111 đề HSG toán 8 quế sơn 2012 2013

UBND H. QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2.5 điểm):
a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab  bc  ca  0 .
b) Cho f ( x)  ax2  bx  c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a  b  2c  0 .
Chứng tỏ rằng: f (2). f (3)  0 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x 2  y 2  xy  x  y  1
Bài 2 (2.0 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)

x 1 x  2 x  3 x  4



2013 2012 2011 2010

b) (2 x  5) 3  ( x  2) 3  ( x  3) 3

Bài 3 (2.5 điểm):
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME
vuông góc với AB, MF vuông góc với AD.
a) Chứng minh DE  CF.
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Bài 4 (2.0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C
trên AB và AD. Chứng minh :
a) ABC đồng dạng với  HCG
b) AC2  AB.AG  AD.AH
Bài 5 (1.0 điểm):
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n (5n  1)  6n (3n  2n )

/>
1

91


HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1(2.5 điểm):
Có: a2 + b2  2ab; a2 + c2  2ac; b2 + c2  2ac
Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2  2ab + 2ac + 2bc
 a2 + b2 + c2  ab + ac + bc
(1)
2
2
2
a + b + c = 0  a + b + c +2ab + 2ac + 2bc = 0
 -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2)
Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc  0  ab + bc + ca  0
f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c
Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:
Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0  f(-2).f(3) = 0
Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau  f(-2).f(3) < 0

Từ (1) và (2) được f (2). f (3)  0

0,25
0,25
0,25
0,25
(1)
(2)

0,25
0,25

4M  4x  4y  4xy  4x  4y  4
2

2

 (2x  y  1) 2  3y 2  2y  3
2
1 8
 (2x  y  1) 2  3(y 2  y  ) 
3
9 3
1
8
 (2x  y  1) 2  3(y  ) 2 
3
3
1
8

2
Giá trị nhỏ nhất của 4M là tại y   ; x = nên
3
3
3
1
2
2
Giá trị nhỏ nhất của M là tại y   ; x = .
3
3
3

0,50

0,50

Bài 2(2.0 điểm):
x 1
x2
x4
x 3
1 
1 
1
1
2013
2012
2010
2011

x  1 2013 x  2 2012 x  4 2010 x  3 2011








2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011
x  2014 x  2014 x  2014 x  2014




2013
2012
2010
2011
1
1
1 
 1
 (x  2014) 



0
 2013 2012 2010 2011 
1

1
1
1



Do
 0 nên phương trình có nghiệm x = 2014
2013 2012 2010 2011


Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b  a - b = x -3
Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3
(a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2)
(a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0
3ab(a-b) = 0
5
2

a = 0  x  ; b = 0  x = 2; a = b  x = 3
/>
2

0,25

0,25

0,25
0,25

0,50
0,25
0,25


Bài 5 (1.0 điểm):
A = 5n (5n  1)  6n (3n  2n )  25n  5n  18n  12n
A  (25n  18n )  (12n  5n ) . A chia hết cho 7
A  (25n  12n )  (18n  5n ) . A chia hết cho 13
Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91
Bài 3 (2.5 điểm):
A

F

E

0,25
0,25
0,25
0,25

B

M

D

C

Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF)
Chứng tỏ được CDF = DAE  FCD  EDA
Có EDA và EDC phụ nhau  ECD và EDA phụ nhau hay CF DE

0,25
0,25
0,25

Tương tự có CE  BF
Chứng minh được CM  EF:
Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF.
MCG  EFM (Hai HCN bằng nhau)
0
CMG  FMH (Đối đỉnh)  MHF  MGC = 90
CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy

0,25

(AE - ME)2 0 nên (AE + ME)2  4AE.ME  AE.ME 
 SAEMF 

 AE  ME 
4

AB2
. Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME.
4

Lúc đó M là trung điểm của BD.
Bài 4 (2.0 điểm):

Chứng tỏ được: CBG đồng dạng với CDH.
CG BC BC


CH DC BA
ABC  HCG (Cùng bù với BAD )

0,50
0,25

2

0,25
0,50

0,25



0,25

 ABC đồng dạng với HCG

0,50

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC.
AFD đồng dạng AHC:

AF AD


 AF.AC  AD.AH
AH AC

/>
3

0,25


AEB đồng dạng AGC:

AE AB

 AE.AC  AG.AB
AG AC

Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB
AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB
Chứng tỏ được AE = FC. Thay được:
AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB  AC2 = AD.AH+AG.AB

/>
4

0,25
0,25
0,25