Tải bản đầy đủ (.pdf) (11 trang)

Phần 3:Phương trình bậc nhất theo sin và cos

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.56 KB, 11 trang )

CHƯƠNG IV:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG
TRÌNH CỔ ĐIỂN)

()
()
asinu bcosu c * . a,b R\ 0+= ∈

Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho
+ ≠
22
ab 0

Đặt
[]
22 22
ab
cos và sin với 0,2
ab ab
α= α= α∈ π
++

()
()
22
22
c
Thì * sin u cos cos u sin
ab
c


sin u
ab
⇔α+α=
+
⇔+α=
+

Cách 2 :
Nếu là nghiệm của (*) thì :
uk2
=π+ π
asin bcos c b c
π+ π= ⇔− =

Nếu đặt
uk
≠π+ π
2
u
ttg
2
=
thì (*) thành :
2
22
2t 1 t
ab
1t 1t

+=

++
c

() ( )( )
2
b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠
Phương trình có nghiệm
( )( )
2
'a cbcb 0⇔ Δ= − + − ≥

222 222
acb abc⇔≥−⇔+≥

Giải phương trình (1) tìm được t. Từ
u
ttg
2
=
ta tìm được u.

Bài 87
: Tìm
26
x,
57
ππ




⎝⎠


thỏa phương trình :
()
cos7x 3 sin 7x 2 *−=−
Chia hai vế của (*) cho 2 ta được :
()
⇔− =−
ππ
⇔− + =
ππ
⎛⎞
⇔−=
⎜⎟
⎝⎠
13 2
*cos7xsin7x
22 2
2
sin cos7x cos sin 7x
66
sin 7x sin
64
2

ππ π π
⇔−=+π −=+
3
7x k2 hay 7x h2

64 6 4
π
,
( )
∈k, h Z

ππ ππ
⇔= + = + ∈

5k2 11h2
xhayx ,k,
84 7 84 7
h

Do
26
x,
57
π π



⎝⎠


nên ta phải có :
ππ ππ π π ππ
<+ < < + < ∈
25k26 211h26
hay ( k, h )

584 7 7 5 84 7 7

⇔< + < < + < ∈
25k26 211h26
hay ( k, h )
584 7 7 584 7 7

Suy ra k = 2,
=
h1,2
5 4 53 11 2 35
Vậy x x
84 7 84 84 7 84
11 4 59
x
84 7 84
π πππ
=+=π∨= +=
ππ
∨= + = π
π


Bài 88 : Giải phương trình
( )
3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x *−=+

Ta có :
()

()
3
* 3sin 3x 4 sin 3x 3 cos 9x 1
⇔ −−=

sin 9x 3 cos 9x 1
⇔− =

13
sin 9x cos 9x
22
⇔−
1
2
=

1
sin 9x sin
32
ππ
⎛⎞
⇔−==
⎜⎟
⎝⎠
6

ππ π π
⇔ −=+ π −= + π ∈

5

9x k2 hay 9x k2 , k
36 3 6

ππ ππ
⇔= + = + ∈

k2 7 k2
xhayx,
18 9 54 9
k


Bài 89
: Giải phương trình
()
1
tgx sin 2x cos 2x 2 2 cos x 0 *
cos x
⎛⎞
−−+ − =
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0

Lúc đó :
()
sin x 2
* sin 2x cos 2x 4 cos x 0

cos x cos x
⇔− − + −=

2
sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0
⇔− − + −=

()
2
sin x 1 2 cos x cos x cos 2x 2 cos2x 0
⇔− − + =
=


sin x cos 2x cos x cos 2x 2 cos2x 0
⇔− − + =

⇔=−−+
cos2x 0 hay sinx cosx 2 0

()
()

==−=



+= +<



2
22 2
cos 2x 0 nhận do cos 2x 2 cos x 1 0 thì cos x 0
sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2

()
π
⇔= + ∈
ππ
⇔=+ ∈


2x 2k 1 , k
2
k
x,k
42

Bài 90 : Giải phương trình
()
31
8sinx *
cos x sin x
=+

Điều kiện :
sin 2x 0

Lúc đó (*)
2

8sin xcosx 3sinx cosx
⇔=+

()
()
⇔− = +
⇔− = −
⇔− + = −
⇔=− +
π
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
41 cos2xcosx 3sinx cosx
4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x
2 cos 3x cos x 3 sin x 3 cos x
31
cos 3x sin x cosx
22
cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k

6122
π

Nhận so vớiđiều kiện
sin 2x 0


Cách khác :
(*)
2
8sin xcosx 3sinx cosx
⇔=+

( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này )
⇔− = +
2
8( 1 cos x) cos x 3 sin x cos x

