

C. 0  m  .
D.
4.
4.
�
�
m�
m
3
3
� 3
� 3
Câu 52: Tìm m để phương trình m sin x  5cos x  m  1 có nghiệm:
A. m �12 .
B. m �6 .
C. m �24 .
D. m �3 .
� �
� �
Câu 53: Cho phương trình sin �x  � 3 cos �x  � 2m . Tìm m để phương trình vô nghiệm.
� 3�
� 3�
A.  �; 1 � 1; � .
B.  �; 1 � 1; � .
C.  1;1 .
D. m ��.

Trang 6

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
2
Câu 1: Giải phương trình 5sin 2 x  6 cos x  13 .
A. Vô nghiệm.
B. x  k , k ��.
C. x    k 2 , k ��.
D. x  k 2 , k ��.
Câu 2: Phương trình sin x  cos x  2 sin 5 x có nghiệm là


� 
� 
x  k
x  k
�
�
12
2
4
2
, k ��.
, k ��.
A. �
B. �





�
�
x  k
x
k
� 6
� 24
3
3


� 
� 
x  k
x k
�
�
16
2
18
2
, k ��.
, k ��.
C. �
D. �





�
�
x k
x k
�
�
3
3
� 8
� 9
2
Câu 3: Phương trình 2sin x  3 sin 2 x  3 có nghiệm là

2
4
 k , k ��.
 k , k ��.
A. x   k , k ��.
B. x 
C. x 
D.
3
3
3
5
x
 k , k ��.
3
Câu 4: Phương trình sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x  có các họ nghiệm là:

� 
� 
� 
x   k
x   k
x   k
�
�
�
3
5
4
A. �
.
B. �
.
C. �
.
D.






�
�
�
x  k

x k
x  k
�
�
� 12
7
2
2
� 6
� 7
3
Câu 5: Phương trình: 3sin 3x  3 cos 9 x  1  4sin 3 x có các nghiệm là:

2

2

2
�
�
�
x  k
x   k
x  k
�
�
�
6
9
9

9
12
9
A. �
.
B. �
.
C. �
.
D.
7
2
7
2
7
2
�
�
�
x
k
x
k
x
k
�
�
�
9
9

9
� 6
� 9
� 12
3
1
.Câu 6: Phương trình 8cos x 
có nghiệm là:

sin x cos x



� 
� 
� 
x  k
x  k
x
k
�
�
�
16
2
8
2
12
2
A. �

.
B. �
.
C. �
.
D.

4

�
�
�
x   k
x
 k
x   k
� 3
� 3
� 6
Câu 7: Phương trình sin 4 x  cos7 x  3(sin 7 x  cos4x)  0 có nghiệm là

� 
x   k2
�


6
3
(k �Z ) .
A. x   k 2 , k ��.

B. �
5


6
3
�
x
 k2
�
11
� 66
Trang 7

� 
x   k
�
8
�
.


�
x  k
�
3
� 9




�
x k
�
54
9
�

2
�
x k
�
9
� 18


� 
x  k
�
9
2
.
�
2
�
x
 k
� 3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

C. x 

5

 k 2 , k ��.
66
11

Lượng giác – ĐS và GT 11

D. khác
2

x�
� x
Câu 8: Phương trình: �
sin  cos � 3cosx = 2 có nghiệm là:
2�
� 2


�
�
x



k

x



 k 2
�
�
6
6
 k �Z 
 k �Z 
A. �
B. �


�
�
x   k
x   k 2
� 2
� 2


C. x    k 2 , k ��
D. x   k , k ��
6
2
� � � �
� �
cos �x  � 2 cos2 �x  � 3  1 có nghiệm là:
Câu 9: Phương trình: 2 3 sin �x  �
� 8� � 8�

� 8�
� 3
� 5
� 5
� 3
x
 k
x
 k
x
 k
x
 k
�
�
�
�
8
4
4
8
A. �
.
B. �
.
C. �
.
D. �
.
5

5
5
7
�
�
�
�
x
 k
x
 k
x
 k
x
 k
� 12
� 24
� 16
� 24
�  � � 2 �
.sin �x 
Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin �x  �
� cos 3x  1 có các nghiệm là:
� 3� � 3 �
2
� 
� 
� 
x



k
x   k
x   k 2
� 
� 6
�
�
x


k
2

3
4
2
�
3
A. �
.
B. �
.
C.
.
D. �
.
�



2
�
�
�
x

k

x

k
x

k
xk
�
�
�
�
3
4
3

Câu 11: Phương trình 2 2  sin x  cos x  .cos x  3  cos 2 x có nghiệm là:
A. x 


 k .
6

B. x  


 k .
6


 k 2 .
3
�
2�

C. x 

D. Vô nghiệm.

� � � �
cos �x  � 2 cos �x  � 3  1 có nghiệm là:
Câu 12: Phương trình 2 3 sin �x  �
� 8� � 8�
� 8�
� 3
� 3
x
 k
x
 k
�
�
8

