Phần 3:Phương trình bậc nhất theo sin và cos

CHƯƠNG IV:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG
TRÌNH CỔ ĐIỂN)

()
()
asinu bcosu c * . a,b R\ 0+= ∈

Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho
+ ≠
22
ab 0

Đặt
[]
22 22
ab
cos và sin với 0,2
ab ab
α= α= α∈ π
++

()
()
22
22
c
Thì * sin u cos cos u sin
ab
c

sin u
ab
⇔α+α=
+
⇔+α=
+

Cách 2 :
Nếu là nghiệm của (*) thì :
uk2
=π+ π
asin bcos c b c
π+ π= ⇔− =

Nếu đặt
uk
≠π+ π
2
u
ttg
2
=
thì (*) thành :
2
22
2t 1 t
ab
1t 1t
−
+=

++
c

() ( )( )
2
b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠
Phương trình có nghiệm
( )( )
2
'a cbcb 0⇔ Δ= − + − ≥

222 222
acb abc⇔≥−⇔+≥

Giải phương trình (1) tìm được t. Từ
u
ttg
2
=
ta tìm được u.

Bài 87
: Tìm
26
x,
57
ππ
⎛
∈
⎜

⎝⎠
⎞
⎟
thỏa phương trình :
()
cos7x 3 sin 7x 2 *−=−
Chia hai vế của (*) cho 2 ta được :
()
⇔− =−
ππ
⇔− + =
ππ
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠
13 2
*cos7xsin7x
22 2
2
sin cos7x cos sin 7x
66
sin 7x sin
64
2

ππ π π
⇔−=+π −=+
3
7x k2 hay 7x h2

64 6 4
π
,
( )
∈k, h Z

ππ ππ
⇔= + = + ∈

5k2 11h2
xhayx ,k,
84 7 84 7
h

Do
26
x,
57
π π
⎛
∈
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
nên ta phải có :
ππ ππ π π ππ
<+ < < + < ∈
25k26 211h26
hay ( k, h )

584 7 7 5 84 7 7

⇔< + < < + < ∈
25k26 211h26
hay ( k, h )
584 7 7 584 7 7

Suy ra k = 2,
=
h1,2
5 4 53 11 2 35
Vậy x x
84 7 84 84 7 84
11 4 59
x
84 7 84
π πππ
=+=π∨= +=
ππ
∨= + = π
π


Bài 88 : Giải phương trình
( )
3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x *−=+

Ta có :
()

()
3
* 3sin 3x 4 sin 3x 3 cos 9x 1
⇔ −−=

sin 9x 3 cos 9x 1
⇔− =

13
sin 9x cos 9x
22
⇔−
1
2
=

1
sin 9x sin
32
ππ
⎛⎞
⇔−==
⎜⎟
⎝⎠
6

ππ π π
⇔ −=+ π −= + π ∈

5

9x k2 hay 9x k2 , k
36 3 6

ππ ππ
⇔= + = + ∈

k2 7 k2
xhayx,
18 9 54 9
k


Bài 89
: Giải phương trình
()
1
tgx sin 2x cos 2x 2 2 cos x 0 *
cos x
⎛⎞
−−+ − =
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0
≠
Lúc đó :
()
sin x 2
* sin 2x cos 2x 4 cos x 0

cos x cos x
⇔− − + −=

2
sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0
⇔− − + −=

()
2
sin x 1 2 cos x cos x cos 2x 2 cos2x 0
⇔− − + =
=
≠

sin x cos 2x cos x cos 2x 2 cos2x 0
⇔− − + =

⇔=−−+
cos2x 0 hay sinx cosx 2 0

()
()
⎡
==−=
⎢
⇔
⎢
+= +<
⎢
⎣

2
22 2
cos 2x 0 nhận do cos 2x 2 cos x 1 0 thì cos x 0
sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2

()
π
⇔= + ∈
ππ
⇔=+ ∈


2x 2k 1 , k
2
k
x,k
42

Bài 90 : Giải phương trình
()
31
8sinx *
cos x sin x
=+

Điều kiện :
sin 2x 0
≠
Lúc đó (*)
2

8sin xcosx 3sinx cosx
⇔=+

()
()
⇔− = +
⇔− = −
⇔− + = −
⇔=− +
π
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
41 cos2xcosx 3sinx cosx
4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x
2 cos 3x cos x 3 sin x 3 cos x
31
cos 3x sin x cosx
22
cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k

