028 đề HSG toán 8 huyện năm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN TOÁN 8

Bài 1 (3 điểm) Chứng minh rằng:
a) 85  211 chia hết cho 17
b) 1919  6919 chia hết cho 44
Bài 2. (3 điểm)

x2  x  6
a) Rút gọn biểu thức : 3
x  4 x 2  18 x  9
b) Cho

1 1 1
yz xz xy
   0  x, y, z  0 . Tính 2  2  2
x y z
x
y
z

Bài 3. (3 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA
sao cho BD  CE  BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng
song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh
rằng AB  CK
Bài 4. (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
M  4 x2  4 x  5

ĐÁP ÁN
Bài 1.

a) Ta có: 85  211   23   211  215  211  211. 24  1  211.17
5

Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17
b) Áp dụng hằng đẳng thức
a n  bn   a  b   a n1  a n2b  a n3b2  .....  abn2  bn1  với mọi n lẻ

Ta có: 1919  6919  19  69  1918  1917.69  ......  6918 
 88.1918  1917.69  .....  6918  chia hết cho 44

Bài 2.
a) Ta có:
*) x 2  x  6  x 2  3x  2 x  6  x  x  3  2  x  3   x  2  x  3
*) x3  4 x 2  18 x  9  x3  3x 2  7 x 2  21x  3x  9
 x 2  x  3  7 x  x  3  3  x  3 
  x  3  x 2  7 x  3



x2  x  6
 x  3 x  2   x  2 x  1; x 2  7 x  3  0



3
2
x  4 x  18 x  9  x  3  x 2  7 x  3 x 2  7 x  3

1 1
1 1 1
1
   0     
x y z
z
x y
3

1 1
1
1
1
1 1
1 1
1 
b) Vì  3       3    3  3. 2 .  3. . 2  3 
z
z
x y
x y
y 
x y
x
1
1 1
1 1 1 1
1
1 1
1

 3  3  3  3. . .    3  3  3  3.
x
y
z
x y x y
x
y
z
xyz
1
1 1
xyz xyz xyz
yz zx xy
Do đó: xyz  3  3  3   3  3  3  3  3  2  2  2  3
y
z 
x
y
z
x
y
z
x


Bài 3.

A
2

K
1
1

B

1

C

O

M

E

D
Vẽ hình bình hành ABMC ta có: AB  CM
Để chứng minh AB  KC ta cần chứng minh KC  CM .
Thật vậy, xét tam giác BCE có BC  CE  gt   CBE cân tại C  B1  E
Vì góc C1 là góc ngoài của tam giác BCE
1
1
 C1  B1  E  B1  C1 mà AC / / BM (ta vẽ)  C1  CBM  B1  CBM nên
2
2
BO là tia phân giác của CBM . Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của
BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O
 MO là tia phân giác của CMB
Mà BAC , BMC là hai góc đối của hình bình hành BMCA  MO / / với tia phân

giác của góc A theo giả thiết tia phân giác của góc A còn song song với OK
 K , O, M thẳng hàng
1
Ta lại có: M1  BMC (cmt ); A  M  M1  A2 mà A2  K1 (2 góc đồng vị)
2


 K1  M1  CKM cân tại C  CK  CM .
Kết hợp AB  CM  AB  CK  dfcm
Bài 4.
2
Ta có M  4 x 2  4 x  5   4 x 2  4 x  1  4   2 x  1  4
Vì  2 x  1  0   2 x  1  4  4  M  4
1
Vậy MinM  4  x  
2
2

2