4
,
k
�
�
, k ��.
A. �
.
B. �
5

5

�
�
x
 k
x
 k
� 24
� 12
� 5
� 5
x
 k
x
 k
�
�
4

8
, k ��.
, k ��.
C. �
D. �
5
7
�
�
x
 k
x
 k
� 16
� 24
1
1
2


Câu 13: Giải phương trình
sin 2 x cos 2 x s in4x

A. x  k , x 


 k , k ��.
4

B. x  k , k ��.

D. x 

C. Vô nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Trang 8


 k , k ��.
4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Chọn C.
sin 2 x �0
�
۹ sin 4 x 0 .
Điều kiện: �
cos 2 x �0
�
2
Phương trình đề bài � sin 2 x  cos 2 x  1 . Suy ra:  sin 2 x  cos 2 x   1 � sin 4 x  0 (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Trang 9


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH
Câu 1: Phương trình 1 cosx  cos2x  cos3x  sin2x  0 tương đương với phương trình.
A. cosx cosx  cos3x  0 .
B. cosx cosx  cos2x  0.

C. sinx cosx  cos2x  0 .
D. cosx cosx  cos2x  0 .
Câu 2: Phương trình sin 3x  4sin x.cos 2 x  0 có các nghiệm là:
x  k 2
x  k
�
�
�
�
A.
, k , n ��.
B.
, k , n ��.


�
�
x  �  n
x  �  n
3
6
�

�
2

�
�
xk
xk
�
�
3
2
C. �
, k , n ��.
D. �
, k , n ��.

2
�
�
x  �  n
x  �  n
�
�
4
3
�
� 69 �
2
Câu 3: Số nghiệm thuộc � ;
�của phương trình 2sin 3x  1  4 sin x   0 là:

14
10
�
�
A. 40 .
B. 34 .
C. 41 .
D. 46 .
2
Câu 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  2sin x  cos x   1  cos x   sin x là:

5

A. x 
B. x 
C. x  
D. x 
6
6
12
2
Câu 5:
[1D1-2] Nghiệm của pt cos x  sin x cos x  0 là:



 k ; x   k 
4
2


C. x   k
2


 k
2
5
7
 k ; x 
 k
D. x 
6
6
Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x  2 2 sin x cos x  0 là:
3


A. x 
B. x 
C. x 
D. x  
4
4
3
A. x 

B. x 

Câu 7: Tìm số nghiệm trên khoảng (; ) của phương trình :
2(sinx  1)(sin2 2x  3sinx  1)  sin4x.cosx

A. 1
B. 2
C. 3
2
2
Câu 8: Giải phương trình sin 2 x  cos 3x  1 .

D. 4

2π
, k ��
5
π
C. x  π  kπ, k ��
D. x  kπ �x  k , k ��
5
Câu 9: Phương trình 4 cos x  2 cos 2 x  cos 4 x  1 có các nghiệm là:

� 
� 
x


k

x


k
, k ��.

2 , k ��.
A. � 2
B. � 4
�
�
x  k 2
x  k
�
�
A. x  k 2π, k ��

B. x  k

Trang 10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

2

� 
� 
x k
x  k
�
�
3
3

6
3
, k ��.
, k ��.
C. �
D. �


�
�
xk
xk
�
�
2
4
Câu 10: Phương trình 2sin x  cos x  sin 2 x  1  0 có nghiệm là:
� 
� 
x   k
x   k 2
�
�
6
6
�
�
5
5
�

x
 k , k ��.
x
 k 2 , k ��.
A. �
B.
� 6
� 6
�
�
x  k
x  k 2
�
�
�
�
� 
� 
x   k 2
x   k 2
�
�
6
6
�
�


�
x    k 2 , k ��.

x    k 2 , k ��.
C. �
D.
�
�
6
6
�
�
x

k
2

x

k

�
�
�
�
Câu 11: Phương trình sin 3 x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x tương đương với phương trình
sin x  0
sin x  0
�
�
sin x  0
sin x  0
�

�
�
�
A.
B. �
.
C. �
.
D.
1.
1.
�
�
sin x  1
sin x  1
sin x 
sin x  
�
�
�
2
�
2
2
Câu 12: Giải phương trình sin 2 x  cot x  tan 2 x   4 cos x .
A. x 


2




 k , x  �  k , k ��.

B. x 

6

C. x   k , x  �  k 2 , k ��.
2
3



 k , x   k , k ��.
2
4


C. x  k 2 , x   k  , x   k , k ��.
2
4

Câu 14: Giải phương trình 1  sin x  cos x  tan x  0 .