6122
π

Nhận so vớiđiều kiện
sin 2x 0
≠

Cách khác :
(*)
2
8sin xcosx 3sinx cosx
⇔=+

( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này )
⇔− = +
2
8( 1 cos x) cos x 3 sin x cos x

⇔− = +
3
8 cos x 8 cos x 3 sin x cos x

⇔− = −
3
6 cos x 8 cos x 3 sin x cos x

⇔−=−
3
13
4 cos x 3 cos x cos x sin x

22

π
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
π

cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k
6122


Bài 91 : Giải phương trình
( )
9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 *+− +=

Ta có : (*)
( )
2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8

⇔ +− +− =

()()
+




2
6 cos x 6 sin x cos x 2 sin x 9 sin x 7 0
7
6 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0
2
=
=

()

= + =


=



+= +<


222
7

1 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0
2
sin x 1
6 cos x 2 sin x 7 voõ nghieọm do 6 2 7



=+

xk2,k
2

Baứi 92
: Giaỷi phửụng trỡnh:
()
sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4 cos x *+=+
Ta coự : (*)
( )
2
2sinxcosx 2 2cos x 1 1 sinx 4cosx
+=+

()
++=

++=


= + += +<
2

222
2sinxcosx sinx 4cos x 4cosx 3 0
113
2 sin x cos x 4 cos x cos x 0
222
1
cos x 0 hay 2 sin x 4 cos x 6 0 voõ nghieọm do 2 4 6
2


=+ xk
3
2


Baứi 93 : Giaỷi phửụng trỡnh
( )
2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4 *=+

Ta coự : (*)
( )
2
4 sin x cos x 1 2 sin x 7sin x 2 cos x 4
= +

( )
()
()
()()()
()

++=

+


+=
= += +<
2
222
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 7 sin x 3 0
1
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x sin x 3
2
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 sin x 3 0
2 sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 voõ nghieọm vỡ 1 2 3

=+= +

5
xk2x k2,k
66


Baứi 94 : Giaỷi phửụng trỡnh
( )
sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *=+

Ta coự (*)
( )
2

2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 2
= +

()
()()(
++
+
= +=
2
cos x 2 sin x 1 2 sin x 3sin x 1 0
cos x 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 0
2sinx 1 0 hay cosx sinx 1 0
)
=
=

π
⎛⎞
⇔= −
⎜⎟
⎝⎠
1
sin x hay 2 cos x x 1
24
=

ππ ππ
⇔=+ π∨= + π −=±+ π ∈

5

x k2 x k2 hay x k2 , k
66 44

ππ π
⇔=+π∨= +π =+π∨=π∈

5
x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k
66 2

Bài 95 : Giải phương trình
()
()
2
sin 2x 3 cos 2x 5 cos 2x *
6
π
⎛⎞
+−=−
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
t sin 2x 3 cos 2x
=+
, Điều kiện
ab t ab−+=−≤≤=+
22 22
22

Thì
13
t 2 sin 2x cos 2x 2 cos 2x
22
⎛⎞
6
π
⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
−

Vậy (*) thành:
−= ⇔ −− =⇔= ∨=−
22
t5
t5 2tt100 t (loại)t
22
2

Do đó
()
*
⇔

cos 2x 1

6
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠

π π
⇔−=π+π⇔=+
7
2x k2 x k
61
π
2

Bài 96 : Giải phương trình
( )
++=
3
2cos x cos2x sinx 0 *

Ta có (*)
32
2cos x 2cos x 1 sinx 0
⇔ +−+=

( )
()
()()
()( )

2
2
2 cos x cosx 1 1 sin x 0
2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0
1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0
⇔+−+=
⇔− + −− =
⇔− = + + −=

2
1 sin x 0 hay 1 2sin x cosx 2(sin x cos x) 0
1sinx 0hay(sinx cosx) 2(sinx cosx) 0
⇔− = + + + =
⇔− = + + + =

( )
22 2
sinx 1haysinx cosx 0 hay sinx cosx 2 0 vônghiệm do:1 1 2
⇔= += ++= +<
sin x 1 hay tgx1
⇔= =−
xk2hayx k2,k
24
π π
⇔ =+ π =−+ π ∈
¢


Bài 97
: Giải phương trình

()
2
1cos2x
1cot
g2x *
sin 2x
−
+=

Điều kiện :
sin2x 0 cos2x 1
≠⇔ ≠±
Ta có (*)
2
1cos2x 1
1cotg2x
1cos2x
1cos2x
1
cot g2x 1
1cos2x
cos2x cos2x
sin 2x 1 cos 2x
−
⇔+ = =
+
−
⇔= −
+
−

⇔=
+