⇔− = +
3
8 cos x 8 cos x 3 sin x cos x

⇔− = −
3
6 cos x 8 cos x 3 sin x cos x

⇔−=−
3
13
4 cos x 3 cos x cos x sin x

22

π
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠
ππ
⇔=++π∨=−−+
πππ
⇔=+π∨=− + ∈
π

cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
33
k
xkx ,k
6122


Bài 91 : Giải phương trình
( )
9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 *+− +=

Ta có : (*)
( )
2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8

⇔ +− +− =

()()
+




2
6 cos x 6 sin x cos x 2 sin x 9 sin x 7 0
7
6 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0
2
=
=

()

= + =


=



+= +<


222
7

1 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0
2
sin x 1
6 cos x 2 sin x 7 voõ nghieọm do 6 2 7



=+

xk2,k
2

Baứi 92
: Giaỷi phửụng trỡnh:
()
sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4 cos x *+=+
Ta coự : (*)
( )
2
2sinxcosx 2 2cos x 1 1 sinx 4cosx
+=+

()
++=

++=


= + += +<
2

222
2sinxcosx sinx 4cos x 4cosx 3 0
113
2 sin x cos x 4 cos x cos x 0
222
1
cos x 0 hay 2 sin x 4 cos x 6 0 voõ nghieọm do 2 4 6
2


=+ xk
3
2


Baứi 93 : Giaỷi phửụng trỡnh
( )
2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4 *=+

Ta coự : (*)
( )
2
4 sin x cos x 1 2 sin x 7sin x 2 cos x 4
= +

( )
()
()
()()()
()

++=

+


+=
= += +<
2
222
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 7 sin x 3 0
1
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x sin x 3
2
2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 sin x 3 0
2 sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 voõ nghieọm vỡ 1 2 3

=+= +

5
xk2x k2,k
66


Baứi 94 : Giaỷi phửụng trỡnh
( )
sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *=+

Ta coự (*)
( )
2

2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 2
= +

()
()()(
++
+
= +=
2
cos x 2 sin x 1 2 sin x 3sin x 1 0
cos x 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 0
2sinx 1 0 hay cosx sinx 1 0
)
=
=

π
⎛⎞
⇔= −
⎜⎟
⎝⎠
1
sin x hay 2 cos x x 1
24
=

ππ ππ
⇔=+ π∨= + π −=±+ π ∈

5

x k2 x k2 hay x k2 , k
66 44

ππ π
⇔=+π∨= +π =+π∨=π∈

5
x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k
66 2

Bài 95 : Giải phương trình
()
()
2
sin 2x 3 cos 2x 5 cos 2x *
6
π
⎛⎞
+−=−
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
t sin 2x 3 cos 2x
=+
, Điều kiện
ab t ab−+=−≤≤=+
22 22
22


Thì
13
t 2 sin 2x cos 2x 2 cos 2x
22
⎛⎞
6
π
⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠


Vậy (*) thành:
−= ⇔ −− =⇔= ∨=−
22
t5
t5 2tt100 t (loại)t
22
2

Do đó
()
*


cos 2x 1

6
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠

π π
⇔−=π+π⇔=+
7
2x k2 x k
61
π
2

Bài 96 : Giải phương trình
( )
++=
3
2cos x cos2x sinx 0 *

Ta có (*)
32
2cos x 2cos x 1 sinx 0
⇔ +−+=

( )
()
()()
()( )

2
2
2 cos x cosx 1 1 sin x 0
2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0
1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0
⇔+−+=
⇔− + −− =
⇔− = + + −=

2
1 sin x 0 hay 1 2sin x cosx 2(sin x cos x) 0
1sinx 0hay(sinx cosx) 2(sinx cosx) 0
⇔− = + + + =
⇔− = + + + =

( )
22 2
sinx 1haysinx cosx 0 hay sinx cosx 2 0 vônghiệm do:1 1 2
⇔= += ++= +<
sin x 1 hay tgx1
⇔= =−
xk2hayx k2,k
24
π π
⇔ =+ π =−+ π ∈
¢


Bài 97
: Giải phương trình

()
2
1cos2x
1cot
g2x *
sin 2x

+=

Điều kiện :
sin2x 0 cos2x 1
≠⇔ ≠±
Ta có (*)
2
1cos2x 1
1cotg2x
1cos2x
1cos2x
1
cot g2x 1
1cos2x
cos2x cos2x
sin 2x 1 cos 2x

⇔+ = =
+

⇔= −
+


⇔=
+

×