C. x    k 2 , x 

4


4



 k  , x   k 2 , k ��.
2
4


D. x  k , x   k , x   k , k ��.
2
4
B. x  k 2 , x 

A. x  k 2 , x 



2




 k , x  �  k 2 , k ��.

6

D. x   k , x  �  k , k ��.
2
3

Câu 13: Giải phương trình cos3 x  sin 3 x  cos 2 x .

A. x    k 2 , x 





 k , k ��.

B. x    k 2 , x    k 2 , k ��.

 k 2 , k ��.

D. x    k 2 , x    k , k ��.

4


4

Câu 15: Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin 3 x  cos x  0 là :
2

A. 



k .

6
3

B.



k .
6
3

C. k


.
2

D. k


4.

Câu 16: Phương trình 2sin x  cot x  1  2sin 2 x tương đương với phương trình
2sin x  1
2sin x  1
�
�
A. �
.
B. �

.
sin x  cos x  2sin x cos x  0
sin x  cos x  2sin x cos x  0
�
�

Trang 11


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

2sin x  1
2sin x  1
�
�
C. �
.
D. �
.
sin x  cos x  2sin x cos x  0
sin x  cos x  2sin x cos x  0
�
�
3
3
5
5
Câu 17: Giải phương trình sin x  cos x  2  sin x  cos x  .

A. x 
C. x 


4

4



B. x 

 k 2 , k ��.

D. x    k 2 , k ��.



4

C. x 

k
3
k

2

, k ��.



4

Câu 18: Giải phương trình tan x  tan 2 x   sin 3 x.cos 2 x
A. x 

k

 k , k ��.

k


 k 2 , k ��.
2

, x    k 2 , k ��.

B. x 

, k ��.

D. x  k 2 , k ��.

3

3

,x 

x � 2

2�
2 x
Câu 19: Cho phương trình sin �  �tan x  cos  0 (*) và x    k (1), x    k 2 (2),
2
4
�2 4 �

x


 k 2 (3), với k ��. Các họ nghiệm của phương trình (*) là:
2

A. (1) và (2).
B. (1) và (3).
C. (1), (2) và (3).
D. (2) và (3).
Câu 20: Phương trình 2 3 sin 5 x cos 3 x  sin 4 x  2 3 sin 3 x cos 5 x có nghiệm là:
k
1
3 k
, x  � arccos

, k ��.
4
4
12

2

k
3 k
, x  �arccos

, k ��.
4
48 2
k
, k ��.
C. Vô nghiệm.
D. x 
2
Câu 21: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x  sin 2 x  cos x  2 cos 2 x là :

2


A. .
B.
C. .
D. .
.
6
3
4
3

A. x 

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x 

B. x 


.
4

Câu 22: Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  2 là.
A.


3

B.


12

C.


6

D.


.
8

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos2 x  cos x  sin x  sin 2 x là?


.
6


.
4


.
3

2
.
3
Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì
nhận.
Câu 25: Phương trình sin 3x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x tương đương với phương trình:
sin x  0
sin x  0
�
�
A. �
.
B. �
.
sin x  1

sin x  1
�
�
sin x  0
sin x  0
�
�
�
�
C.
C.
1.
1.
�
�
sin x 
sin x  
2
2
�
�
Câu 26: Phương trình sin 3x  4sin x.cos 2 x  0 có các nghiệm là:
A. x 

B. x 

Trang 12

C. x 

D. x 


– Website chuyên đề thi tài liệu file word


�
xk
�
2
C. �
.

�
x  �  n
�
4
2
cot
2
x

3cot
3
x

tan
2
x
Câu 27: Phương trình

có nghiệm là:
x  k 2
�
�
A.
.

�
x  �  n
3
�

A. x  k


.
3

x  k
�
�
B.
.

�
x  �  n
6
�

B. x  k .

C. x  k 2 .

Lượng giác – ĐS và GT 11

2
�
x

k
�
3
D. �
.
2
�
x  �  n
�
3
D. Vô nghiệm.

Câu 28: Phương trình cos4 x  cos 2 x  2sin 6 x  0 có nghiệm là:



k .
C. x  k .
D. x  k 2 .
4
2

Câu 29: Phương trình: 4 cos5 x.sin x  4sin 5 x.cos x  sin 2 4 x có các nghiệm là:


�
�
x  k 2
x  k
xk
xk
�
�
�
�
4
2
�
�
A. �
.
B. �
.
C.
.
D.
.

