039 đề HSG toán 8 huyện 2013 2014

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2013-2014
(Thời gian: 150 phút)
Bài 1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức :
A

1
1
1
1
1




a 2  a a 2  3a  2 a 2  5a  6 a 2  7a  12 a 2  9a  20

Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

 x  2008   x  2010
4

4

2

b) x  1  2 x  2  3 x  3  4
Bài 3. (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

B

3x 2  6 x  10
x2  2 x  3

Bài 4. (3 điểm) Giải bất phương trình:

 a  1 x 

ax  1 1

a
a

 a  0

Bài 5. (7 điểm)
Cho tam giác ABC (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK
a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?
b) Cho AH  10cm, BK  12cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
c) Gọi I là giao điểm của AH và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để
tam giác BCI là tam giác đều ?


ĐÁP ÁN
Bài 1.
Điều kiện: a  0; a  1; a  2; a  3; a  4; a  5
1
1
1

1
1
A 2
 2
 2
 2
 2
a  a a  3a  2 a  5a  6 a  7a  12 a  9a  20
1
1
1
1
1





a  a  1  a  1 a  2   a  2  a  3  a  3 a  4   a  4  a  5 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1










a a 1 a 1 a  2 a  2 a  3 a  3 a  4 a  4 a  5
1
1
a4
 

a a  5 a  a  5
Bài 2.
4
4
a)  x  2008   x  2010   2 (I)
Đặt y  x  2009 ta có:


 I    y  1

4

  y  1  2
4

 2 y 4  12 y 2  0

 2 y2  y2  6  0
 y  0  x  2009  0  x  2009
b) x  1  2 x  2  3 x  3  4 (II)
(ktm)
+Nếu x  1 ta có  II   2 x  6  4  x  1
+Nếu 1  x  2 ta có:  II   0.x  4  4 , Phương trình nghiệm đúng với 1  x  2
+Nếu 2  x  3 ta có:  II   4 x  8  x  2 (thỏa mãn)
+Nếu 3  x ta có:  II   2 x  10  x  5 (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình  II  là x  5 hoặc 1  x  2
Bài 3.
3x 2  6 x  10
1
1
 3 2
 3
Ta có: B  2
2
x  2x  3
x  2x  3
 x  1  2
Mà 3 

1

 x  1

2

2

 3

1 7

2 2

Vậy giá trị lớn nhất của B là

7
 x  1
2


Bài 4.  a  1 x 

ax  1 1

a
a

 a  0  III 

Với a  0 ta có  III    a  2  x 

2
*
a

2
nếu a  2 và a  0

a  a  2
2
*  0 x  đúng với mọi x nếu a  2
2
2
nếu a  2
*  x 
a  a  2
Bài 5.

*  x 

A
K
I

H

B

C

a) Các cặp tam giác vuông đồng dạng là :
ABH ACH (Vì có BAH  CAH )
BCK (vì có ABH  BCK )
BCK (vì cùng đồng dạng với ABH )
AB AH 10 5

 
b) Từ ABH BCK 

BC BK 12 6
AB 5
3

  BH  AB (H là chân đường cao, trung tuyến)
2 BH 6
5
ABH
ACH


Ta lại có: AB2  BH 2  AH 2 (Định lý Pytago)
2
3

2
 AB   AB   102  AB  12,5cm
5

 AC  AB  12,5cm
; BC  15cm
c) Chỉ ra được BIC cân tại I
BIC cân tại I trở thành tam giác đều khi IBC  600
Mà IBC  HAB  HAB  600  BAC  1200.
Vậy để BIC là tam giác đều thì ABC phải cân tại A và A  1200