3
�
�



x   k 2
x
 k
� 
� 
A. x 


 k .
2

B. x 

x  k
x  k
� 4
� 4
� 8
2
2
2
Câu 30: Phương trình:  sin x  sin 2 x   sin x  sin 2 x   sin 3 x có các nghiệm là:


�
�
2
xk
xk

�
�
�
xk
3
6
�
3 .
A. �
.
B. �
.
C.
D.
�


�
�
x  k
xk
xk
�
�
�
2
4
cos 2 x
Câu 31: Phương trình cos x  sin x 
có nghiệm là:

1  sin 2 x

�
� 
� 3
x    k 2
x   k 2
x
 k
�
�
�
4
4
4
�
�
�



�
�
x    k 2 .
A. x   k
.
B. x   k .
C. �
D.
� 8

� 2
�
2
�
�
�
x  k
x  k 2

�
�
�
xk
2
�
�
�
1
1
 2 cos 3x 
Câu 32: Phương trình 2sin 3x 
có nghiệm là:
sin x
cos x


3
 k .
A. x   k .
B. x    k .

C. x 
D.
4
4
4
Câu 33: Phương trình sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5 x  cos2 6 x có các nghiệm là:


�
�

x

k
x

k
�
�
�
xk
12
9
�
6.
A. �
.
B. �
.
C.

D.
�


�
�
x  k
xk
xk
�
�
�
4
2
sin x  sin 2 x  sin 3 x
 3 có nghiệm là:
Câu 34: Phương trình
cos x  cos 2 x  cos3 x



k .
3
2


B. x   k .
6
2
A. x 

Trang 13

�

3

x  k 3
�
.
�
x  k 2
�

� 5
x
 k
�
4
�
3
�
x
 k .
� 8
�

�
xk
4

�

x

3
 k .
4


�
xk
�
3 .
�
x  k 2
�


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

2

k .
3
2

7
5

 k 2 , x 
 k 2 ,  k �� .
D. x   k 2 , x 
6
6
3
 0; 
Câu 35: Các
nghiệm
thuộc
khoảng
của
phương
trình:
tan x  sin x  tan x  sin x  3tan x là:
 5
 3
 5

A. ,
.
B. ,
.
C. ,
.
D. .
8 8
4 4
6 6
6

2
2
sin
x

1
3cos
4
x

2sin
x

4

4
cos
x

3


Câu 36: Phương trình 
có nghiệm là:


�
� 
�
� 

x    k 2
x   k 2
x    k 2
x   k 2
�
�
�
�
6
6
3
3
�
�
�
�
7
5
4
2
x
 k 2 .
x
 k 2 .
x
 k 2 .
x
 k 2 .
A. �
B. �

C. �
D. �
� 6
� 6
� 3
� 3
�
�
�
�

x  k
x  k 2
2
�
�
�
�
xk
xk
2
3
�
�
�
�
1
Câu 37: Phương trình 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 
có nghiệm là:
sin 2 x






A. x  �  k .
B. x  �  k .
C. x  �  k .
D. x  �  k .
12
2
6
3
9
Câu 38: Phương trình: 5  sin x  cos x   sin 3x  cos 3 x  2 2  2  sin 2 x  có các nghiệm là


A. x   k 2 , k ��.
B. x    k 2 , k ��.
4
4


C. x   k 2 , k ��.
D. x    k 2 , k ��.
2
2
2
2
2

Câu 39: Một nghiệm của phương trình cos x  cos 2 x  cos 3x  1 có nghiệm là




A. x  .
B. x  .
C. x  .
D. x  .
8
12
3
6
 x� 7
2
2�
Câu 40: Phương trình: sin x.cos 4 x  sin 2 x  4sin �  � có nghiệm là
�4 2 � 2


�
�
x    k
x    k 2
�
�
6
6
A. �
, k ��.

B. �
, k ��.
7

7

�
�
x
 k
x
 k 2
�
�
� 6
� 6


�
�
x    k 2
x    k
�
�
6
6
C. �
, k ��.
D. �
, k ��.



�
�
x   k 2
x   k
�
�
� 6
� 6
Câu 41: Giải phương trình sin 2 x  sin 2 3x  cos 2 x  cos2 3x

 k
 k
,x  
A. x  �  k 2 , k ��.
B. x   
, k ��.
4
4 2
8 4
 k
 k
 k
 k
,x  
,x  
C. x  
, k ��.
D. x   

, k ��.
4 2
8 4
4 2
4 2
C. x 

Trang 14


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

3

12
12
14
14
Câu 42: Phương trình: sin x  cos x  2(sin x  cos x)  cos2 x có nghiệm là

2


 k  , k ��.
4

C. x   k 2 , k ��.
4

A. x 

B. x 

D. Vô nghiệm.

Câu 43: Giải phương trình 4 cot 2 x 
A. x 


4

 k 2 .

B. x 

cos 2 x  sin 2 x
.
cos 6 x  sin 6 x


4



4

2

x  sin 2 x  .sin 2 x

cos 6 x  sin 6 x



k

4

2

B. x  � 

Trang 15



C. x  �  k 2 .

 k .

 cos
Câu 44: Giải phương trình 8cot 2 x 
A. x    k .



 k , k ��.
4
2

.

4

D. x 


4



k
2

.

.

C. x 


4

 k .

D. x 


4



k
2

.


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG THƯỜNG GẶP
Câu 1:

Giải phương trình  tan x  cot x   tan x  cot x  2 .
2

�
 k , k ��.
4


C. x   k , k ��.
D. x   k , k ��.
6
4
10
10

6
6
sin x  cos x
sin x  cos x
Câu 2: Giải phương trình
.

4
4 cos 2 2 x  sin 2 2 x
B. x 

A. Cả 3 đáp án.

A. x  k 2 , x 
C. x 


2


2

 k 2 , k ��.

B. x 

k
2

, k ��.

D. x  k , x 

 k , k ��.


2

 k 2 , k ��.

2
2
Câu 3: Cho phương trình: 4 cos x  cot x  6  2  2 cos x  cot x  . Hỏi có bao nhiều nghiệm x
thuộc vào khoảng (0;2 ) ?
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
2
2
Câu 4: Cho phương trình: 4 cos x  cot x  6  2 3  2cos x  cot x  . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc
vào khoảng (0;2 ) ?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. đáp số khác.
Câu 5: Phương trình: sin 3x  cos x  2sin 3x   cos 3x  1  sin x  2 cos 3x   0 có nghiệm là:

A. x 


 k .
2

B. x 



k .
4
2

4x
 cos 2 x .
3
�
�
x  k
�

x  �  k .
B. �
�
4
�
5
�
x  �  k
�
4

C. x 


 k 2 .
3

D. Vô nghiệm.

Câu 6: Giải phương trình cos

�
�
x  k3
�

x  �  k3 .
A. �
�
4
�
5
�
x  �  k3
4
�

x  k3
�
�

C.
.

�
x  �  k3
4
�

x  k3
�
�
D.
5
�
x  �  k3
4
�

.
Câu 7: Giải phương trình
A. x 


12

.

1  sin x
1  sin x
4

��


x ��
0; �
1  sin x
1  sin x
3 với
� 2�
.
B. x 
2


4
2

.

C. x 


3

.

D. x 


6

.

Câu 8: Để phương trình: 2sin x  2cos x  m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:
A. 1 �m � 2 .
B. 2 �m �2 2 .
C. 2 2 �m �3 .
D. 3 �m �4 .

Trang 16


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
 Chia hai vế phương trình cho

a2  b2 ta được:
a
b
c
sin x 
cos x 
(1) 
a2  b2

a2  b2
a2  b2
a
b
, cos 
0, 2 �
  ��

�
�
 Đặt: sin 
2
2
2
2
a b
a b
c
phương trình trở thành: sin .sin x  cos .cos x 
a2  b2
c
� cos(x   ) 
 cos (2)
2
2
a b
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
c
�1 � a2  b2 �c2.
2

2
a b
�
x


�


k
2

(
k
�
Z
)
 (2)
Lưu ý:
�
�
1
3

�sin x � 3 cos x  2 � sin x 
cos x � 2sin( x  )
2
2
3
�

�
�3
�
1

� 3 sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2sin( x � )
2
6
�2
�
1

�1
�
�sin x �cos x  2 � sin x � cos x � 2 sin( x � ) .
4
2
�2
�
Cách 2:
x 
a) Xét x    k2 �   k có là nghiệm hay không?
2 2
x
b) Xét x �۹ k2
cos
0.
2

x

2t
1 t2
Đặt: t  tan , thay sin x 
, cos x 
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2
1 t2
1 t2

(b c)t2  2at  c  b  0 (3)
Vì x �  k2 � b  c �0, nên (3) có nghiệm khi:

 '  a2  (c2  b2) �0 � a2  b2 �c2.

Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

Lượng giác – ĐS và GT 11

x
t.
2 0

Ghi chú:
1)
Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2)

Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b2 �c2.
3)
Bất đẳng thức B. C. S:
y  a.sin x  b.cos x � a2  b2 . sin2 x  cos2 x 
� min y   a2  b2 va�
max y

a2  b2 �

a2  b2

sin x cos x
a

� tan x 
a
b
b

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x
A. sin 2 x  cos x  1  0 .
B. sin 2 x  cos x  0 .
C. 2 cos x  3sin x  1 .
D. 2 cos x  3sin 3 x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình a sin x  b cos x  c  1 trong đó a, b, c �� và a 2  b 2 �0 được gọi là phương trình bậc
nhất đối với sin x, cosx .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x  3  0 .

B. 3sin 2 x  10  0 .
2
C. cos x  cos x  6  0 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .
Hướng dẫn giải::
Chọn D .
Câu D: 3sin x  4 cos x  5 , đây là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x .
Phương trình trên có nghiệm vì 32  4 2  25 �52 .
3
Câu A: 2 cos x  3  0 � cos x   1 � PT vô nghiệm.
2
10
Câu B: sin 2 x 
 1 � PT vô nghiệm.
3
cos x  3  1
�
� PT vô nghiệm.
Câu C: cos 2 x  cos x  6  0 � �
cos x  2  1
�
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
1
A. sin x  .
B. 3 sin x  cos x  3 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4cos x  5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

PT 3 sin x  cos x  3 vô nghiệm vì không thoả ĐK a 2  b 2 �c 2
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
1
A. cos x  .
B. 3 sin x  cos x  1 .
3
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .
D. 3sin x  4 cos x  6 .
Hướng dẫn giải:
Trang 18


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Chọn D.

1
1
3
2
Câu B có nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   1
Câu A có nghiệm vì

Câu C có nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   2  .
2

Câu D vô nghiệm vì a 2  b 2  32  42  25  62 .
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. 2sin x  cos x  3 .
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2 .

B. tan x  1 .
D. 3sin x  4 cos x  5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu A vô nghiệm vì a 2  b 2  22  12  5  32 .
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
1
A. sin x  .
4
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  4 .

B.

3 sin x  cos x  1 .

D. 3sin x  4 cos x  5 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1
1
4
2
Câu B có nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   1
Câu A có nghiệm vì

Câu C vô nghiệm vì a 2  b 2  3  1  4   4  .
2

Câu D có nghiệm vì a 2  b 2  32  42  25  52 .
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
1
1
A. 3 sin x  2
B. cos 4 x 
4
2
2
C. 2sin x  3cos x  1
D. cot x  cot x  5  0
Hướng dẫn giải:
Chọn C
2
2
 1 nên phương trình vô nghiệm.
Phương trình 3 sin x  2 � s inx 
, mà
3
3
1
1
Phương trình cos 4 x  � cos 4 x  2 nên phương trình vô nghiệm.
4
2
Phương trình 2sin x  3cos x  1 có 22 +33 >1 nên phương trình có nghiệm.

2

1 � 19
�
Phương trình cot 2 x  cot x  5  0 � �
cot t  �  0 nên phương trình vô nghiệm.
2� 4
�
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
B. 3sin x  4 cos x  5

C. sin x  cos


4

D.

Hướng dẫn giải:
Chọn D
Trang 19

3 sin x  cos x  3


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Ta có:

 3

2

  1  4   3 nên phương trình
2

2

Lượng giác – ĐS và GT 11

3 sin x  cos x  3 vô nghiệm.

Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x  cos x 3
B. cosx  3sinx  1
C. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
D. 2sinx  3cosx  1
Hướng dẫn giải:
Đáp án A
sin x  cos x �(12  (1) 2 )(sin 2 x  cos 2 x)  2  3 nên phương trình vô nghiệm

cosx  3sinx �(12  32 )(sin 2 x  cos 2 x)  10  1 nên phương trình có nghiệm
3 sin 2 x  cos 2 x �(( 3) 2  ( 1) 2 )(sin 2 x  cos 2 x)  10  2 nên phương trình có nghiệm
2sinx  3cosx �(22  32 )(sin 2 x  cos 2 x)  13  1 nên phương trình có nghiệm
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. sin x  2 cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  2 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  3 .
Hướng dẫn giải:

Chọn C.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x  2 cos x  3 vô nghiệm vì 12  2 2  32 nên loại đáp án A.

 2   1  2 nên loại đáp án B.
2 sin x  cos x  1 có nghiệm vì  2   1   1 . Vậy chọn C
2 sin x  cos x  2 vô nghiệm vì

2

2

2

2

2

2

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x  cos x  3 .
B. 2 sin x  cos x  1 .
C. 2 sin x  cos x  1 .
D. 3 sin x  cos x  2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Lần lượt thử các đáp án.
sin x  cos x  3 vô nghiệm vì 12  12  32 nên chọn đáp án A.
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:

1
1
A. 3 sin x  2 .
B. cos 4 x  .
4
2
2
C. 2sin x  3cos x  1 .
D. cot x  cot x  5  0 .
Hướng dẫn giải::
Chọn C .
Câu C: 2 sin x  3cos x  1 là phương trình bậc nhất theo sin x và cos x , phương trình có nghiệm khi
22  32  12 (đúng).
2
 1 � PTVN.
Câu A: 3 sin x  2 � sin x 
3
1
1
Câu B: cos 4 x  � cos 4 x  2  1 � PTVN.
4
4
2
Câu D: cot x  cot x  5  0 vô nghiệm do   19  0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos 3 x  3 sin 3 x  2 .
B. cos 3 x  3 sin 3 x  2 .

Trang 20

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
C. sin x 


.
3

Lượng giác – ĐS và GT 11

� �
� �
D. 3sin �x  � 4 cos �x  � 5  0 .
� 3�
� 3�

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Các phương trình ở đáp án A, B, D để có dạng A cos ax  B sin ax  C và A2  B 2 �C 2 nên các
phương trình này đều có nghiệm.
 3,14
 1 nên phương trình này vô nghiệm.
Phương trình ở đáp án C có dạng sin x  m với m  
3
3
Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x  k 2 ; x   k 2 .
B. x  k ; x    k 2 .

2
2


C. x   k ; x  k 2 .
D. x   k ; x  k .
6
4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
�  
x    k 2
�
� �
� � 2
�� 4 4
cos x  sin x  1 � 2 sin �x  � 1 � sin �x  �
 3
� 4�
� 4� 2
�
x 
 k 2
� 4
4
x  k 2
�
�� 
 k �� .
�

x   k 2
� 2
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 là:


A. x    k 2 ; x    k 2 .
B. x    k 2 ; x   k 2 .
2
2


C. x    k ; x  k 2 .
D. x   k ; x  k .
3
6
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

� 
x     k 2
�
2
� �
� �
4
4
��
cos x  sin x  1 � 2 sin �x  � 1 � sin �x  � 
 5
2

� 4�
� 4�
�
x 
 k 2
� 4
4
� 
x   k 2
�� 2
 k �� .
�
x    k 2
�
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x    2 là:

5

3
 k 2 .
 k 2 .
A. x    k 2 ; x 
B. x    k 2 ; x 
12
12
4
4

2


5
 k 2 .
 k 2 .
C. x   k 2 ; x 
D. x    k 2 ; x  
3
3
4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Trang 21


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

1
3
2



cos x 
� cos .sin x  sin .cos x  sin
sin x  3 cos x    2 � sin x 
2
2

2
3
3
4

�  
�
x    k 2
x    k 2
�
�

� �
3 4
12
� sin �x  � sin � �
��
 k �� .

3

5

4
� 3�
�
�
x 
 k 2
x

 k 2
�
� 12
4
� 3
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x –  3 cos x  0  là:




A. x   k 2 .
B. x   k 2 .
C. x   k .
D. x   k .
6
3
6
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
� �
1
3
Ta có sin x –  3 cos x  0  � sin x –  cos x  0  � sin �x  � 0 
� 3�
2
2


� x   k � x   k  k ��

3
3
Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  3 sin x  0 có nghiệm là



A. x   k .
B. Vô nghiệm.
C. x    k .
D. x   k .
6
6
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
3
1


cos x  3 sin x  0 �
sin x  cos x  0 � sin( x  )  0 � x   k ,  k �� .
2
2
6
6
Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;   là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

� �
� � 2
sin x  cos x  1 � 2 sin �x  � 1 � sin �x  �
� 4�
� 4� 2
� 
x   k 2

� �
� sin �x  � sin � � 2
,  k �� .
�
4
� 4�
x  k 2
�

Trên khoảng  0;   phương trình có 1 nghiệm là x  .
2
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là :
A. x  k 2 .

x  k 2
�
�
B.

.

�
x   k 2
� 2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Trang 22

C. x 


 k 2 .
4

� 
x   k 2
�
4
D. �
.

�
x    k 2
�
4

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

� �
� � 2
sin x  cos x  1 � 2 sin �x  � 1 � sin �x  �
� 4�
� 4� 2
� 
x   k 2

� �
� sin �x  � sin � � 2
.
�
4
� 4�
x

k
2

�
Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là:
5
5

 k .
 k 2 .

A. x 
B.  x 
C. x    k .
6
6
6

D. x 


 k 2 .
6

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

1
3
sin x 
cos x  1
2
2
 

� �
� sin �x  � 1 � x    k 2 � x   k 2 ,  k �� .
3 2
6
� 3�

sin x  3 cos x  2 �

Câu 22: Phương trình





3  1 sin x 





3  1 cos x  3  1  0 có các nghiệm là



�
�
x    k 2
x    k 2
�
�
4
2
, k ��.
, k ��.
A. �
B. �



�
�
x   k 2
x   k 2
� 6
� 3


�
�
x    k 2
x    k 2
�
�
6
8
, k ��.
, k ��.
C. �
D. �


�
�
x   k 2
x   k 2
�
� 12

� 9
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
5
3 1

Ta có tan
. Chia hai vế PT cho 3  1 được
12
3 1
5
5
5
5
5
� 5 �
 cos x.sin
 cos
 0  sin �x 
PT: sin x  tan .cos x  1  0  sin x.cos
�  cos
� 12 �
12
12
12
12
12

� 
� 

� 5
x   k 2
x   k 2
x
   k 2
�
�
�
� 5 �
� �
12
12
3
3
( k ��)
 � �
 sin �x 
�
�
� sin �

3

� 12 �
� 12 � � 5
�
�
x
    k 2
x

 k 2
x    k 2
� 2
�
� 12
12
2
Câu 23: Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là

3

5
 k 2 , k ��.
 k 2 , k ��.
A. x    k 2 , x 
B. x    k 2 , x 
4
4
12
12

2

5
 k 2 , k ��.
 k 2 , k ��.
C. x   k 2 , x 
D. x    k 2 , x  
3
3

4
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Trang 23


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Chia hai vế PT cho 2 ta được

Lượng giác – ĐS và GT 11


� �
1
3
2
 sin �x  � sin
sin x 
cos x 
4
� 3�
2
2
2


�  
�

x    k 2
x    k 2
�
�
3 4
12
( k ��)
�
�


5

�
�
x      k 2
x
 k 2
�
� 12
4
� 3
Câu 24: Nghiệm của phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  0 là




A. x   k , k ��.
B. x   k , k ��.
C. x   k , k ��.

D.
3
2
6
3


x   k , k ��.
6
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

� �
1
3
2 x  � 0  2 x   k 
Chia hai vế PT cho 2 ta được sin 2 x 
cos 2 x  0  sin �
3�
�
3
2
2


( k ��)
x  k
6
2

Câu 25: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 .
x  k 2
�
�
, k ��.
A. x  k 2 , k ��.
B.

�
x   k 2
� 2
� 
x   k 2
�

4
, k ��.
C. x   k 2 , k ��.
D. �

4
�
x    k 2
�
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
� �
� � 1
Phương trình đã cho tương đương với 2 sin �x  � 1 � sin �x  �

� 4�
� 4� 2
�  
x  k 2
x    k 2
�
�
4 4
�
�
( k ��)
��

�


x   k 2
�
x      k 2
� 2
� 4
4
Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:
� � 1
� � 
� � 1
� � 1
3x  � 
3x  � 
3x  � 

3x  �
A. sin �
B. sin �
C. sin �
D. sin �
6� 2
6� 6
6� 2
6� 2
�
�
�
�
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
� � 1
3
1
1
3x  � 
3 sin 3x  cos 3x  1 �
sin 3 x  cos 3 x   � sin �
6� 2
�
2
2
2
Câu 27: Phương trình

1

3
sin x 
cos x  1 có nghiệm là
2
2

Trang 24


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

5
 k 2 , k ��.
6

 k 2 , k �Z .
C. x 
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Lượng giác – ĐS và GT 11

5
B. x    k , k �Z .
6

A. x 

D. x 


 k 2 , k �Z .
6

1
3
� �
� �
sin x 
cos x  1 � sin �x  � 1 � sin �x  � 1
2
2
� 3�
� 3�
 
5
� x    k 2 � x 
 k 2 (k ��)
3 2
6
Câu 28: Phương trình 3cos x  2 | sin x | 2 có nghiệm là:
A. x 


 k .
8

B. x 


 k .
6

C. x 


 k .
4

D. x 


 k .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3cos x  2 | sin x | 2 � 2 | sin x | 2  3cos x
�
4  1  cos 2 x   4  12 cos x  9 cos 2 x
�
4sin 2 x  4  12cos x  9cos 2 x
�
�
��
��
2
2
cos x �

cos x �
�
�
3
�
3
�
2
cos x  0
�
13cos x  12 cos x  0
�

�
��
��
� x   k  k �� .
12
2
�
cos x  (L)
2
cos x �
�
13
�
3
�
Câu 29: Với giá trị nào của m thì phương trình (m  1) sin x  cos x  5 có nghiệm.
m �1

�
A. 3 �m �1 .
B. 0 �m �2 .
C. �
.
D.  2 �m � 2 .
m �3
�
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
m  1 �2
m �1 .
�
�
2
2
��
a 2  b 2 �c 2 �  m  1  1 �5 �  m  1 �4 � �
m  1 �2 �
m �3
�
Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là :
m �4
�
A. m �4 .
B. 4 �m �4 .
C. m � 34 .
D. �
.

m �4
�
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
m �4
�
a 2 ��
b2 
c 2�۳�
m2 9 25 m2 16 �
.
m �4
�
Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x  cos x  m có nghiệm:

A.  2 �m � 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

B. m � 2 .

Trang 25

C. 1 �m �1 .

D. m �2 .